NOME COGNOME MATRICOLA CANALE

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1 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Prof. M. Lavrauw - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 1 1. Definire la nozione di ortogonale di un sottospazio in uno spazio vettoriale euclideo. 2. Enunciare e dimostrare il teorema delle dimensioni (riguardante le dimensioni del nucleo e dell immagine di un applicazione lineare). 3. Si consideri l affermazione: Siano F = v 1, v 2,..., v r e G = w 1, w 2,..., w r due famiglie di r vettori (r N ) in uno spazio vettoriale, tali che F = G. Se F è linearmente dipendente, allora anche G è linearmente dipendente. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

2 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Prof. M. Lavrauw - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 2 1. Definire la nozione di angolo tra due vettori in uno spazio vettoriale euclideo. 2. Siano V K e W K due spazi vettoriali e L : V W un applicazione lineare. Dimostrare che l immagine di L è un sottospazio di W K. 3. Si consideri l affermazione: Siano F = v 1, v 2,..., v r e G = w 1, w 2,... w r, w r+1 due famiglie di vettori (r N ) in uno spazio vettoriale, tali che F = G. Allora la famiglia G è linearmente dipendente. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

3 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Prof. M. Lavrauw - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 3 1. Definire la nozione di base ortonormale in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione n. 2. Siano V K e W K due spazi vettoriali e L : V W un applicazione lineare. Dimostrare che l applicazione L è iniettiva se, e solo se, kerl = {0}. 3. Si consideri l affermazione: Siano F = v 1, v 2,..., v r e G = w 1, w 2,..., w r due famiglie di r vettori (r N ) in uno spazio vettoriale, tali che F G, F G. Se F è linearmente dipendente, allora anche G è linearmente dipendente. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

4 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Prof. M. Lavrauw - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 4 1. Enunciare il teorema spettrale e il corollario che coinvolge le matrici ortogonali. 2. Enunciare e dimostrare il teorema di Rouché-Capelli (condizione di compatibilità di un sistema lineare). 3. Si consideri l affermazione: Siano F = v 1, v 2,..., v r e G = w 1, w 2,... w r, w r+1 due famiglie di vettori (r N ) in uno spazio vettoriale, tali che F = G. Allora il vettore w r+1 è combinazione lineare di w 1, w 2,... w r. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

5 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Lavrauw, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 1 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (i) Trovare il valore del numero complesso α tale che il polinomio P (z) = z 4 6z z 2 24z + α ammetta 2 2i come radice. (ii) Per tale valore di α calcolare le altre radici di P (z) Sia L a : R 3 R 3 (a R) la funzione lineare tale che L a (1, 1, 0) = (1, a, 0), L a (1, 0, 1) = (0, 1, a), L a (0, 1, 1) = (1, 0, a). Al variare del parametro reale a determinare l antiimagine di (1, 2, a) mediante L a. 3. Dato il prodotto scalare di R 3 la cui matrice, rispetto alla base naturale, è A = 1 2 0, trovare una base ortogonale di R 3, rispetto a tale prodotto scalare. 4. Dati i punti A(0, 2, 2), B(1, 1, 3), C(2, 2, 1), D(2, 3, 0), trovare l equazione cartesiana di un piano che contiene A, B ed è ortogonale alla retta CD; oppure dimostrare che tale piano non esiste. 1 E richiesta la forma algebrica.

6 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Lavrauw, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 2 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (i) Trovare il valore del numero complesso α tale che il polinomio P (z) = z 4 + 2z 3 + 2z 2 8z + α ammetta 2 + 2i come radice. (ii) Per tale valore di α calcolare le altre radici di P (z) Sia L a : R 3 R 3 (a R) la funzione lineare tale che L a (1, 1, 0) = (1, a, 0), L a (1, 0, 1) = (0, 1, a), L a (0, 1, 1) = (1, 0, a). Al variare del parametro reale a determinare l antiimagine di (1, 3, a) mediante L a. 3. Dato il prodotto scalare di R 3 la cui matrice, rispetto alla base naturale, è A = 1 1 0, trovare una base ortogonale di R 3, rispetto a tale prodotto scalare. 4. Dati i punti A(2, 2, 0), B(1, 3, 1), C(2, 1, 1), D(1, 1, 2), trovare (se esiste) l equazione cartesiana di un piano che contiene A, B ed è ortogonale alla retta CD; oppure dimostrare che tale piano non esiste. 1 E richiesta la forma algebrica.

7 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Lavrauw, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 3 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (i) Trovare il valore del numero complesso α tale che il polinomio P (z) = z 4 8z z 2 32z + α ammetta 3 i come radice. (ii) Per tale valore di α calcolare le altre radici di P (z) Sia L a : R 3 R 3 (a R) la funzione lineare tale che L a (0, 1, 1) = (0, 1, a), L a (1, 1, 0) = ( a, 0, 1), L a (1, 0, 1) = (a, 1, 0). Al variare del parametro reale a determinare l antiimagine di (a, 1, 3) mediante L a. 3. Dato il prodotto scalare di R 3 la cui matrice, rispetto alla base naturale, è A = 0 1 1, trovare una base ortogonale di R 3, rispetto a tale prodotto scalare. 4. Dati i punti A(2, 2, 0), B(3, 1, 1), C(1, 2, 1), D(1, 1, 2), trovare l equazione cartesiana di un piano che contiene A, B ed è ortogonale alla retta CD; oppure dimostrare che tale piano non esiste. 1 E richiesta la forma algebrica.

8 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Lavrauw, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Vicenza, 6 luglio 2016 TEMA 4 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. (i) Trovare il valore del numero complesso α tale che il polinomio P (z) = z 4 4z z 2 14z + α ammetta 1 2i come radice. (ii) Per tale valore di α calcolare le altre radici di P (z) Sia L a : R 3 R 3 (a R) la funzione lineare tale che L a (0, 1, 1) = (1, a, 0), L a (1, 1, 0) = (0, 1, a), L a (1, 0, 1) = (1, 0, a). Al variare del parametro reale a determinare l antiimagine di (1, 2, a) mediante L a. 3. Dato il prodotto scalare di R 3 la cui matrice, rispetto alla base naturale, è A = 0 2 1, trovare una base ortogonale di R 3, rispetto a tale prodotto scalare. 4. Dati i punti A(2, 0, 2), B(1, 1, 3), C(2, 1, 1), D(1, 2, 1), trovare (se esiste) l equazione cartesiana di un piano che contiene A, B ed è ortogonale alla retta CD; oppure dimostrare che tale piano non esiste. 1 E richiesta la forma algebrica.

9 Svolgimento del tema n.4 Svolgimento per sommi capi, dai candidati sono richiesti maggiori dettagli. Parte A, esercizio 3. L affermazione è falsa. Per confutarla, poniamo r = 1, V K = R 2, v 1 = (1, 0), w 1 = (0, 0), w 2 = (1, 0). Allora risulta v 1 = w 1, w 2 e w 2 non è combinazione lineare di w 1. Parte B, esercizio 1. Supponiamo che vi sia divisibilità per 1 2i e calcoliamo il quoziente della divisione: α 1 2i 1 2i 7 + 4i 12 4i i 4 + 4i 2 4i // Quindi α = 10 ed essendo il polinomio a coefficienti reali un altra radice è 1 + 2i: 1 3 2i 4 + 4i 2 4i 1 + 2i 1 + 2i 2 4i 2 + 4i // Il polinomio z 2 2z + 2 ha radici 1 ± 1 = 1 ± i. Concludendo, le quattro radici sono 1 ± 2i e 1 ± i. parte B, esercizio 2. Posto v 1 = (0, 1, 1), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (1, 0, 1), w 1 = (1, a, 0), w 2 = (0, 1, a), w 3 = (1, 0, a), risulta L 1 a (1, 2, a) = {xv 1 + yv 2 + zv 3 L a (xv 1 + yv 2 + zv 3 ) = (1, 2, a)} = = {xv 1 + yv 2 + zv 3 xw 1 + yw 2 + zw 3 = (1, 2, a)} = = {xv 1 + yv 2 + zv 3 (x + z, ax y, ay + az) = (1, 2, a)}. Se ne ricava un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite, la cui matrice completa è A = a a a a Trasformiamo A in matrice a scala: A H 21(a) 0 1 a a 2 0 a a a H 32( a) a a a a 2 a 2 + 3a Se a 0, 1 tale matrice non ha pivot in ultima colonna, quindi il sistema lineare è compatibile di rango tre, con soluzione unica Ne segue, in tal caso, L 1 a (1, 2, a) = z = a 3 a 1 y = az a + 2 = 2 a 1 x = 1 z = 2 a 1. { 2 a 1 v 1 2 a 1 v 2 + a 3 } {( )} a 5 a 1 v 3 = a 1, 0, 1. Se a = 0, il sitema lineare è compatibile di rango 2, quindi ha 1 soluzioni esprimibili in termini del parametro z: y = 2 e x = 1 z, da cui L 1 0 (1, 2, 0) = {(1 z)v 1 + 2v 2 + zv 3 z R} = {(z + 2, z + 3, 1) z R} = (2, 3, 1)+ (1, 1, 0).

10 Infine se a = 1 la matrice a scala è uguale a , presenta un pivot in ultima colonna, il sistema lineare è incompatibile e quindi L 1 1 (1, 1, 1) =. Osservazione: l esercizio si può anche risolvere determinando la legge della funzione, L a (x, y, z) = (z, 12 ) ((a 1)x (a + 1)y + (1 a)z), ay + az. Parte B, esercizio 3. Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt alla base naturale e 1, e 2, e 3 di R 3, sfruttando il fatto che per definizione Otteniamo la base ortogonale w 1, w 2, w 3 dove w 2 = (0, 1, 0) u v = u T Av u, v R 3. w 1 = e 1 = (1, 0, 0). (0 1 0)A(1 0 0)T (1 0 0)A(1 0 0) T (1, 0, 0) = (0, 1, 0) 0 (0, 1, 0) = (0, 1, 0). 3 w 3 = (0, 0, 1) (0 0 1)A(1 0 0)T (0 0 1)A(0 1 0)T (1, 0, 0) (0, 1, 0) = (1 0 0)A(1 0 0) T (0 1 0)A(0 1 0) T = (0, 0, 1) 0 3 (1, 0, 0) 1 2 (0, 1, 0) = (0, 1 2, 1). Parte B, esercizio 4. Il piano cercato deve essere ortogonale al vettore CD = ( 1, 1, 0); quindi ha equazione nella forma x + y + d = 0. Imponendo il passaggio per A si ottiene d = 2, quindi x + y + 2 = 0. Siccome anche le coordinate di B soddisfano tale equazione, il piano cercato esiste ed ha equazione appunto x + y + 2 = 0.