Ambiente di riferimento

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1 Ambiente di riferimento Cosideriamo un mercato finanziario di una sola azione (investimento a rischio), un titolo obbligazionario (investimento senza rischio) e un contingent claim. La dinamica dei prezzi del prezzo dell azione è regolata da un moto browniano geometrico ds(t) = αs(t)dt + S(t)dB(t) mentre la dinamica dei tassi di interesse segue l equazione differenziale non stocastica dr(t) = rr(t)dt Per semplicità si pone R(0) = 1. La costante r è, ad esempio, il tasso di interesse relativo ai titoli di stato su base annuale.

2 Ambiente di riferimento La soluzione della dinamica del titolo obbligazionario è R(t) = exp(rt), ottenuta come segue dr(t) = rr(t)dt dr(t) dt passando al limite per dt 0 = rr(t) R (t) R(t) = r d log R(t) = r dt log R(t) log R(0) = t 0 dr(t) dt R(t) = r rdu = rt R(t) R(0) = ert da cui, ricordando che R(0) = 1 segue il risultato.

3 Ambiente di riferimento Si può ovviamente ricavare il tasso di sconto r a basta risolvere l equazione (1 + r a ) t = exp(rt). Infatti, (1 + r a ) t = exp(rt) log(1 + r a ) t = rt t log(1 + r a ) = rt 1 + r a = e r r a = e r 1 Rimane da determinare la dinamica del prezzo del contingent claim, e.g. P(t) ed è questa la parte più interessante! Da qui in avanti si riterrà implicitamente (senza ripeterlo ogni volta) che tutti i processi implicati sono adattati alla filtrazione del moto browniano, ovvero sono tutti non-anticipativi e dipendenti dal moto browniano.

4 Portaglio Modello di Back & Scholes Nel mercato di B& S, un investitore può costruire un portafoglio distribuendo tra azioni, obbligazioni e claim il suo investimento iniziale in numero (variabile eventualmente nel tempo) rispettivamente pari a a(t), b(t) e c(t). Chiameremo strategia di portafoglio la terna (a, b, c). Il valore del portafoglio al tempo t sarà quindi V (t) = a(t)s(t) + b(t)r(t) + c(t)p(t) Anche (a, b, c) possono essere processi stocastici, e in generale lo saranno, con la proprietà di adattabilità. Quindi anche V (t) è un processo adattato, il che vuol dire che un investitore non può avere più informazioni di quelle che il mercato stesso rivela.

5 Portaglii self-financing Ci occuperemo in particolare di portafogli auto-finanzianti (self-financing), ovvero quelli in cui l investitore, dato un investimento iniziale, non aggiunge o toglie valore dal portafoglio (ovvero non fa spese con i ricavi derivanti dal portafoglio, ne aggiunge capitale al protafoglio). Questo implica che, dato un investimento iniziale, il valore del portafoglio può aumentare o diminuire solo a seguito di variazioni di prezzo di azioni, obbligazioni e claim. Inoltre, se l investitore vuole aumentare la quota di azioni, deve necessariamente dimunire la quota di obbligazioni e/o claim. Un strategia di portafoglio (a, b, c) è detta self-financing se dv (t) = a(t)ds(t) + b(t)dr(t) + c(t)dp(t)

6 Portaglii self-financing Ricordiamo che la scrittura dv (t) = a(t)ds(t) + b(t)dr(t) + c(t)dp(t) deve intendersi come forma differenziale di V (t) = V (0) + t 0 a(u)ds(u) + t 0 b(u)dr(u) + dove però non è ancora chiaro cosa sia l ultimo integrale stocastico, ovvero ancora non sappiamo se P(t) sia un processo per il quale è applicabile la formula di Itô t 0 c(u)dp(u)

7 Nozione di arbitraggio L arbitraggio ricordiamo è la possibilità di ottenere un guadagno. senza assumersi richio, partendo da capitale nullo. Vedremo in dettaglio più avanti perché questa ipotesi risulta naturale anche in B & S ma per ora diamone una definizione tecnica: Una strategia di portafoglio self-financing è chiamata opportunità di arbitraggio se V (0) 0, V (T ) 0, EV (T ) > 0

8 Portafoglio di copertura e completezza dle mercato Cercheremo ora di determinare un portafoglio di copertura (heding or replicating portfolio) costituito da sole azioni e obbligazioni in grado di coprire un contingent claim. Indicheremo con H(t) un tale portafoglio e la strategia verrà indicata con (a H, b H ). Dunque sarà H(t) = a H (t)s(t) + b H (t)r(t) affinché H sia un portafoglio di copertura dovrà essere H(T ) = X, dove X, ricordiamo, è il payoff del contingent claim al tempo di esercizio.

9 Ancora sulle ipotesi di B & S Quando tutti i contingent claim possono essere coperti, il mercato si dice completo. Si può dimostrare che esistono strategie (a, b) auto-finanzianti che possono produrre un guadagno arbitrario a partire da investimenti nulli. Queste strategie vengono chiamate doubling strategies e vengono escluse dal modello di B & S imponendo l ipotesi tecnica che esista una costante K tale per cui V (t) K, per ogni t [0, T ]. In definitiva: si assumerà che non vi siano opportunità di arbitraggio nel mercato e che ogni claim sia replicabile: quindi mercati completi e arbitrage-free.

10 Prezzatura e copertura di un contingent claim Ricordiamo che il payoff al tempo di esercizio di un contingent claim per un titolo S sottostante è stato indicato con X = f (S(T )). Per poter applicare la formula Itô richiederemo la condizione di integrabilità e quindi Ef (S(T )) 2 <. Il claim con payoff X = f (S(T )) al tempo di esercizio T, avrà un prezzo P(t) al tempo t T che è funzione del prezzo del titolo sottostante e del tempo. Indichiamo con C(t, x) la funzione che regola il prezzo di P, quindi P(t) = C(t, S(t)). Il prezzo iniziale del claim è P(0) = C(0, S(0)). Black e Scholes (e Merton) hanno mostrato come sia possibile ottenere C dalla soluzione di una equazione differenziale alle derivate parziali.

11 Derivazione dell equazione di Black & Scholes Supponendo valide le condizioni di regolarità per C, possiamo sviluppare C(t, S(t)) applicando la formula di Itô dp(t) =C t (t, S(t))dt + C x (t, S(t))dS(t) C xx(t, S(t))(dS(t)) 2 =C t (t, S(t))dt + C x (t, S(t)) (αs(t)dt + σs(t)db(t)) C xx(t, S(t)) (αs(t)dt + σs(t)db(t)) 2 =C t (t, S(t))dt + C x (t, S(t))αS(t)dt + σc x (t, S(t))S(t)dB(t) C xx(t, S(t))α 2 S 2 (t)(dt) C xx(t, S(t))S 2 (t)σ 2 (db(t)) 2 + C xx (t, S(t))ασS 2 (t)dtdb(t) eliminando i temini di ordine (dt) 2 e raggruppando i termini si ha

12 Derivazione dell equazione di Black & Scholes { dp(t) = C t (t, S(t)) + αc x (t, S(t))S(t) + 1 } 2 σ2 C xx (t, S(t))S 2 (t) dt + σc x (t, S(t))S(t)dB(t)

13 Derivazione dell equazione di Black & Scholes Poiché il mercato è completo, esiste una strategia (a H, b H ) tale per cui H(T ) = X. L ipotesi di non arbitraggio implica inoltre che H(t) = P(t) per ogni t T. Allora deve valere la seguente eguaglianza dp(t) =dh(t) = a H (t)ds(t) + b H (t)dr(t) =a H (t)(αs(t)dt + σs(t)db(t)) + b H (t)rr(t)dt) =(αa H (t)s(t) + rb H (t)r(t))dt + σa H (t)s(t)db(t)

14 Derivazione dell equazione di Black & Scholes Confrontando con dp(t) = (αa H (t)s(t) + rb H (t)r(t))dt + σa H (t)s(t)db(t) dp(t) = { C t (t, S(t)) + αc x (t, S(t))S(t) + 1 } 2 σ2 C xx (t, S(t))S 2 (t) dt + σc x (t, S(t))S(t)dB(t) otteniamo che a H (t) = C x (t, S(t))

15 Derivazione dell equazione di Black & Scholes Inoltre, essendo C(t, S(t)) = P(t) = H(t) = a H S(t) + b H (t)r(t) si ottiene b H in funzione di a H come segue ( ) b H (t) = R(t) 1 C(t, S(t)) a H S(t)) Sostituendo in dp(t) le funzioni a H (t) e b H (t) appena trovati si ricava ( ) dp(t) =αc x (t, S(t))S(t)dt + rr(t) 1 C(t, S(t)) a H S(t) R(t)dt + σc x (t, S(t))S(t)dB(t) = (αc x (t, S(t))S(t) rc x (t, S(t))S(t) + rc(t, S(t))) dt + σc x (t, S(t))S(t)dB(t)

16 Derivazione dell equazione di Black & Scholes Infine, eguagliando i termini in dt di e dp(t) = (αc x (t, S(t))S(t) rc x (t, S(t))S(t) + rc(t, S(t))) dt dp(t) = + σc x (t, S(t))S(t)dB(t) { C t (t, S(t)) + αc x (t, S(t))S(t) + 1 } 2 σ2 C xx (t, S(t))S 2 (t) dt + σc x (t, S(t))S(t)dB(t)

17 Derivazione dell equazione di Black & Scholes ovvero ponendo αc x (t, S(t))S(t) rc x (t, S(t))S(t) + rc(t, S(t)) = si ottiene C t (t, S(t)) + αc x (t, S(t))S(t) σ2 C xx (t, S(t))S 2 (t) rc(t, S(t)) = C t (t, S(t))+rS(t)C x (t, S(t))+ 1 2 σ2 S 2 (t)c xx (t, S(t)) ovvero C(t, x) deve soddisfare la seguente equazione differenziale alle derivate parziali rc(t, x) = C t (t, x) + rxc x (t, x) σ2 x 2 C xx (t, x)

18 Derivazione dell equazione di Black & Scholes Per determinare C(t, x) si deve risolvere rc(t, x) = C t (t, x) + rxc x (t, x) σ2 x 2 C xx (t, x) per ogni x 0 e notando che in realtà la funzione che cerchiamo è funzione della sola x, infatti poiché C(T, S(T )) = f (S(T )), questo equivale a scrivere C(T, x) = f (x). L equazione è chiamata di Black & Scholes e, nota la sua soluzione siamo in grado di determinare il payoff del contingent claim poiché X = f (S(T )) = C(T, S(T )) e anche il prezzo del claim stesso, infatti P(t) = C(t, S(t)) e P(t) è un prezzo che non ammette arbitraggio per le ipotesi fatte.

19 Ancora sull arbitraggio Prima di determinare la soluzione dell equazione di B & S, torniamo sulla questione dell arbitraggio ed in particolare sul perché P(t) H(t) implicherebbe opportunità di arbitraggio. Supponiamo che il mercato venda il claim ad un prezzo inferiore al prezzo H(0), ovvero P(0) < H(0), in modo tale però che P(t) sia un processo adattato. Visto che il claim costa meno del dovuto, comperiamone una unità e inseriamolo nel portafoglio e teniamolo invariato sino a scadenza, ovvero poniamo c(t) = 1, t [0, T ].

20 Ancora sull arbitraggio Vendiamo ora un portafoglio di copertura al prezzo H(0) e con la differenza H(0) P(0) > 0 acquistiamo obbligazioni, quindi la nostra strategia è la terna ( a H (t), b H (t) + H(0) P(0), 1). Il portafoglio relativo a questa strategia ha valore iniziale nullo V (0) = 0, mentre al tempo di esercizio abbiamo V (T ) = H(T ) + (H(0) P(0))R(T ) + P(T ) = X + (H(0) P(0))R(T ) + X = (H(0) P(0))R(T ) > 0 Dobbiamo solo verificare che questa strategia sia autofinanziante

21 Ancora sull arbitraggio Autofinanziante vuol dire che dv (t) = a(t)ds(t) + b(t)dr(t) + c(t)dp(t) Nel nostro caso V (t) = H(t) + (H(0) P(0))R(t) + P(t) ovvero dv (t) = dh(t) + (H(0) P(0))dR(t) + d P(t) = a H (t)ds(t) + ( b H (t) + H(0) P(0))dR(t) + d P(t) Quindi abbiamo realizzato arbitraggio.

22 Delta hedging Ricordando che P(t) = C(t, S(t)), la quantità si potrebbe riscrivere come a H (t) = C(t, S(t)) x a H (t) = S(t) P(t) che si interpreta come sensitività del prezzo del derivato rispetto al prezzo dell asset sottostante. Questa sensitività viene indicata con la lettera δ dell alfabeto greco. Si parla quindi di δ-hedging.

23 Ancora sulla completezza dei mercati Nota: a H (t) dovrebbe variare con continuità, cioè dovrebbe essere possibile dosare continuamente la quantità di azioni del portafoglio. In un mercato ideale, senza costi di transazione, questo sarebbe possibile, ma nella pratica questa modalità di copertura avrebbe un costo infinito! Questa è una prima dimostrazione indiretta del fatto che i mercati sono in realtà incompleti.