Prova scritta del 29/8/2011

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1 Prova scritta del 29/8/20 È Data la funzione: f() = + log( 2 3) Determinarne: a) dominio, limiti significativi, asintoti; b) derivata prima, crescenza, punti di massimo e di minimo; c) derivata seconda, concavità, flessi; d) grafico. 2 Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa 2 al grafico della funzione: f() = e 3 Una ditta produce contenitori a forma di parallelepipedo con base quadrata e capacità di 2 litri. Il materiale usato per il fondo e il coperchio costa 6 centesimi al decimetro quadrato ed è diverso da quello usato per le pareti laterali che costa 3 centesimi al decimetro quadrato. Trovare le dimensioni del contenitore per le quali il costo risulta minimo. 4 Usando il metodo dei coefficienti indeterminati, calcolare l area del sottografico di f() = per 2. ( 2 + ) 5 Nel sistema cartesiano (O,, y, z) considerare i due punti A(, 2, ) e B(2,, ) e la retta r di equazioni cartesiane: { + y z = 0 2y 4z + 5 = 0 a) Determinare il piano passante per r e A. b) Determinare equazioni parametriche della retta parallela a r e passante per B. c) Calcolare l area del triangolo ABO. 29/8/20

2 Funzione da studiare: f() = + log( 2 3). a. Dominio: 2 3 > 0, cioè < 3 oppure > 3. Limiti significativi. lim 3 f() = 3 + ( ) =, lim f() = 3 + ( ) = 3 + Il limite per è in forma indeterminata +log(+ ) = + : ( ) lim f() = lim + log(2 3) Da ciò, essendo si ottiene: log( 2 3) lim H = lim = 0 () lim f() = ( ) ( + 0) = lim f() = (+ ) + log(+ ) = (+ ) + (+ ) = + + Ricerca degli asintoti. Le rette = 3 e = 3 sono asintoti verticali. Per gli asintoti obliqui, usando L Hôpital come in (), si ha: ( ) f() m = lim ± = lim + log(2 3) = + 0 = ± Ciò malgrado non c è asintoto obliquo né a né a + perché: lim [f() m] = lim ± ± log(2 3) = log(+ ) = + b Derivata prima: f () = = /8/20 2

3 Crescenza: f () = > 0 equivale a > 0 (nel dominio 2 3 il denominatore è positivo), verificata per < 3 oppure >, vale a dire > 3. Pertanto: c f() è crescente per 3, decrescente per 3 < 3, crescente per > 3; = 3 è punto di massimo relativo, con f( 3) = 3 + log 6 < 0. Derivata seconda. Da f () = risulta: f () = 0 + 2(2 3) 2 2 = = 22 6 ( 2 3) 2 ( 2 3) 2 ( 2 3) 2 Essendo f () < 0 per ogni, la funzione è concava in entrambi gli intervalli < 3 e > 3. La funzione non ha flessi. d Grafico di f() = + log( 2 3) /8/20 3

4 2 f() = e Valori in 0 = 2: f(2) = 2 e2 2 Equazione della retta tangente: f () = e e = e ( ) 2 2 f (2) = e2 (2 ) 4 y = f(2) + f (2) ( 2) ) y = 2 ( e2 2 + e2 ( 2) 4 3 Unità di misura: dm, Euro cent. Detta la misura del lato di base, abbiamo: altezza della scatola: h() = 2 2 superficie laterale: s () = 4 h() = 48 fondo e coperchio: s 2 () = 2 2. Il costo complessivo della scatola è dato da: y() = 6 s 2 () + 3 s () = = = = Si studia l andamento di y() per > 0: y () = = = e2 4 La condizione y () > 0 vale per > 0, cioè per 3 > equivale a > 3 6. Il costo minimo si verifica quando il lato di base misura = 3 6. La corrispondente altezza misura: h( 3 6) = = 6, che 29/8/20 4

5 4 L area richiesta vale: 2 ( 2 + ) d Calcoliamo l integrale indefinito: I = ( 2 + ) d ( 2 + ) = a + b + c 2 + = a( 2 + ) + (b + c) = a 2 + a + b 2 + c = (a + b) 2 + c + a Uguagliando i coefficienti dei termini con lo stesso grado si ha il sistema: Pertanto: I = = a + b = 0 c = a = { a = b = a = c = d = d d d = = log + 2 log(2 + ) + arctg + k In conclusione, l area cercata vale: [ log + ] 2 2 log(2 + ) + arctg = = log 2 + ( 2 log 5 + arctg 2 log + ) 2 log 2 + arctg = = log log 5 + arctg 2 2 log 2 π 4 = = 2 log log 2 + arctg 2 π 4 (Un valore approssimato è ) 29/8/20 5

6 5 Dati: A(, 2, ), B(2,, ), r... { + y z = 0 2y 4z + 5 = 0 a Consideriamo il fascio di asse r e sostituiamo le coordinate di A: λ( + y z ) + µ( 2y 4z + 5) = 0 λ( + 2 ) + µ( ) = 0 λ 2µ = 0 Quindi λ = 2µ e ponendo λ = 2, µ = abbiamo il piano richiesto: 2( + y z ) + ( 2y 4z + 5) = 0 L equazione è 3 6z + 3 = 0, che si può anche scrivere 2z + = 0. b La direzione della retta richiesta è quella del prodotto vettoriale: i j k v = (,, ) (, 2, 4) = 2 4 = = i( 4 2) j( 4 + ) + k( 2 ) = ( 6, 3, 3) Equazioni parametriche della retta (equazione vettoriale P = B + tv): { = 2 6t y = + 3t z = 3t o anche { = 2 2t y = + t z = t c Determiniamo il vettore w = (A O) (B O): i j k w = 2 = i( 2 ) j( 2) + k( 4) = ( 3, 3, 3) 2 L area richiesta è la metà del modulo di w, vale a dire: 2 w = ( 3) ( 3) 2 = 3 27 = /8/20 6