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1 Probabilità e giochi v.a. X guadagno del giocatore - positivo, negativo o nullo gioco equo: E(X) = 0 gioco favorevole: E(X) > 0 gioco sfavorevole: E(X) < 0 lancio di tre dadi, puntata di 1 (Euro) su un numero da 1 a 6; giocatore riceve la puntata + n se numero puntato esce n volte, n = 1, 2, 3, se il numero non esce perde la puntata N = numero di uscite del valore puntato N B(3, 1/6) X guadagno E(X) = 1 P(N = 0) + 1 P(N = 1) +2 P(N = 2) + 3 P(N = 3) gioco della roulette (puntata unitaria su numero singolo): guadagno 35 se esce numero puntato, p = 1/37 guadagno -1 se non esce numero puntato, p = 36/37 E(X) = =

2 gioco del Lotto, puntata su un ambo su una determinata ruota probabilità p di uscita di un ambo: ( 90 5 ) numero cinquine possibili ( 88 3 ) cinquine che contengono l ambo cinquine equiprobabili p = ( 88 3 ) / ( 90 5 oppure: ) = ( ) 90 tutti gli ambi hanno la stessa probabilità, ( 2 ambi 5 diversi; ambi in una cinquina = 2) p = ( 5 2 ) / ( 90 2 ) = per terno, quaterna, cinquina, probabilità p k che escano k numeri prescelti sui cinque estratti p k = ( ) ( 5 k / 90 ) k, k = 1, 2, 3, 4, 5 Dal sito Le vincite sono così distribuite: cinquina = volte la posta quaterna = volte la posta terno = volte la posta 2

3 ambo = 250 volte la posta estratto = 11,232 volte la posta Sulle vincite c è una ritenuta del 6% X guadagno con puntata unitaria su ambo E(X) = 1 (1 0, 0025) + (250 0, 94 1) 0, 0025 = 0, 4125 perdita attesa del 41,25% della puntata! N.B.: anche se gioco è moderatamente sfavorevole, è sicura alla lunga la perdita! n partite, stessa puntata in ogni partita X i guadagni i.i.d., µ = E(X i ) < 0 Applicazione della legge forte dei grandi numeri: S n = n i=1 X i guadagno complessivo in n partite S n /n µ q.c. n S n /n < µ(1 ǫ), 0 < ǫ < 1 per n n 0 (q.c.) S n < nµ(1 ǫ) per n n 0 (q.c.) Con il teorema centrale del limite posso dare una valutazione approssimata della probabilità di perdere più di una quantità prefissata. Gioco della roulette: 3

4 µ = E(X i ) = 1/37; Var(X i ) = E(X 2 i ) 1/372 = 35 2 / /37 1/37 2 = σ = σ(x i ) = 5.84 Per n grande posso dire: S n + n/ n F Sn (x) = P (S n x) = P 1 x+n/ n 2π N(0, 1) ( Sn + n/ n x + n/37 ) 5.84 n e t2 /2 dt n x = 0 x = 5 x = 10 x = Esiste strategia di gioco che permette di trasformare gioco sfavorevole in uno favorevole? Es. gioco in cui se punto i guadagno i se vinco e i se perdo 4

5 p probabilità di vincita E(X) = i p i (1 p) = i(2p 1) gioco sfavorevole se p < 1/2 Punto 1, se perdo punto 2, se perdo punto 4, ecc. fino a che vinco, poi punto 1, ecc. dopo n partite perse, ho perso n = 2 n+1 1 Se vinco in partita n + 1 guadagno 2 n+1 guadagno complessivo 1! Problema: occorre disporre di un capitale illimitato ed essere permesse puntate illimitate Non è possibile traformare un gioco sfavorevole in uno favorevole se non si dispone di un capitale illimitato Problema della rovina del giocatore con capitale limitato 5

6 Assicurazioni e teoria dei giochi Uomo di 36 anni, polizza vita ventennale, indennizzo familiari in caso di morte Euro p 36,i prob. di sopravvivere ancora i anni per uomo di 36 anni, 1 i 20 - da tavole di mortalità p 36,i p 36,i+1 valore atteso dell esborso della compagnia di assicurazione E = (1 p 36,20 ) Come calcolare il premio annuo P dell assicurato? G = P 20 i=1 p 36,i E Assicurazione calcola P in modo che G > 0 Il gioco è sfavorevole! 6

7 Passeggiate a caso Problema della rovina del giocatore giocatore G con capitale iniziale a avversario A con capitale iniziale b in ogni partita G vince 1 e A perde 1 con probabilità p ; G perde 1 e A vince 1 con probabilità q = 1 p Le partite durano fino alla rovina di G o di A (azzeramento del capitale) passeggiata a caso tra gli interi da 0 a a + b movimento di una particella, 0 e a+b barriere assorbenti q i = P(G rovinato partendo da i) 0 < i < a + b q i = P(G rovinato partendo da i + 1)P(G vince 1 in i) +P(G rovinato partendo da i 1)P(G perde 1 in i) = = q i+1 p + q i 1 q 7

8 q i = pq i + qq i = q i+1 p + q i 1 q, 1 i < a + n (q i+1 q i )p = (q i q i 1 )q q i+1 q i = q p (q i q i 1 ) equazione alle differenze finite condizioni al contorno q 0 = 1, q a+b = 0 r = q/p q i q i 1 = r i 1 (q 1 1) se r 1 p q p 1/2 k (q i q i 1 ) = i=2 k (r i 1 (q 1 1)) i=2 q k q 1 = k 1 i=1 r i (q 1 1) = r rk 1 r (q 1 1) k = a + b 0 q 1 = r ra+b 1 r (q 1 1) q 1 = r ra+b 1 r a+b q a = ra r a+b 1 r a+b Per A, q b = r b r (a+b) 1 r (a+b)) = 1 ra 1 r a+b 8

9 q a + q b = 1 la partita termina con probabilità 1 se r = 1(p = q = 1/2), q i = q 1 +(i 1)(q 1 1) 0 = q 1 + (a + b 1)(q 1 1) q a = 1 In sintesi a a+b λ a = 1 a a+b λ a p = q = ( q p )a ( q p )a+b 1 ( q p )a+b p q Se B ha capitale infinito (b ) λ a = 1 p = q λ a = 1 q > p ( a λ a = q p) q < p Se l avversario ha un capitale infinito, la rovina del giocatore è (quasi) certa a meno che il gioco non sia favorevole al giocatore. Problema dell ubriaco sul ciglio del burrone: p probabilità di muovere un passo lontano dal burrone e q probabilità di un passo verso il burrone. 9

10 a posizione iniziale dell ubriaco 0 posizione del burrone b distanza da casa nella posizione iniziale Se la casa è lontana Il destino dell ubriaco è segnato a meno che l istinto di sopravvivenza non lo aiuti (p > q)! 10

11 Passeggiata a caso sulla retta (discretizzata) p probabilità di salto da i a i + 1 q probabilità di salto da i a i 1, i Z Se si parte dall origine, qual è la probabilità di ritornarvi prima o poi? Se p = q con probabilità 1/2 0 1, con probabilità 1 da 1 a 0 con probabilità 1/2 0 1, con probabilità 1 da -1 a 0 / con probabilità 1 partendo dall origine vi si ritorna con probabilità 1 si ritorna nell origine infinite volte! si può dimostrare che si passa per ogni intero infinite volte. Se p > q con probabilità p 0 1, con probabilità q/p da 1 a 0 con probabilità q 0 1, con probabilità 1 da -1 a 0 con probabilità q + p(q/p) = 2q Se p < q la probabilità è 2p esiste una probabilità di fuga dall origine positiva = 1 2 min(p, q) 11

12 {X n, n = 0, 1,...}, X 0 = 0 P(X n = i X 0,...,X n 1 ) = P(X n = i X n 1 ) {X n } è una Catena di Markov X n = n i=1 Z i, Z i i.i.d. con valori -1 con probabilità q e 1 con prob. p E(Z i ) = q + p = 2p 1; Var(Z i ) = 4p(1 p) X n n(2p 1) 2 np(1 p) N(0, 1) per n grande 12

13 Passeggiata a caso bidimensionale Partendo da un punto si salta con probabilità 1/4 in uno dei 4 punti adiacenti. Probabilità p di ritorno nell orgine? p k q probabilità che ci siano (esattamente) k ritorni numero medio di ritorni prima di un non ritorno: µ = k=0 kpk q = p q = 1 q 1 Partendo dall origine, il ritorno è possibile solo dopo un 13

14 numero pari di passi (X 2n, Y 2n ) coordinate dopo un numero pari di passi P(X 2 = 2) = P(X 2 = 2) = 1/4, P(X 2 = 0) = 2/4 = 1/2, idem per Y 2 X 2, Y 2 indipendenti P(X 2 = 0, Y 2 = 0) = P(X 2 = 0)P(Y 2 = 0) = 1/4 P(X 2n = 0, Y 2n = 0) = P(X 2n = 0)P(Y 2n = 0) = [ (2n ) ( ) ] 2n 2 [ 1 = n 2 (2n)! n!n! ( ) ] 2n (si applica formula di Stirling n! n n e n 2πn) P(X 2n = 0, Y 2n = 0) 1 πn numero di ritorni in 0 al termine di 2n passi numero atteso di ritorni in 0 = n=1 P(X 2n = 0, Y 2n = 0) = q = 0 p = 1 Si ritorna nell origine con probabilità 1 = valore atteso del Si dimostra: ogni punto toccato infinite volte q.c. [ 1 πn ] 2 14

15 Passeggiata a caso tridimensionale Probabilità 1/2 per ciasuna coordinata di aumentare o diminuire di 1 (X n, Y n, Z n ) P(X 2n = 0, Y 2n = 0, Z 2n = 0) 1 (πn) 3/2 P(X 2n = 0, Y 2n = 0, Z 2n = 0) < n=1 p < 1(p 0.239) C è una probabilità di fuga dall origine

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