Calendario Boreale (EUROPA) 2014 QUESITO 1

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Giordano Leoni
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1 Clendrio Borele (EUROPA) 204 QUESITO Si determini, se esiste, un cono circolre retto tle che il suo volume e l su superficie totle bbino lo stesso vlore numerico. Indichimo con r il rggio di bse, con l potem e con h l ltezz del cono (>r, >h) V 2 r h St = π r 2 + π r = π r(r + ) V = S t se π r2 h = π r(r + ) rh = r + 9 r2 h 2 = (r + ) 2 M h 2 = 2 r 2, quindi, sostituendo nell relzione precedente: 9 r2 ( 2 r 2 ) = ( + r) 2 9 r2 ( r)( + r) = ( + r) 2 9 r2 ( r) = + r r 2 r = 9 + 9r r r 2 + 9r + 9 = 0 (r 2 9) = r + 9r = r + 9r r 2 9 Tle soluzione è ccettbile se r 2 9 > 0 r > (deve essere r > 0) e se > r cioè: r + 9r r 2 9 > r r + 9r > r 9r 8r > 0 verificto se r > 0 Quindi esiste, un cono circolre retto tle che il suo volume e l su superficie totle bbino lo stesso vlore numerico se il rggio di bse r > e l potem = r +9r r 2 9.

2 Ponendo per esempio se r = 4, risult: = 00 7 e h = 2 r 2 = = = 96 7 = h Per tli vlori di, r ed h risult: V = π r2 h = π = 52 π 7 S t = π 4 ( π ) = 7 7 QUESITO 2 Si clcoli il seguente limite: ln (sen x) lim x 0 + ln (sen x) Il limite si present nell form indetermint. Ponimo f(x) = ln(sen x) e g(x) = ln(sen x)) In un intorno destro di x = 0 le due funzioni sono continue e derivbili; vlutimo l derivt del denomintore: g cos x (x) = che non si nnull in un intorno destro di x = 0. sen x Possimo quindi pplic l regol di de L Hospitl. f (x) lim x 0 + g (x) = lim x 0 + cosx senx cosx senx cosx = lim x 0 + senx senx cosx = lim senx x 0 + senx = Quindi: lim x 0 + ln (sen x) ln (sen x) = QUESITO Si trovi un polinomio di terzo grdo p(x) che si nnulli per x = e tle che l rett tngente ll curv y = p(x) nel suo punto di sciss zero bbi equzione 2x + y 6 = 0. Sostituendo x = 0 nell tngente trovimo y = 6: quindi p(x) pss per (0; 6) Il coefficiente ngolre dell tngente è m = 2, quindi p (0) = 2. Annullndosi per x = il polinomio può essere scritto nell form: p(x) = (x + )(x 2 + bx + c) 2

3 Risult: p (x) = (x 2 + bx + c) + (x + )(2x + b) p(0) = 6 6 = c c = 2 p (0) = 2 2 = c + b b = 4 b = 4 Risult quindi: p(x) = (x + )(x 2 + bx + c) = (x + ) (x 2 4 x + 2) Per esempio con = bbimo il polinomio: p(x) = (x + ) (x 2 4 x + 2) QUESITO 4 Lo sviluppo dell potenz (x + y k ) 20 contiene il termine l cui prte letterle è: x 2 y 26. Si trovi il vlore di k. Risult: 20 (x + y k ) 20 = ( 20 i ) (x ) i (y k ) 20 i i=0 20 = ( 20 i ) xi y 20k ki i=0 Il termine in x 2 y 26 si ottiene se i = 2 e 20k ki = 26, d cui Il coefficiente di x 2 y 26 è dto d ( 20 i ) = (20 7 ) = i = 7 e k = 2.

4 QUESITO 5 Un trg d rgento h l form di un rettngolo di re 600 cm 2. L zon dove v incis l iscrizione è nch ess rettngolre ed è post 2 cm si dl lto superiore si dl lto inferiore dell trg, lscindo inoltre un bordo di cm sinistr e di cm destr. Si determinino le dimensioni dell trg in modo che si mssim l re dell zon dedict ll incisione e si clcoli l percentule dell re totle d ess occupt. Indichimo con AB e CD le dimensioni dell trg e ponimo: AB =, 0 < < 600 e BC = b, 0 < b < 600 con b = 600 b = 600 Indichimo con PONM l zon dedict ll incisione; srà: PO = 6 e PM = b 4 S = ( 6) ( 600 Are(incisione) = A(PONM) = S = ( 6)(b 4) = ( 6) ( 600 4) 4) deve essere mssim con 0 < < 600 S = ( ( 0) ( + 0) 4) + ( 6) ( ) = 2 2 S 0 se 0 Quindi S cresce d 0 0 e decresce d 0 600: risult quindi mssim per = 0 (quindi b = 20). L re d incisione è mssim qundo le dimensioni dell trg sono 0 cm e 20 cm L re mssim di incisione è pri : S(mx) = 24 cm 6 cm = 84 cm 2 L percentule occupt dll re di incisione è dt d : % = 64 % 600 4

QUESITO 6 Si spieghi perché le fcce di un poliedro regolre sono tutti tringoli, tutti qudrti o tutti pentgoni. I poliedri regolri (solidi pltonici) sono 5, e le fcce sono tringoli, qudrti o pentgoni.

5 QUESITO 6 Si spieghi perché le fcce di un poliedro regolre sono tutti tringoli, tutti qudrti o tutti pentgoni. I poliedri regolri (solidi pltonici) sono 5, e le fcce sono tringoli, qudrti o pentgoni. Poiché in ogni vertice di un poliedro devono convergere lmeno tre fcce (non complnri), l somm dei loro ngoli deve essere inferiore d un ngolo giro. Le fcce possono essere solo tringoli equilteri (tetredro, ottedro, icosedro), qudrti (esedro o cubo), pentgoni regolri (dodecedro). Si hnno inftti le seguenti possibilità:. Le fcce del poliedro sono tringoli (equilteri): le fcce degli ngoloidi possono essere (x60 =80 <60 ), 4 (4x60 =240 <60 ), 5 (5x60 =00 <60 ), m non di più: con 6 fcce vremmo 6x60 =60 che non è minore di 60. Abbimo quindi tre poliedri regolri con le fcce tringolri: il tetredro, l ottedro e l icosedro. 2. Se le fcce del poliedro sono qudrte, le fcce degli ngoloidi non possono essere più di (x90 =270, m 4x90 =60 ): in questo cso si h l esedro (il cubo).. Se le fcce del poliedro sono pentgoni (regolri), ogni ngoloide può vere l mssimo fcce (x08 =24 ): in questo cso si h il dodecedro regolre. 4. Non possono esistere poliedri regolri le cui fcce bbimo più di 5 lti (per esempio già con l esgono vremmo x20 =60 ). QUESITO 7 Si clcolino, con l iuto di un clcoltrice, le mpiezze, in grdi e primi sessgesimli, degli ngoli di un tringolo i cui lti misurno 0, 24 e 26 decimetri. 5

6 Ponimo AB = c = 26 dm, BC = = 0 dm, AC = b = 24 dm. Poiché c 2 = 2 + b 2 (26 2 = ), il tringolo è rettngolo in C: γ = 90 b = c cosα cosα = b c = α = rccos ( 24 ) = β = = 67.8 = QUESITO 8 Sino x e x 2 gli zeri di P(x) = x 2 x 204, con x < x 2. Sino x e x 4 gli zeri di Q(x) = x 2 2x 204 con x < x 4. Si clcoli (x 4 x 2 ) + (x x ). Le equzioni x 2 x 204 = 0 e x 2 2x 204 = 0, vendo il discriminnte positivo, mmettono rdici reli e distinte; ricordndo che l somm delle rdici dell equzione x 2 + bx + c = 0 è b, bbimo: (x 4 x 2 ) + (x x ) = (x + x 4 ) (x + x 2 ) = (2) = Con l collborzione di Angel Sntmri, Simon Scoleri e Stefno Scoleri 6

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