Calcolo differenziale per funzioni di più variabili

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1 Calcolo differenziale per funzioni di più variabili Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B

2 Derivate direzionali e parziali Consideriamo un insieme aperto Ω R n e un campo scalare f : Ω R. Sia v R n un versore, cioè un vettore di lungheza unitaria: v = 1. Definizione Sia x 0 Ω. Chiamiamo il rapporto incrementale di f nella direzione v e nel punto x 0 la quantità f (x 0 + tv) f (x 0 ) t t R.

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4 Derivate direzionali e parziali Definizione Se esiste finito, il limite f (x 0 + tv) f (x 0 ) lim t 0 t è detto derivata direzionale di f in x 0 nella direzione v e si indica con f v (x 0), D v f (x 0 ). In questo caso f si dice derivabile in x 0 nella direzione v. Nella definizione precedente intervengono solo i valori di f lungo la retta x 0 + tv. Dunque l esistenza della derivata in una direzione non garantisce l esistenza della derivata in un altra direzione!

5 Derivate direzionali e parziali Definizione Se v = e i (il versore i esimo della base canonica), la derivata direzionale è detta derivata parziale di f rispetto a x i e si indica con f x i (x 0 ), D i f (x 0 ).

6 In D i f varia solo la variabile x i. Quindi per il calcolo si può pensare alle altre variabili come a delle costanti ed applicare le regole di derivazione valide per le funzioni di una sola variabile.

7 Il caso di funzioni di due variabili

8 Il caso di funzioni di due variabili

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10 Interpretazione geometrica

11 Interpretazione geometrica

12 Interpretazione geometrica

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14 Derivate direzionali e parziali: esempi 1. Sia f : R 2 R data da f (x, y) = x 3 sin(y 2 ).

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16 2. Sia f : R 3 R data da f (x, y, z) = x 3 5x y sin(x + e z ) + z cos y.

17 3. Sia f : R 2 R definita da x y (x, y) (0, 0) x 2 +y 2 f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0)

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22 Attenzione! Sarebbe sbagliato calcolare le derivate parziali nel punto (0, 0) come limiti delle derivate f f x (x, y) e y (x, y). In generale non vale f (0, 0) = x lim f (x, y) (x,y) (0,0) x NO! f (0, 0) = y lim f (x, y) (x,y) (0,0) y NO! perché a priori non abbiamo nessuna informazione circa la continuità delle derivate parziali nel punto (0, 0). In effetto, nell esempio precedente si ha f lim (x, y) (x,y) (0,0) x lim f (x, y) (x,y) (0,0) y

23 Derivabilità direzionale e continuità A differenza delle funzioni di una sola variabile, nel caso di funzioni di più variabili l esistenza delle derivate parziali non garantisce la continuità : abbiamo visto che la funzione { x y (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) ammette entrambe le derivate parziali nel punto (0, 0). D altra parte si vede facilmente che f non è continua in (0, 0):

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26 Nemmeno l esistenza di tutte le derivate direzionali garantisce la continuità : Esempio Sia f : R 2 R definita da 0 se y 0 oppure y > x 2 f (x, y) = 1 se 0 < y x 2. Risulta che f ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non è continua in (0, 0).

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32 Perciò è necessario introdurre una nozione più forte della derivabilità direzionale: la differenziabilità.

33 Funzioni differenziabili Consideriamo per semplicità solo i campi scalari. Definizione Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R un campo scalare. Sia inoltre x Ω e supponiamo che f ammetta tutte le derivate parziali in x. Il vettore ( f f (x) = grad f (x) = (x), f (x),..., f ) (x) x 1 x 2 x n si chiama gradiente di f nel punto x. Notiamo che f : Ω R n.

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36 Funzioni differenziabili Definizione Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R un campo scalare. Sia inoltre x 0 Ω. Diciamo che f è differenziabile in x 0 se esiste λ(x 0 ) R n tale che f (x) = f (x 0 ) + λ(x 0 ) (x x 0 ) + o( x x 0 ), x x 0, (1) Diciamo che f è differenziabile in Ω se è differenziabile in ogni punto di Ω. Ricordiamo il significato della notazione o( x x 0 ) : h(x) h(x) = o( x x 0 ) per x x 0 lim x x0 x x 0 = 0.

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40 Funzioni differenziabili Teorema (Caratterizzazione della differenziabilità) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R un campo scalare. Sia inoltre x 0 Ω. Allora f è differenziabile in x 0 se e solo se f ammette tutte le derivate parziali in x 0 e se f (x) f (x 0 ) f (x 0 ) (x x 0 ) lim = 0. (2) x x 0 x x 0 Quindi f è differenziabile in x 0 se vale (1) con λ(x 0 ) = f (x 0 ): f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + o( x x 0 ), x x 0, (3)

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46 Differenziabilità per funzioni di una variabile

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53 Differenziabilità per funzioni di due variabili

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55 Proprietà delle funzioni differenziabili Teorema (Differenziabilità e continuità ) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R. Sia inoltre x 0 Ω. Se f è differenziabile in x 0, allora f è continua in x 0. Il viceversa è in generale falso: la continuità non implica la differenziabilità!

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57 Dimostrazione:

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60 Teorema (Differenziabilità e derivabilità ) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R. Sia inoltre x 0 Ω. Se f è differenziabile in x 0, allora f è derivabile in x 0 lungo ogni direzione v e vale D v f (x 0 ) = f (x 0 ) v

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62 Dimostrazione:

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65 Proprietà delle funzioni differenziabili Anche in questo caso non vale il viceversa: derivabilità in ogni direzione non implica differenziabilità.

66 Esempio La funzione f (x, y) = x 2 y x 2 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non è differenziabile in (0, 0).

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72 Interpretazione geometrica della differenziabilità per funzioni di una variabile

73 Interpretazione geometrica della differenziabilità per funzioni di una variabile

74 Interpretazione geometrica della differenziabilità per funzioni di DUE variabili

75 Interpretazione geometrica della differenziabilità per funzioni di DUE variabili

76 Teorema (Differenziabilità di somme e prodotti) Sia Ω R n un aperto e sia x 0 Ω. Siano f, g : Ω R due funzioni differenziabili in x 0. Allora sono differenziabili in x 0 anche le funzioni somma f + g e prodotto f g.

77 Teorema (Differenziabilità della composizione) Sia Ω R n un aperto e sia x 0 Ω. Sia f : Ω R una funzione differenziabile in x 0. Sia inoltre ϕ : R R una funzione differenziabile in f (x 0 ) R. Allora la funzione composta ϕ f : Ω R è differenziabile in x 0 e vale ϕ(f (x)) = ϕ(f (x 0 )) + ϕ (f (x 0 )) f (x 0 ) (x x 0 ) + o( x x 0 ), per x x 0.

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79 Teorema (Teorema del differenziale totale) Sia Ω R n un aperto e sia x 0 Ω. Sia f : Ω R una funzione. Supponiamo che f ammetta in Ω tutte le derivate parziali D i f, i = 1,.., n, e che esse siano continue in x 0. Allora f è differenziabile in x 0. Non vale il viceversa

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84 Definizione (Funzioni di classe C 1 ) Sia Ω R n un aperto e sia f : Ω R una funzione. Diciamo che f è di classe C 1 se esistono le derivate parziali di f in Ω ed esse sono funzioni continue. L insieme delle funzioni di classe C 1 da Ω in R si indica con il simbolo C 1 (Ω). Nel loro dominio naturale sono di classe C 1 tutte le funzioni elementari e le loro composizioni; per esempio polinomi, funzioni razionali fratte, logaritmi etc.

85 Dal Teorema del differenziale totale segue che ogni funzione di classe C 1 (Ω) è differenziabile in Ω. Più in generale abbiamo il seguente schema riassuntivo: f C 1 (Ω) f differenziabile in Ω f continua in Ω v R n : D v f

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