Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 9: 3 marzo 2014

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 9: 3 marzo 2014 professor Danele Rtell 1/25?

2 Eserczo Consderamo una rendta perodca d 2n termn con scadenze dal tempo 1 al tempo 2n tale che C 1 = = C n = C, C n+1 =... C 2n = D Dmostrare che 1. Il valore attuale è Ca n + D(1 + ) n a n 2. la scadenza meda artmetca è (n + 1)C + (3n + 1)D 2(C + D) 3. la scadenza meda fnanzara è ln n(c + D) a n (C + D(1 + ) n ) ln(1 + ) 2/25?

3 Scadenza meda artmetca t = m s C s s=1 n s=1 C s 3/25?

4 er la scadenza meda artmetca lavoro sulla somma a numeratore m n 2n s C s = s C + s D s=1 s=1 s=n+1 4/25?

5 er la scadenza meda artmetca lavoro sulla somma a numeratore m n 2n s C s = s C + s D s=1 s=1 s=n+1 nella seconda somma cambo ndce ponendo r + n = s n modo che m n n s C s = s C + (r + n) D s=1 s=1 r=1 4/25?

6 er la scadenza meda artmetca lavoro sulla somma a numeratore m n 2n s C s = s C + s D s=1 s=1 s=n+1 nella seconda somma cambo ndce ponendo r + n = s n modo che m n n s C s = s C + (r + n) D s=1 s=1 r=1 = C n s + D n r + nd n 1 s=1 r=1 r=1 4/25?

7 Conclusone m s=1 s C s = C n(n + 1) 2 + D n(n + 1) 2 + n 2 D 5/25?

8 Conclusone m s C s = C s=1 n(n + 1) 2 + D ertanto la scadenza meda artmetca è C n(n + 1) 2 n(n + 1) + D 2 nc + nd + n 2 D n(n + 1) 2 = + n 2 D (C + D) n C + D + nd 5/25?

9 Conclusone m s C s = C s=1 n(n + 1) 2 + D ertanto la scadenza meda artmetca è C n(n + 1) 2 n(n + 1) + D 2 nc + nd + n 2 D dunque la scadenza meda artmetca è n(n + 1) 2 = (n + 1)C + (3n + 1)D 2(C + D) + n 2 D (C + D) n C + D + nd 5/25?

10 Scadenza meda fnanzara ( m ) ( m ) ln C s ln C s (1 + ) t s la formula t = s=1 ln s=1 ln (1 + ) n(c + D) a n (C + D(1 + ) n ) ln(1 + ) segue dal calcolo fatto per l valore attuale 6/25?

11 I smbol fnanzar: a n Fssamo l numero n d rate e studamo la funzone 0 < f() := a n. 7/25?

12 I smbol fnanzar: a n Fssamo l numero n d rate e studamo la funzone 0 < f() := a n. comportamento d f() per 0 + : 1 (1 + ) n lm f() = lm /25?

13 I smbol fnanzar: a n Fssamo l numero n d rate e studamo la funzone 0 < f() := a n. comportamento d f() per 0 + : 1 (1 + ) n lm f() = lm Applchamo l teorema d De l Hosptal: n (1 + ) (n+1) lm a n = lm = n se 0 le n rate non vengono scontate, dunque l loro valore attuale concde esattamente con la loro somma algebrca. 7/25?

14 f() è postva, nfatt se scrvamo: f() = n (1 + ) k, k=1 8/25?

15 f() è postva, nfatt se scrvamo: f() = n k=1 (1 + ) k, vedamo che f() è somma d n addend postv. 8/25?

16 f() è postva, nfatt se scrvamo: f() = n k=1 (1 + ) k, vedamo che f() è somma d n addend postv. f () = n k=1 k (1 + ) (k+1) ertanto, la funzone f() è strettamente decrescente. 8/25?

17 f() è postva, nfatt se scrvamo: n f() = (1 + ) k, k=1 vedamo che f() è somma d n addend postv. n f () = k (1 + ) (k+1) k=1 ertanto, la funzone f() è strettamente decrescente. Infne f() è convessa n quanto: n f () = k(k + 1) (1 + ) (k+2) k=1 8/25?

18 o abbamo: lm f() = 1 1 = 1 = 0. 9/25?

19 o abbamo: lm f() = 1 1 = 1 = 0. S not, cosa d nteresse fondamentale, che per ogn numero reale postvo α < n l equazone: f() = a n = α ammette una e una sola radce postva. 9/25?

20 Fgura 1: a n 10/25?

21 Rendte perpetue Immagnamo d aver fssato un tasso, studamo al varare del numero d rate n l comportamento della successone x n = a n. Essendo: n a n = (1 + ) k, k=1 l anals del comportamento d a n è rcondotta allo studo della sere geometrca convergente d ragone v = (1 + ) 1, 11/25?

22 Rendte perpetue Immagnamo d aver fssato un tasso, studamo al varare del numero d rate n l comportamento della successone x n = a n. Essendo: a n = n k=1 (1 + ) k, l anals del comportamento d a n è rcondotta allo studo della sere geometrca convergente d ragone v = (1+) 1, rcordando la formula: n=1 x n = x 1 x 11/25?

23 trovamo lm a n = a = n v 1 v = = 1. 12/25?

24 trovamo lm a n = a = n v 1 v = = 1. Abbamo così la nozone d rendta perpetua. a è l valore attuale della rendta costtuta da nfnte rate perodche untare. 12/25?

25 Rendte frazonate n regme composto S consdera, data la rendta temporanea d n N termn ugual, perodca, fssato p N, la rendta R p, costtuta da p n termn ottenut frazonando cascuno degl ntervall temporal n p part d egual ampezza 1/p e prendendo n cascuno come termne della rendta C/p 13/25?

26 Rendte frazonate n regme composto S consdera, data la rendta temporanea d n N termn ugual, perodca, fssato p N, la rendta R p, costtuta da p n termn ottenut frazonando cascuno degl ntervall temporal n p part d egual ampezza 1/p e prendendo n cascuno come termne della rendta C/p Se è l tasso d valutazone d R, allora R p va valutata rspetto al tasso equvalente p. Frazonando la rendta l mporto complessvamente versato non camba, cambano però sa l montante sa l valore attuale, ottenut attraverso l tasso equvalente. 13/25?

27 Rendte frazonate n regme composto S consdera, data la rendta temporanea d n N termn ugual, perodca, fssato p N, la rendta R p, costtuta da p n termn ottenut frazonando cascuno degl ntervall temporal n p part d egual ampezza 1/p e prendendo n cascuno come termne della rendta C/p Se è l tasso d valutazone d R, allora R p va valutata rspetto al tasso equvalente p. Frazonando la rendta l mporto complessvamente versato non camba, cambano però sa l montante sa l valore attuale, ottenut attraverso l tasso equvalente. Supponamo, senza perdta d generaltà, che la rendta R sa costtuta da termn costant untar 13/25?

28 Il montante della rendta frazonata R p è : n p k=1 1 p (1 + p) n p k = s n p p p. (MF) 14/25?

29 Il montante della rendta frazonata R p è : n p k=1 1 p (1 + p) n p k = s n p p p. (MF) Ora (MF) s può scrvere n funzone d s n, nfatt: s n p p p = (1 + p) n p 1 = (1 + p) n p 1 p p p p = p p s n 14/25?

30 Il montante della rendta frazonata R p è : n p k=1 1 p (1 + p) n p k = s n p p p. (MF) Ora (MF) s può scrvere n funzone d s n, nfatt: s n p p p = (1 + p) n p 1 = (1 + p) n p 1 p p p p = p p s n dunque n p k=1 1 p (1 + p) n p k = p p s n (MFb) 14/25?

31 er la dsuguaglanza d Bernoull s vede che: = (1 + p) p 1 p p p p > p p p p = 1. qund l montante delle rendta frazonata supera quello della rendta orgnale 15/25?

32 Se, anzché determnare la rendta frazonata, s cerca la rendta sottoperodale, ottenuta frazonando solo le valute, che abba lo stesso montante della rendta orgnale, bsogna sostture la quanttà 1/p n (MF) con una x da determnars, n modo che: x p s n = s n, vale a dre x = p. (1) 16/25?

33 Se, anzché determnare la rendta frazonata, s cerca la rendta sottoperodale, ottenuta frazonando solo le valute, che abba lo stesso montante della rendta orgnale, bsogna sostture la quanttà 1/p n (MF) con una x da determnars, n modo che: x p s n = s n, vale a dre x = p. (1) Usando la dsuguaglanza d Bernoull s vede che p x = p p (1 + p ) p 1 < p p p p = 1. Questo sgnfca che volendo costture un captale entro un dato perodo d tempo con versament perodc, l esborso complessvo sarà tanto pù pccolo quanto versament saranno pù frequent 16/25?

34 I ragonament svolt possono essere rpetut anche per l valore attuale: n p k=1 1 p (1 + p) k = a n p p p = p p a n. 17/25?

35 Esempo S consder una rendta decennale mmedata e costante con rate annue d Determnare le rendte mensle, bmestrale, trmestrale, quadrmestrale e semestrale ad essa equvalent al tasso annuo del 6%. 18/25?

36 I tass equvalent e le rate relatve ottenute medante (1) sono elencat nella tabella: p p p rata equvalente mensle 12 0, , ,69 bmestrale 6 0, , ,97 trmestrale 4 0, , ,85 quadrmestrale 3 0, , ,32 semestrale 2 0, , ,08 19/25?

37 Il montante della rendta orgnara è s 10 = , = , 19 n accordo ragonevole con montant delle rendte equvalent d cu abbamo determnato le rate, come llustrato dalla tabella seguente: p rata s n p p montante mensle ,69 162, ,39 bmestrale 6 243,97 81, ,20 trmestrale 4 366,85 53, ,40 quadrmestrale 3 490,32 40, ,17 semestrale 2 739,08 26, ,32 20/25?

38 Le dscrepanze con l montante della rendta orgnara s spegano con problem post dall arrotondamento al centesmo d euro. Se consderassmo rate vrtual con arrotondament pù precs, le dscrepanze dmnurebbero, ma non completamente: p rata s n p p montante mensle , , ,1886 bmestrale 6 243, , ,1813 trmestrale 4 366, , ,1815 quadrmestrale 3 490, , ,1890 semestrale 2 739, , , /25?

39 Rendte nel contnuo Se s pensa alla rendta come un flusso monetaro nel contnuo, mmagnando che ad ogn stante 0 t n sa dsponble un captale C(t) nel calcolo d montante e valore attuale le sommatore vengono sosttute da ntegral 22/25?

40 Rendte nel contnuo Se s pensa alla rendta come un flusso monetaro nel contnuo, mmagnando che ad ogn stante 0 t n sa dsponble un captale C(t) nel calcolo d montante e valore attuale le sommatore vengono sosttute da ntegral Montante: V (R, n) = n 0 C(t) (1 + ) n t dt 22/25?

41 Se la rendta è costante, C(t) = c per ogn 0 t n s trova, eseguendo calcol: V (R, n) = c (1 + ) n n 0 (1 + ) t dt = c (1 + )n 1 ln(1 + ). 23/25?

42 La formula può essere ottenuta usando la relazone n p k=1 1 p (1 + p) n p k = p p s n passando al lmte per p e rcordando l lmte notevole: [ ] lm p (1 + ) 1/p 1 = ln(1 + ). p 24/25?

43 Valore attuale: V (R, 0) = n 0 C(t) (1 + ) t dt = (1 + ) n V (R, n). 25/25?