Elettromagnetismo. Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico

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1 Elettromagnetismo È lo studio deli fenomeni collegati alle cariche elettriche in quiete o in movimento Alcuni fenomeni sono stati osservati fin dall antichità sull ambra (electron) e su materiali provenienti da una cava vicina alla città di Magnesia Le forze che tengono insieme gli atomi e le molecole Protoni ed elettroni si attraggono e si legano a formare atomi Le applicazioni sono tantissime: luce elettrica, forno a microonde, cellulari, radio e televisione In medicina: radiografie, risonanza magnetica, PET e vari strumenti di diagnosi Radioterapia e adroterapia per i tumori, laser per la chirurgia

2 Outline Inizialmente si studia l interazione di cariche puntiformi Si introduce quindi il campo elettrico Poi le distribuzioni di carica superficiali e volumetriche Per semplificare i problemi con elevata simmetria e per alcuni risultati teorici, si usano il concetto di flusso ed il teorema di Gauss Con questo si possono studiare i conduttori, ed i condensatori in particolare Si vede che il campo elettrico porta energia Si studiano i dipoli, che sono i mattoni elementari utili per capire gli isolanti

3 Atomi Sono costituiti da un nucleo fatto da cariche positive e neutre (protoni e neutroni) e da particelle più esterne negative (elettroni) Protoni e neutroni hanno massa quasi 2000 volte più grande degli elettroni Protoni e neutroni sono tenuti insieme dalle interazioni nucleari forti Gli elettroni si possono pensare come fossero pianeti che girano attorno al nucleo La loro forza centripeta è data dall attrazione elettrica tra protone ed elettrone

4 Quantizzazione e conservazione della carica elettrica La carica elettrica è quantizzata: le cariche più piccole misurate sono quelle del protone, positiva, indicata con +e e quelal dell elettrone, negativa, indicata con e; queste sono tra loro opposte. Tutte le altre cariche osservate sono multiple di queste I quark, se esistono, hanno carica ± 2 3 e oppure ± 1 3e, ma queste non sono mai state osservate da sole La carica elettrica totale di ogni reazione è conservata: non si sono mai osservate sparizioni o creazioni di carica elettrica, neppure quando la materia si trasforma in energia. materia e antimateria devono avere cariche elettriche opposte, altrimenti non si potrebbero annichilare

5 Densità di carica Spesso conviene trattare la carica come un continuo, anche se so che è quantizzata. Si può distribuire sulla superficie, quindi posso definire la carica per unità di superficie come i σ = q i S σ è la densitá di carica superficiale questo avviene di solito sui conduttori si può distribuire nello spazio, dove ho i ρ = q i V ρ è la densità di carica volumetrica

6 Forza tra cariche Sperimentalmente trovo che la forza tra protone ed elettroneè attrattiva e vale k vale N m 2 F = k r 2 La forza tra due protoni e tra due elettroni è la stessa in modulo ma opposta in verso, quindi è repulsiva La forza che agisce tra due cariche qualsiasi è proprzionale a ciascuna delle cariche l unità di misura della carica nel SI è il Coulomb ed è tale che la carica del protone vale e = C Quando si dice che su di un corpo è presente una certa carica elettrica, significa che quella è la differenza tra carica positiva e negativa

7 Campi Come si trasmette la forza? La meccanica quantistica relativistica stabilisce che avviene scambiando particelle Nella fisica classica abbiamo l azione a distanza Se mettiamo una carica (di prova) q 0 in presenza di un altra carica q, c è una forza tra le due: dico che q crea un campo Una particella carica in un campo elettrico e magnetico sente una forza (di Lorentz) ( ) F L = q E + v B Diciamo che E è il campo elettrico e B è il campo magnetico

8 Carica puntiforme È una carica le cui dimensioni possono essere trascurate Genera un campo elettrico della forma E = ε 0 è una costante universale che vale 1 4πε 0 ε r Q r 2 ˆr ε 0 = N m 2 /C 2 ε r dipende dal materiale nel quale si trovano le cariche ed è sempre ε r 1. Nel vuoto ε r = 1 La forza tra due cariche puntiformi ha quindi modulo F = 1 q 1 q 2 4πε 0 ε r r 2 Legge di Coulomb Ha per direzione la retta congiungente le due cariche ed è attrattiva se le cariche hanno segno opposto, repulsiva altrimenti

9 Principio di sovrapposizione Se ho due cariche q 1 e q 2, queste generano campi elettrici E 1 ed E 2 Dall espressione per la forza di Lorentz, per cariche in quiete vedo che F = q E Una carica di prova q 0 sarebbe soggetta alle forze e quindi ad una forza totale F 1 = q 0 E1 e F2 = q 0 E2 F = F 1 + F 2 = q 0 ( E 1 + E 2 ) Ne deduco che anche il campo elettrico è un vettore e che vale il principio di sovrapposizione per cui E = E 1 + E 2 Il campo elettrico generato da due cariche è uguale alla somma dei campi elettrici generati separatamente da ciascuna delle cariche

10 Flusso di un campo attraverso una superficie Disegno le linee di campo, alle quali il campo è tangente in ogni punto Le linee sono tanto più fitte quanto più il campo è intenso Definisco il flusso Φ attraverso una superficie come una quantità proporzionale alle linee del campo che attraversano la superficie Per una superficie con normale che fa un angolo θ col campo elettrico sarà Φ(E) = E S cos(θ) Considero positive le linee che vengono da un verso, negative da verso opposto (angolo maggiore di 180 o )

11 Teorema di Gauss Se la sorgente del campo è esterna a una superficie chiusa, tante linee entrano quante escono: il flusso è quindi nullo Se la sorgente è interna, non importa in quale punto la metto, le linee che escono sono sempre le stesse e quindi anche il flusso Se deformo la superficie questo non canbia, è importante solo sapere se la sorgente sta dentro o fuori Se prendo una superficie sferica con una carica nel mezzo, il flusso è proporzionale a Q Φ = 4πε 0 ε r r 2 4πr 2 = Q ε 0 ε r Quindi posso dire che questo è vero per ogni superficie chiusa

12 Teorema di Gauss forma matematica Posso scrivere il flusso come un integrale Se ho più cariche il flusso si somma, dato che così fanno i campi elettrici Ogni flusso dovuto a cariche interne da un contributo Φ = Q ε 0 ε r Ogni carica esterna da un contributo nullo Formalmente posso scrivere il teorema di Gauss Φ = E ˆn = Q int ε 0 ε r S

13 Conduttori All equilibrio le cariche non subiscono alcuna forza, altrimenti si muoverebbero Fanno eccezione le cariche sulla superficie, dove si possono muovere solo paralellamente alla superficie Ne deduco che 1 Il campo elettrico nell interno è nullo 2 Sulla superficie E deve essere perpendicolare alla superficie Posso calcolare E sulla superficie dal teorema di Gauss Dividendo per la superficie Φ = Q ε 0 ε r = E S E = σ ε 0 ε r

14 Condensatori Condensatori piani Due superfici conduttrici piane e parallele formano un condensatore piano Se c è una carica Q sulla prima superficie, ci deve essere una carica opposta sull altra (per il teorema di Gauss) Il sistema ha simmetria per traslazione in due direzioni, e il campo elettrico deve essere perpendicolare alle superfici ed uniforme Il campo elettrico vale σ ε 0 ε r

15 Condensatori Condensatori cilindrci È costituito da due cilindri coassiali, di raggio R 1 e R 2 Posso calcolare il campo elettrico attraverso una superficie coassiale di raggio r Il teorema di Gauss, applicato ad un cilindro di lunghezza L e raggio r, con R 1 < r < R 2 da con ε = ε 0 ε r. Ne deduco che E(r) 2 π r L = Q/ε = σ 2 π R 1 L/ε E(r) = σ ε R 1 r

16 Energia di un condensatore Immagino di fare del lavoro per caricare un condensatore piano, inizialmente scarico Dopo averci portato una carica dq, compare un campo elettrico contrario dq/sε. Dopo aver ripetuto questa operazione un certo numero di volte, ci sarà una carica q sul condensatore, e uun campo contrario q/sε Per portare un altra carica elettrica dq devo quindi fare un lavoro contro il campo dato da dw = dq q Sε d Per calcolare il lavoro totale, devo integrare al variare della carica tra 0 e Q Q q Q2 W = d dq = Sε 2Sε d 0

17 Densità di energia del campo elettrico Dove risiede l energia nel condensatore? Posso immaginare che sia distribuita nello spazio tra le armature Calcolo allora la densità di energia w = Q2 d / (S d) = 1 2Sε 2ε ( ) Q 2 = σ2 S 2ε = 1 2 εe 2 Questo risultato è del tutto generale, e non limitato al caso del condensatore piano. L energia del campo elettrico è quindi distribuita uniformemente nello spazio con densità w = 1 2 εe 2

18 Dipolo elettrico È costituito da due cariche elettriche opposte a distanza piccola rispetto a quella dove si osserva il campo elettrico Il prodotto carica distanza si chiama momento di dipolo elettrico Il campo elettrico del dipolo va a zero, per grandi distanze, come 1 r 3. Quindi ci si accorge del dipolo solo per le sostanze neutre Gli atomi delle sostanze isolanti diventano dipoli sotto l azione di un campo elettrico esterno i dipoli di queste sostanze scheramano il campo elettrico

19 Dipolo elettrico Sul dipolo, in un campo elettrico agisce un momento torcente di modulo τ = qe b = qe d sin(θ) = pe sin(θ) Se considero il verso di rotazione, vedo che posso scrivere l equazione vettoriale τ = p E Per spostare un dipolo in un campo elettrico devo fare del lavoro, quindi c è un energia potenziale associata alla posizione del dipolo data da U = p E