Soluzioni del giornalino n. 16

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Soluzioni del giornalino n. 16"

Transcript

1 Soluzioni del giornalino n. 16 Gruppo Tutor Soluzione del Problema 1 Soluzioni corrette ci sono pervenute da : Gianmarco Chinello, Andrea Conti, Simone Costa, Marco Di Liberto, Simone Di Marino, Valerio Dose, Simone Ferraro, Mattia Galeotti, Salvatore Ingala, Marina Semerano, Luca Tasin, Matthew Trager, Dario Turchetto. Sia AB la Via delle Guardie, sia C il suo punto di tangenza con la cerchia delle mura interne e sia O il centro comune delle due cerchie di mura. Chiamiamo R ed r i raggi delle due cerchie (con r < R). A C B O Noi vogliamo calcolare S = π(r 2 r 2 ); osserviamo che OA = OB = R e che OC AB in quanto AB è tangente. Da ciò deduciamo che OC è altezza e mediana di AOB e dunque AC = CB. Applicando il teorema di Pitagora ricaviamo la relazione OA 2 OC 2 = R 2 r 2 = CA 2 ; dai dati sappiamo che CA = AB/2 = 6 miglia. Quindi, mettendo tutto insieme S = π(r 2 r 2 ) = CA 2 π = 36π miglia 2 Soluzione del problema 2 Soluzioni corrette ci sono pervenute da Gianmarco Chinello, Andrea Conti, Simone Costa, Angelo De Marco, Simone Di Marino, Valerio Dose, Salvatore Ingala. Soluzioni parzialmente corrette ci sono pervenute da Luca Tasin e Matthew Trager. Poiché le cifre devono essere disposte in ordine strettamente crescente ogni cifra può comparire al più una volta e quindi il numero non può avere più di 9 cifre. Inoltre ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri {1, 2,..., 9} corrisponde ad uno ed un solo numero formato a quelle cifre in ordine crescente, quindi il risultato 1

2 è pari al numero di tali sottoinsiemi, che è = 511. Ricordate che non è assurdo chiedere che un numero con una sola cifra abbia le cifre strettamente crescenti, semplicemente questa proprietà è automaticamente verificata! Soluzione del problema 3 Soluzioni corrette ci sono pervenute da: Gianmarco Chinello, Andrea Conti, Simone Costa, Marco Di Liberto, Simone Di Marino, Valerio Dose, Simone Ferraro, Salvatore Ingala, Luca Tasin, Matthew Trager. Moltiplicando entrambi i membri per n! si ottiene: da cui (2n)! = (2n)! = (2n 3) (2n 1) 2 n n! ( )( ) (2n 3) (2n 1) (2n 2) (2n) ovvero l identità (2n)! = (2n)! Soluzione del Problema 4 Soluzioni corrette ci sono pervenute da : Simone Costa, Simone Di Marino, Salvatore Ingala, Luca Tasin, Matthew Trager. Soluzioni sostanzialmente corrette ci sono pervenute da : Andrea Conti, Valerio Dose. Per n 5, esistono almeno 3 punti dello stesso colore (per il principio dei cassetti). Consideriamo ora l insieme di tutti i triangoli che hanno come vertici 3 punti dello stesso colore tra gli n punti dati; per la precedente osservazione e per il fatto che 3 punti dello stesso colore non sono mai allineati, questo insieme è non vuoto. Tali triangoli sono in numero finito, poiché i punti di partenza sono in numero finito. Dunque esiste tra essi un triangolo di area minima (non necessariamente uno solo); supponiamo che i suoi vertici siano rossi e consideriamo i suoi lati : se su tutti e tre tali lati c è un punto blu, questi tre punti blu individuano un triangolo di area minore del precedente e questo non è possibile in quanto avevamo supposto che il triangolo da noi considerato fosse di area minima. Dunque uno dei lati non contiene punti blu e la tesi è dimostrata Soluzione del problema 5 Soluzioni corrette ci sono pervenute da Andrea Conti, Simone Costa, Valerio Dose, Salvatore Ingala, Luca Tasin, Matthew Trager. Ragioniamo per assurdo: numeriamo gli insiemi progressivamente da 1 a 2004, e definiamo per ogni insieme un numero intero positivo a i tale che non esista nessun suo multiplo nell insieme i-esimo. Consideriamo ora il minimo comune multiplo degli interi a i. Per come è costruito tale numero, esso non potrebbe essere contenuto in nessun insieme della partizione ma questo è assurdo, in quanto esso deve essere contenuto in uno ed un solo insieme della partizione. Soluzione del Problema 6 Una soluzione parzialmente corretta ci è pervenuta da Luca Tasin. 2

3 Chiamiamo h, k, j le rette da P a H, K, J rispettivamente e chiamiamo d, e, f le rette da D, E, F perpendicolari ad AB, BC, CA rispettivamente. Siano infine l, m, n gli assi di KD, HE, JF. Poiché K, H, J, D, E, F sono conciclici, m, n, l concorrono in un punto O. Inoltre, è facile vedere che h e d sono simmetriche rispetto a l e che lo stesso vale per k ed e rispetto a m e j e f rispetto a n; ora bisogna ricordare che se due rette sono simmetriche rispetto ad una terza lo sono anche rispetto ad un suo qualsiasi punto. Quindi, scegliendo il punto O comune ai tre assi di simmetria l, m, n, otteniamo che, tramite una simmetria centrale in O, h va in d, k va in e, j va in f e dunque il punto P comune a h, k, j va in un punto Q comune a d, e, f che quindi concorrono. Soluzione del problema 7 Soluzioni corrette ci sono pervenute da Andrea Conti, Gianmarco Chinello, Luca Tasin, Salvatore Ingala, Simone di Marino, e Simone. Una soluzione parzialmente corretta ci è pervenuta da Valerio Dose Il problema si risolve considerando i residui quadratici e notando che la somma di 3, 4, 5 o 6 quadrati consecutivi non è mai un residuo per un modulo opportuno. Nel caso n = 3 si ha che la somma di 3 quadrati consecutivi si può scrivere come (a 1) 2 +a 2 +(a+1) 2 = 3a 2 +2 Ora considerando i resti dell espressione modulo 3 ci accorgiamo che, mentre ovviamente l espressione scritta da resto 2 se divisa per 3 indipendentemente da a un quadrato non dà mai resto 2 quando lo si divide per 3 in altre parole 2 non è residuo quadratico modulo 3, da cui si ottiene che la somma di 3 quadrati consecutivi non può essere un quadrato. Nel caso n = 4, scriviamo la somma come (a 1) 2 + a 2 + (a + 1) 2 + (a + 2) 2 = 4a 2 + 4a + 6. Ragionando come nel caso precedente, ma considerando i resti nella divisoione per 4 invece che per 3, otteniamo che i quadrati hanno resto 0 o 1 quando divisi per 4, mentre la somma di 4 quadrati consecutivi dà resto 2 se divisa per 4, dunque non può essere a sua volta un quadrato. Procedendo analogamente nel caso n = 5, scrivendo la somma come 5a = 5(a 2 + 2), abbiamo che se quest espressione deve essere un quadrato, allora essendo multipla di 5 deve essere multipla di 25 in altre parole a deve essere multiplo di 5. Ma un quadrato non dà mai resto 3 quando è diviso per 5, in quanto i possibili resti di un quadrato modulo 5 sono 0, 1 e 4. Nel caso n = 6, scriviamo analogamente la somma come 6a 2 + 6a Questa volta usiamo di nuovo i resti nella divisione per 4, dopo aver notato che 6a 2 + 6a = 6a(a + 1) è sempre multiplo di 4 in quanto a(a + 1) è pari. Infine, per il caso n = 11 basta notare che la somma dei quadrati degli 11 numeri consecutivi 4, 3,..., 6 è 121 che è un quadrato perfetto. Soluzione del problema 8 Soluzioni parzialmente corrette ci sono pervenute da: Andrea Conti, Salvatore Ingala, Luca Tasin. Possiamo indicare quali regali riceve ogni bambino in una tabella fatta in questo modo: nelle righe indichiamo i bambini, nelle colonne i regali, e anneriamo una casella (i, j) se il bambino i ha ricevuto il regalo j. Guardiamo la tabella lungo le righe: dall ipotesi sappiamo che in ogni riga ci sono più della metà di caselle annerite, quindi in tutta la tabella più della metà delle caselle saranno annerite. Ora guardiamo la tabella lungo le colonne: poiché più della metà delle caselle sono annerite, ci dev essere almeno una colonna con più della metà delle caselle 3

4 annerite, quindi con almeno 6 caselle annerite su 10. Cioè, esiste un regalo A che hanno ricevuto almeno 6 bambini. A questo punto eliminiamo dalla tabella la colonna corrispondente al regalo scelto, A, e le righe corrispondenti ai bambini che l hanno ricevuto: quindi ci resterà una tabella con n 1 colonne e quattro (o meno) righe. In questa tabella sono rimasti solo i bambini che non hanno ricevuto il regalo A: quindi ognuno di essi avrà ricevuto più di n/2 dei regali rimanenti, e perciò di nuovo in ogni riga sono annerite più di metà delle caselle. Possiamo allora applicare lo stesso ragionamento di prima e concludere che c è un regalo che è stato scelto da almeno la metà dei bambini rimanenti. Quindi: 1. Se nella tabella sono rimasti quattro bambini, allora c è un regalo inviato ad almeno tre bambini: allora prendiamo nel nostro insieme quest ultimo regalo, il primo regalo scelto A, e eventualmente, se è rimasto scoperto un bambino, uno qualunque dei regali scelti da quest ultimo. In questo modo abbiamo scelto tre regali che soddisfano la richiesta del problema. 2. Se nella tabella sono rimasti 3 bambini, allora c è un regalo che è stato inviato ad almeno due bambini: allora, il primo regalo era stato inviato a 7 bambini, quest ultimo ad almeno due diversi dai precedenti, quindi rimane al più un bambino che non ha ricevuto nessuno dei due. Scegliamo come terzo regalo un regalo qualunque scelto da quest ultimo bambino e siamo a posto. 3. Se nella tabella rimangono due bambini, allora il primo regalo era stato scelto da almeno 8 bambini, quindi possiamo completare la terna scegliendo un regalo qualunque tra quelli ricevuti dal nono e uno tra quelli ricevuti dal decimo. 4. Se nella tabella rimane un bambino solo, completiamo la terna con un regalo qualsiasi tra quelli ricevuti da lui e un ultimo regalo qualsiasi. In conclusione, in ognuno dei casi siamo riusciti a costruire una terna di regali che soddisfi alla richiesta del problema. Si noti che considerare il solo primo caso (in cui il primo regalo è inviato a 6 bambini e il secondo a 3) non è sufficiente a risolvere completamente il problema. Soluzione del problema 9 Soluzioni corrette ci sono pervenute da Andrea Conti, Salvatore Ingala, Elia Santi e Luca Tasin. Poniamo A = mb + nc, B = mc + na, C = ma + nb. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz abbiamo ( a A + b B + c C )(aa + bb + cc) (a + b + c)2. Osservando che aa + bb + cc = (m + n)(ab + bc + ca) e che 3(ab + bc + ca) (a + b + c) 2, come dimostreremo a parte, si ha allora ( a A + b B + c )(m + n)(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca). C Dividendo per (m + n)(ab + bc + ca) si ottiene la tesi. 4

5 Dimostriamo ora che 3(ab + bc + ca) (a + b + c) 2. Ciò può essere fatto il molti modi. La maniera più naturale è sommare le disuguaglianze (a b) 2 0, (b c) 2 0, (c a) 2 0, da cui portando i doppi prodotti a destra e dividendo per 2 si ottiene (a 2 + b 2 + c 2 ) ab + bc + ca. Sommando 2ab + 2bc + 2ca ad entrambi i membri si ottiene la tesi. Soluzione del problema 10 Soluzioni corrette ci sono pervenute da: Salvatore Ingala, Simone Di Marino, Luca Tasin. Definiamo a n = pn q n, e riscriviamo la ricorrenza così: a n = p n q n = p n 1 + nq n 1 np n 1 + q n 1 Cioè p n = p n 1 + nq n 1, q n = np n 1 + q n 1. Sommando le due equazioni, si ottiene: p n + q n = (n + 1)(p n 1 + q n 1 ) e p n q n = (n 1)(p n 1 q n 1 ). Sapendo che p 3 + q 3 = 12 = 4! 2 e p 3 q 3 = 2! sviluppiamo la ricorrenza e otteniamo: p n + q n = (n+1)! 2, e p n q n = ( 1) n (n 1)!. Da questo si deduce che a n = p n = (n + 1)! + 2( 1)n (n 1)! n(n + 1) + 2( 1)n q n (n + 1)! + 2( 1) n = (n 1)! n(n + 1) 2( 1) n Quindi, in particolare, a 2004 =

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio

IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio 17 novembre 2010 Griglia delle risposte

Dettagli

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI Liceo Scientifico G. Salvemini Corso di preparazione per la gara provinciale delle OLIMPIADI DELLA MATEMATICA INTRO TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI NUMERI INTERI QUESITO Un quesito (facile) sulle cifre:

Dettagli

N. 4 I ludi geometrici di Leonardo da Vinci Un gioco per avvicinarsi al concetto di area franco ghione, daniele pasquazi

N. 4 I ludi geometrici di Leonardo da Vinci Un gioco per avvicinarsi al concetto di area franco ghione, daniele pasquazi N. 4 I ludi geometrici di Leonardo da Vinci Un gioco per avvicinarsi al concetto di area franco ghione, daniele pasquazi Tra i molteplici interessi scientifici di Leonardo non dobbiamo dimenticare la matematica.

Dettagli

I Giochi di Archimede-- Soluzioni triennio

I Giochi di Archimede-- Soluzioni triennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE I Giochi di Archimede-- Soluzioni triennio 17 novembre 2010 Griglia delle

Dettagli

Kangourou della Matematica 2014 finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio 2014

Kangourou della Matematica 2014 finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio 2014 Kangourou della Matematica 2014 finale nazionale italiana Mirabilandia, 12 maggio 2014 LIVELLO STUDENT K,M N CD BC A S1. (5 punti ) In figura si vede una circonferenza della quale i segmenti AB, BC e CD

Dettagli

GIOCHI A SQUADRE 2013

GIOCHI A SQUADRE 2013 GIOCHI A SQUADRE 2013 1. Trovate il più piccolo intero naturale che, diviso per 3, dà come resto 1; diviso per 4, dà il resto di 2, diviso per 5, dà il resto di 3 e, diviso per 6, dà il resto di 4. 58

Dettagli

GIOCHI D AUTUNNO 2003 SOLUZIONI

GIOCHI D AUTUNNO 2003 SOLUZIONI GIOCHI D AUTUNNO 2003 SOLUZIONI 1) MARATONA DI MATHTOWN Pietro arriva alle 16.56, Renato alle 17.01, Desiderio alle 16.54 e Angelo alle 17.04. L ultimo ad arrivare è Angelo che arriva alle 17.04 2) PARI

Dettagli

DA GIOCHI D AUTUNNO 2006 SOLUZIONI E COMMENTI

DA GIOCHI D AUTUNNO 2006 SOLUZIONI E COMMENTI DA GIOCHI D AUTUNNO 2006 SOLUZIONI E COMMENTI 1. GIOCO DI CUBI L altezza della piramide di Luca è 95 cm. = (14 + 13 + 12 + + 7 + 6 + 5) 2. LA PARTENZA Anna saluterà le amiche nel seguente ordine: S-I-G-C

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado

Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado. Risposta A). Il triangolo ABC ha la stessa altezza del triangolo AOB ma base di lunghezza doppia (il diametro

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio 22 novembre 2012

I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio 22 novembre 2012 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE I Giochi di Archimede - Soluzioni Biennio novembre 0 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ES. 1 - Due treni partono da due stazioni distanti 20 km dirigendosi uno verso l altro rispettivamente alla velocità costante di v! = 50,00 km/h e v 2 = 100,00 km

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 22 novembre 2011

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 22 novembre 2011 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 22 novembre 2011 Griglia delle risposte

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

L Ultimo Teorema di Fermat per n = 3 e n = 4

L Ultimo Teorema di Fermat per n = 3 e n = 4 Università degli Studi di Cagliari Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Matematica L Ultimo Teorema di Fermat per n = 3 e n = 4 Relatore Prof. Andrea Loi Tesi di Laurea

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia

I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia 20 febbraio 205 Introduzione Consideriamo l insieme Luca Goldoni PhD Università di Trento Dipartimento di Informatica Università di Modena Dipartimento

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Ecolier Per studenti di quarta o quinta della scuola primaria

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Ecolier Per studenti di quarta o quinta della scuola primaria Testi_07.qxp 16-04-2007 12:02 Pagina 5 Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Per studenti di quarta o quinta della scuola primaria I quesiti dal N. 1 al N. 8 valgono 3 punti ciascuno 1. Osserva

Dettagli

ASSIOMI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE

ASSIOMI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE ASSIOMI DELLA GEOMETRIA RAZIONALE ASSIOMI DI APPARTENENZA A1 Per ogni coppia di punti A e B di un piano π esiste ed è unica la retta che li contiene. A2 Data nel piano π una retta r esistono almeno due

Dettagli

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA INdAM Prova scritta per il concorso a 40 borse di studio, 2 borse aggiuntive e a 40 premi per l iscrizione ai Corsi di Laurea in Matematica, anno accademico 2011/2012. Piano Lauree Scientifiche. La prova

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 01 1. Determiniamo l espressione analitica di g() dividendo il suo dominio in intervalli. La circonferenza di diametro AO ha equazione (+) + = + + = 0

Dettagli

Utilizzo delle formule in Excel

Utilizzo delle formule in Excel Utilizzo delle formule in Excel Excel è dotato di un potente motore di calcolo che può essere utilizzato per elaborare i dati immessi dagli utenti. I calcoli sono definiti mediante formule. Ogni formula

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

Lezione 6. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive.

Lezione 6. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive. Lezione 6 Prerequisiti: L'insieme dei numeri interi. Lezione 5. Divisibilità e divisori. Teorema di divisione euclidea. Algoritmo delle divisioni successive. Questa è la prima lezione dedicata all'anello

Dettagli

I Giochi di Archimede -- Soluzioni triennio 21 novembre 2007

I Giochi di Archimede -- Soluzioni triennio 21 novembre 2007 PROGETTO OLIMPIDI DI MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN MINISTERO DELL PULI ISTRUZIONE SUOL NORMLE SUPERIORE I Giochi di rchimede -- Soluzioni triennio 1 novembre 007 Griglia delle risposte corrette Problema

Dettagli

LIVELLO STUDENT S1. S2. S3. S4. S5. S6.

LIVELLO STUDENT S1. S2. S3. S4. S5.  S6. LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) La figura mostra due quadrati uguali che hanno in comune esattamente un vertice. È possibile precisare la misura dell'angolo ABC? S2. (7 punti ) Negli usuali fogli (rettangolari)

Dettagli

1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA. 2. Le terne pitagoriche 3. Applicazioni i idel teorema di Pitagora.

1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA. 2. Le terne pitagoriche 3. Applicazioni i idel teorema di Pitagora. TEOREMA DI PITAGORA Contenuti 1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA. Le terne pitagoriche 3. Applicazioni i idel teorema di Pitagora Competenze 1. Sapere il significato di terna pitagorica

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

Il principio di induzione e i numeri naturali.

Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione e i numeri naturali. Il principio di induzione è un potente strumento di dimostrazione, al quale si ricorre ogni volta che si debba dimostrare una proprietà in un numero infinito

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi:

Corso PAS Anno 2014. ESEMPIO. Per n = 3, Z 3 contiene 3 elementi: Corso PAS Anno 2014 Matematica e didattica 3 Correzione esercizi 1. Definizione. Sia n un fissato intero maggiore di 1. Dati due interi a, b si dice che a è congruo a b modulo n, e si scrive a b (mod n),

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

B. Vogliamo determinare l equazione della retta

B. Vogliamo determinare l equazione della retta Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura

Dettagli

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso.

Scheda I. 3 La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Scheda I. La non possibilità di duplicare il cubo con riga e compasso. Dopo Menecmo, Archita, Eratostene molti altri, sfidando gli dei hanno trovato interessante dedicare il loro tempo per trovare una

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

I SISTEMI DI NUMERAZIONE

I SISTEMI DI NUMERAZIONE ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE G. M. ANGIOY CARBONIA I SISTEMI DI NUMERAZIONE Prof. G. Ciaschetti Fin dall antichità, l uomo ha avuto il bisogno di rappresentare le quantità in modo simbolico. Sono nati

Dettagli

Soluzioni del Certamen Mathematicum

Soluzioni del Certamen Mathematicum Soluzioni del Certamen Mathematicum dicembre 2004 1. Notiamo che un qualsiasi quadrato modulo 4 è sempre congruo o a 0 o a 1. Infatti, se tale numero è pari possiamo scriverlo come 2k, seè dispari invece

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2003 Categoria Cadet Per studenti di terza media o prima superiore

Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2003 Categoria Cadet Per studenti di terza media o prima superiore 15-20-.qxd 29/03/2003 8.22 Pagina 16 Kangourou Italia Gara del 20 marzo 2003 Categoria Per studenti di terza media o prima superiore I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Quale dei seguenti

Dettagli

Parte I. Relazioni di ricorrenza

Parte I. Relazioni di ricorrenza Parte I Relazioni di ricorrenza 1 Capitolo 1 Relazioni di ricorrenza 1.1 Modelli Nel seguente capitolo studieremo le relazioni di ricorrenza. Ad esempio sono relazioni di ricorrenza a n = a n 1 + n, a

Dettagli

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5

ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA. A. Concetti e proprietà di base del sistema dei numeri della matematica ( ) + 64 7 10 :5 ESERCITAZIONI PROPEDEUTICHE DI MATEMATICA PER IL CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Ana Millán Gasca Luigi Regoliosi La lettura e lo studio del libro Pensare in matematica da parte degli

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 15 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado Testi_07.qxp 6-04-2007 2:07 Pagina 28 Kangourou Italia Gara del 5 marzo 2007 Categoria Student Per studenti di quarta o quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. al N. 0 valgono 3 punti

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

5. La teoria astratta della misura.

5. La teoria astratta della misura. 5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme

Dettagli

PRIMAVERA IN BICOCCA

PRIMAVERA IN BICOCCA PRIMAVERA IN BICOCCA 1. Numeri primi e fattorizzazione Una delle applicazioni più rilevanti della Teoria dei Numeri si ha nel campo della crittografia. In queste note vogliamo delineare, in particolare,

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Esercizi svolti sui numeri complessi

Esercizi svolti sui numeri complessi Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =

Dettagli

Anna Montemurro. 2Geometria. e misura

Anna Montemurro. 2Geometria. e misura Anna Montemurro Destinazione Matematica 2Geometria e misura GEOMETRIA E MISURA UNITÀ 11 Le aree dei poligoni apprendo... 11. 1 FIGURE PIANE EQUIVALENTI Consideriamo la figura A. A Le figure B e C

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

I quesiti di Matematica per la classe di concorso A059

I quesiti di Matematica per la classe di concorso A059 I quesiti di Matematica per la classe di concorso A059 Prof. Michelangelo Di Stasio Liceo Scientifico Statale Galileo Galilei di Piedimonte Matese (CE) michelangelodistasio@tin.it SOMMARIO Si propone la

Dettagli

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro

Appunti ed esercizi di combinatoria. Alberto Carraro Appunti ed esercizi di combinatoria Alberto Carraro December 2, 2009 01 Le formule principali per contare Disposizioni Sia A un insieme di n 1 elementi distinti Le sequenze di 1 k n elementi scelti senza

Dettagli

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore

Lezione 5. Argomenti. Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore Lezione 5 Argomenti Premessa Vincolo di bilancio La scelta ottima del consumatore 5.1 PREESSA Nonostante le preferenze portino a desiderare quantità crescenti di beni, nella realtà gli individui non sono

Dettagli

PAVIA 23 settembre 2004 (Induzione e disuguaglianze)

PAVIA 23 settembre 2004 (Induzione e disuguaglianze) PAVIA 23 settembre 2004 (Induzione e disuguaglianze) 1. Dando per assodato il ben noto risultato sulla somma degli angoli di un triangolo, dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di

Dettagli

Vincere a testa o croce

Vincere a testa o croce Vincere a testa o croce Liceo B. Russell - Cles (TN) Classe 3D Insegnante di riferimento: Claretta Carrara Ricercatrice: Ester Dalvit Partecipanti: Alessio, Christian, Carlo, Daniele, Elena, Filippo, Ilaria,

Dettagli

allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione

allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione 1)Cosa rappresenta il seguente limite e quale ne è il valore? E il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)= con punto iniziale, al tendere a 0 dell incremento h. Il valore del limite può essere

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

Blocco_A_2014 pag. 1

Blocco_A_2014 pag. 1 Blocco_A_2014 pag. 1 D1. Quattro amiche devono eseguire la seguente moltiplicazione: 25 (-30) Per trovare il risultato ognuna svolge il calcolo in modo diverso. Chi ha svolto il calcolo in modo NON corretto?

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali.

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

Insiemi con un operazione

Insiemi con un operazione Capitolo 3 Insiemi con un operazione 3.1 Gruppoidi, semigruppi, monoidi Definizione 309 Un operazione binaria su un insieme G è una funzione: f : G G G Quindi, un operazione binaria f su un insieme G è

Dettagli

I L R A P P O RT O F R A G R A N D E Z Z E

I L R A P P O RT O F R A G R A N D E Z Z E I L R A P P O RT O F R A G R A N D E Z Z E lorenzo pantieri Giugno 2007 indice 1 Congruenza fra segmenti 1 2 Somma fra lunghezze 1 3 Multiplo e sottomultiplo di una lunghezza 2 4 Relazione di ordine (stretto)

Dettagli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli

I numeri complessi. Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli I numeri complessi Mario Spagnuolo Corso di Laurea in Fisica - Facoltà di Scienze - Università Federico II di Napoli 1 Introduzione Studiare i numeri complessi può sembrare inutile ed avulso dalla realtà;

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio

IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionitriennio 18 novembre 2009 Griglia delle risposte

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Successioni ricorsive

Successioni ricorsive Capitolo 1 Successioni ricorsive Un modo spesso usato per assegnare una successione è quello ricorsivo che consiste nell assegnare alcuni termini iniziali (il primo, oppure i primi due, oppure i primi...

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

LABORATORIO DI MATEMATICA RENDITE, AMMORTAMENTI, LEASING CON EXCEL

LABORATORIO DI MATEMATICA RENDITE, AMMORTAMENTI, LEASING CON EXCEL LABORATORIO DI MATEMATICA RENDITE, AMMORTAMENTI, LEASING CON EXCEL ESERCITAZIONE GUIDATA: LE RENDITE 1. Il montante di una rendita immediata posticipata Utilizzando Excel, calcoliamo il montante di una

Dettagli

I costi. Costi economici vs. costi contabili

I costi. Costi economici vs. costi contabili I costi Costi economici vs. costi contabili I costi economici connessi alla produzione di una certa quantità di output Y includono tutte le spese per i fattori produttivi. In altre parole, i costi economici

Dettagli

Anno 1. Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi)

Anno 1. Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi) Anno 1 Le relazioni fondamentali (equivalenza, d'ordine, inverse, fra insiemi) 1 Introduzione In questa lezione imparerai a utilizzare le diverse tipologie di relazione e a distinguerle a seconda delle

Dettagli