STUDIO DEL SEGNO DI UN POLINOMIO

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1 STUDIO DEL SEGNO DI UN POLINOMIO Risolvere un'equazione vuol dire trovare il valore della X che annulla il polinomio al primo membro. Esempio X + 1 = 0 Trova il valore che sostituito alla X rende vera l'uguaglianza. Il valore cercato è X = -1. La risoluzione delle equazioni, quindi, ci chiede di trovare dei valori ben precisi. Studiare il segno di un polinomio vuol dire, oltre a risolvere l'equazione per capire quali sono i valori in cui il polinomio si annulla, stabilire gli intervalli in cui il polinomio è positivo e gli intervalli in cui il polinomio è negativo. Dobbiamo quindi rispondere a 3 domande: 1. Quali sono i valori della X per cui P(X) = 0? 2. Quali sono i valori della X per cui P(X) > 0? 3. Quali sono i valori della X per cui P(X) < 0? Cosa vuol dire stabilire gli intervalli in cui il polinomio è positivo? Vuol dire trovare quali sono i valori numerici che sostituiti al posto della X nel polinomio fanno assumere al polinomio valori positivi. Cosa vuol dire stabilire gli intervalli in cui il polinomio è negativo? Vuol dire trovare quali sono i valori numerici che sostituiti al posto della X nel polinomio fanno assumere al polinomio valori negativi. Esempio Consideriamo il polinomio P(X) = X + 1 e proviamo a vedere che cosa accade sostituendo alcuni valori numerici al posto della X P(-1) = 0 Per X = -1 il polinomio assume valore 0 P(2) = 3 Per X = 2 il polinomio assume valore 3 (positivo) P(5) = 6 Per X = 5 il polinomio assume valore 6 (positivo) P(-2) = -1 Per X = -2 il polinomio assume valore -1 (negativo) P(0) = 1 Per X = 0 il polinomio assume valore 1 (positivo) Studio del segno di un polinomio di primo grado Ogni polinomio di primo grado può essere associato ad una retta. Lo studio del segno di un polinomio di primo grado è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della retta ad esso associata. Il procedimento richiede di: 1. Risolvere l'equazione associata (incrocio con asse x) 2. Definire la pendenza della retta (ascendente o discendente) 3. Stabilire il segno producendo il tabellino opportuno

2 Esempio 1 Stabilire il segno del polinomio P(X) = 2X 6 Il polinomio è di primo grado: lo studio del segno è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della retta ad esso associata. Equazione della retta: Y = 2X 6 1. Equazione associata: 2X 6 = 0 che ha come insieme soluzione S = { 3 } 2. La pendenza della retta dipende dal coefficiente angolare: In tal caso m = 2 (positivo), quindi la retta è ascendente. La situazione definita ai punti 1. e 2. porta alla seguente rappresentazione semplificata Sulla base di quanto si può osservare a livello grafico, possiamo affernare che: Per tutti i punti con ascissa inferiore a 3 il grafico della retta si trova al di sotto dell'asse X. Per X = 3 la retta incrocia l'asse X Per tutti i punti con ascissa superiore a 3 il grafico della retta si trova al di sopra dell'asse X. Queste affermazioni sono codificabili tramite un oppurtuno tabellino: La lettura del tabellino afferma che Se X < 3 il polinomio P(X) = 2X 6 è negativo Se X = 3 il polinomio P(X) = 2X 6 si annulla (vale zero) Se X > 3 il polinomio P(X) = 2X 6 è positivo Per verificare la correttezza del segno possiamo usare dei valori di prova. Se scelgo un valore di X inferiore a 3 il valore del polinomio deve risultare negativo, se, vicecersa, scelgo un valore di X superiore a 3 il valore del polinomio deve risultare positivo. Verifichiamo: P(2) = 2*2 6 = 4 6 = -2 Negativo

3 P(0) = 2*0 6 = 0 6 = -6 P(-2) = 2*(-2) 6 = -4 6 = -10 P(5) = 2*5 6 = 10 6 = 4 P(8) = 2*8 6 = 16 6 = 10 Negativo Negativo Positivo Positivo Esempio 2 Stabilire il segno del polinomio P(X) = X + 2 Il polinomio è di primo grado: lo studio del segno è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della retta ad esso associata. Equazione della retta: Y = X Equazione associata: X + 2 = 0 che ha come insieme soluzione S = { 2 } 2. La pendenza della retta dipende dal coefficiente angolare: In tal caso m = 1 (negativo), quindi la retta è discendente. La situazione definita ai punti 1. e 2. porta alla seguente rappresentazione semplificata Sulla base di quanto si può osservare a livello grafico, possiamo affernare che: Per tutti i punti con ascissa inferiore a 2 il grafico della retta si trova al di sopra dell'asse X. Per X = 2 la retta incrocia l'asse X. Per tutti i punti con ascissa superiore a 3 il grafico della retta si trova al di sotto dell'asse X. Queste affermazioni sono codificabili tramite un oppurtuno tabellino: La lettura del tabellino afferma che Se X < 2 il polinomio P(X) = X + 2 è positivo Se X = 2 il polinomio P(X) = X + 2 si annulla (vale zero) Se X > 2 il polinomio P(X) = X + 2 è negativo Per verificare la correttezza del segno possiamo usare dei valori di prova. Se scelgo un valore di X inferiore a 2 il valore del polinomio deve risultare positivo, se, vicecersa, scelgo un valore di X superiore a 2 il valore del polinomio deve risultare negativo.

4 Verifichiamo: P(3) = (3) + 2 = = 1 P(5) = (5) + 2 = = -3 P(8) = (8) + 2 = = -4 P(0) = (0) + 2 = = +2 P(-2) = (-2) + 2 = = +2 Negativo Negativo Negativo Positivo Positivo Osservazione Osservando i due esempi proposti è possibile fare una considerazione di carattere generale che aiuta a definire il tabellino del segno in modo rapido e sicuro. La considerazione molto utile è relativa al fatto che ogni polinomio di primo grado generico è associabile ad una retta sicuramente obliqua. Questa considerazione ha due conseguenze certe: Ogni polinomio di primo grado ha sempre un solo punto di intersezione con l'asse X. Tale punto indica, a livello di segno, il punto di cambiamento del segno (da positivo a negativo, oppure da negativo a positivo). Ogni polinomio di primo grado ha sicuramente un andamento ascendente o discendente. Chiamiamo genericamente X 0 il punto di intersezione con l'asse X, dall'andamento grafico dei due esempi precedenti possiamo affermare che: Se la retta è ascendente il suo tabellino del segno sarà X Se la retta è discendente il suo tabellino del segno sarà X Esempio 3 Vediamo alcuni esempi di "studio veloce" del segno di un polinomio di primo grado: P (X) = 3X 9 Punto di intersezione X = 3 m positivo retta ascendente Tabellino del segno P (X) = -2X 8 Punto di intersezione X = 4 m negativo retta discendente Tabellino del segno 4 + -

5 Studio del segno di un polinomio di secondo grado Ogni polinomio di secondo grado può essere associato ad una parabola. Lo studio del segno di un polinomio di secondo grado è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della parabola ad esso associata. Il procedimento richiede di: 1. Risolvere l'equazione associata (incrocio con asse x) 2. Definire la concavità della parabola (verso l'alto o verso il basso) 3. Stabilire il segno producendo il tabellino opportuno Esempio 1 Stabilire il segno del polinomio P(X) = X 2 5X + 6 Il polinomio è di secondo grado: lo studio del segno è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della parabola ad esso associata. Equazione della parabola: Y = X 2 5X Equazione associata: X 2 5X + 6 = 0 Δ>0 Insieme soluzione S = { 2 ; 3 } 2. La concavità della parabola dipende dal coefficiente a: In tal caso a = 1 (positivo), quindi la parabola ha l'apertura rivolta verso l'alto. La situazione definita ai punti 1. e 2. porta alla seguente rappresentazione semplificata Sulla base di quanto si può osservare a livello grafico, possiamo affernare che: Per tutti i punti con ascissa inferiore a 2 il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse X. Per X = 2 la retta incrocia l'asse X Per tutti i punti con ascissa compresa tra 2 e 3 il grafico della parabola si trova al di sotto dell'asse X. Per X = 3 la retta incrocia l'asse X Per tutti i punti con ascissa superiore a 3 il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse X. Queste affermazioni sono codificabili tramite un oppurtuno tabellino:

6 La lettura del tabellino afferma che: Se X < 2 il polinomio P(X) = X 2 5X + 6 è positivo Se X = 2 il polinomio P(X) = X 2 5X + 6 si annulla (vale zero) Se 2 < X < 3 il polinomio P(X) = X 2 5X + 6 è negativo Se X = 3 il polinomio P(X) = X 2 5X + 6 si annulla (vale zero) Se X > 3 il polinomio P(X) = X 2 5X + 6 è positivo Esempio 2 Stabilire il segno del polinomio P(X) = -X 2 + 2X + 3 Il polinomio è di secondo grado: lo studio del segno è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della parabola ad esso associata. Equazione della parabola: Y = -X 2 + 2X Equazione associata: -X 2 + 2X + 3 = 0 Δ>0 Insieme soluzione S = { -1 ; 3 } 2. La concavità della parabola dipende dal coefficiente a: In tal caso a = -1 (negativo), quindi la parabola ha l'apertura rivolta verso il basso. La situazione definita ai punti 1. e 2. porta alla seguente rappresentazione semplificata Sulla base di quanto si può osservare a livello grafico, possiamo affernare che: Per tutti i punti con ascissa inferiore a -1 il grafico della parabola si trova al di sotto dell'asse X. Per X = -1 la retta incrocia l'asse X Per tutti i punti con ascissa compresa tra -1 e 3 il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse X. Per X = 3 la retta incrocia l'asse X Per tutti i punti con ascissa superiore a 3 il grafico della parabola si trova al di sotto dell'asse X. Queste affermazioni sono codificabili tramite un oppurtuno tabellino: La lettura del tabellino afferma che:

7 Se X < -1 il polinomio P(X) = -X 2 + 2X + 3 è negativo Se X = -1 il polinomio P(X) = -X 2 + 2X + 3 si annulla (vale zero) Se -1 < X < 3 il polinomio P(X) = -X 2 + 2X + 3 è positivo Se X = 3 il polinomio P(X) = -X 2 + 2X + 3 si annulla (vale zero) Se X > 3 il polinomio P(X) = -X 2 + 2X + 3 è negativo Esempio 3 Stabilire il segno del polinomio P(X) = X 2 + 4X + 4 Il polinomio è di secondo grado: lo studio del segno è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della parabola ad esso associata. Equazione della parabola: Y = X 2 + 4X Equazione associata: X 2 + 4X + 4 = 0 Δ=0 Insieme soluzione S = { -2 } 2. La concavità della parabola dipende dal coefficiente a: In tal caso a = 1 (positivo), quindi la parabola ha l'apertura rivolta verso il basso. La situazione definita ai punti 1. e 2. porta alla seguente rappresentazione semplificata Sulla base di quanto si può osservare a livello grafico, possiamo affernare che: Per tutti i punti con ascissa inferiore a -2 il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse X. Per X = -2 la retta incrocia l'asse X Per tutti i punti con ascissa superiore a -2 il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse X. Queste affermazioni sono codificabili tramite un oppurtuno tabellino: La lettura del tabellino afferma che: Se X < -2 il polinomio P(X) = X 2 + 4X + 4 è positivo Se X = -2 il polinomio P(X) = X 2 + 4X + 4 si annulla (vale zero) Se X > -2 il polinomio P(X) = X 2 + 4X + 4 è positivo Il polinomio P(X) = X 2 + 4X + 4 è, quindi, sempre positivo tranne per X = -2

8 Esempio 4 Stabilire il segno del polinomio P(X) = X 2 + X + 1 Il polinomio è di secondo grado: lo studio del segno è, quindi, riconducibile allo studio grafico semplificato della parabola ad esso associata. Equazione della parabola: Y = X 2 + X Equazione associata: X 2 + X + 1 = 0 Δ<0 Insieme soluzione S = Ø (insieme vuoto) 2. La concavità della parabola dipende dal coefficiente a: In tal caso a = 1 (positivo), quindi la parabola ha l'apertura rivolta verso il basso. La situazione definita ai punti 1. e 2. porta alla seguente rappresentazione semplificata Sulla base di quanto si può osservare a livello grafico, possiamo affernare che: Per tutti i punti il grafico della parabola si trova al di sopra dell'asse X. Queste affermazioni sono codificabili tramite un oppurtuno tabellino: + La lettura del tabellino afferma che: Il polinomio P(X) = X 2 + X + 1 è sempre positivo per qualsiasi valore della X Osservazione Osservando gli esempi proposti è possibile fare una considerazione di carattere generale che aiuta, anche in questo caso, a definire il tabellino del segno in modo rapido e sicuro. La considerazione molto utile è relativa al fatto che ogni polinomio di secondo grado generico è associabile ad una parabola. Questa considerazione ha due conseguenze certe:

9 Ogni polinomio di secondo grado può avere a livello di rappresentazione grafica zero, uno o due punti di intersezione con l'asse X (dipende dal segno del Δ). Tali punti indicano, a livello di segno, i punti di separazione nel tabellino. Ogni polinomio di secondo grado ha sicuramente una apertura verso l'alto o verso il basso. Quindi possiamo affermare che la definizione del segno di un polinomio di secondo grado dipende esclusivamente da: Segno del Δ Segno del coefficiente a (Intersezioni) (apertura) Da un punto di vista teorico i casi possibili sono 6 che riassumiamo nella seguente tabella, compresi i corrispondenti tabellini del segno. Δ > 0 2 intersezioni Caso 1 Δ = 0 1 intersezione Caso 2 Δ < 0 0 intersezioni Caso 3 a>0 Apertura verso l'alto X1 X Caso 4 X1 + + Caso 5 + Caso 6 a<0 Apertura verso il basso X1 X X

10 Vediamo due esempi di "studio veloce" del segno di un polinomio di primo grado: Esempio 5 P (X) = -X 2 + 3X +10 Δ = 49 Δ > 0 Punti di intersezione X = -2 e X = 5 a = -1 a < 0 apertura verso il basso Possiamo, quindi, dedurre che ci troviamo nel caso 4 della precedente tabella con X1 = -2 e X2 = 5 Il tabellino del segno sarà quindi La lettura del tabellino afferma che: Se X < -2 Se X = -2 Se -2 < X < 5 Se X = 5 Se X > 5 il polinomio P(X) = -X 2 + 3X + 10 è negativo il polinomio P(X) = -X 2 + 3X + 10 si annulla (vale zero) il polinomio P(X) = -X 2 + 3X + 10 è positivo il polinomio P(X) = -X 2 + 3X + 10 si annulla (vale zero) il polinomio P(X) = -X 2 + 3X + 10 è negativo Esempio 6 P (X) = -2X 2 + X +-5 Δ = -39 Δ < 0 Nessun punto di intersezione con l'asse X a = -2 a < 0 apertura verso il basso Possiamo, quindi, dedurre che ci troviamo nel caso 6 della precedente tabella Il tabellino del segno sarà quindi: - La lettura del tabellino afferma che: Il polinomio P (X) = -2X 2 + X +-5 è negativo per qualsiasi valore della X.

11 Studio del segno di un polinomio di grado superiore al secondo Lo studio del segno di un polinomio di grado superiore al secondo ricade sempre nello studio per polinomi di primo e secondo grado. Il procedimento prevede di: 1. Scomporre il polinomio in fattori di primo o secondo grado 2. Studiare il segno di ogni fattore producendo, per ognuno di essi, il corrispondente tabellino del segno. 3. Riassumere tutti i tabellini dei segni in un'unica tabella riassuntiva. 4. Calcolare il segno del polinomio di partenza basandosi sulla regola dei segni. 5. Scrivere il segno del polinomio di partenza leggendolo sulla tabella riassuntiva. Esempio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 Scomponiamo il polinomio con il raccoglimento parziale: P (X) = X 2 ( -X + 2 ) -1 ( -X + 2 ) P (X) = ( X 2 1 ) ( -X + 2 ) Il polinomio risulta scomposto in due fattori che chiameremo P 1 (X) e P 2 (X) P 1 (X) = ( X 2 1 ) è un polinomio di secondo grado Δ = 4 Δ > 0 Punti di intersezione X = -1 e X = 1 a = 1 a > 0 apertura verso l'alto Possiamo, quindi, dedurre che ci troviamo nel caso 1 della tabella del segno di un polinomio di secondo grado con X1 = -1 e X2 = 1 Il tabellino del segno sarà quindi P 2 (X) = ( -X + 2 ) Punto di intersezione X = 2 è un polinomio di primo grado m negativo retta discendente Tabellino del segno Costruiamo ora la tabella riassuntiva, inserendo i valori di separazione del segno in ordine crescente, riportando per ogni riga il segno dei singoli fattori, e costruendo la riga del risultato colonna per colonna utilizzando la regola dei segni Segno di P 1(X) = ( X 2-1 ) Segno di P 2(X) = ( -X + 2 ) Segno di P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2

12 La lettura del risultato del segno del polinomio di partenza sarà: Se X < -1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è positivo Se X = -1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 si annulla (vale zero) Se -1 < X < 1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è negativo Se X = 1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 si annulla (vale zero) Se 1 < X < 2 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è positivo Se X = 2 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 si annulla (vale zero) Se X > 2 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è negativo OSSERVAZIONE Nell'esempio precedente, dopo aver scomposto il polinomio di partenza, abbiamo ottenuto un polinomio di primo grado P 2(X) = ( -X + 2 ) sul quale abbiamo condotto lo studio del segno "come retta". Su tale polinomio non avevamo altre scelte in quanto non era più possibile procedere con ulteriori scomposizioni. L'altro fattore ottenuto è di secondo grado P 1(X) = ( X 2-1), su di esso abbiamo condotto lo studio del segno "come parabola". Su tale polinomio avremmo potuto procedere anche diversamente, effettuando una ulteriore scomposizione come differenza di quadrati. Vediamo lo sviluppo completo di questa seconda strada: P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 Scomponiamo il polinomio con il raccoglimento parziale: P (X) = X 2 ( -X + 2 ) -1 ( -X + 2 ) P (X) = ( X 2-1) ( -X + 2 ) Il fattore ( X 2-1) è ancora scomponibile con il metodo di differenza di quadrati per cui otterremo: P (X) = ( X - 1 ) ( X + 1) ( -X + 2 ) Il polinomio risulta scomposto in tre fattori che chiameremo P 1 (X), P 2 (X) e P 3 (X) P 1 (X) = ( X - 1 ) Punto di intersezione X = 1 è un polinomio di primo grado m positivo retta ascendente Tabellino del segno P 2 (X) = ( X + 1 ) Punto di intersezione X = -1 è un polinomio di primo grado m positivo retta ascendente Tabellino del segno

13 P 3 (X) = ( -X + 2 ) Punto di intersezione X = 2 è un polinomio di primo grado m negativo retta discendente Tabellino del segno Costruiamo ora la tabella riassuntiva, inserendo i valori di separazione del segno in ordine crescente, riportando per ogni riga il segno dei singoli fattori, e costruendo la riga del risultato colonna per colonna utilizzando la regola dei segni Segno di P 1(X) = ( X - 1 ) Segno di P 2(X) = ( X + 1 ) Segno di P 3(X) = ( -X + 2 ) Segno di P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 La lettura del risultato del segno del polinomio di partenza sarà: Se X < -1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è positivo Se X = -1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 si annulla (vale zero) Se -1 < X < 1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è negativo Se X = 1 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 si annulla (vale zero) Se 1 < X < 2 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è positivo Se X = 2 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 si annulla (vale zero) Se X > 2 il polinomio P (X) = -X 3 + 2X 2 + X 2 è negativo Come possiamo osservare il risultato finale è esattamente lo stesso. Ciò indica che seguire un percorso piuttosto che l'altro è perfettamente indifferente.

14 Studio del segno di una frazione algebrica Lo studio del segno di una frazione algebrica è del tutto identico allo studio del segno di un polinomio di grado superiore, con l'unica (importante) differenza della definizione del Campo di Esistenza. Ricordiamo, in breve, che: Ogni frazione algebrica ha un denominatore letterale. Ogni denominatore non può mai essere nullo (uguale a zero). E' sempre necessario scartare i valori che, sostituiti all'incognita, annullano il denominatore. Ricorda anche che una frazione algebrica vale zero per i valori dell'incognita che annullano il suo numeratore. Il procedimento per la determinazione del segno di una frazione algebrica prevede di: 1. Scomporre numeratore e denominatore della frazione algebrica in fattori di primo o secondo grado 2. Studiare il segno di ogni fattore producendo, per ognuno di essi, il corrispondente tabellino del segno. 3. Riassumere tutti i tabellini dei segni in un'unica tabella riassuntiva. 4. Calcolare il segno del polinomio di partenza basandosi sulla regola dei segni. 5. Scrivere il segno del polinomio di partenza leggendolo sulla tabella riassuntiva, ricordando che gli zeri del numeratore sono zeri della frazione, mentre gli zeri del denominatore vanno scartati. Esempio P ( X )= X 3 + X 2 4X 4 X 3 NUMERATORE Scomponiamo il polinomio al numeratore con il raccoglimento parziale: P (X) = X 2 ( X + 1 ) -4 ( X + 1 ) P (X) = ( X 2 4 ) ( X + 1 ) Il polinomio al numeratore risulta scomposto in due fattori che chiameremo PN 1 (X) e PN 2 (X) PN 1 (X) = ( X 2 4 ) è un polinomio di secondo grado Δ = 16 Δ > 0 Punti di intersezione X = -2 e X = 2 a = 1 a > 0 apertura verso l'alto Possiamo, quindi, dedurre che ci troviamo nel caso 1 della tabella del segno di un polinomio di secondo grado con X1 = -2 e X2 = 2 Il tabellino del segno sarà quindi

15 PN 2 (X) = ( X + 1 ) Punto di intersezione X = -1 è un polinomio di primo grado m positivo retta ascendente Tabellino del segno DENOMINATORE Il polinomio al denominatore risulta già scomposto: lo chiameremo PD 3 (X) PD 3 (X) = ( X - 3 ) Punto di intersezione X = 3 è un polinomio di primo grado m positivo retta ascendente Tabellino del segno Costruiamo ora la tabella riassuntiva, inserendo i valori di separazione del segno in ordine crescente, riportando per ogni riga il segno dei singoli fattori, e costruendo la riga del risultato colonna per colonna utilizzando la regola dei segni Segno di PN 1(X) = ( X 2 4 ) Segno di PN 2(X) = ( X + 1 ) Segno di PD 3(X) = ( X - 3 ) Segno di La lettura del risultato del segno del polinomio di partenza sarà: P ( X )= X 3 + X 2 4X 4 X 3 Se X < -2 il polinomio P (X) è positivo Se X = -2 il polinomio P (X) si annulla (è uno zero del numeratore) Se -2 < X < -1 il polinomio P (X) è negativo Se X = -1 il polinomio P (X) si annulla (è uno zero del numeratore) Se -1 < X < 2 il polinomio P (X) è positivo Se X = 2 il polinomio P (X) si annulla (è uno zero del numeratore) Se 2 < X < 3 il polinomio P (X) è negativo Se X = 3 il polinomio P (X) non ha significato (è uno zero del denominatore) Se X > 3 il polinomio P (X) è positivo

16 ESERCIZI Studia il segno dei seguenti polinomi di Primo Grado 3X 1 5X+3 X 2 6X 2X X 4 5X 2 3 X +5 2 X X 3 X 3X X 2 5 X 3X 1 X X Studia il segno dei seguenti polinomi di Secondo Grado X 2 7X+10 X 2 5X 6 X 2 4X+4 X 2 +4X X 2 + X +12 4X 2 4X+1 X 2 10X 25 X 2 +2X 1 5X 2 +2X+6 2X 2 + X 10 2X X 2 +2X+16

17 X 2 +8X 16 2X 2 3X 2 3X 2 1 X 2 3X 4 2X 2 + X X 2 +6X+9 Studia il segno dei seguenti polinomi di Grado superiore al secondo X 4 16X 2 3X 3 5X 2 +2X X 3 9X 2 4X+36 X 3 +3X 2 X 3 X 3 2X 2 X +2 X 4 4 X 3 +2X 2 X X 5 16X 3 X 4 10X 2 +9 Studia il segno delle seguenti Frazioni Algebriche X 1 X +2 X 2 4 X 3 X 1 9 4X 2 X 2 +5X+6 X 2 4X 3 4X 3 4X 2 +X X +2 X 2 + X X 3 X 2 X 2 +10X 9 X 2 +X +1 X 3 2X 2 X +2 9 X 2 3X 3 X 2 4X+4