Statistica Applicata all edilizia Lezione: Analisi delle serie storiche: parte I

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1 Lezione: Analisi delle serie storiche: parte I orietta.nicolis@unibg.it 27 aprile 21

2 Programma

3 Programma

4 Le serie storiche (o temporali) Sequenze di osservazioni effettuate nella sucessione dei periodi di tempo Y 1, Y 2,..., Y n tra loro equidistanti. Approcci statistici per l analisi delle serie storiche: classico o tradizionale; stocastico o di Box e Jenkins; frequenziale o spettrale.

5 Ipotesi dell approccio classico Le grandezze osservate sono esprimibili mediante una componente sistematica (o deterministica) e una componente aleatoria (o irregolare). La parte sistematica è scomponibile nelle seguenti componenti: tendenziale di lungo periodo (T t); congiunturale di medio periodo (C t); stagionale (se le osservazioni hanno una cadenza inferiore all anno) (S t).

6 I modelli decompositivi Il modello che si suppone che metta in relazione le singole componenti può essere di tipo: additivo: : Y t = T t + C t + S t + A t Y t = T t C t S t A t Tale modello può essere espresso in forma addittiva ricorrendo alla trasfromazione logaritmica misto: log(y t ) = log(t t ) + log(c t ) + log(s t ) + log(a t ) Y t = (T t C t S t ) + E t o Y t = (T t C t ) + S t + E t

7 Esempio 1: Modello con Trend e ciclo Trend Ciclo Modello addittivo 1 Modello Moltiplicativo

8 Esempio 2: Componenti: T, C, S, A Trend Ciclo stagionalità 4 Comp. Aleatoria

9 Esempio 2: Modelli 3 Modello addittivo 4 Modello Moltiplicativo Modello misto n.1 1 Modello misto n

10 La determinazione del trend e ciclo-trend 1 Metodo grafico 2 Funzioni lineari 3 Funzioni polinomiali 4 Metodo delle medie mobili e mediane mobili Le funzioni polinomiali, le funzioni non lineari, e le medie/mediane mobili approssimano contemporaneamente le componenti di trend e ciclo. Per semplicità, nel seguito considereremo modelli del tipo Y t = T t + S t + A t e Y t = T t S t A t, in cui la componente C t è compresa nella componente di trend.

11 Metodo grafico Consiste nel tracciare una linea attraverso i punti rappresentativi dei valori osservati

12 Funzioni lineari 12 T t = β + β 1 t Indice della produzione industriale (IPI) 11 y =.12*x

13 Funzioni polinomiali T t = β + β 1 t + β 2 t β n t n y = 8.7e 19*x 9 1.9e 15*x e 12*x 7 1.4e 9*x e 7*x 5 4.8e 5*x *x 3.12*x *x data 1 9th degree

14 Funzioni non-lineari Alcuni esempi: T t = f (t; β, β 1,..., β n ) Esponenziale semplice T t = ke βt Esponenziale modificata T t = m + ke βt Semilogaritmica T t = β + β log t Logistica T t = β β +β 1 e β 2 t

15 Metodo delle medie mobili e mediane mobili Strumenti alternativi per la stima del trend/ciclo Maggiore è il numero dei termini utilizzati per il calcolo della media, maggiore è l appiattimento; trade-off tra precisione e variabilità della stima; Se la serie è stagionale, è opportuno utilizzare un numero di termini pari alla stagionalità (es: media mobile a 4 termini per dati trimestrali, a 7 termini per dati giornalieri, ecc.)

16 Medie mobili Media mobile (asimmetrica) a k termini X (k) t = 1 k k 1 Y t i Esempio: Per k = 3, si ha X (3) t = 1 3 (Y t + Y t 1 + Y t 2 ). i=

17 Media mobile (simmetrica) a k = 2h + 1 termini - Per k dispari Xt k 1 = 2h + 1 h i= h Y t+i Esempio: Per h = 2, la media mobile a k = 5 termini è data da X (5) t = 1 5 (Y t 2 + Y t 1 + Y t + Y t+1 + Y t+2 ). - Per k pari X (k) t = 1 k h 1 i= (h 1) (Y t+i +.5(Y t h + Y t+h ) Esempio: Per k = 4, si ha X (4) t = 1 4 (.5Y t 2 + Y t 1 + Y t + Y t+1 +.5Y t+2 ).

18 Schema di medie mobili (simmetriche) a tre e 5 termini Tempo (t) Dati MM(k = 3) MM(k = 5) 1 Y 1 2 Y (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) 3 Y (Y 2 + Y 3 + Y 4 ) 1 5 (Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 + Y 5 ) 4 Y (Y 3 + Y 4 + Y 5 ) 1 5 (Y 2 + Y 3 + Y 4 + Y 5 + Y 6 ) 5 Y (Y 4 + Y 5 + Y 6 ) 1 5 (Y 3 + Y 4 + Y 5 + Y 6 + Y 7 ) 6 Y (Y 5 + Y 6 + Y 7 ) 7 Y 7 Esercizio: Costruire lo stesso schema per le medie mobili asimmetriche

19 Mediane mobili Mediana mobile (asimmetrica) a k termini X k t = Me(Y t,, Y t k+1 ) Esempio: Per k = 3, si ha y 3 t = Me(Y t, Y t 1, Y t 2 ). Mediana mobile (simmetrica) a k = 2h + 1 termini X k t = Me(h(Y t h,, Y t,, Y t+h ) Esempio: Per h = 2, la media mobile a k = 5 termini è data da X 5 t = Me(Y t 2, Y t 1, Y t, Y t+1, Y t+2 ).

20 Esempio: Medie e mediane mobili (simmetriche) per la serie dell Indice della produzione nelle costruzioni (IPC) dati Media mobile Mediana Mobile /1 1995/4 1996/3 1997/2 1998/1 1998/4 1999/3 2/2 21/1 21/4 22/3 23/2 24/1 24/4 25/3 26/2

21 Smoothing esponenziale Il metodo dello smoothing smoothing esponenziale si basa su una somma esponenziale dei valori passati di una serie storica, ponderati con pesi esponenzialmente decrescenti Esempio: X k t+1 = αy t + (1 α)x t X2 k = αy 1 + (1 α)x 1 X3 k = αy 2 + (1 α)x 2 X4 k = αy 3 + (1 α)x 3 X5 k = αy 4 + (1 α)x 4 X6 k = αy 5 + (1 α)x 5

22 Esempio: stima della componente ciclica nella serie IPI destagionalizzata e detrendizzata Stima della componente ciclica con smoothing esponenziale con α =.4, α =.8, α=.4 α =.2 e α =.6. α= α=.2 4 α=

23 La detrendizzazione di una serie temporale Una volta stimata la componente di trend si procede alla detrendizzazione della serie, vale a dire all elimizazione della tendenza di fondo sottraendo il trend stimato ai valori osservati, nel caso di modello ADDITIVO: Y t T t = S t + A t dividendo i valori osservati per il trend stimato, nel caso di modello MOLTIPLICATIVO: Y t T t = S t A t

24 Stima della componente stagionale Consideriamo un modello additivo del tipo Y t = T t + S t + A t indichiamo con U t la serie detrendizzata, U t = Y t T t = S t + A t dove U t oscilla attorno allo zero e contiene la componente stagionale S t e la componente accidentale A t. 1 Si dispongono i valori della serie U t in una tabella e si calcolano le medie per riga, s i, denominate coefficienti grezzi di stagionalità. 2 Se la somma dei coefficienti grezzi di stagionalità è pari a zero, essi determinano una stima della componente stagionale del periodo i, altrimenti applico una correzione per ripartire l errore sui diversi periodi.

25 ...(Stima della componente stagionale) Per esempio, se i dati sono mensili e la stagionalità è annuale si costruisce la seguente tabella: Media righe Gen U 1,1 U 1,2 U 1,3... U 1,14 s 1 Feb U 2,1 U 2,2 U 2,3... U 2,14 s 3 Mar U 3,1 U 3,2 U 3,3... U 3,14 s Dic U 12,1 U 12,2 U 12,3... U 12,14 s 12 Poichè la stagionalità è un fenomeno con media pari a zero, 1 se 12 i=1 s i = allora s i = s i, dove s i è la componente di stagionalità definitiva del mese i. 2 se 12 i=1 s i = allora s i = s i 12.

26 Profilo della stagionalità Se rappresentiamo graficamente la stagionalità per ogni mese i, otteniamo un grafico detto profilo della stagionalità. Esempio: Stima della stagionalità della serie IPI detrendizzata. 1 Profilo di stagionalità feb apr giu ago ott dic

27 La destagionalizzazione Destagionalizzare una serie storica significa rimuovere la parte periodica. In un modello additivo, la serie destagionalizzata risulta: Y t = Y t S t. La disponibilità dei dati destagionalizzati consente di comparare mesi adiacenti, senza che il confronto sia alterato dalla presenza di oscillazioni di carattere stagionale. Un metodo per destagionalizzare una serie storica stagionale consiste nel fare una media mobile con un ordine pari alla stagionalità. Per esempio, se la serie è mensile e la stagionalità è annuale, facendo una media mobile di 12 termini si ottiene una serie destagionalizzata. Il metodo adottato per la destagionalizzazione dipende dal modello di composizione: nel caso di un modello additivo è sufficiente sottrarre dalla serie originale la componente stagionale, mentre in quello moltiplicativo si divide.

28 Stima della componente accidentale Da ogni elemento della serie detrendizzata si toglie la componente stagionale del mese relativo. La componente accidentale deve presentare le seguenti caratteristiche: Graficamente, i valori positivi e negativi devono alternarsi attorno allo zero in modo casuale. Indipendenza: il correlogramma deve essere interno alle bande di significatività

29 Esercizi: 1 Determinare le medie e mediane mobili asimmetriche per la serie dell Indice della Produzione nelle Costruzioni (IPC) e rappresentarle graficamente 2 Determinare le medie e mediane mobili dell Indice della Produzione Industruiale (IPI), scegliendo un opportuno k e rappresentarle graficamente. 3 Determinare e rappresentare graficamente le serie IPI e IPC destagionalizzate.

30 Esercizi: 1 Stimare le componenti di Trend, Ciclo e Stagionalità negli indici IPI e IPC 2 Stimare e rappresentare graficamente le serie delle componenti irregolari per gli indici IPI e IPC.

31 Programma