ANALISI MATEMATICA 1 Commissione L. Caravenna, V. Casarino, S. Zoccante Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza

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1 ANALISI MATEMATICA Commissioe L. Caravea, V. Casario, S. occate Igegeria Gestioale, Meccaica e Meccatroica, Viceza Nome, Cogome, umero di matricola: Viceza, 6 Settembre 25 TEMA - parte B Esercizio ( puti). Si cosideri la fuzioe f(x) =x log(x)+x x 2 +. a) Determiare il domiio, i iti agli estremi del domìio ed evetuali asitoti di f. b) Studiare la cotiuità e la derivabilità di f i ogi puto del domiio. c) Determiare gli itervalli di mootoìa ed evetuali massimi e miimi locali o globali di f. d) Dimostrare, i particolare, che f preseta u uico zero x el suo domiio e dare ua stima per x (determiare, cioè, due iteri m e tali che m apple x apple ). e) Disegare u grafico qualitativo di f. Esercizio 2 (8 puti). Si cosideri la successioe (a ), dove ) Determiare al variare di 2 R l ordie di ifiitesimo di a per!. 2) Discutere al variare di 2 R la covergeza della serie X e ( 2 ) 2N Esercizio 3 (8 puti). Siao e! parametri reali fissati. ) Calcolare l itegrale idefiito e x (!x) dx. 2) Discutere la covergeza ed evetualmete calcolare l itegrale geeralizzato e 2x (x) dx. Esercizio 4 (6 puti). Data la fuzioe G(x, y) = x + sih( y ), ) stabilire e disegare el piao il domìio i cui essa è derivabile co derivate cotiue, giustificado adeguatamete la risposta; 2) scrivere l equazioe del piao tagete al grafico della fuzioe G i O =(,, ). Tempo cocesso: due ore. Viee corretto solo ciò che è scritto sul foglio itestato. È vietato teere libri,apputi,telefoi ecalcolatricidiqualsiasitipo. successivo. Chièsorpresoaparlareocopiareverràallotaatodall aulaeopotràsosteerel appello

2 ANALISI MATEMATICA Commissioe L. Caravea, V. Casario, S. occate Igegeria Gestioale, Meccaica e Meccatroica, Viceza Viceza, 6 Settembre 25 TEMA - parte B Esercizio ( puti). Si cosideri la fuzioe f(x) =x log(x)+x x 2 +. a) Determiare il domiio, i iti agli estremi del domìio ed evetuali asitoti di f. b) Studiare la cotiuità e la derivabilità di f i ogi puto del domiio. c) Determiare gli itervalli di mootoìa ed evetuali massimi e miimi locali o globali di f. d) Dimostrare, i particolare, che f preseta u uico zero x el suo domiio e dare ua stima per x (determiare, cioè, due iteri m e tali che m apple x apple ). e) Disegare u grafico qualitativo di f. Traccia di Soluzioe. a) La fuzioe f(x) somma e prodotto di poliomi e di log(x). Il domiio di f è quidi determiato dal domiio della fuzioe log(x): domf = {x 2 R : x>}. I iti agli estremi del domiio valgoo f(x) = e f(x) = x! + x!+ x!+ x2 x log x x x 2 =. No esistoo asitoti orizzotali, verticali o obliqui. b) f è cotiua e derivabile i ogi puto del suo domiio, come somma e prodotto di fuzioi cotiue e derivabili. c) Calcoliamo la derivata di f. Otteiamo f (x) = log x +2 2x. Dal cofroto fra i grafici di log x e di 2(x ) segue che log x apple 2(x ) per ogi x> e per x 2 (, ), per u certo 2 (, ). Ne deduciamo che f è decrescete per x 2 (, ) eperx>, crescete i (, ). Quidi f ha u miimo locale i x = e u massimo locale i x = (dove vale ). Quidi f o ha miimo globale e ha massimo globale i x =. d) f è strettamete decrescete per x>, i vale e per x! + tede a. Quidi,peril teorema di esisteza degli zeri, f ha esattamete uo zero sull itervallo (, +). Dobbiamo ora dimostrare che o esistoo altri zeri, quidi, i particolare, che f>i(, ). Èsu ciete dimostrare che f( ) >. Ricordiamo che è caratterizzato dalla proprietà log = 2( ). Allora f( ) = log( )+ 2 + = 2 ( ) = > per ogi valore di i (, ). Quidi f è strettamete positiva sull itervallo (, ) e ha esattamete uo zero sull itervallo (, +). Per dare ua stima dell uico zero x, calcoliamo, per esempio, f(6) = 6 log(6) = 6 log 6 9 <, dal mometo che log 6 < 3 < 9 6 (siccome 6 < 8=23 <e 3 ). Possiamo a ermare, per esempio, che x 2 (3, 6) siccome calcolado ioltre f(3) otteiamo f(3) = 3 log(3) + 5 > 3+5=8.

3 ,8,4,4,8,2,6 2 2,4 2,8 -,4 -,8 -,2 -,6-2 (a) I grafici y = log(x) ey = 2(x ) 7,5 5 2,5 2,5 5 7,5 (b) Il grafico di y = x log(x)+x x 2 +

4 Esercizio 2 (8 puti). Si cosideri la successioe (a ), dove ) Determiare al variare di 2 R l ordie di ifiitesimo di a per!. 2) Discutere al variare di 2 R la covergeza della serie X e ( 2 ) 2N Traccia di Soluzioe. ) Per!,sihache 2! e /!. Utilizzado gli sviluppi di Taylor, otteiamo =+ 2 + o o 2 = o 2. Poiché = per ogi valore di i R, possiamo cocludere che l ordie di ifiitesimo di a per!è 2 per ogi 2 R. 2) Per discutere la covergeza della serie X e ( 2 ) 2N usiamo il criterio del cofroto asitotico per serie a termii positivi. Poiché dal puto precedete a per! + e P 2N coverge, la serie data coverge per ogi valore di i R. 2 Esercizio 3 (8 puti). Siao e! parametri reali fissati. ) Calcolare l itegrale idefiito e x (!x) dx. 2) Discutere la covergeza ed evetualmete calcolare l itegrale geeralizzato e 2x (x) dx. Traccia di Soluzioe. ) Osserviamo iazi tutto che se =! = l itegrado è ideticamete uguale a, e quidi l itegrale idefiito è x + C. Se =e! 6=, ioltre e x (!x) dx = (!x) dx = si(!x) + C.! Possiamo quidi assumere, da questo mometo i poi, che sia diverso da zero. Itegriamo per parti ua prima volta, poedo, per esempio, f (x) =e x e g(x) = (!x). Allora e x (!x) dx = e x (!x)+! e x si(!x) dx. Itegriamo per parti l itegrale a destra, poedo ora f (x) =e x e g(x) =si(!x). Allora e x si(!x) dx = e x si(!x)! e x (!x) dx. Risulta quidi e x (!x) dx = e x (!x)+! e x si(!x)! e x (!x) dx,

5 da cui +!2 2 e x (!x) dx = e x (!x)+! 2 e x si(!x), cioè acora e x (!x) dx = e x 2 +! 2 (!x)+! si(!x). 2) Si può usare il teorema del cofroto co e 2x (x) apple e 2x. Possiamo ifatti vedere che l itegrale assegato è covergete (ache assolutamete) perché e 2x (x) dx apple e 2x (x) dx apple e 2x dx = 2. Per calcolare il valore dell itegrare, o come alterativa per dire che coverge, valutiamo il ite Risulta dal puto ) che R R!+ = R!+ R R!+ e 2x (x) dx = dal mometo che per R! + si ha R!+ 2 e 2R 4+ 2 (R) e 2R (R) perché prodotto di ua fuzioe itata ( (R) Esercizio 4 (6 puti). Data la fuzioe e 2x (x) dx. 2 e 2x 4+ 2 (x) 2 si(x) R 2 si(r) = , 2 si(r)! G(x, y) = x + sih( y ), 2 si(r)) per ua ifiitesima ( e 2R ). ) stabilire e disegare el piao il domìio i cui essa è derivabile co derivate cotiue, giustificado adeguatamete la risposta; 2) scrivere l equazioe del piao tagete al grafico della fuzioe G i O =(,, ). Traccia di Soluzioe. ) La fuzioe è defiita ell isieme dom G = D = {(x, y) 2 R 2 :sih y 6= } = {(x, y) 2 R 2 : y 6= }. Sul semipiao superiore D + = {(x, y) 2 R 2 : y>} si ha G(x, y) = x+ sih(y), che è derivabile co derivate cotiue, i quato quoziete di fuzioi derivabili co derivate cotiue, co deomiatore diverso da zero. Aalogamete, sul semipiao iferiore D = {(x, y) 2 R 2 : y<} si ha G(x, y) = x+ sih( y), che è derivabile co derivate cotiue, i quato quoziete di fuzioi derivabili co derivate cotiue, co deomiatore diverso da zero. Possiamo quidi cocludere che G è derivabile co derivate cotiue su tutto il suo domiio D. 2) Osserviamo che i u itoro di (, ) possiamo scrivere sih( y ) = sih(y). Risulta ioltre da cui, i = (, ) = sih() = L equazioe del piao tagete al grafico di G i O è allora z = (x + ). sih() (x + ) h(y) (sih(y)) 2, e (, )