CONNESSIONI MATEMATICHE PRINCIPALI TRA LE COSTANTI. Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero

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1 CONNESSIONI MATEMATICHE PRINCIPALI TRA LE COSTANTI π, Φ ed e Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero Abstract In this paper we show some connections between π, Φ and e Riassunto In questo breve lavoro mostreremo alcune principali connessioni tra π, Φ ed e, alcune delle quali da noi scoperte Testo Ci baseremo su un apposito reticolo che riportale tre costanti matematiche in esame e le loro possibili 1

2 connessioni, nel relativo incrocio indichiamo il numero di riferimento ai lavori o loro brani, nostri o altrui, che riportano queste connessioni tramite formule matematiche o breve descrizioni. Reticolo e Φ π e Φ 3-4 π Riferimenti 1 e 2 insieme: Da Internet (un post su Facebook, profilo della Sig.ra Nicoletta Sapioli) 2

3 I will attempt to definitively answer how the numbers, shapes, and properties of these 3 irrationals are intertwined... more details coming soon. Come vediamo, i numeri di Fibonacci 5, 8 e 13 sono connessi rispettivamente alle costanti π, Φ, π ed e π, e e Φ. Possiamo quindi valutare il prossimo numero di Fibonacci, 21, come 13*1,618, e sostituendo 13 con π *e* Φ, avremo π *e* Φ* Φ = 13,81758*1,618 = 22,

4 Moltiplicando ancora il valore ottenuto per 1,618, avremo 36, , e così via, ottenendo valori per eccesso prossimi ai successivi numeri di Fibonacci: formula generale π *e* Φ^n 1) distribuzione dei numeri primi, e e Φ La successione di Fibonacci e il Teorema dei numeri primi (TNP) Francesco Di Noto Sul sito Brano interessato, con correzione di piccoli errori (in rosso) Ora possiamo vedere come le due costanti e, Ф, e la funzione π(n) sono strettamente collegate alla distribuzione dei numeri primi fino alle potenze di 10, tramite la relazione: e^n 10^k / π(10^3k ) log 10^3k Fi + 4 (23) quando k = Fi, ed en Ф Fi +1 (24) Cominciamo con e = 2,718 e Ф =1,618 insieme: 4

5 TABELLA 1 (e^n, e^n Ф ) N e^n Fi e^n * Φ Fi , , , , , , , , , , , , , , , Al crescere ancora di N, e^n dà però valori sempre più lontani da Fi e da Fi+1, e approssimati per eccesso a partire da N = 5 in poi. Si nota subito, peraltro, che per i primi valori di N, e^n dà valori molto prossimi a Fi = 3, 8, 21, 55, 144 mentre e^n Ф dà valori molto prossimi a Fi+1 = 5, 13, 34, 89, 233 Mettendo in un ordine unico tali numeri, si ottiene la serie completa di Fibonacci, tranne i primi termini iniziali 0, 1, 1 e 2. Quando anche N è anch esso un numero di Fibonacci, abbiamo la connessione tra e, Ф, Fi ed Fi+1: e^n Fi, e^n Ф Fi+1 alternati. (25) Per il resto rimandiamo al lavoro sopra indicato. Conclusioni In tal modo abbiamo scoperto le suddette relazioni matematiche tra la serie di Fibonacci e la distribuzione dei numeri primi ed e =2,718028, e quindi anche con il Teorema dei numeri primi (TNP) già dimostrato da Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin e a sua volta connesso all ipotesi di Riemann, uno dei sei problemi del Millennio (Rif. 2). 2) e e π 5

6 Da Wikipedia, Formula di Eulero, paragrafo sull Identità di Eulero L'identità di Eulero[modifica modifica wikitesto] La formula di Eulero dà origine ad un'identità considerata tra le più affascinanti della matematica, nota come identità di Eulero, che mette in relazione tra loro cinque simboli che sono alla base dell'analisi matematica: e, i,, 1 e 0: Qui ci interessano però solo le costanti e e π 2) Formula di Stirling, e e π, insieme anche qui Da Wikipedia, Approssimazione di Stirling: Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca 6

7 Al crescere di n, il rapporto tra (ln n!) e (n ln n n) tende a 1. In matematica l'approssimazione di Stirling o formula di Stirling o formula approssimata di Stirling è un'approssimazione per fattoriali grandi. Deve il suo nome al matematico scozzese James Stirling ( ). La formulazione corretta è: che viene scritta spesso come: Per valori elevati di n il secondo membro della formula fornisce una buona approssimazione di n! che si può calcolare rapidamente e facilmente. Ad esempio la formula per 30! fornisce l'approssimazione 2, , mentre un valore più preciso è 2, ; in questo caso si ha una discrepanza minore dello 0,3%, più precisamente: Anche in queste formule compaiono insieme e e π 7

8 6) COSTANTE DI STRUTTURA FINE E DIMENSIONI EXTRA Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto, Ing. Pierfrancesco Roggero Già sul nostro sito (Connessione tra π e Φ) Brano finale interessato Vi sono ulteriori connessioni matematiche che vale la pena di andare a descrivere ed analizzare. L Ing. Christian Lange ha ottenuto alcuni risultati lavorando sul numero 432, corrispondente alla frequenza del La naturale (ricordiamo che 432 =24 18). Dividendo 432 per π, si ottiene 137,5 un valore molto vicino a quello della Costante di Struttura Fine,di importanza fondamentale nella fisica teorica e nella cosmologia, in quanto ha un ruolo di primo piano nelle teorie delle stringhe e del multiverso. Inoltre, dividendo 432 per Ф e per Ф^2 si ottengono rispettivamente i numeri 267 e 165. Le somme di tali numeri forniscono nuovamente 432 Si osserva anche che i numeri 267 e 165 sono dati da somme di numeri di Fibonacci. Infatti:267 = , e 165 = (233 = ; 144 = ). (E anche le formule per ottenere i numeri 267 = 432/Ф e 165=432/Ф^2 sono connesse alla sezione aurea) Ora però il numero 137,5796 si ottiene da 432/π. Ma 432 è connesso anche ad alcuni numeri di Fibonacci, dalle relazioni di cui sopra. Quindi anche π, già presente nella formula della costante di struttura fine, potrebbe essere connesso all angolo aureo 137,5 (ma per angolo aureo si intendono anche altri angoli, come 36, ecc. ; noi in questo lavoro ci riferiremo sempre all angolo 137,5, molto prossimo all inverso della costante di struttura fine, 137,035 ) Quindi, sarebbe possibile una connessione tra 432, π, Ф, e α = costante di struttura fine. Conclusioni Mostrate le connessioni tra le tre costanti a due a due o tra tutte e tre (vedi Rif. 1 e 2 insieme nella connessione 8

9 riportata da Internet), tralasciamo le già ben note formule di fisica e matematica in cui è presente solo una costante, vogliamo ora accennare al fatto che oltre ad essere connesse a svariati fenomeni naturali e argomenti matematici, le tre costanti spuntano spesso fuori inaspettatamente anche in contesti artificiali, per esempio: Φ è presente nella musica, nell arte, nella finanza (consentirebbe di prevedere l andamento dei titoli in borsa), nei giochi d azzardo tipo roulette (permetterebbe, come martingala attenuata con Φ, una regolazione delle poste successive in modo da non perdere molto alla roulette...come succederebbe invece con la ben più pericolosa martingala normale), nell elettronica, ecc. (vedi articoli in Rif. generali 1) e è 9

10 presente in questioni di matematica finanziaria, tipo ammortamenti di interessi ecc., π è presente nel curioso metodo di approssimazione (L ago di Buffon) buttando tantissime volte un ago in un reticolo e misurando gli angoli formati (casualmente?...) tra ago e una delle righe del reticolo. Vedi NOTA 1 Questo ci suggerirebbe che i fenomeni naturali in cui è coinvolta una delle tre costanti, avrebbero degli analoghi fenomeni nella sfera delle attività umane artificiali, e quindi anch essi regolati dalla stessa costante in modi più o meno simili. Sarebbe un bel futuro campo di ricerca, poiché scoprire e approfondire una connessione matematica tra i due fenomeni attraverso una o più delle costanti π, e, Φ in comune, potrebbe portare ad una migliore conoscenza di entrambi. 10

11 Riferimenti generali 1) sito sezione Articoli 2) sito con diversi articoli in cui sono presenti fenomeni matematici, naturali o artificiali regolati da una o più delle tre costanti. NOTA 1 circa l ago di Buffon Da Internet, link: rcitazione-06.pdf riportiamo parzialmente una curiosità : Stima di π con l ago di Buffon Lo scopo di questa esercitazione e`stimare il valore di π con un metodo iterativo noto dal XVIII secolo. Supponiamo di avere un piano percorso da linee parallele distanti d tra di loro e un ago di lunghezza L con L < d. Lanciando l ago sul piano, essa ha una probabilita2l/πd di Incrociare una linea del piano. Sia x la distanza tra il centro dell ago e la linea più vicina all ago e θ l angolo acuto tra l ago e le linee. L ago incrocerà una delle linee se e`verificata la condizione x <(L/2) sinθ. Effettuando N lanci e indicando con S il numero di volte che l ago incroci a una linea si ha che 11

12 N = 2*L S π*d da cui possiamo ottenere π = 2*L*N S*d... Nota 2 sulla legge di Benford Dalla relativa voce di Wikipedia riportiamo parzialmente : Legge di Benford Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Vai a: navigazione, ricerca La distribuzione di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra è una distribuzione di probabilità che descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località) cominci con una data cifra, ad esempio "1", che secondo questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra. La funzione di probabilità è data da prima cifra prime due cifre n P(x=n) n P(x=n) 1 30,1% 10 4,1% 2 17,6% 11 3,8% 3 12,5% 12 3,5% 4 9,7% 13 3,2% 5 7,9% 14 3,0% 6 6,7% ,8% ecc. 8 5,1% ,6% 99 0,4% 12

13 Una delle estensioni della legge di Benford, Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra prende in considerazione la coppia delle prime due cifre (da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma semplicemente modificando l'intervallo di validità da [1,9] a [10,99]. Una breve e intuitiva spiegazione del perché in "natura" accade ciò, e che quindi la cifra 1 si presenti con maggior frequenza, poi la cifra 2 e così via, è dato dal fatto che noi contiamo a iniziare dal numero 1 in avanti sino al 9. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a 9 è chiaro che abbiamo le stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se, però, prendiamo già i numeri da 1 a 20 ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da 1 a 30 ne ho molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri che inizino con 9, ad es, devo andare molto in là con i numeri e quindi aumento anche la quantità di quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che, per molte distribuzioni, la probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1, 17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra 9)... Connessione con il numero e : Invarianza di scala[modifica modifica wikitesto] Se un fenomeno segue la legge di Benford, allora moltiplicando tutti i valori per un numero prefissato, si ottiene una nuova raccolta di valori che seguono a loro volta la legge di Benford. Esempio: se le quotazioni espresse in Lire delle azioni quotate in borsa seguono la legge di Benford, allora le stesse quotazioni espresse in Euro seguono anch'esse la legge di Benford. L'invarianza di scala richiede che Essendo richiesto che e che anche si ricava che la forma dev'essere del tipo 1/x. Effettivamente per è una distribuzione continua di probabilità che produce valori casuali le cui prime cifre rispettano la legge di Benford..... Ma noi abbiamo trovato una nuova connessione anche 13

14 con i numeri di Fibonacci. Prendiamo la tabella iniziale: prima cifra prime due cifre n P(x=n) n P(x=n) 1 30,1% 10 4,1% 2 17,6% 11 3,8% 3 12,5% 12 3,5% 4 9,7% 13 3,2% 5 7,9% 14 3,0% 6 6,7% ,8% ecc. 8 5,1% ,6% 99 0,4% Se prendiamo i numeri della seconda colonna e li scriviamo in orizzontale e solo la loro parte intera, abbiamo: , con una prima e più debole connessione con i numeri di Fibonacci: = 5 = 5 4 3; ma se scriviamo sotto le loro differenze successive, e consecutive abbiamo, in rosso, per esempio 14

15 30-17= 13, ecc: corrispondenti a numeri di Fibonacci, tranne il numero 8 tra 5 e 13 Scriviamo invece le differenze alternate, per es = 18, 17-9 = 8, ecc. avremo ora la serie di differenze Ora recuperiamo il numero 8, ma perdiamo il 13. Però lo recuperiamo, sia pure parzialmente, poiché 18 è circa la media tra 13 e 21 = 17, cosa che si verifica spesso in altri fenomeni naturali o matematici che coinvolgono i numeri di Fibonacci. I numeri di Fibonacci più piccoli sono ovviamente relativi alle cifre con minori frequenze percentuali, mentre i più grandi, 8 e 18 come circa la media tra 13 e 21, sono relativi rispettivamente alle cifre 2 e 1. 15

16 Le due tabelle seguenti rendono meglio l idea Tabella 1 Numeri interi di Benford Numeri interi di Benford slittati di un posto Tabella 2 Numeri interi di Benford Numeri interi di Benford slittati di due posti Differenze = Numeri di Fibonacci tranne l 8 Differenze = Numeri di Fibonacci tranne l = (13+21)/

17 Se ora invece prendiamo i piccoli numeri della tabella di Wikipedia (ultima colonna, parzialmente), relativi alla seconda cifra notiamo un altra piccola connessione di Fibonacci: i rapporti successivi sono mediamente lievemente superiori alla 2^3 -esima radice di 1,618 = numero aureo Tabella 3 Numeri di Benford Relativi alla seconda cifra Rapporti successivi 2^3 -esima radice di 1,618 1,0619 valore reale 4,1 4,1/3,8 = 1,078 1,0619 3,8 3,8/3,5= 1,085 1,0619 3,5 3,5/3,2= 1,093 1,0619 3,2 3,2/3,0 1,066 1,0619 La prima connessione con i numeri di Fibonacci 17

18 tramite le differenze èvidentissima (la seconda un po meno). Con tale nuova nostra connessione, la scoperta di Benford, già nota in statistica e già usata per qualche applicazione, specialmente in campo fiscale, vedi Nota 3, potrebbe essere oggetto di altre possibili applicazioni pratiche, per esempio nel campo dei bigdata in ogni campo, per estrarre, dalla loro grande massa di informazioni, solo quelle più interessanti per fare previsioni utili sull andamento dei relativi fenomeni naturali ( per es. clima, epidemie, ecc. ecc.). Per esempio, già con la serie di Fibonacci, e dei relativi e potenti algoritmi, gli hft (high frequency trading) si è già in grado di prevedere in modo attendibile l andamento azionario e di sfruttarlo per speculazioni finanziarie, acquistando o vendendo azioni al momento 18

19 opportuno, con relativi e lauti guadagni. Un nostro lavoro teorico in tal senso, già sul sito è Finanza aurea. Comunque, una maggiore conoscenza di questo argomento statistico ( legge di Benford) e, possibilmente, anche della nostra modesta correlazione con la serie di Fibonacci, potrebbe essere molto utile ai ricercatori sui bigdata, già richiestissimi e pagatissimi essendo ancora molto rari (ma già si stanno preparando appositi stage universitari), per poter spremere dai bigdata che essi studieranno in futuro, le informazioni necessarie per conoscere e prevedere meglio l andamento futuro del fenomeno studiato, sia esso naturale (per es. clima) o artificiale ( es. mercato azionario). 19

20 Nota 3 sulla applicazione della legge di Benford in campo fiscale: La recente Garzantina di matematica (Garzanti), riporta a pag la voce Cifre iniziali dei numeri (Frank Benford, 1938), con una breve nota finale, che riportiamo testualmente: La legge di Benford non costituisce solo un intrigante curiosità matematica, ma si presta anche a delle interessanti applicazioni pratiche. Per esempio, negli USA viene utilizzata per scovare gli evasori fiscali: tutte le dichiarazioni di reddito I cui importi non presentano un adeguata distribuzione delle prime cifre vengono considerate sospette e sottoposte ad un controllo più accurato: Si narra che, in un accertamento del genere, fosse incappato anche Clinton, prima di diventare presidente degli USA. Nostro commento. Ecco un esempio di buona applicazione della legge di Benford in campo fiscale, applicazione che potrebbe essere ancora migliorata, possibilmente e sperabilmente, 20

21 anche con la nostra relazione con Fibonacci. E così anche per altre possibili applicazioni statistiche in altri campi. Ben 76 anni dopo l intuizione di Benford, la sua legge statistica è stata migliorata con la nostra, che la connette chiaramente ai numeri di Fibonacci, e con nuovi e possibili risvolti applicativi. Una volta tanto, nessuno si rivolta nella tomba, poichè pensiamo che a Benford la nostra connessione sarebbe proprio piaciuta. 21