MISURE CON IL MANOMETRO E DETERMINAZIONE DI DENSITA RELATIVE

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1 MISURE CON IL MANOMETRO E DETERMINAZIONE DI DENSITA RELATIVE Materiali -Manometro: tubo a U fissato verticalmente ad un sostegno, con un braccio libero e l altro collegato ad un tubo flessibile di plastica trasparente con un imbutino all estremità. -Vaschetta d acqua o bicchiere da 500 o 220 cc -Carta millimetrata -Nastro adesivo da lucido -Liquidi diversi (detersivo per piatti, miele) Principio della misura Il tubo a U può essere visto come il caso più semplice di vasi (i due bracci del tubo) comunicanti, in cui il liquido si dispone allo stesso livello. La pressione esercitata sul liquido dei due bracci è quella atmosferica. Quando si aumenta la pressione dell aria contenuta in un braccio (quello con il tubo flessibile) e quindi anche quella sul liquido che gli è a contatto, dato che tale aumento si propaga inalterato (Principio di Pascal), si ha che la differenza di pressione creatasi nei due bracci determina lo spostamento del liquido verso l altro braccio. All equilibrio la pressione esercitata sul liquido a contatto con l aria contenuta nel braccio col tubo flessibile è pari a quella sulla superficie di liquido alla stessa altezza nel braccio libero (Legge di Stevino), e dunque la misura del dislivello tra i due bracci è una misura della differenza tra la pressione atmosferica e quella dell aria flessibile. Se quest ultimo si trova immerso in un liquido, tale pressione corrisponde a quella esercitata dal liquido. Descrizione della misura (procedura) Si mette acqua a U del manometro fin poco sopra la curva (se si vuole colorare, si può farlo o con dello zafferano, per cui si ha un colore persistente e intenso, molto visibile, o con dei coloranti per alimenti) e si segna il livello dell acqua (corrispondente alla pressione atmosferica) su una striscia di nastro da lucido attaccato sul tubo di uno dei due bracci: se è quello libero, si misurerà poi la risalita del liquido, se è quello con il tubo flessibile, la. Si immerge l imbuto del manometro in un recipiente (vaschetta o bicchiere da 500 cc o bicchiere da 220 cc) con acqua, a diverse quote (misurate sulla carta millimetrata attaccata al fianco del bicchiere con il nastro adesivo da lucido); ad ogni quota si segna il corrispondente livello dell acqua a U prescelto. Si può quindi registrare la variazione di altezza a U al variare della profondità del liquido nel recipiente. Si ripete con altri liquidi: miele, detersivo per piatti Osservazioni Il livello dell acqua nel braccio libero si alza man mano che affonda l imbuto, mentre nell altro scende. La variazione di altezza a U è sempre uguale se si scende nel liquido di uguali quote; l entità di tale variazione dipende dal tipo di liquido. Misura Dapprima in aria e quindi dopo aver immerso, arrestandosi ad intervalli di 1 di profondità, il braccio flessibile del manometro in un liquido, si segna il livello della superficie dell acqua dentro il tubo a U sul nastro da lucido attaccato su di esso. A conclusione della si stacca il nastro e si

2 attacca su carta millimetrata, avendo cura di far coincidere la tacca dello 0 con una riga sulla carta: in questo modo si leggono sulla carta millimetrata le distanze tra ciascuna tacca e quella dello zero, ovvero i dislivelli che misurano le pressioni secondo la legge di Stevino, P(h) = P 0 + dgh, ove P(h) è la pressione a quota h rispetto alla superficie libera del liquido, P 0 la pressione atmosferica, d la densità del liquido g l accelerazione di gravità. La misura è di P(h) P 0. Si possono mettere i dati di dislivello in funzione della profondità di immersione in un grafico, ottenendone una retta che indica la dipendenza lineare tra profondità e pressione nel liquido. Poiché lo strumento non è tarato, quel che si misura è Kdgh, con K costante che dipende dall apparato. Dopo aver notato la stessa dipendenza lineare anche in liquidi diversi si può osservare come ciascun liquido determini una retta di pendenza diversa, che individua la natura del liquido. Rapportando le misure in un liquido e quelle in acqua a parità di altezza, oppure le pendenze delle rette rispettive, si ottiene una stima della densità del liquido in questione rispetto all acqua. Elaborazione dati E possibile esprimere valutazioni utilizzando o meno i grafici, a seconda del livello scolare, in particolare se si lavora nella primaria o nella secondaria di primo grado (o biennio). L errore da associare ai dati è pari a quello di lettura, per cui si usa la carta millimetrata: ciò permette di stimare lunghezze con un errore, Δl, pari a 0,5 mm. Le misure con il detersivo sono state ripetute per controllo sull affidabilità della procedura, e non verranno utilizzate nel seguito. Dati Acqua miele detersivo profondità () ± 0,05 man (mm) ± 0,5 mm 0,5/disces a =err.rel. Profondità () ± 0,05 man (mm) ± 0,5 mm 0,5/disce sa =err.rel. profondità () ± 0,05 man (mm) 0,5/disces ± 0,5 mm a =err.rel. 2 man (mm) ± 0,5 mm 0,5/disce sa =err.rel. 0,00 0,0 0,00 0,0 0,00 0,0 0,0 1,00 5,0 0,10 1,00 7,5 0,067 1,00 5,5 0,091 4,0 0,13 2,00 9,5 0,053 2,00 15,0 0,033 2,00 9,5 0,053 10,0 0,050 3,00 14,0 0,036 3,00 22,5 0,022 3,00 14,0 0,036 14,0 0,036 4,00 18,5 0,027 4,00 30,0 0,017 4,00 18,5 0,027 19,0 0,026 5,00 22,5 0,022 5,00 36,0 0,014 5,00 24,0 0,021 25,0 0,020 6,00 27,5 0,018 6,00 28,5 0,018 29,5 0,017 7,00 32,0 0,016 7,00 33,5 0,015 34,5 0,014 Un analisi che non fa uso dei grafici ricava la proporzionalità di profondità e dagli incrementi costanti di pressione (misurata dalla manometrico) per incrementi costanti di profondità nel liquido, così da ricavare che al raddoppiare, triplicare, ecc della profondità raddoppia, triplica ecc. anche la del liquido manometrico. Tali incrementi variano al variare del liquido: poiché corrispondono ad aumenti di profondità pari a 1 sono numericamente uguali alla del liquido manometrico per di quota, ovvero a Kdg. Il rapporto tra Kdg per un liquido (miele, detersivo) e quello per l acqua fornisce il rapporto delle densità, ossia la densità relativa del liquido in questione.

3 della colonna d'acqua (mm) Acqua miele detersivo profondità () ± 0,05 man (mm) ± 0,5 mm ΔD = Discesa (p i ) - Discesa (p i-1 ) (mm) ± nel tubo man (mm) ± 0,5 mm ΔD = Discesa (p i ) - Discesa (p i-1 ) (mm) ± nel tubo man (mm) ± 0,5 mm ΔD = Discesa (p i ) - Discesa (p i-1 ) (mm) ± 2 nel tubo man (mm) ± 0,5 mm ΔD = Discesa (p i )- Discesa (p i- 1) (mm) ± 0,00 0,0 0,0 0,0 0,0 1,00 5,0 5,0 7,5 7,5 5,5 5,5 4,0 4,0 2,00 9,5 4,5 15,0 7,5 9,5 4,0 10,0 6,0 3,00 14,0 4,5 22,5 7,5 14,0 4,5 14,0 4,0 4,00 18,5 4,5 30,0 7,5 18,5 4,5 19,0 5,0 5,00 22,5 4,0 36,0 6,0 24,0 5,5 25,0 6,0 6,00 27,5 5,0 28,5 4,5 29,5 4,5 7,00 32,0 4,5 33,5 5,0 34,5 5,0 8,00 36,0 4,0 9,00 40,5 4,5 media Kdg (mm /) 4,5 7,2 4,8 4,9 semispersi one massima 0,50 0,8 0,5 1,0 Si ha quindi: d(miele)/ d (acqua) = 7,2/4,5= 1,6; ε= 1,6(0,5/4,5+0,8/7,2)=0,4 d (detersivo)/ d (acqua) = 4,8/4,5= 1,1; ε= 1,1(0,5/4,5+0,5/4,8)=0,2 Dunque, densità relativa miele = 1,6 ± 0,4; densità relativa detersivo = 1,1 ± 0,2 Se invece si decide di utilizzare i grafici, Kdg sarà dato dalla pendenza di ciascuno dei grafici ottenuto per interpolazione lineare dai dati y = 7,2857x + 0,2857 R 2 = 0,9988 Stevino y = 4,7321x + 0,125 R 2 = 0,999 y = 4,9881x - 0,4583 R 2 = 0,9986 y = 4,4758x + 0,4091 R 2 = 0, profondità () pressione nel miele acqua detersivo detersivo 1 Lineare (pressione nel miele) Lineare (detersivo) Lineare (acqua) Lineare (detersivo 1) Per quanto riguarda l acqua, si ha: (4,48±0,06) mm/; Per quanto riguarda il miele, si ha: (7,29±0,12) mm/;

4 Per quanto riguarda il detersivo, si ha: (4,73±0,08) mm/; Si ha quindi: d(miele)/ d (acqua) = 7,29/4,48= 1,63; ε= 1,63(0,06/4,48+0,12/7,29)=0,05 D (detersivo)/ d (acqua) = 4,73/4,48= 1,06; ε= 1,06(0,06/4,48+0,08/4,73)=0,03 Dunque, densità relativa miele = 1,63 ± 0,05; densità relativa detersivo = 1,06 ± 0,03. Conclusioni La misura della pressione relativa permette di valutare la differenza di pressione al variare della profondità: ad uguali variazioni di profondità nel liquido corrispondono uguali variazioni di altezza a U, cioè di pressione; la pressione ad una data profondità non dipende dall orientazione, ma cambia nei diversi liquidi: l ampiezza delle variazioni di altezza a U (e quindi la differenza di pressione) è maggiore nei liquidi più densi. Questa caratteristica consente di valutare la densità relativa tra un liquido e l acqua, scelto come liquido di riferimento. Metodo alternativo di valutazione della densità relativa Una misura analoga si può fare anche basando la misura sul principio di Archimede. ARCHIMEDE: PESO IN ARIA E IN ACQUA E DENSITA RELATIVE Materiali -Dinamometro (molla entro un tubo cilindrico trasparente) con sostegno a cui sospenderlo. -Recipiente cilindrico da sospendere al dinamometro -Sferette tipo cuscinetti a sfera -Foglio di carta millimetrata -Nastro da lucido e matite o penne di colore diverso -Bicchiere di plastica trasparente da 500 cc -Bicchiere di plastica trasparente da 220 cc circa (alternativo) -Caraffa con acqua -Liquido diverso dall acqua: miele -Bilancia Principio della misura Il principio di Archimede descrive l effetto da parte di un fluido su di un corpo in esso immerso: un corpo immerso in un fluido riceve una spinta (la spinta di Archimede) verso l alto pari al peso del volume di fluido spostato. Poiché nella spinta di Archimede entra in gioco il fluido in cui si ha l immersione, un esperienza che riguardi il principio di Archimede può essere utilizzata per caratterizzare il fluido stesso. Su un corpo sospeso a un dinamometro, che è costituito da una molla, soggetta alla trazione determinata dal corpo e tarata per misurare forze (e dunque pure il peso), agiscono la forza peso, diretta verso il basso, la forza esercitata dalla molla e la spinta di Archimede, dirette verso l alto. In aria tale spinta è usualmente trascurata, e dunque l allungamento prodotto nella molla è attribuito al peso dell oggetto e ne fornisce una misura, ma in un liquido essa determina una diminuzione apparente del peso, misurato dall allungamento della molla, che risulta inferiore al caso precedente. Per il corpo immerso all equilibrio si ha dunque: P + F molla + S A = 0, ove P = peso del corpo (in aria), F molla = forza esercitata dalla molla sul corpo ad essa sospeso, S A = Spinta di Archimede, dunque, P = F molla + S A e quindi P = kδl + S A, con Δl = allungamento della molla e k = costante elastica della molla.

5 In aria si ha P = kδl e dunque kδl - kδl = S A da cui Δl - Δl = S A /k. Se si effettuano misure in aria e in un altro liquido si ha (Δl - Δl) liquido /(Δl - Δl) acqua = S A(liquido) / S A(acqua) = d liquido gv/d acqua gv = d liquido /d acqua, (ove d = densità, g = accelerazione di gravità e V = volume di liquido spostato), ovvero la densità relativa all acqua del liquido in questione (nel caso specifico, miele). Descrizione della misura (procedura) Dopo aver sospeso verticalmente il dinamometro per mezzo del suo gancio esterno, un cilindro cavo viene sospeso ad esso (appendendolo al gancio che esce dal fondo del tubo ed è collegato alla molla al suo interno) prima in aria e poi immerso completamente in acqua. Si registrano i livelli raggiunti dalla molla del dinamometro (segnando il livello dell indice collegato alla molla su nastro da lucido attaccato al corpo del tubo) prima e dopo l immersione, con due colori diversi. Si ripete con un numero crescente di sferette di massa nota collocate nel cilindro. Si valutano gli allungamenti subiti dalla molla accostando, ad esempio, della carta millimetrata al nastro e riportando su di essa le misure o attaccando il nastro sulla carta stessa. Si ripete immergendo in miele. Osservazioni La molla si allunga quando ad essa è sospeso il cilindro. All aumentare del numero di oggetti uguali sospesi si nota (con una procedura analoga a quella usata col manometro) che la molla si allunga in modo direttamente proporzionale al peso di ciò che gli viene sospeso. L allungamento della molla in aria è maggiore di quello della molla quando l oggetto sospeso è immerso in acqua. La differenza tra peso in aria e in acqua dell oggetto sospeso non cambia al variare del peso in aria dell oggetto (registrato dalla lunghezza della molla), mentre varia al variare del volume della parte di cilindro immersa, che dovrà quindi essere sempre uguale quando si varia il liquido di immersione. Nel miele l allungamento della molla (e dunque il peso che esso indica) diminuisce più che in acqua. Misura Dopo aver segnato la posizione dell indice del dinamometro sospeso e scarico sul nastro adesivo da lucido fissato su di esso, gli viene sospeso un cilindro di massa pari a 22 g e viene segnata sul nastro da lucido la nuova posizione del suo indice; la misura viene ripetuta dopo aver immerso il cilindro del tutto in acqua e con un numero via via crescente di sferette di massa pari a 9 g (valutata dalla bilancia) al suo interno, lasciandone quindi invariato il volume ma variando il peso immerso. Una seconda serie di misure come la precedente viene effettuata immergendo il cilindro nel miele. Dopo aver staccato il nastro da lucido e averlo fissato su carta millimetrata, in modo che una riga della carta corrisponda alla tacca dello zero, si possono leggere su di essa le distanze tra ciascuna tacca e la tacca dello zero, ovvero gli allungamenti della molla in corrispondenza a ciascun peso sospeso per ciascuno dei liquidi. Si possono mettere i dati ottenuti in un grafico, così da avere rette che indicano la proporzionalità diretta tra peso e allungamento, ed eventualmente tarare il dinamometro, ricavando la pendenza, k, della retta in aria. Lo spostamento delle rette nei liquidi rispetto a quella in aria corrisponde alla diminuzione di peso costante determinata dalla spinta di Archimede (indicata dunque da differenze di lunghezze). Poiché la distanza tra la retta in aria e quella in un liquido è caratteristica del liquido può essere presa come indicazione della sua natura (intesa come capacità di spinta verso l alto). Rapportando tali distanze per un liquido (nel caso specifico, miele) ed acqua si ottiene una stima della densità del liquido stesso rispetto all acqua. La stessa procedura può essere effettuata anche senza considerare i grafici, solo con i dati, dopo aver osservato che le differenze tra gli allungamenti nei liquidi e in aria per pesi corrispondenti non dipendono dal peso immerso (sono sempre uguali al suo variare) ma dal liquido.

6 allungamenti () Elaborazione dati E possibile esprimere valutazioni utilizzando o meno i grafici, a seconda del livello scolare, in particolare se si lavora nella primaria o nella secondaria di primo grado (o biennio). L errore da associare ai dati di lunghezza è pari a quello di lettura, per cui si usa la carta millimetrata: ciò permette di stimare lunghezze con un errore, Δl, pari a 0,5 mm. L errore sulle misure di massa è di 1g, pari alla sensibilità della bilancia usata. I dati singoli della spinta di Archimede hanno un errore dato dalla formula di propagazione, mentre alla media è stata associata la semidispersione massima. Dati peso sospeso (g) ±1g Δl in aria () ±0,05 Δl in acqua () ±0,05 Δl in aria - Δl in acqua () ± 0,10 Δl in miele () ±0,05 Δl in aria - Δl in miele () ±0,10 d miele /d acqua ε (d miele/d acqua) 22 1, ,25 0,55 1, ,85 1,10 1,75 0,45 2,40 1,37 0, ,50 1,75 1,75 1,05 2,45 1,40 0, ,10 2,45 1,65 1,75 2,35 1,42 0, ,75 2,95 1,80 2,30 2,45 1,36 0, ,40 3,60 1,80 2,75 2,65 1,47 0, ,05 4,25 1,80 3,25 2,80 1,56 0,14 Media 1,75 2,52 1,43 Semidispersione massima 0,075 0,23 0,10 ε Relativo 0,043 0,091 Si ha quindi: d(miele)/ d (acqua) = 2,52/1,75= 1,44; ε= 1,44(0,075/1,75+0,23/2,52)=0,19 Dunque, densità relativa miele = 1,44 ± 0,19. Tale misura risulta compatibile con quella determinata attraverso le misure con il manometro. La misura della spinta di Archimede nel miele presenta anche due dati non compatibili con gli altri; ciò riflette difficoltà nell immersione stabile del cilindro in tale liquido aria acqua miele Lineare (miele) Lineare (acqua) Lineare (aria) allungamento vs peso y = 0,0699x + 0,0787 R 2 = 0, y = 0,0687x - 1,6032 R 2 = 0,999 y = 0,0624x - 1,9738 R 2 = 0, peso (g) Conclusioni

7 La spinta verso l alto che un corpo immerso riceve è indipendente dal peso dell oggetto immerso; dipende dal volume immerso del solido e dal tipo di liquido: la natura del liquido può essere caratterizzata con misure di densità (relative) ottenute da quelle sulla spinta di Archimede.

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