ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO SIMULAZIONE DELLA II PROVA A.S Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di: MATEMATICA 1 Nome del candidao Classe Il candidao risolva uno dei due problemi; il problema da correggere è il numero PROBLEMA 1 : LA LAMPADA DI DUFF Una piccola lampada di design, progeaa da Simon Duff, ha la forma di un fungo (vedi figura 1); per avviare la produzione in serie della lampada è necessario descrivere la forma del suo supporo (ossia il suo profilo, escluso il paralume) mediane funzioni maemaiche. Figura 1 Il disegno del profilo della lampada, in un sisema di riferimeno caresiano, è quello riporao nella figura : l arco AB può essere descrio da una funzione y = f ( x) razionale inera (ossia polinomiale) di erzo grado e l arco BC è un arco di circonferenza cenrao in O. Figura Il profilo non deve presenare alcuna spigolosià in B. Il raggio A' A del cerchio in cui il supporo si salda al paralume deve avere una lunghezza di 15 8 cm; la lunghezza del segmeno A' O è di 10 cm; la sezione più srea conenua nel II quadrane ha raggio D ' D e si rova a cm dal paralume (ossia 15 A' D ' = cm); la rea angene al profilo nel puno A ha pendenza pari a. 16 1) Avvalendoi delle informazioni fornie, deermina l espressione analiica della funzione y = g( x) che descrive l inero profilo della lampada da A a C e calcola il raggio D ' D della sezione più srea della lampada conenua nel II quadrane. Giusifica i passaggi. A iolo di verifica è fornia l espressione analiica della funzione che descrive il profilo ra A e B: y = x x Duraa massima della prova: 6 ore. È consenio l uso della calcolarice ascabile non programmabile. Non saranno consenie uscie prima delle ore 10.30; la verifica non porà essere consegnaa prima delle 1.15; dopo le ore 1,15 agli sudeni che avranno consegnao la prova sarà consenia l uscia dall isiuo; 1

2 Tra il puno A e il puno B il raggio r della sezione circolare del supporo della lampada varia con 15 coninuià ra il valore r A = cm e il valore B 8 r. ) Calcola il valore medio r di ale raggio ra il puno A e il puno B, esprimendolo anche in forma approssimaa ai millimeri. Il solido che cosiuisce il supporo della lampada si oiene facendo ruoare il profilo già discusso aorno all asse delle x; d alra pare, affinché la lampada possa essere appoggiaa su un piano (come chiario anche in figura 1), viene rimossa una porzione del solido, come indicao in figura 3 e 4, in modo ale che la base di appoggio della lampada sia un cerchio di diamero BE e di area 5π cm. La porzione rimossa è chiaramene un segmeno sferico ad una base (ossia la pare di sfera compresa ra un piano secane e la caloa sferica che esso individua). Figura 3 Figura 4 3) Dimosra con l ausilio del calcolo inegrale che il volume di un segmeno 1 sferico ad una base è dao dalla formula V = π h R h ove R indica il 3 raggio della sfera e h l alezza del segmeno sferico (in accordo alla figura 5, nella quale, invece, r indica il raggio della base del segmeno sferico). Spiega il procedimeno seguìo. Figura 5 4) Infine rova il volume effeivo, approssimao ai cm 3, del supporo della lampada. A iolo di parziale verifica è fornio un valore approssimao del volume della pare del solido che si oiene dalla roazione del profilo della lampada ra il puno A e il puno B: 85.8 cm 3.

3 PROBLEMA : PILLOLE O PUNTURE? La concenrazione di un farmaco nel sangue varia a seconda di come esso venga somminisrao, ad esempio per via endovenosa o per via orale. Prendiamo in considerazione la concenrazione (misuraa in mg/l) del farmaco BZT nel sangue al passare nel empo (misurao in ore, con 0); indichiamo con: E = E( ) la concenrazione nel caso di somminisrazione per via endovenosa, R = R( ) la concenrazione nel caso di somminisrazione per via orale. Nel caso della somminisrazione per via endovenosa, la concenrazione è massima nel momeno sesso ( = 0) in cui il farmaco viene assuno (indichiamo ale massimo con E max), dao che viene salaa la fase dell assorbimeno in quano il farmaco viene immesso direamene nel circolo sisemico. Successivamene la concenrazione diminuisce (l organismo inizia ad eliminare il farmaco). Nel caso della somminisrazione per via orale, la concenrazione è nulla nell isane ( = 0) in cui il farmaco viene assuno, viso che deve essere assorbio dall organismo (l'assorbimeno è la prima fase del viaggio di un farmaco all'inerno del nosro organismo e consise nel passaggio del medicinale dal sio di somminisrazione al circolo sanguigno). Poi essa cresce fino a raggiungere ad un cero isane max il suo valore massimo R max. Successivamene essa comincia a decrescere, mano a mano che l organismo elimina il farmaco. Nel séguio vengono presenai i grafici di due funzioni y = f ( ) (in nero, con rao più spesso) e mg y = g( ) (in grigio con rao soile) che rappresenano (espressa in ) la rapidià di variazione della L h concenrazione nel empo del farmaco nel sangue per enrambi i ipi di somminisrazione. f ( ) A( e α β = e ) g ( ) = B e β Figura 1 3

4 1) Moivando esaurienemene la risposa, sabilisci qual è il grafico della rapidià di variazione della concenrazione del farmaco somminisrao per via orale e quale è la rapidià di variazione della concenrazione del farmaco somminisrao per via endovenosa e quindi, avvalendoi delle informazioni indicae in figura (ra le quali abbiamo anche le segueni: la rea disegnaa con linea raeggiaa è 5 angene al grafico di g, il puno D ln ; appariene al grafico di f ), deermina i valori (esai) 4 delle cosani A, B, α, β. ) Sapendo che per il farmaco BZT la concenrazione iniziale nel caso di somminisrazione per via endovenosa è 0 mg/l, deduci le espressioni analiiche delle funzioni con E = E( ) (concenrazione nel caso di somminisrazione per via endovenosa) e con R = R( ) (concenrazione nel caso di somminisrazione per via orale) e rappresenane i due grafici; deermina l isane di empo max (approssimao ai minui) in cui viene raggiuna la massima concenrazione R max a séguio della somminisrazione del farmaco per via orale e il valore di ale concenrazione massima; in enrambi in casi calcola ( ) dimezzameno (approssimao ai minui), ossia quano empo impiega la concenrazione del farmaco, a parire dall isane in cui la massima concenrazione viene raggiuna, a ridursi alla meà di ale massimo. Araverso la somminisrazione orale, solano una pare del farmaco arriva all'assorbimeno e al sio d'azione. La biodisponibilià è un paramero mediane il quale si misura la frazione di farmaco assorbia araverso somminisrazione non endovenosa rispeo a quella della corrispondene somminisrazione endovenosa. 0 Dal puno di visa maemaico, la biodisponibilià δ è daa dal rapporo δ percenuale. 0 + = + R( ) d E( ) d espresso in 3) Calcola la biodisponibilià del farmaco BZT assuno per via orale uilizzando le espressioni analiiche delle funzioni con E = E( ) e R = R( ) rovae in precedenza. Un azienda produce il farmaco BZT in compresse. In ciascuna compressa la quanià di principio aivo è una variabile aleaoria X, i cui valori sono espressi in milligrammi, che segue una disribuzione normale di valor medio µ = 4.00 mg e scaro quadraico medio σ = 0.5 mg. Il valore medio coincide anche il valore nominale dichiarao dall azienda. La massima olleranza consenia rispeo al valore nominale è del 15% in più (in caso conrario aumenano noevolmene i rischi di ossicià) e del 0% in meno (in caso conrario il farmaco non riuscirebbe a raggiungere, dopo la somminisrazione, una concenrazione ale da renderlo efficace). Tue le compresse vengono conrollae dopo essere sae prodoe. 4) Dao un loo di compresse di BZT, calcola, approssimando alle ceninaia, quane di esse verranno scarae in accordo ai limii di olleranza succiai. Calcola inolre quane compresse N occorre conrollare affinché la probabilià che almeno una vada scaraa sia superiore al 95%. 4

5 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO SIMULAZIONE DELLA II PROVA A.S Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di: MATEMATICA Nome del candidao Classe Il candidao risolva cinque dei dieci quesii; i quesii da correggere sono i numeri 1. Hai a disposizione un foglio di carone di forma reangolare di dimensioni a e a, con il quale vuoi cosruire una scaola a base reangolare apera al di sopra, agliando via dai verici del foglio quaro quadrai uguali. Deermina quano deve valere la misura x del lao di ciascun quadrao eliminao in modo da oenere la scaola di volume massimo. Deermina l area del foglio (prima del aglio), approssimaa ai cm, dal quale si oiene una scaola di volume massimo pari a 10 L Dimosra, moivando i passaggi esaurienemene, che la funzione y = f ( x) = x x + ln( x + 1) + 3 I = (e perano inveribile se consideraa come funzione ra I e f ( I )); dea è inieiva su ] 1;1[ x = g( y) la funzione inversa di ale resrizione di f, calcola g '(3). 3. Considera il solido W descrio nel séguio: la base di W è la regione D del piano xoy delimiaa della parabola di equazione x = y e dalla rea di equazione x = 4; le sezioni di W con piani perpendicolari all asse x in un puno a disanza x dall asse y sono riangoli isosceli la cui alezza misura h( x) = x. Disegna la regione D e calcola il volume V del solido W. 4. Il cenralino A riceve in media chiamae al minuo; il cenralino B ne riceve in media 4 al minuo; i due cenralini funzionano in modo indipendene fra loro e per ciascun cenralino il numero di chiamae, che indichiamo con X A e X B, che ricevono in un minuo è una variabile aleaoria che segue una disribuzione di Poisson. Calcola la probabilià che, in un minuo, a) il cenralino A riceva almeno una elefonaa; b) il cenralino A riceva un numero di elefonae compreso ra 1 e 3; c) i due cenralini ricevano nel complesso non più di 3 elefonae (se chiami X TOT la variabile aleaoria che cona il numero di chiamae che in un minuo complessivamene arrivano ai due cenralini, porai dire che essa segue una disribuzione... di paramero... ). 5

6 5. Sia N = N( ) il numero di baeri di una daa colonia dopo ore (con 0) dall inizio dell osservazione; il rapporo R( ) ra la velocià di crescia del numero di baeri e il numero di baeri non è cosane, ma decresce nel empo; esso vale: R( ) = + 4, espresso in h-1. a) Scrivi e risolvi l equazione differenziale che deve soddisfare la funzione N = N( ). b) Supponendo che all inizio dell osservazione la colonia fosse cosiuia da 1000 baeri, dopo aver deermina la soluzione paricolare dell equazione differenziale che cosiuisce il modello del problema, calcola dopo quano empo il numero di baeri sarà il riplo di quello iniziale. Esprimi il risulao in ore e minui, arroondao ai minui. 6. Osserva il grafico di y = f ( x) funzione coninua e derivabile, definia per x 6 e considera x la funzione inegrale F( x) = f ( ) d anch essa definia per x 6. Si conoscono le coordinae dei segueni puni del grafico di f : A( ; 3), B( 1;0) (zero di f ), 5 C (0;1) (puno di massimo), D ;0 4 3 (puno di minimo), H ;0 4 (zero di f ), E(; 1) (unico puno di flesso), G (4; 3) (zero di f ), L (6;1). Sono noe inolre le aree individuae da f con l'asse x ra un esremo e uno zero o ra due zeri (rispeivamene 6, 3, 17, ). Calcola il maggior numero possibile di valori esai di F e rappresena il grafico di F, sabilendo monoonia e puni esremani relaivi (enrambe le coordinae), concavià e (ascisse dei) puni di flesso (non limiari ad uilizzare quese informazioni per produrre il grafico di F, ma scrivile espliciamene). 7. Nello spazio doao di un riferimeno caresiano orogonale e monomerico considera i puni A(1;1;1), B(;0;1), C(0; ; 1) e il puno D(4; ; 1). a. Mosra che il riangolo ABC è reangolo in B. b. Deermina l equazione caresiana del piano α passane per A, B, C. c. Calcola la disanza di D dal piano α e sfrua queso risulao per rovare il volume del eraedro di verici ABCD. 6

7 8. Considera la funzione reali, f ( x) a cos π x + b se x < 1 ; deermina per quali valori dei parameri = x 3 x e d x 1 se 1 a b la funzione f soddisfa le ipoesi del eorema di Lagrange sull inervallo [ ] 0;3. 9. Una malaia colpisce in media una persona su ceno. Esise un es diagnosico che fornisce esio posiivo nel 98% dei casi di persone affee dalla malaia ma anche in 5 casi su mille di persone invece sane. Una persona si soopone al es e queso risula posiivo. Calcola la probabilià che la persona sia realmene affea dalla malaia. 10. Un puno maeriale P( x, y ) si muove nel piano doao di un riferimeno caresiano e le coordinae in funzione del empo (con 0) sono in secondi. x = e con x e y misurae in meri e y = e a. Deermina l equazione della raieoria e racciala nel piano caresiano. b. Deermina gli isani di empo, se esisono, per i quali il modulo della velocià del puno maeriale vale m/s. 7

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