Corso di laboratorio di didattica della matematica. Analisi e risoluzione dei problemi

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1 Corso di specializzazione per l insegnamento Corso di laboratorio di didattica della matematica Analisi e risoluzione dei problemi UNIVERSITA DEGLI STUDI DI SALERNOS.I.C.S.I. A/059 aa , doc. prof. L. Di Lascio CANDIDATA: RENDINA ITALIACORNELIA

2 Che problema sto problema Analisi e risoluzione dei problemi

3 Questo modulo di apprendimento è destinato ai ragazzi di prima media. Prerequisiti: -le quattro operazioni fondamentali. Obiettivi generali: - far comprendere l importanza di un attenta ed accurata lettura del testo di un problema. - Analizzare i dati e collegarli opportunamente con specifiche conoscenze. - Abituarsi a schematizzare con ordine e precisione dati e operazioni.

4 - Saper costruire un diagramma di flusso e comprenderne l utilità. - Acquisire ed utilizzare le tecniche risolutive di alcuni tipi di problemi. Contenuti: Lettura, analisi critica e ipotesi di soluzione di semplici problemi matematici e di vita comune. Metodologie: - Suddivisione in gruppi della classe, con conseguente disposizione dei banchi. - È mia intenzione impostare le lezioni in maniera non canonica, ma richiedendo la continua partecipazione dei ragazzi.

5 Mezzi e strumenti: - Testo scolastico. - Appunti portati da me. Spazi e tempi: - L intera unità si svolgerà in classe. - Prevedo che per lo svolgimento dell unità mi siano necessari almeno 8 settimane. Verifica e Valutazione - Verifiche intermedie verranno eseguite periodicamente in classe. - La verifica finale sarà eterogenea, con la somministrazione di test a risposta multipla, domande vero o falso e a risposta aperta.

6 Premessa Con il termine problema spesso si riferisce ad attività di diverso tipo. Alcuni problemi sono semplici esercizi applicativi, che richiedono al ragazzo di ricercare la formula, il procedimento necessario a trovare la soluzione. Questo tipo di problema permette sia di verificare l acquisizione di determinate competenze, sia di capire se l allievo comprende e utilizza correttamente il linguaggio specifico.

7 Premessa Altri tipi di problemi invece, implicano l attivazione di competenze nuove a situazione già note. Questo tipo di problema permette di verificare la capacità dell allievo di applicare le proprie conoscenze per arrivare a soluzioni creative.

8 Obiettivo specifico. - Individuare e riconoscere le informazioni. Osservazione. Intenzionalmente verrà utilizzato un linguaggio che riconduce molto alla programmazione e all informatica.

9 Contenuti Informazioni Memoria - Dati Risolvere un problema significa raggiungere degli obiettivi, che di solito sono chiaramente espressi dalle domande contenute nel testo del problema. Per raggiungere tali obiettivi è necessario anzitutto individuare quali sono le informazioni che ci vengono fornite dal problema e poi, in base a queste e a quello che il problema ci chiede di calcolare, decidere quale strada deve essere percorsa, cioè quale procedimento deve essere seguito, quali formule devono essere applicate, quali operazioni di calcolo sono necessarie.

10 Applicare delle formule note e fare delle operazioni significa utilizzare le informazioni che sono in nostro possesso, che generalmente ci suggeriscono il procedimento per risolvere il problema e che sono contenute nella traccia del problema. L insieme delle informazioni già in nostro possesso possiamo chiamarla memoria, mentre le informazioni che ci vengono fornite dal problema le chiameremo dati. Fondamentale poi è tenere sempre a mente ciò che il problema ci chiede di calcolare, cioè quello che viene comunemente indicato con il termine di risultato, che noi potremmo indicare con il termine di incognita.

11 Informazioni Si dividono in Si dividono in Memoria Dati è sono Conoscenze già in nostro possesso Informazioni che ci vengono fornite dal problema servono per calcolare Incognita

12 Verifica La classe viene suddivisa in gruppi: ad ogni gruppo verrà affidato il testo di un problema (è consigliabile utilizzare problemi simili a quelli già affrontati nella scuola elementare), chiedendo di individuare i dati e le richieste, riportandole schematicamente su di un foglio. Successivamente, i vari gruppi si scambieranno i fogli e ciascuno dovrà ricostruire il testo del problema, ricavandolo dalle informazioni ricevute. A questo punto si confronteranno i testi elaborati dai ragazzi con i testi originali, invitando gli allievi a considerare si ci sono differenze significative. È bene lasciare ai ragazzi il tempo di discutere tra loro, evitando almeno per il momento di intervenire.

13 Obiettivo specifico. - Riconoscere l importanza delle informazioni. Contenuti. Informazioni inutili, sovrabbondanti : i dati forniti non servono alla soluzione del problema. Informazioni insufficienti : i dati forniti dal problema non sono sufficienti a risolverlo. Informazioni incompatibili: i dati forniti non sono compatibili con il problema.

14 Esempio. Elena compra due rotoli di nastro adesivo da 1,5 metri a 0,50 e quattro rotoli da 2 metri a 0,70 l uno; quanto ha speso in tutto? I dati 1,5 metri e 2 metri, pur essendo espressi in forma numerica non sono in relazione con la richiesta del problema, che riguarda solo la spesa, sono quindi dati superflui. Sarebbe utile chiedere ai ragazzi «I dati superflui quali altri problemi avrebbero potuto permettere di risolvere?»

15 Verifica Sempre mantenendo una suddivisione in gruppi, si consegnerà ad ogni gruppo un testo contenente, di volta in volta, dati inutili, incompatibili, sovrabbondanti, insufficienti, chiedendo di individuarli, e stendendo, per iscritto, una breve spiegazione. Si discuteranno, poi, le risposte. Vengono proposti di seguito alcuni esempi di problemi.

16 Verifica - In una palestra sono stati organizzati due corsi: al primo partecipano 10 bambini da 6 a 8 anni a all altro 15 bambini da 9 a 11 anni. Per i bambini del primo corso, la tuta costa 25,00 e per quelli del secondo 28,00. Quanto si spende per acquistare tutte le tute? - Marina compra cinque bottiglie di aranciata a 1,20 l una e tre scatole di biscotti a 1,80 l una. Paga con un biglietto da 10,00, quanto riceve di resto? - Una botte contiene 50 litri di vino; il contenuto viene diviso in 25 bottiglioni da 2 litri che vengono venduti a 3,00 l uno. Quanto si ricava in tutto?

17 Verifica - In un teatro ci sono uomini in numero metà di quello delle donne, inoltre ci sono 20 bambini. Quante persone ci sono in tutto? - Un commerciante possiede 60 litri di olio; ne versa una parte in damigiane da 3 litri e il resto in bottiglioni da 2 litri. Quanti bottiglioni riempie?

18 Obiettivo specifico. - Elaborazione dei dati e delle informazioni. Contenuti. L insieme dei ragionamenti e delle operazioni per giungere alla soluzione del problema viene detta elaborazione.

19 Possiamo schematizzare il procedimento risolutivo nel seguente modo: Esame dei dati del problema Prelevamento dalla memoria di quelle informazioni che il testo del problema ci suggerisce essere utile per la risoluzione Elaborazione dei dati Emissione del risultato

20 Verifica Tra i problemi affrontati nell attività precedente se ne sceglieranno alcuni, scartando quelli con i dati incompatibili, eliminando eventuali dati inutili o sovrabbondanti, o aggiungendo eventuali dati mancanti; si chiederà a ciascun gruppo una proposta di risoluzione. Si discuteranno le varie idee, confrontandole tra loro e invitando gli allievi a giudicarne l efficacia, la linearità e la chiarezza. Potrebbe essere utile chiedere a ciascun allievo di dare un giudizio in proposito per iscritto: «Per il problema n la soluzione, secondo me migliore è quella proposta da perchè»

21 Obiettivo specifico. - Saper costruire un diagramma di flusso e comprenderne l utilità: diagramma lineare. Contenuti. Molti studenti di fronte ad un problema da risolvere, hanno la pessima abitudine di passare direttamente ai calcoli, senza sapere dove questi calcoli li conduranno. Il metodo migliore per affrontare un problema è invece avere un programma da seguire, cioè prima di calcolare bisogna programmare.

22 Realizzare un programma adatto a risolvere un problema equivale a rispondere alle domande: 1. Quali operazioni sono necessarie? 2. In quale ordine devono essere fatte? Per visualizzare il programma da seguire si utilizza un particolare schema grafico detto diagramma di flusso.

23 Un diagramma di flusso è uno schema grafico che consente di visualizzare immediatamente quelle che devono essere le operazioni da seguire, e in generale, le azioni da compiere per conseguire un determinato risultato, nell ordine suggerito dall elaborazione del problema.

24 Per disegnare un diagramma di flusso si utilizzano comunemente alcuni simboli di forma geometrica, ognuno dei quali assume uno specifico significato. In particolare si ha il seguente schema: INIZIO FINE I simboli a forma di ellisse (figura che ricorda una circonferenza schiacciata) indicano l inizio (START) e la fine (STOP) del programma. Istruzioni da seguire I simboli a forma di rettangolo contengono le istruzioni Dati o risultati I simboli a forma di parallelogrammi invece contengono o i dati iniziali o il risultato finale. Schema 1.

25 Verifica Per far comprendere quanto detto, chiamerò un ragazzo alla lavagna e chiederò ai ragazzi di descrivermi un azione quotidiana. Ad esempio, per preparare una tazza di the, occorre innanzitutto prendere un pentolino, metterlo sul fornello, accendere il fuoco, aspettare che l acqua bolli, quindi mettere l acqua in una tazza contenente la bustina, lasciare in infusione, zuccherare, aggiungere latte o limone, secondo il proprio gusto, e bere. Le azioni da compiere verranno riportate alla lavagna, e dopo aver individuato tutti i passi, passeremo alla rappresentazione grafica, tenendo sott occhio lo schema dato in precedenza.

26 INIZIO Metti un pentolino con l acqua sul fornello Prepararsi una tazza di thè Accendi il gas Attendi che l acqua bolla Versa l acqua bollente in una tazza contenente una bustina di thè Lascia in infusione Zucchera a piacere, aggiungendo latte o limone, secondo il gusto Sorseggia lentamente FINE

27 Verifica Costruisci il diagramma di flusso relativo a ciascuna delle seguenti operazioni: aprire una porta, preparare un cappuccino, trovare un vocabolo sul dizionario, accendere il computer. I ragazzi dovranno prima descrivere le azioni, quindi rappresentarle con il diagramma di flusso.

28 Obiettivo specifico. - Saper costruire un diagramma di flusso e comprenderne l utilità: diagramma ciclico. Contenuti. Spesso un diagramma di flusso può presentare quella che si dice una struttura ciclica, cioè una particolare struttura in cui una o più operazioni devono essere ripetute più volte, finché si realizza una determinata condizione.

29 Graficamente, questa condizione si ha con l introduzione nel grafico di un rombo: Scelte alternative Simboli a forma di rombo: indicano la scelta da operare tra due possibilità. Una freccia entra nella figura e due ne escono. In sostanza se la risposta è si, faremo una cosa, se la risposta è no, ne faremo un altra.

30 Verifica Come la volta precedente chiamerò un ragazzo alla lavagna, e chiederò ai ragazzi di descrivermi un azione quotidiana, come ad esempio guardare un film alla televisione. Per guardare un film alla televisione, occorrerà prima accendere la televisione e selezionare il canale. A questo punto dovremo accertarci che l orario sia giusto. Se l orario è giusto, allora guarderemo il film, se l orario è sbagliato, allora spegneremo la televisione e aspetteremo l ora giusta. Quando questo accadrà, allora riaccenderemo la tv, selezioneremo il giusto canale, e vedremo il film. Graficamente avremo:

31 Inizio Guardare un film alla televisione Accendi la tv Selezionale il canale esatto Attendi L orario è giusto? NO Spegni la televisione SI Guarda il film Fine

32 Verifica Costruisci il diagramma di flusso relativo a ciascuna delle seguenti operazioni: comporre il colore celeste utilizzando il blu e il bianco (è troppo chiaro? è troppo scuro?), chiamare al telefono un compagno ( è in casa?), attraversare la strada sulle strisce pedonali ( passa qualche macchina?), comprare una rivista ( è in edicola?). I ragazzi dovranno, come fatto in precedenza, prima descrivere le azioni, quindi rappresentarle con il diagramma di flusso.

33 Obiettivo specifico. - Dare degli esempi di risoluzione dei problemi. Contenuti. Non è possibile dare delle regole generali con le quali risolvere qualsiesi tipo di problema. In generale ciascun problema richiede un procedimento più o meno diverso da quello degli altri, procedimento che viene suggerito dai dati e dalle informazioni. Molto importante è l esperienza.

34 Risolvere tanti problemi è il modo migliore per imparare a risolvere i problemi.

35 A questo punto, verranno proposti ai ragazzi dei problemi, in cui si richiede un po di fantasia per raggiungere la soluzione. Ogni problema sarà accompagnato da una tabella dei dati, delle eventuali informazioni e delle incognite, cioè da ciò che vogliamo calcolare. Alla fine ci sarà poi l elaborazione di un diagramma di flusso. Al solito, verrà stimolato il più possibile l intervento dei ragazzi, ritagliando per me il solo ruolo di tutor, di accompagnatrice nella ricerca di soluzione e di suggeritrice, almeno nella prima spiegazione.

36 Esempio. Problema. 5 matite e 6 quaderni costano 3.77; 5 matite e 9 quaderni costano Quanto costano 4 matite e 4 quaderni? Dati A : costo di 5 matite e 6 quaderni = 3.77 B : costo di 5 matite e 9 quaderni = 5.00 Incognita X : costo di 4 matite e 4 quaderni

37 Elaborazione Immaginiamo che chi ha comprato 5 matite e 9 quaderni, spendendo 5.00, torni dal cartolaio e gli restituisca 5 matite e 6 quaderni, ricevendo indietro 3.77, cioè il costo della merce restituita. Che cosa ha comprato in pratica? 3 quaderni Quanto ha speso? ( )= 1.23 Abbiamo quindi a disposizione un nuovo dato ( che idealmente aggiungiamo nella tabella dei dati): C : costo di tre quaderni = 1.23

38 Dividendo C per 3 otteniamo il costo di ogni singolo quaderno, ottenendo come nuovo dato: D : costo di un quaderno = C:3 Moltiplicando D per 6 otteniamo il costo di 6 quaderni: E : costo di 6 quaderni = D 6 Il costo delle 5 matite lo possiamo calcolare sottraendo ad A ( costo di 5 matite e 6 quaderni) E ( costo di 6 quaderni): F : costo di 5 matite = A-E

39 Conoscendo F possiamo dividerlo per 5, ottenendo il costo di 1 matita: G : costo di 1 matita = F : 5 A questo punto possiamo calcolarci il valore di X (costo di 4 matite e 5 quaderni), che è la soluzione del problema, infatti: X = (G 4) + (D 4)

40 Inizio A = 3.77 B = 5.00 Dati del problema: A costo 5 matite e 6 quaderni B costo 5 matite e 9 quaderni Calcola C = B - A C (costo 3 quaderni)= ( ) = 1.23 Calcola D = C : 3 D (costo di 1 quaderno) = (1.23 :3) = 0.40 Calcola E = D 6 E (costo di 6 quaderni) = (0.40 6) = 2.40 Calcola F = A - E F (costo di 5 matite)= ( ) = 1.37 Calcola G = F : 5 G (costo di 1 matita) = (1.37 : 5) = 0.27 Calcola X = 4G 4D X (costo di 4 matite e 4 quaderni)= ( ) = 2.69 X = 2.69 Risultato Fine

41 Verifica. Leggere il problema, riempire gli spazi vuoti e quindi tracciare il diagramma di flusso. Problema. Un commerciante all ingrosso acquista uno stock di cappelli a 1.65 cadauno e li rivende a 2.00 cadauno, realizzando un guadagno complessivo di 620. A quanto avrebbe dovuto rivendere ogni cappello per guadagnare invece ( guadagno ipotetico complessivo)? Dati A : prezzo di acquisto di 1 cappello = B : prezzo di vendita di 1 cappello = C : guadagno reale complessivo = D : guadagno ipotetico complessivo =

42 Incognita. X :. Elaborazione E : guadagno reale su ogni cappello =. F : numero dei cappelli =. G : guadagno ipotetico su ogni cappello =. X = F G = Questa verifica viene eseguita in classe, con la mia supervisione

43 Verifica. Programma la risoluzione dei seguenti problemi mediante un diagramma di flusso, a fianco del quale esegui le operazioni necessarie. 1. Un cartolaio vende 7 quaderni ad un prezzo complessivo di Quanto costerebbero 12 quaderni? 2. In una famiglia il padre guadagna , la madre meno del padre, e il figlio maggiore meno della madre. A quanto ammonta il guadagno settimanale di tutta la famiglia? 3. Andrea compra un panino e una cioccolata spendendo 1.30, Leonardo 2 panini e una cioccolata spendendo Quanto costa un panino e una cioccolata?

44 Obiettivo specifico. - Dalle operazioni al testo: ricostruire il testo di un problema conoscendo le operazioni da fare.

45 Esempio = = 16 Testo: Marco ha 15 figurine, ne regale 5 a Federico, e in seguito, ne acquista altre 6. Quante figurine, alla fine, avrà Marco?

46 Verifica. Inventa dei problemi che corrispondano alla seguente sequenza di operazioni: = : 3 = = = = = = = 165

47 Obiettivo specifico. - Iniziare a capire che la matematica è uno strumento utile giornalmente.

48 Problema. Abbiamo raccolto e vogliamo comprare il biglietto del cinema e la merenda per tre persone. Il biglietto costa 8.00; ci sono merendine da 1.50 l una e confezioni da quattro merendine Quale scelta conviene fare? Si chiederà ai ragazzi di proporre una soluzione, commentandola brevemente.

49 Discutendo le proposte, si farà osservare che ci possono essere più interpretazioni per il termine conviene ( si può spendere meno, oppure spendere di più ma acquistare di più), e quindi si possono avere più risposte giuste. Non sempre ci si deve aspettare un unico risultato: ad esempio, nel problema proposto, si può acquistare una confezione di 4 merendine, anziché 3 merendine, si spendono 0.50 in più ma avanza una merendina ( che costa più di 0.50 ). Questo tipo di problemi potrebbero lasciare perplessi i ragazzi, in quanto nell immaginario collettivo, la matematica è sinonimo di certezza, però sicuramente servirà ad avvicinare la matematica alla realtà quotidiana.

50 Obiettivo specifico. - Far capire che tutti i risultati vanno verificati, e non accettati acriticamente.

51 Riprendiamo il problema precedente: Problema. Abbiamo raccolto e vogliamo comprare il biglietto del cinema e la merenda per tre persone. Il biglietto costa 8.00; ci sono merendine da 1.50 l una e confezioni da quattro merendine Quale scelta conviene fare? Si potrebbe ragionare così: compriamo i tre biglietti del cinema, e quindi spendiamo 24.00, e poi, per sapere quante merendine possiamo comprare, dividiamo il resto, cioè 5.00 per 1.50, prezzo di ciascuna delle merendine.

52 Matematicamente, il ragionamento esposto non fa una piega, ma ci fornisce come risultato 3,33, cioè con 5.00 possiamo comprare 3.33 merendine. Ha senso questa risposta, all atto pratico? La domanda che ci dobbiamo porre è: ma questa soluzione è quella giusta? Bisogna far capire ai ragazzi che, in generale, una volta risolto un problema, bisogna perdere ulteriori cinque minuti per capire se la risposta trovata è compatibile con il problema.

53 Verifica. Sempre mantenendo una suddivisione in gruppi, si fornirà ad ogni gruppo il testo di un problema, accompagnato da un soluzione, chiedendo di verificare se questa è compatibile con i dati e le richieste, e se è unica. Un camion trasporta 150 kg di frutta, tra cui 24 cassette più piccole, ciascuna da 2,5 kg e alcune casse, più grandi da 5 kg l una. Quante sono le casse grandi? Risposta: ci sono 20 casse grandi.

54 La maestra vuole comperare caramelle per i suoi 16 scolari; ci sono in vendita confezioni da 20 caramelle a 2.20, e da 50 caramelle a Se la maestra vuole dare 10 caramelle ad ogni bambino quale soluzione le conviene? Risposta: deve comperare 8 confezioni da 20 caramelle, spendendo Si discuteranno insieme le risposte date dai gruppi.

55 Verifica finale. 1. Stabilisci se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa: Risolvere un problema significa raggiungere degli obiettivi L insieme delle informazioni già in nostro possesso sono dette MEMORIA I DATI sono le informazioni che ci vengono fornite dal problema È possibile risolvere un problema ignorando i dati in esso contenuto La prima cosa da fare per risolvere un problema è riunire in una tabella tutti i dati ed esaminarli attentamente L insieme dei ragionamenti e delle operazioni fatte per risolvere un problema è detto ELABORAZIONE Un diagramma di flusso fornisce una idea chiara e precisa del susseguirsi delle operazioni necessarie a risolvere i calcoli numerici I calcoli vanno effettuati prima di scrivere un diagramma di flusso Le soluzioni di un problema sono sempre uniche Esistono dei procedimenti generali grazie ai quali è possibile risolvere qualsiesi tipo do problema V V V V V V V V V V F F F F F F F F F F

56 Criteri di valutazione della prova Per ogni risposta esatta verrà dato un punto, per ogni risposta sbagliata non verrà attribuito alcun punto: - per un punteggio complessivo inferiore a 5 la prova non viene considerata superata. - per un punteggio complessivo pari a 6 : sufficiente. - per un punteggio complessivo pari a 7 : più che sufficiente. - per un punteggio complessivo pari a 8 : buono - per un punteggio complessivo pari a 9 : ottimo - per un punteggio complessivo pari a 10: eccellente

57 2. Segna con una crocetta la casella giusta: La prima cosa da fare nell affrontare un problema è: A B C capire bene i dati fare il diagramma di flusso passare ai calcoli In un diagramma di flusso, le figure geometriche utilizzate sono: A B C Nell impostare un diagramma di flusso le operazioni devono: A B C essere scritte in modo casuale essere fatte prima le addizioni e poi le moltiplicazioni eseguite secondo l ordine dell elaborazione del problema

58 Per risolvere un problema, ci vuole anche un pò di: A B C fantasia iniziativa ispirazione Nei problemi di vita quotidiana, esiste: A B C sempre una unica soluzione un procedimento rigido da applicare più soluzioni, ugualmente valide I risultati di un problema vanno: A B C comunque accettati giustificati e verificati ignorati

59 Criteri di valutazione della prova Tra le alternative date, solo una risposta è quella giusta. Per ogni risposta data esattamente, verrà assegnato un punto, per ogni risposta non data verranno assegnati 0 punti. La prova si riterrà superata se si consegue un punteggio superiore a 3.

60 3. Risolvi i seguenti problemi, evidenziando i dati inutili o sovrabbondanti, individuando gli eventuali dati mancanti e incompatibili, sempre motivando le risposte date: 1. Sono uscito con e ho comprato quattro bottiglie di coca cola da 1,5 litri a 2.50 ciascuna, e sei bottiglia da 2 litri a 3.00 ciascuna. Quanto ho speso in tutto? E quanto mi è rimasto? 2. Su di un piatto della bilancia dispongo 150 g, diviso in tre pesi da 50g, un peso da 200 g e 3 pesi da 10g. Quanto ho messo in tutto sul piatto? Se sull altro piatto metto 250g, quanto altro debbo metterci se voglio che la bilancia sia in equilibrio ( ricordando che i due piatti della bilancia sono in equilibrio se su entrambi i piatti c è lo spesso peso)?

61 3. Mauro ha comprato cinque pacchetti di figurine di calciatori, da sei figurine ciascuno e otto pacchetti da quattro figurine ciascuno. Se già possedeva 120 figurine e ne regale dieci a suo fratello, quante figurine avrà alla fine? 4. Un automobilista viaggia a velocità costante per due ore, poi percorre altri 30 km. Quale distanza ha percorso? 5. Un rappresentate di giocattoli deve percorrere 380 km. Dopo 140 km di viaggio si ferma a un autogrill, si ferma ancora dopo altri 90 km e si ferma una terza volta dopo altri 80 km. Quanti altri km deve percorrere ancora? 6. Ho venduto 50 metri di stoffa, ricavando in tutto. Quanto ho guadagnato al metro?

62 7. Sul piatto sinistro di una bilancia ho disposto 500 grammi, suddivisi in pesi da 120 grammi ciascuno, sul piatto destro un peso da 300 grammi. Quanti grammi devo aggiungere sul piatto destro per equilibrare la bilancia?

63 4. Associa le seguenti sequenze di operazioni ai rispettivi testi: 20 5 = = 22 Marco ha 15 pacchetti di figurine da 4 figurine ciascuna, se gli regalano altre 6 figurine, quante figurine avrà in tutto? 15 4 = = 66 Ho contato 6 volte dieci minuti e poi ho contato altri 30 minuti. Quanti minuti sono passati in tutto? 6 10 = = 90 La mamma ti manda a comprare prima 6 panini, e poi altri 5. Se ciascun panino costa 15 centesimi, quanto hai speso in tutto? 6 +5 = = 165 Laura ha 20 caramelle, ne regala 5 alla sua sorellina,e ne riceve altre 7 dalla mamma. Quante caramelle, alla fine, avrà in tutto?

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