inanellati; nel sito s 2 vengono ricatturati 260 fagiani di cui 34 sono inanellati;

Transcript

1 1 Esercizi su alcuni modelli che utilizzano matrici: cattura ricattura, catena trofica, modello di Leslie Esercitatori: Dott Alessandro Ottazzi e Dottssa Maria Vallarino Esercizio 1 Nel Parco Naturale del Curone vengono catturati e marcati 1000 fagiani (Phasianus), inanellando una zampa di ciascun fagiano In tre diversi siti s 1, s, s 3 vengono ricatturati per due volte dei fagiani, di cui solo alcuni sono inanellati Le due ricatture successive forniscono i seguenti dati: la prima volta nel sito s 1 vengono ricatturati 01 fagiani di cui 91 sono inanellati; nel sito s vengono ricatturati 307 fagiani di cui 84 sono inanellati; nel sito s 3 vengono ricatturati 117 fagiani di cui 77 sono inanellati; la seconda volta nel sito s 1 vengono ricatturati 110 fagiani di cui 5 sono inanellati; nel sito s vengono ricatturati 60 fagiani di cui 34 sono inanellati; nel sito s 3 vengono ricatturati 9 fagiani di cui 7 sono inanellati Sintetizzare i dati precedenti in due matrici Calcolare il numero complessivo medio di fagiani ricatturati e il numero complessivo medio di fagiani inanellati tra quelli ricatturati Stimare inoltre la popolazione complessiva di fagiani nell area del Parco del Curone Esercizio Nella regione del Kenya che comprende i parchi nazionali di Chyulu, Tsavo ed Amboseli, vivono molte specie di mammiferi In particolare, si vuole fare una stima della popolazione di alcefali (Alcelaphus buselaphus), usando il metodo della cattura, marcatura e ricattura Si riescono a marcare all orecchio 300 esemplari La fase di ricattura avviene in quattro tempi, a distanza di un mese dall altra, e in due diversi siti Dopo il primo mese vengono ricatturati, nel primo sito, 35 alcefali di cui 5 sono marcati, mentre nel secondo sito si ricatturano 60 individui di cui 1 sono marcati Al secondo mese, vengono ricatturati 63 individui nel primo sito di cui sono 10 marcati, e 4 nel secondo sito di cui 6 marcati Al terzo mese sono 5 i ricatturati nel primo sito e di questi solo 7 sono marcati, nel secondo sito invece si osservano 11 marcati tra i 37 ricatturati Infine, dopo quattro mesi si effettua l ultimo prelievo, che consiste di 90 esemplari nel primo sito di cui 34 marcati e di 7 esemplari nel secondo sito di cui 16 risultano marcati Si chiede di sintetizzare i dati precedenti in 4 matrici e di dare una stima della popolazione complessiva di alcefali nella regione specificata Esercizio 3 Due produttori di pomodori p 1 e p utilizzano nelle loro coltivazioni tre diversi tipi di pesticidi contenenti ciascuno una sostanza nociva per l uomo Indichiamo con n 1, n, n 3 le tre sostanze nocive I pomodori di p 1 contengono 003 mg di sostanza n 1 per ogni grammo di pomodoro, 00 mg di sostanza n per ogni grammo di pomodoro, 008 mg di sostanza n 3 per ogni grammo di pomodoro I pomodori di p contengono 007 mg di sostanza n 1 per ogni grammo di pomodoro, 005 mg di sostanza n per ogni grammo di pomodoro, 00 mg di sostanza n 3 per ogni grammo di pomodoro Tre aziende a 1, a, a 3 producono polpa di pomodoro rifornendosi da p 1 e p in percentuali diverse L azienda a 1 acquista il 70% di pomodoro da p 1 e il 30%

2 da p ; l azienda a acquista il 40% di pomodoro da p 1 e il 60% da p ; l azienda a 3 acquista il 0% di pomodoro da p 1 e l 80% da p Calcolare le quantità di sostanza n 1, n, n 3 presenti nella polpa delle tre aziende espressa in mg/g Supponendo che la nocività di n 1 sia doppia di quella di n e metà di quella di n 3, stabilire quale polpa è più nociva Esercizio 4 Una fabbrica ha una perdita di scorie e rilascia nel terreno delle sostanze liquide contenenti mercurio (Hg) e cromo (Cr) Queste vengono assorbite in quantità diverse dalle piante erbacee della zona, tra cui il trifoglio (Trifolium) e il tarassaco comune (Taraxacum officinale) In particolare, ogni grammo di trifoglio assorbe 034 microgrammi di cromo e 05 microgrammi di mercurio, mentre un grammo di tarassaco comune assorbe 011 microgrammi di cromo e 06 di mercurio Nell area pascolano abitualmente gli animali dell allevatore Tom, che consistono principalmente in pecore, capre e mucche, particolarmente ghiotte di trifoglio e tarassaco Una volta scoperta la falla, il danno è fatto, e Tom non può far altro che conteggiarne le dimensioni Per aiutarlo, vogliamo stabilire per lui la quantità di cromo e mercurio che assume in un giorno ogni individuo dei i suoi animali, stimando che quotidianamente ogni pecora consumi circa 300 grammi di trifoglio e 300 grammi di tarassaco, ogni capra 50 grammi di trifoglio e 300 di tarassaco, ogni mucca 900 grammi di trifoglio e 700 di tarassaco Esercizio 5 Consideriamo una popolazione di beccacce strutturata in due fasce d età: giovani e adulti Supponiamo che ogni anno ogni giovane femmina generi 5 femmine, e che ogni adulta generi 1 femmine Supponiamo anche che 1 femmina giovane su diventi adulta Indichiamo con N(k) = (g(k), a(k)) il vettore delle numerosità femminile all anno k (a) Scrivere la matrice A tale che N k = AN k 1 ; (b) si determino gli autovalori e gli autovettori di A (c) Sia N 0 = (10, ) la numerosità femminile al tempo zero Trovare il valore di N k per ogni k N (d) A quanto tende il rapporto g(k)/a(k) per k tendente a infinito? Esercizio 6 Il Comune di Asti ha avviato un nuovo progetto in campo ambientale: per la lotta alle zanzare, oltre alle consuete tecniche di disinfestazione, si stanno percorrendo strade alternative usando i pipistrelli Vengono installate delle bat-box, casette-nido, utilizzate come rifugio per i pipistrelli Dividiamo la popolazione di pipistrelli in tre fasce: cuccioli, giovani e adulti Denoteremo con N k = (c k, g k, a k ) il vettore numerosità di cuccioli, giovani e adulti di sesso femminile al k-esimo anno In media in una bat-box in un anno ogni cucciolo femmina, dopo qualche mese dalla nascita, fa cuccioli femmine e ogni giovane femmina fa 6 cuccioli femmine Inoltre ogni giovane diventa adulto e un cucciolo su due diventa giovane Descrivere la legge di evoluzione della popolazione di pipistrelli in una bat-box mediante una matrice di Leslie A (a) Trovare gli autovalori e gli autovettori della matrice A;

3 3 (b) se N 0 = (36, 6, ), qual è il numero di femmine pipistrello giovani e adulte dopo 15 anni? (c) se N 0 = (36, 6, ), dopo quanti anni sono presenti almeno 100 giovani pipistrelli femmine nella bat-box? (d) qual è il rapporto tra cuccioli e giovani e tra giovani e adulti per k che tende all infinito? Esercizio 7 Si consideri una popolazione stratificata in cuccioli, giovani e adulti Indichiamo con c(k), g(k) e a(k) rispettivamente le numerosità delle femmine di cuccioli, giovani e adulti al tempo k Una femmina è cucciola nel primo anno di vita, diventa giovane dopo un anno, adulta dopo due e vive complessivamente al massimo tre anni Supponiamo che: (i) una femmina cucciola su due diventi giovane e una femmina giovane su due diventi adulta; (ii) ogni anno ogni femmina giovane e ogni femmina adulta diano alla luce, in media, due cuccioli femmina Indichiamo con N(k) il vettore delle numerosità ( c(k), g(k), a(k) ) (a) Scrivere la matrice A di evoluzione del sistema nel passaggio dall anno k all anno k + 1 (b) Calcolare il determinante di A (c) Data la numerosità iniziale N(0) = (4, 1, ), calcolare la numerosità dopo due anni (d) Ipotizzando che all età di anni ogni femmina muoia, avremo il sistema semplificato in cui si considerano solo le numerosità di cuccioli e giovani e indichiamo con ν(k) il vettore ( c(k), g(k) ) e con A la corrispondente matrice di evoluzione A = [ 0 1/ 0 Trovare le numerosità iniziali ν 0 = (g 0, a 0 ) per le quali l equilibrio delle fasce di età è mantenuto durante l evoluzione del sistema (e) Nel caso di equilibrio delle fasce d età di cui al punto (d) descrivere l evoluzione del sistema ] Esercizio 8 Supponiamo di osservare la dinamica di una popolazione con le caratteristiche seguenti: gli individui vivono al massimo tre anni; il rapporto dei sessi è 1 : 1 e la stagione riproduttiva è concentrata in primavera; le femmine di un anno non sono ancora riproduttive, le femmine di due anni partoriscono otto piccoli, le femmine di tre anni partoriscono 6 piccoli;

4 4 il 0% dei piccoli sopravvive dalla nascita fino al raggiungimento del primo anno di età, il 40% sopravvive dal primo al secondo anno di età, il 70% sopravvive dal secondo al terzo Si denotino con f 1 (k), f (k) e f 3 (k) le numerosità delle femmine di un anno, due anni e tre anni al tempo k rispettivamente Si descriva la dinamica della popolazione di femmine con una matrice di Leslie Supponiamo che a causa di un forte cambiamento climatico l età massima di sopravvivenza sia di soli due anni Qual è la nuova matrice di evoluzione? Detta A quest ultima, trovare le numerosità iniziali affinchè l equilibrio delle fasce d età venga mantenuto durante l evoluzione del sistema Supponendo che f 1 (0) = f (0), quale deve essere la numerosità iniziale affinchè dopo tre anni la popolazione totale (maschi e femmine) sia di 30 individui? Soluzioni Esercizio 1 I dati delle due ricatture si rappresentano con le matrici C 1 = C = in cui le colonne corrispondono ai siti s 1, s, s 3, la prima riga corrisponde al numero di fagiani inanellati e la seconda riga al numero dei fagiani ricatturati La media delle due matrici è C 1 + C = Il numero medio complessivo di fagiani ricatturati è n = 1 ( ) = 1087 ; il numero medio complessivo di fagiani inanellati tra quelli ricatturati è k = ( ) = La stima della popolazione complessiva è T = 1000 n k 978, 08 Esercizio Le matrici che rappresentano le ricatture sono O 1 = O = O 3 = O =, 90 7 dove le colonne corrispondono ai due siti di prelievo, la prima riga il numero degli esemplari marcati tra quelli ricatturati, il cui numero è individuato dalla seconda riga La stima della popolazione è di circa 1156 esemplari Esercizio 3 Le quantità delle tre sostanze nocive presenti nei pomodori dei produttori p 1 e p si rappresentano nella matrice A = ,

5 5 in cui le tre righe corrispondono a n 1, n, n 3 e le due colonne corrispondono a p 1 e p Le percentuali di pomodoro acquistato dalle tre aziende dai due produttori si rappresentano nella matrice B =, in cui le due righe corrispondono a p 1 e p e le tre colonne corrispondono alle tre aziende a 1, a, a 3 Il prodotto righe per colonne delle due matrici è C = AB = Il valore c ij corrisponde alla quantità di sostanza n i presente nella polpa prodotta dall azienda a j espressa in mg/g Osserviamo che la polpa prodotta da a 3 è quella che contiene più sostanza n 1 e n ; la polpa prodotta da a 1 è quella che contiene più sostanza n 3 Supponendo che la nocività di n 1 sia il doppio di quella di n e la metà di quella di n 3 si ha che la nocività di n è un quarto di quella di n 1 Pertanto la nocività complessiva n di ciascuna polpa si ottiene calcolando il prodotto [ ] C = 10 3 [ ], dove il primo numero rappresenta la nocività complessiva della polpa dell azienda a 1, il secondo numero rappresenta la nocività complessiva della polpa dell azienda a e il terzo numero rappresenta la nocività complessiva della polpa dell azienda a 3 Pertanto la polpa di a 1 è più nociva della polpa di a che è a sua volta più nociva della polpa di a 3 Esercizio 4 Rappresentiamo le quantità di sostanze nocive assorbite dai due vegetali in una matrice: A =, dove le righe rappresentano il cromo e il mercurio rispettivamente, mentre le colonne il trifoglio e il tarassaco rispettivamente Poi rappresentiamo la quantità dei due vegetali che le tre specie di animali mangiano al giorno con una seconda matrice: B = La prima riga di B rappresenta le quantità di trifoglio, la seconda riga le quantità di tarassaco Le tre colonne invece rappresentano pecore, capre e mucche, rispettivamente Le quantità di sostanze nocive assunte in un giorno da ogni individuo delle tre specie di animali si ottengono dal prodotto AB e sono descritte dalla seguente matrice La prima riga rappresenta il cromo e la seconda il mercurio La prima colonna rappresenta le pecore, la seconda le capre, la terza le mucche C = AB =

6 6 Esercizio 5 Il sistema è descritto dalle leggi { g(k) = 5g(k 1) + 1a(k 1) a(k) = 1 g(k 1), 5 1 quindi A = 1 Gli autovalori di A sono λ 0 + = 6 e λ = 1 Gli 1α autovettori relativi a λ + sono del tipo, con α R, α 0 Gli autovettori α β 1 relativi a λ sono del tipo, con β R, β 0 Poniamo v β + = e 1 v = 1 Si ha che N 0 = v + + v Pertanto per ogni k N N k = λ k +v + + λ k v = 6 k v + + ( 1) k v Quindi, per k + l esponenziale 6 k domina rispetto all esponenziale ( 1) k Pertanto g(k) lim k + a(k) = 1 Esercizio 6 Il sistema è descritto dalle leggi c k = c k 1 + 6g k 1 g k = 1 c k 1 a k = g k 1, 6 0 quindi A = Gli autovalori di A sono 1, 0, 3 Gli autovettori relativi a 3 sono del tipo 18α 3α, con α R, α 0 Gli autovettori relativi a α 0 sono del tipo 0 0, con β R, β 0 Gli autovettori relativi a 1 sono del β tipo γ γ/, con γ R, γ 0 γ/ Osserviamo che N 0 è un autovettore relativo all autovalore 3 Quindi N k = 3 k N 0 per ogni k In particolare N 15 = 3 15 N 0 ; quindi dopo 15 anni ci sono giovani femmine e 3 15 adulte femmine nella bat-box Se si richiede che g k 100 si ha 3 k ossia k log 3 (50/3) Poichè l equilibrio all infinito tra le fasce è dato dal rapporto tra le componenti di un autovettore relativo all autovalore più grande 3, si ha che c k gk tende a 6 per k + e il rapporto g k a k tende a 3 per k +

7 7 Esercizio 7 (a) 0 A = 1/ / 0 (b) deta = 1 (c) N() = (5, 3, 1) (d) Le numerosità iniziali per cui l equilibrio tra fasce di età è mantenuto sono individuate dai multipli del vettore ν 0 = (1, 1 ), che rappresenta l autovettore corrispondente all autovalore 1 (e) ν(k) = ν 0 Esercizio 8 La matrice di Leslie a tre fasce di età è: 0 8/5 6/5 / /10 0 A seguito del cambiamento climatico, ricaviamo la nuova matrice di evoluzione isolando un blocco della matrice descritta qui sopra: 0 8/5 A = /5 0 L equilibrio tra le due fasce di età si osserva per ogni multiplo dell autovettore (, 1) Infine, 30 individui dopo tre anni significa 160 femmine dopo tre anni, che nell ipotesi f ( 0) = f (0) si ottengono se il dato iniziale è (15, 15)