Cinematica: soluzioni. Scheda 4. Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni info@ripetizionicagliari.it

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1 Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0015ban Teto [C0015ban] Eercizi banali di Cinematica: 1. Moto rettilineo uniforme (a) Quanto pazio percorre in un tempo t = 70 un oggetto che i muove con velocità cotante V = 80 m? [ S = 5600 m] (b) Quanto pazio percorre in un tempo t = 70 un oggetto che i muove con velocità cotante V = 80 Km h? [ S = 1555, 6 m] (c) Quanto tempo impiega un pallone da calcio ad arrivare in porta e calciato ad una velocità V = 25 m da una ditanza S = 30 m? Ipotizziamo che il pallone viaggi empre alla tea velocità lungo il uo tragitto. [ t =1, 2 ] 2. Moto uniformemente accelerato (a) Quanto pazio percorre in un tempo di t =5 un oggetto che i muove con un accelerazione cotante a =2 m e che parte con una 2 velocità iniziale V i =5 m nella taa direzione e nello teo vero dell accelerazione? [ S = 50 m] (b) Un oggetto viene fatto cadere dal tetto di una caa partendo da fermo. Se arriva a terra dopo un tempo t =3, quanto è alta la caa? [h = 44, 1 m] (c) Un oggetto viene fatto cadere dentro un pozzo partendo da fermo. Se arriva al fondo del pozzo dopo un tempo t =4, quanto è profondo il pozzo? [h = 78, 4 m] 3. Moto circolare uniforme Scheda 4 Ripetizioni Cagliari di Manuele Atzeni info@ripetizionicagliari.it 24 (a) Un oggetto ruota con una frequenza =4Hz lungo un percoro circolare di raggio r =2m. Quale accelerazione centripeta ubice? [a c = 1263, 3 m 2 ] (b) Un oggetto i muove di moto circolare uniforme con velocità V = 50 m lungo un percoro circolare di raggio r = 2m. Con quale velocità angolare! i ta muovendo? Quanto tempo impiega a fare un giro? [! = 25 rad ; t =0, 25 ] (c) Un pilota di Formula1 ubice in curva accelerazioni laterali di circa 4g. Se ta facendo curve ad una velocità V = 150 Km h, quanto vale il raggio della curva? [r = 44, 3 m] Spiegazione In queto eercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che poono eere fatte u queto argomento. Per banale i intende un problema nel quale la domanda conite emplicemente nel fornire dei dati da inerire in una formula. Non è quindi richieta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolari doti matematiche. Queto eercizio erve unicamente ad aquiire dimetichezza con l eecuzione dei conti numerici con le unità di miura. 1. Moto rettilineo uniforme (a) (b) S = V t = 80 m 70 = 5600 m S = V t = 80 km 1000 m 70 = 80 h 3600 (c) Uando la formula invera t = S V = 30 m 25 m =1, 2 70 = 1555, 6 m

2 25 Scheda4. Cinematica: oluzioni 2. Moto uniformemente accelerato (a) S = 1 2 a t2 + V i t = m m 5 = 50 m (b) S = 1 2 a t2 + V i t = 1 2 9, 8 m m 3 = 44, 1 m (c) S = 1 2 a t2 + V i t = 1 2 9, 8 m m 4 = 78, 4 m 3. Moto circolare uniforme (a) Problema di: Cinematica - C0001 Teto [C0001] Un automobile viaggia alla velocità cotante V 1 = 120 km h per un tempo t 1 =2h; ucceivamente i ferma per un tempo t =1h, ed infine riparte viaggiando alla velocità cotante V 2 = 90 km h per un tempo t 2 =4h. A quale velocità media ha viaggiato l automobile? Spiegazione Il percoro di queta automobile è uddivio in tre fai, ognuna delle quali vede l auto muoveri di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da queto, per il calcolo della velocità media erve conocere lo pazio compleivamente percoro dall auto, ed il tempo totale da ea impiegato a percorrerlo. (b) (c) a c =4 2 2 r =4 (3, 14) 2 16 Hz 2 2 m = 1263, 3 m 2 T = 2 r V! = V r = 50 m 2 m r = V 2 a c = = 25 rad 2 3, 14 2 m = 50 m =0, ,6 m 4 9, 8 m = 44, 3 m 2 Lo pazio percoro dall automobile nel primo tratto vale: S 1 = V 1 t 1 = 120 km h 2 h = 240 km Lo pazio percoro dall automobile nel econdo tratto vale: S 2 = V 2 t 2 = 90 km h 4 h = 360 km La velocità media tenuta dall automobile ul percoro compleivo vale: V media = S 1 + S km km = t 1 + t + t 2 2 h +1h +4h = 85, 71 km h Queto calcolo tiene anche conto del fatto che la macchina è tata ferma per un certo periodo di tempo. Eercizi concettualmente identici 1. Una perona percorre un tratto di trada lungo S 1 = 50 metri in un tempo t 1 = 20 econdi; ucceivamente percorre un econdo tratto lungo S 2 = 30 metri in un tempo t 2 = 15 econdi. Quale velocità

3 26 Scheda4. Cinematica: oluzioni media ha tenuto nel primo tratto? Quale nel econdo tratto? Quale u tutto il percoro? [V m1 =2.5 m ; V m2 =2 m ; V mt =2.286 m ] 2. Un ciclita affronta una alita lunga S 1 = 10 Km in un tempo t 1 = 2 h e la ucceiva dicea lunga S 2 = 30 Km in un tempo t 1 = 0.5 h. Quale velocità media ha tenuto in alita? Quale in dicea? Quale ull intero percoro? [V m =5 km h ; V md = 60 km h ; V mt = 16 km h ] 3. Un ciclita affronta una alita lunga S 1 = 10 Km ad una velocità media V m1 = 10 m e la ucceiva dicea lunga S 2 = 30 Km in un tempo t 1 = 40 min. In quanto tempo ha percoro il tratto in alita? Quale velocità media ha tenuto in dicea? Quale ull intero percoro? [ t = 1000 ; V md = 12, 5 m ; V md = 11, 76 m.] 4. Un ciclita affronta una alita lunga S 1 = 21 Km ad una velocità media V m1 = 7 m e la ucceiva dicea lunga S 2 = 30 Km ad una velocità media V m2 = 15 m. In quanto tempo ha percoro il tratto in alita? In quanto tempo ha percoro il tratto in dicea? Quale velocità media ha tenuto ull intero percoro? [ t 1 = 3000 ; t 2 = 2000 ; V m = 10, 2 m.] Problema di: Cinematica - C0002 Teto [C0002] Un automobile viaggia alla velocità cotante V 1 = 120 km h e deve uperare un camion che viaggia alla velocità cotante V 2 = 90 km h. Sapendo che il camion è lungo l 2 = 11 m e che la macchina è lunga l 1 =4m, quanto tempo dura il orpao? Spiegazione Viaggiando ia l automobile che il camion a velocità cotante l unica equazione che ci erve è quella del moto rettilineo uniforme. Per eeguire il orpao, la macchina deve percorrere un tratto di trada pari alla omma tra la lunghezza della macchina e del camion; la macchina avrà, ripetto al camion, una velocità relativa pari alla differenza tra la veocità dell auto e quella del camion. dalla legge del moto rettilineo uniforme avremo t = S = l 1 + l 2 = 15 m V rel V 2 V 1 30 km h = 15 m m 3600 =1, 8 econdi

4 27 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0003 Problema di: Cinematica - C0004 Teto [C0003] Un fucile para orizzontalmente un proiettile con velocità iniziale V ix = 800 m contro un beraglio poto alla ditanza S x = 400 m. A quanti centimetri otto la linea di tiro viene colpito il beraglio? Spiegazione Il proiettile i muove di moto parabolico, cioè contemporaneamente di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre il proiettile i muove in avanti, contemporaneamente cade. Quindi i tratta di apere di quanto cade nel tempo che impiega il proiettile a raggiungere il beraglio Coniderando il moto rettilineo uniforme in orizzontale, calcoliamo in quanto tempo il proiettile raggiunge il beraglio: t = S x V ix = 400 m 800 m =0, 5 Calcoliamo adeo di quanto cade il proiettile nell intervallo di tempo appena trovato. Teniamo preente che la velocità iniziale in verticale V iy =0; infatti il proiettile veniva parato orizzontalmente. S y = 1 2 g t2 + V iy t = 1 2 9, 8 m 2 0, 25 2 =1, 225 m = 122, 5 cm Teto [C0004] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di trada S 1 muovendoi per un tempo t 1 = 10 con un accelerazione a = 1, 2 m. Succeivamente percorre un tratto di trada S 2 2 con velocità cotante per un tempo t 2 = 30. Quanto è lungo il tratto di trada compleivamente percoro dalla macchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina? Spiegazione L automobile i muove inizialmente di moto uniformemente accelerato partendo da ferma e raggiungendo una certa velocità alla fiune del primo tratto. Succeivamente mantiene tale velocità cotante nel econdo tratto di trada nel quale i muove quindi di moto rettilineo uniforme. La lunghezza del tratto di trada compleivamente percoro arà pari alla omma delle lunghezze dei due tratti percori. Vito che la velocità dell automobile è cambiata nel tempo ecco che ha eno chiederi quale velocità media ha tenuto la macchina lungo il percoro nel uo compleo. Le equazioni del moto uniformemente accelerato ci permettono di calcolare quanto è lungo il primo tratto di trata e quale velocità raggiunge l automobile. S 1 = 1 2 a t2 1 + V i t 1 = 1 2 1, 2 m m = 60 m V f = V i + V = V i + a t 1 =0 m +1, 2 m 2 10 = 12 m 2 Raggiunta queta velocità, la macchina i muove con velocità cotante. Per queto motivo S 2 = V f t 2 = 12 m 30 = 360 m 2

5 28 Scheda4. Cinematica: oluzioni Il tratto di trada compleivamente percoro ed il valore della velocità media tenuta riultano eere V media = S tot = S 1 + S 2 = 420 m S tot t tot = 420 m 40 = 10, 5 m Problema di: Cinematica - C0005 Teto [C0005] Un atleta ta correndo una gara ulla ditanza L = m viaggiando a velocità cotante V =5 m Se ha già coro per un tempo t = 8 min quanto gli manca al traguardo? Spiegazione L atleta i ta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto la ua velocità è cotante. Calcolandoci quanti metri ha già percoro, per differenza poiamo trovare quanti metri mancano al traguardo Prima di tutto convertiamo il tempo di gara in econdi Lo pazio già percoro dall atleta è t =8min = 480 S = V t =5 m 480 = 2400 m La ditanza ancora da percorrere è D = L S = m 2400 m = 7600 m Eercizi concettualmente identici 1. Ipotizziamo che un centometrita corra i 100 m della ua gara ad una velocità cotante V =9.9 m ; quanto dita dal traguardo dopo un tempo t =3 dalla partenza? [ S r = 70, 3 m]

6 29 Scheda4. Cinematica: oluzioni 2. un atleta corre una gara lunga S tot = m alla velocità V =4 m. Sapendo che al traguardo manca S 2 = 4000 m, da quanto tempo la gara è iniziata? 3. un atleta corre una gara alla velocità V =4 m. Sapendo che al traguardo manca S 2 = 3800 m, e che la gara è iniziata da t =5minuti, quanto è lunga la gara? Problema di: Cinematica - C0006 Teto [C0006] In una partita di calcio un attaccante i dirige vero il portiere avverario con velocità cotante V 1 =6 m ; il pallone i trova tra i due giocatori e i muove vero il portiere con velocità V p =2 m ; il portiere i muove vero il pallone alla velocità V 2 =5 m. La ditanza tra l attaccante ed il pallone è S 1 =4m; la ditanza tra il pallone ed il portiere è S 2 =8m. Chi arriva prima a prendere il pallone? Spiegazione In queto eercizio ci ono due giocatori che i muovono vero un oggetto anch eo in movimento. Ognuno dei due giocatori i avvicina al pallone con una velocità data dalla compoizione delle velocità del giocatore e del pallone. Per tabilire chi arriva prima ul pallone biogna tabilire chi impiega meno tempo a raggiungerlo. La velocità con cui l attaccante i avvicina al pallone vale V 1p = V 1 V p =4 m La velocità con cui il portiere i avvicina al pallone vale V 2p = V 2 + V p =7 m Il tempo impiegato dall attaccante a raggiungere il pallone vale t 1 = S 1 V 1p = 4 m 4 m =1 Il tempo impiegato dal portiere a raggiungere il pallone vale t 2 = S 2 V 2p = 8 m 7 m =1, 14 Per queto motivo l attaccante arriva prima

7 30 Scheda4. Cinematica: oluzioni Eercizi concettualmente identici 1. Dopo quanto tempo i contrano due auto, entrambe che viaggiano una contro l altra alla velocità V = 80 Km h, e ditano tra loro S =2Km? [ t = 45 ] 2. Due cicliti i tanno dirigendo vero il traguardo della cora. Il ciclita in teta viaggia ad una velocità V 1 = 65 Km h, quello che lo egue viaggia ad una velocità V 2 = 70 Km h. Con quale velocità l ineguitore i ta avvicinando al ciclita davanti a lui? [V rel =5 km h ] 3. In un incidente tradale due auto i contrano frontalmente. Entrambe viaggiavano ad una velocità V = 45 Km h. A quale velocità relativa è avvenuto lo contro? [V rel = 90 km h ] 4. In un incidente tradale due auto i tamponano. L auto che viene tamponata viaggiava ad una velocità V = 45 Km h, l altra viaggiava ad una velocità V = 65 Km h. A quale velocità relativa è avvenuto lo contro? [V rel = 20 km h ] 5. Un treno che viaggia alla velocità V = 30 Km h paa in tazione enza fermari. Sul treno un paeggero ta camminando alla velocità V = 30 Km h nello teo vero in cui i muove il treno. Le perone in tazione, quardando il paeggero attravero i vetri, a quale velocità lo vedono muoveri? [V rel = 60 km h ] Problema di: Cinematica - C0007 Teto [C0007] Una perona percorre un tragitto lungo S a = 100 m in un tempo t a = 20 ; ucceivamente i ferma per un intervallo di tempo t b = 10 e ucceivamente un tragitto S c = 50 m in un tempo t c = 25. A quale velocità media ha viaggiato nel primo tratto S a? A quale velocità media ha viaggiato nel econdo tratto S c? A quale velocità media ha viaggiato compleivamente? Spiegazione In queto problema non è poibile pecificare in quale tipo di moto tia viaggiando la perona; è però poibile calcolare la velocità media tenuta dalla perona in un certo tratto. Attenzione a non fare il claico errore di confondere la velocità media con la media delle velocità. Nel primo tratto la velocità media vale V m a = S tot t tot Nel econdo tratto la velocità media vale V m c = S tot t tot = 100 m 20 =5m = 50 m 25 =2m Compleivamente, contando quindi anche la paua tenuta dalla perona tra i due tragitti, avremo che V m abc = S tot 100 m + 50 m = t tot =2, 73 m

8 31 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0008 Problema di: Cinematica - C0009 Teto [C0008] Un fucile para orizzontalmente un proiettile alla velocità iniziale V ix = 800 m contro un beraglio alla ditanza S x = 160 m. Di quanti centimetri otto la linea di tiro la pallottola colpirà il beraglio? (Si tracuri l effetto dell attrito con l aria) Spiegazione Un proiettile in volo i muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentre il proiettile i muove in avanti, contemporaneamente cade vero il bao. orizzontale dove con Cominciamo con il coniderare il moto rettilineo uniforme in S x = V ix t i intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al beraglio t = S x V ix = 160 m 800 m t =0, 2 Dobbiamo chiederci adeo di quanto cade un oggetto in quell ìintervallo di tempo. Ricordiamoci che il proiettile veniva parato orizzontalmente e quindi la componente verticale della veocità del proiettile vale zero. S y = 1 2 g t2 + V iy t = 1 2 9, 8 m 2 0, 04 2 =0, 196 m = 19, 6 cm Teto [C0009] Un oggetto i trova ad una certa altezza e viene parato vero l alto con una velocità iniziale V i =4 m. Sapendo che arriverà a terra dopo un tempo t =2ec, quanto i trovava in alto? Spiegazione In queto eercizio è facile capire che l oggetto i muove di moto uniformementre accelerato dal momento che agice l accelerazione di gravità. Biogna però tare attenti alla celta del itema di riferimento e mantenere i conti coerenti con tale celta. Se cegliamo di poizionare il itema di riferimento rivolto vero l alto, allora tutti i vettori vero l alto devono eere critti nelle formule con il egno poitivo e tutti i vettori vero il bao con il egno negativo. Per apere l altezza iniziale dell oggetto, apendo che da tale altezza arriva fino a terra, arà ufficiente calcolare il uo potamento S, tenendo preente che tale potamento, eendo un vettore vero il bao, riulterà di valore negativo. S = 1 2 S = 1 2 g t2 + V i t 9, 8 m m 2 S = 19, 6 m +8m = 11, 6 m L oggetto ha quindi percoro un certo tragitto (i è moo vero l alto per poi ricadere) ma i è potato di 11, 6 m dal punto di partenza fino a terra. L oggetto i trovava quindi all altezza di 11,6 m

9 32 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0010 Problema di: Cinematica - C0011 Teto [C0010] Un tennita durante il ervizio colpice orizzontalmente la pallina all altezza h i =2m imprimendole una velocità iniziale V ix = 30 m. Sapendo che la rete nel punto più alto è alta h r = 1, 07 m e che tale rete i trova alla ditanza S x = 11, 89 m dalla riga di fondo, calcola a quanti centimetri da terra la pallina paa opra la rete. Spiegazione La pallina, lanciata orizzontalmente vero la rete, i muove di moto parabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. mentre la pallina di pota vero la rete, contemporaneamente cade; apendo di quanto cade ripetto all altezza iniziale dalla quale è partita, poiamo tabilire e paa opra la rete o no. orizzontale Cominciamo con l analizzare il moto rettilineo uniforme in t = S x V ix S x = V ix t 11, 89 m = 30 m =0, 396 Durante queto intervallo di tempo la pallina cade di S y = 1 2 g t2 + V iy t = 1 2 9, 8 m 2 (0, 396 )2 =0, 77 m = 77 cm Quindi la pallina paa opra la rete all altezza da terra h 2 = h i S y = 1, 23 m = 123 cm Teto [C0011] Un automobile viaggia alla velocità iniziale V i = 108 km h e ucceivamente comincia a frenare, rallentando fino alla velocità V f = 72 km h. Sapendo che la frenata è durata t =4ec, quale accelerazione ha ubito l automobile? In quale vero è tale accelerazione? Quanta trada ha fatto la macchina durante tale frenata? Spiegazione Queto problema parla di un automobile che i muove con accelerazione cotante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema i riolverà utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importante ricordari di convertire l unità di miura della velocità per poi eeguire i conti. Cominciamo con il convertire i valori delle velocità: V i = 108 km 1000 m = 108 h 3600 = 30 m V f = 72 km 1000 m = 72 h 3600 = 20 m Le equazioni del moto uniformemente accelerato ono: V = a t S = 1 2 a t2 + V i dalla prima equazione poiamo ricavare l accelerazione ubita dall automobile a = V t = V f V i t = 20 m 30 m 4 t = 10 m 4 = 2, 5 m 2 il egno meno indica che l accelerazione è oppota alla velocità iniziale dell automobile, ed è per queto motivo che l automobile ta rallentando. Utilizzando adeo la econda equazione S = 1 2 2, 5 m m 4 = 100 m

10 33 Scheda4. Cinematica: oluzioni Eercizi concettualmente identici 1. Un automobile ta viaggiando alla velocità V i = 36 km h e comincia a frenare con accelerazione cotante a =0.5 m 2. Dopo quanto tempo i ferma? Quanto pazio ha percoro da quando ha cominciato a frenare? [ t = 20 ; S = 100 m.] Problema di: Cinematica - C0012 Teto [C0012] Due automobili tanno percorrendo a velocità cotante due trade che i incrociano. La prima automobile dita dall incrocio S 1 = 600 m e ta viaggiando ad una velocità V 1 = 30 m. La econda automobile dita dall incrocio S 2 = 800 m. A quale velocità deve viaggiare la econda macchina affinchè i contri con la prima? Spiegazione Per prima coa oerviamo che le due automobili viaggiano a velocità cotante e quindi i muovono di moto rettilineo uniforme. Queto ci permette di tabilire che l unica formula da utilizzare è quella del moto uniforme S = V t. Oerviamo inoltre che affinchè le due auto i contrino devono arrivare all incrocio nello teo itante, quindi il tempo impiegato dalla prima auto ad arrivare all incrocio deve eere uguale al tempo impiegato dalla econda auto. Cominciamo con il calcolare quanto tempo impiega la prima auto per arrivare all incrocio S 1 = V 1 t 1 t 1 = S 1 V 1 = 600 m 30 m = 20 Sapendo che affinchè ci ia uno contro le due auto devono impiegare lo teo tempo per arrivare all incrocio t 2 = t 1 = 20 quindi la econda automobile deve viaggiare alla velocità V 2 = S 2 t 2 = 800 m 20 = 40 m

11 34 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0013 Problema di: Cinematica - C0014 Teto [C0013] Se mi muovo in avanti di S 1 = 600 m, e poi a detra di S 2 = 800 m, quanti metri ho percoro? Di quanti metri mi ono potato ripetto al punto di partenza? Diegna i due potamenti e lo potamento totale. Spiegazione La grandezza fiica chiamata Spotamento è una grandezza vettoriale, cioè ha tre caratteritiche (modulo, direzione e vero) e i può rappreentare con un vettore. In queto problema i due vettori potamento ono perpendicolari tra loro, quindi il vettore omma altro non è e non l ipotenua di un triangolo rettangolo che per cateti ha i due vettori indicati dal problema. Ovviamente il moulo dello potamento totale è la ditanza tra il punto di partenza ed il punto di arrivo, e non è da confonderi con il numero di metri percori. Il numero di metri percori è la lunghezza del percoro eguito. La lunghezza del percoro fatto (cioè il numero di metri percori) è la omma delle lunghezza dei due potamenti l tot = S 1 + S 2 = 1400 m Teto [C0014] Un cannone para orizzontalmente un proiettile da una potazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale V ~ ix = 50 m. Dopo un tempo t =4 colpice il uo beraglio. Quanto ditante i trova il beraglio in linea orizzontale? Quanto più in bao ripetto all altezza del cannone? [ S x = 200 m; S y = 78, 4 m] Spiegazione Il proiettile parato dal cannone i muove di moto parabolico; mentre il proiettile avanza, contemporaneamente cade. Per riolvere il problema è neceario analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale e il moto uniformemente accelerato in verticale. orizzontale Cominciamo con l analizzare il moto rettilineo uniforme in S x = V ix t = 50 m 4 = 200 m Tenendo conto che il proiettile è tato parato in orizzontale, per cui V iy =0, durante l intervallo di tempo il proiettile cade di S y = 1 2 g t2 + V iy t = 1 2 9, 8 m = 78, 4 m Lo potamento totale è la omma vettoriale dei due potamenti e vale q S tot = S S2 2 = p m m 2 = 1000 m S- 2 6S 1 > S tot

12 35 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0016 Problema di: Cinematica - C0017 Teto [C0016] Due oggetti vengono lanciati uno vero il bao e l altro vero l alto, entrambi con una velocità iniziale V i =5 m. Se entrambi arrivano a terra dopo un tempo t =4, quanto i trovavano in alto? [h a = 98, 4 m; h b = 58, 4 m] Spiegazione In queto problema due oggetti vengono lanciati con la tea velocità in due direzioni oppote. Dal momento che arrivano entrambi a terra contemporaneamente, e ne deduce che quello lanciato vero il bao doveva trovari più in alto. La particolarità di queto eercizio è che i dati numerici del problema ono gli tei per entrambi gli oggetti, ma le due ituazioni ono di fatto differenti. L altezza a cui i trovano i due oggetti coincide con lo potamento che fanno. Per il primo oggetto: h a = S a = 1 2 g t2 + V i a t = 1 2 9, 8 m m 4 = 98, 4 m Per il econdo oggetto: h b = S b = 1 2 g t2 + V i b t = 1 2 9, 8 m m 4 = 58, 4 m In queto cao il valore della velocità iniziale viene meo negativo in quanto è un vettore oppoto ai vettori potamento ed accelerazione, i quali ono tati mei poitivi. Teto [C0017] Un pallone viene lanciato vero l alto con una velocità iniziale V i = 10 m. Dopo quanto tempo non i è potato? [ t =2, 04 ] Spiegazione In queto problema ul moto uniformemente accelerato viene chieto di trovare in quanto tempo l oggetto in quetione ha fatto un certo potamento. dal momento che il tempo, nell equazione oraria del moto uniformemente accelerato, compare al econdo grado, allora per riolvere il problema erve aper riolvere le equazioni di econdo grado. L equazione del moto uniformemente accelerato è: altrimenti crivibile come S = 1 2 a t2 + V i t 1 2 a t2 + V i t S =0 Riolvendo l equazione in funzione del tempo avremo che: t 1,2 = V i ± p V 2 i +2a S a In queto eercizio lo potamento richieto all oggetto è zero, per cui S = 0 e quindi t 1 =0 t 2 = 2V i a = 2 10 m 9, 8 m 2 =2, 04

13 36 Scheda4. Cinematica: oluzioni Da notare che il valore dell accelerazione di gravità è tato meo negativo in quanto diretta dalla parte oppota ripetto alla velocità iniziale. Guardiamo adeo i valori ottenuti: la prima oluzione indica che l oggetto non i è potato nel momento teo della partenza... e quata è la oluzione ovvia. Il econdo riultato riguarda il cao in cui l oggetto, laciato in aria, nel ricadere a terra per un ingolo itante i trova nelòla poizione iniziale, e quindi in quell itante il uo potamento è nullo. Problema di: Cinematica - C0018 Teto [C0018] Un auto da cora alla fine di una gara dita dal traguardo S 1t = 600 m e viaggia ad una velocità cotante V 1 = 80 m ; una econda auto dita dal traguardo S 2t = 500 m e viaggia ad una velocità cotante V 2 = 50 m. Chi vince la gara? Dopo quanto tempo la macchina più veloce orpaa quella più lenta? Quando l auto che vince taglia il traguardo, a che ditanza dal traguardo i trova l auto che perde? [ t 1 =7, 5 ; t 2 = 10 ;Vince la prima auto; t orp =3, 33 ; d = 125 m] Spiegazione In queto problema entrambe le auto viaggiano a velocità cotante, quindi i muovono di moto rettilineo uniforme. L unica formula da uare arà quindi S = V t. Alla prima domanda i riponde tabilendo quale automobile impiega meno tempo ad arrivare al traguardo. t 1 = S 1 V 1 = 600 m 80 m =7, 5 t 2 = S 2 V 2 = 500 m 50 m = 10 Vince quindi la prima macchina, in quanto, anche e più lontana, ci impiega meno tempo a raggiungere il traguardo. La macchina più veloce i ta avvicinando a quella più lenta, da lei ditante S rel = S 1 S 2 = 100 m con una velocità relativa V rel = V 1 V 2 = 30 m Il orpao avverrà dopo un tempo

14 37 Scheda4. Cinematica: oluzioni t orp = S rel V rel = 100 m 30 m =3, 33 Abbiamo vito che l auto vincitrice taglia il traguardo dopo quello teo tempo l auto più lenta percorre S 2 = V 2 L auto dita quindi dal traquardo t 1 = 50 m 7, 5 = 375 m d = S 2t S 2 = 500 m 375 m = 125 m t 1 =7, 5 ; in Problema di: Cinematica - C0019 Teto [C0019] Un acenore con dentro una perona comincia la ua cora in alita partendo con accelerazione a =2 m. Quanto vale l accelerazione 2 compleiva ubita dalla perona? [a tot = 11, 8 m ] 2 Spiegazione In queto problema abbiamo una perona che ubice due accelerazioni. L accelerazione totale arà emplicemente la omma vettoriale delle due accelerazioni ubite. La prima accelerazione che la perona ubice è l accelerazione di gravità verticale vero il bao del valore g =9, 8 m 2 La econda accelerazione che la perona ubice è cauata dal movimento dell acenore. vito che l acenore i muove vero l alto con accelerazione a = 2 m 2, allora la perona all interno dell acenore deve percepire un accelerazione uguale in valore ma rivolta vero il bao. L accelerazione totale riulta quindi a tot = g + a = 11, 8 m 2

15 38 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0020 Problema di: Cinematica - C0021 Teto [C0020] Se in macchina eeguo una frenata improvvia con accelerazione a =6 m, quanto vale e vero dove e diretta l accelerazione totale che 2 ubico? [a t = 11, 5 m ; in diagonale vero il bao.] 2 Spiegazione In queto problema abbiamo una perona che ubice due accelerazioni. L accelerazione totale arà emplicemente la omma vettoriale delle due accelerazioni ubite. La prima accelerazione che la perona ubice è l accelerazione di gravità verticale vero il bao del valore g =9, 8 m 2 La econda accelerazione che la perona ubice è cauata dal movimento dell auto. Vito che l auto frena con accelerazione a =2 m indietro ripetto al movimento dell auto, allora la perona all interno dell acenore deve 2 percepire un accelerazione uguale in valore ma rivolta in avanti ripetto al movimento dell auto. I due vettori accelerazione ono tra loro perpendicolari, quindi Teto [C0021] Una moto i muove con velocità cotante V 1 = 72 km h ineguendo un auto che i muove con velocità cotante V 2 = 54 km h. Sappiamo che in un certo itante iniziale l auto ha t = 10 min di vantaggio ulla moto. Quanti metri di ditanza ci ono tra l auto e la moto all itante iniziale? Dopo quanto tempo la moto raggiunge l auto? Spiegazione In queto problema abbiamo due corpi che i muovono entrambi di moto rettilineo uniforme a differenti velocità. La moto inegue l auto e, vito che i muove più velocemente, prima o poi la raggiunge. Sappiamo che all itante iniziale l auto ha Deltat = 10 min di vantaggio ulla moto, quindi l auto ha già percoro S = V auto t = 54 km h 10 min = 54 km h 1 h 6 =9km e queto valore è il vantaggio dell auto ulla moto. La moto i avvicina all auto con una velocità relativa V rel = V moto V auto = 18 km h a tot = p g 2 + a 2 = 11, 5 m 2 ed è diretta diagonalmente in avanti vero il bao, come i può contatare effettuando la omma con il metodo grafico. Quindi la moto raggiunge l auto dopo un tempo t = S = 9 km V rel 18 km h =0, 5 h = 30 min

16 39 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0022 Problema di: Cinematica - C0023 Teto [C0022] Due lepri i rincorrono ripettivamente alla velocità cotante V 1 =5 m e V 2 =3 m, e ditano inizialmente S = 12 m. Dopo quanto tempo il più veloce raggiunge il più lento? Spiegazione In queto problema abbiamo due corpi che i muovono entrambi di moto rettilineo uniforme a differenti velocità. Il catoro più veloce inegue il più lento raggiungendolo. relativa Il catoro veloce i avvicina a quello lento con una velocità V rel = V 1 V 2 =2 m Teto [C0023] Un atleta deve correre una gara lunga S tot = 60 m. Partendo con una velocità iniziale V i =4 m, ha già coro per un tempo t =3 con un accelerazione cotante a =0, 5 m. Quanti metri mancano al traguardo? 2 Spiegazione In queto problema l atleta ha già percoro un certo tratto di trada. Per apere quanti metri mancano al traguardo è neceario calcolari quanti metri ha già percoro e ottrarre queto valore alla lunghezza compleiva della gara. Sapendo che l atleta i muove con accelerazione cotante, e ne deduce che i muove di moto uniformemente accelerato; queta informazione è determinante per apere quali formule utilizzare per calcolari quanti metri ha già percoro. Quindi lo raggiunge dopo un tempo t = S = 12 m V rel 2 m =6 La trada che l atleta ha già percoro vale: S = 1 2 a t2 + V i t S = 1 2 0, 5 m m 3 = 14, 25 m La trada che deve ancora percorrere vale: S mancante = S tot S = 60 m 14, 25 m = 45, 75 m

17 40 Scheda4. Cinematica: oluzioni Problema di: Cinematica - C0024 Problema di: Cinematica - C0025 Teto [C0024] Giorgio percorre S 1 =7hm e ucceivamente i muove per un tempo t 1 =3min viaggiando alla velocità V 1 =4 m. Marco percorre una ditanza S 2 =0, 6 Migliae ucceivamente i muove per un tempo t 2 =0, 1 h viaggiando alla velocità V 2 =2 m. Chi ha percoro più trada? Teto [C0025] Un oggetto viene lanciato vero l alto da un altezza h i = 30 m con una velocità iniziale V i =5 m. Dopo quanto tempo arriva a terra? [ t =3] Spiegazione In queto problema due perone i muovono... bata calcolare per entrambe quanta trada hanno fatto. La ditanza che ha percoro Giorgio vale: S = S 1 + V 1 t 1 S =7hm +4 m 3 min = 700 m +4m 180 = 1420 m La ditanza che ha percoro Marco vale: S = S 1 + V 1 t 1 S =0, 6 Miglia+2 m 0, 1 h =0, m +2m 0, = 1680 m Marco ha fatto un po più di trada. Spiegazione In queto problema ul moto uniformemente accelerato viene chieto di trovare in quanto tempo l oggetto in quetione ha fatto un certo potamento. dal momento che il tempo, nell equazione oraria del moto uniformemente accelerato, compare al econdo grado, allora per riolvere il problema erve aper riolvere le equazioni di econdo grado. Conideriamo il itema di riferimento con l origine nel terreno e rivolto vero l alto. L equazione del moto uniformemente accelerato è: altrimenti crivibile come S = 1 2 a t2 + V i t 1 2 a t2 + V i t S =0 Riolvendo l equazione in funzione del tempo avremo che: t 1,2 = V i ± p V 2 i +2a S a In queto eercizio lo potamento richieto all oggetto è S = 30 m; l accelerazione di gravità è a = g = 9, 8 m 2. t 1 = 2, 02

18 41 Scheda4. Cinematica: oluzioni t 2 =3, 04 Da notare che il valore dell accelerazione di gravità è tato meo negativo in quanto diretta dalla parte oppota ripetto al vero del itema di riferimento. Guardiamo adeo i valori ottenuti: la oluzione poitiva è la ripota al problema; il riultato negativo afferma che nel uo movimento l oggetto i trovava a terra in un certo itante nel paato. Vito che l oggetto all itante iniziale i muoveva vero l alto, queto vuol dire in effetti che proveniva da un punto più un bao. Problema di: Cinematica - C0026 Teto [C0026] Un oggetto viene laciato cadere, partendo da fermo, in un pozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo t =2. Quanto è profondo il pozzo? Spiegazione In queto problema ul moto uniformemente accelerato viene chieto di trovare di quanto i è potato l oggetto in quetione nell intervallo di tempo indicato. E ufficiente applicare la formula del moto uniformemente accelerato. L equazione del moto uniformemente accelerato è: S = 1 2 a t2 + V i t L accelerazione in quetione è l accelerazione di gravità. S = 1 2 9, 8 m = 19, 6 m