5.4 Il teorema fondamentale del calcolo integrale

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1 Esercizi 5.3. Si f : R R un funzione continu, e supponimo che f bbi sintoti obliqui per ±. Provre che f è uniformemente continu in R.. Esibire un funzione f : R R limitt e di clsse C, m non uniformemente continu su R. 3. Si provi che α y α y α per ogni, y e per ogni α [, ]; se ne deduc che se α [, [ l funzione f() = α è uniformemente continu in [, [, m non è lipschitzin in tle semirett. 4. Si provi che per ogni α > l funzione f() = α non è uniformemente continu in ], ]. 5. Dimostrre che ogni funzione limitt in [, b], e continu slvo che in un numero finito di punti, è integrbile in [, b]. 6. Si f : [, b] R un funzione convess. Provre che ( ) + b f b b f() d f() + f(b) 5.4 Il teorem fondmentle del clcolo integrle Se f è un funzione integrbile secondo Riemnn in un intervllo [, b], sppimo dll proposizione 5..7 che si h nche f R(, ) per ogni [, b]. Quindi possimo definire l funzione F () = f(t) dt, [, b], che si chim funzione integrle dell f. Si noti, di pssggio, che non è lecito scrivere f() d: l vribile di integrzione non v confus con gli estremi dell intervllo di integrzione, esttmente come nelle sommtorie si scrive n k= k e non n n= n. Anlizzimo le proprietà dell funzione integrle F.. 357

2 Proposizione 5.4. Se f R(, b), llor l su funzione integrle F è continu, nzi lipschitzin, in [, b], e risult F () =. Dimostrzione Ovvimente F () = f() d =. Provimo che F è lipschitzin (esempio ()). Sino, [, b] con, d esempio, < : per l proposizione 5..9 ed il corollrio 5.. si h F () F ( ) = f(t) dt f(t) dt = f(t) dt f(t) dt ; scelt l suddivisione bnle σ = {, } dell intervllo I = [, ], si ottiene, per definizione di integrle, F () F ( ) f(t) dt S( f, σ ) = sup f. Ne segue l tesi. Teorem 5.4. (teorem fondmentle del clcolo integrle) Si f un funzione continu in [, b]. Allor l su funzione integrle F è derivbile in [, b] e si h F () = f() [, b]. Dimostrzione Fissimo [, b]. Per ogni [, b] \ { } considerimo il rpporto incrementle di F in : F () F ( ) = I f(t) dt. Poiché f è continu in, fissto ε > esisterà δ > tle che t < δ = f(t) f( ) < ε. Quindi possimo scrivere (essendo c dt = c( ) per ogni costnte c) F () F ( ) = = [f(t) f( ) + f( )] dt = [f(t) f( )] dt + f( ). 358

3 Se or, il primo termine ll ultimo membro è infinitesimo: inftti non ppen < δ vremo, per l monotoni dell integrle, [f(t) f( )] dt f(t) f( ) dt ε dt = ε. Pertnto e ciò prov l tesi. F () F ( ) lim = f( ) [, b], Osservzioni () L continuità di f è essenzile nel teorem precedente: vedere l esercizio () Nell dimostrzione precedente in effetti si è provto un risultto più preciso: se f R(, b) e f è continu in un punto, llor F è derivbile in quel punto, con F ( ) = f( ). Perché il teorem fondmentle del clcolo integrle h questo nome? Perché, come presto scopriremo, per mezzo di esso è possibile clcolre un grn quntità di integrli: già questo lo rende un teorem bsilre. M l su importnz è ncor mggiore per il ftto che esso mette in relzione fr loro l integrle e l derivt, cioè due operzioni i cui significti geometrici sembrno vere ben poc relzione fr di loro: il clcolo di un re delimitt d un grfico e l nozione di rett tngente tle grfico. In reltà, in un certo senso, l integrzione e l derivzione sono due operzioni l un invers dell ltr. Per cpire meglio come stnno le cose, è necessrio introdurre l nozione di primitiv di un dt funzione. Definizione Si f : [, b] R un funzione qulunque. Dicimo che un funzione G : [, b] R è un primitiv di f se G è derivbile in [, b] e se risult G () = f() per ogni [.b]. L insieme delle primitive di un funzione f si chim integrle indefinito di f e si indic tlvolt con l mbiguo simbolo f() d (il qule quindi rppresent un insieme di funzioni e non un singol funzione). 359

4 Non tutte le funzioni sono dotte di primitive (esercizio 5.4.); però, se ne esiste un llor ne esistono infinite: inftti se G è un primitiv di f, llor G + c è ncor un primitiv di f per ogni costnte c R. D ltr prte, sppimo dl teorem fondmentle del clcolo integrle che ogni funzione f continu su [, b] h un primitiv: l su funzione integrle F. Corollrio Se f è continu in [, b] e G è un rbitrri primitiv di f, llor si h y f(t) dt = G(y) G(), y [, b]. Dimostrzione Si F () = f(t) dt l funzione integrle di f. Essendo f continu, si h F = G = f in [, b], e in prticolre (F G) = in [, b]. Quindi F G è un funzione costnte in [, b] (proposizione 4.3.4), ossi esiste c R tle che G() = F () + c per ogni [, b]. Ne segue G(y) G() = F (y) F () = y f(t) dt, y [, b]. Osservzioni () Si suole scrivere [G(t)] y in luogo di G(y) G(). () L dimostrzione precedente mostr, più in generle, che se f h un primitiv F, llor ogni ltr primitiv G di f è dell form G() = F ()+c: in ltre prole, se F è un ssegnt primitiv di f si h f() d = {F + c, c R}. Dunque per clcolre l integrle y f(t) dt occorre determinre un primitiv G di f (per poi clcolrl negli estremi dell intervllo), il che corrisponde essenzilmente fre l operzione invers dell derivzione. Per quest operzione non ci sono purtroppo ricette prestbilite, come invece ccde per il clcolo delle derivte: vi sono funzioni continue molto semplici, quli d esempio e oppure sin, le cui primitive (che esistono, per il teorem fondmentle del clcolo integrle) non sono esprimibili in termini di funzioni elementri; il che, perltro, non impedisce di clcolrne gli integrli con qulunque precisione prestbilit, utilizzndo formule di qudrtur oppure scrivendo le primitive come somme di opportune serie di potenze. È utile questo punto riportre l seguente tbell di primitive note: 36

5 integrndo p (p ) e λ (λ ) primitiv p+ p + ln e λ λ integrndo n n n= primitiv n= + rctn n + n n+ rcsin cos sin cosh sin cos sinh + cos ln ( + + ) tn sinh cosh sin tn Esercizi 5.4. Si consideri l funzione segno di, definit d se < f() = sgn() = se = se <. (i) Si clcoli f(t) dt per ogni [, ]. (ii) Si provi che f non h primitive in [, ].. Provre che esistono funzioni f discontinue in R, m dotte di primitive. [Trcci: posto F () = sin(/) per e F () =, si verifichi che F è derivbile e si prend f = F.] 3. Si dic sotto quli ipotesi si h: (i) d d f(t) dt = f(), (ii) f (t) dt = f() f(). 36

6 4. Si f un funzione continu in R. Clcolre d d ( d 3 ) f(t) dt, f(t) dt, d d d sin f(t) dt. [Trcci: si trtt di derivre opportune funzioni composte.] 5. Si f un funzione continu e non negtiv in [, b]. Si provi che se b f() d =, llor f in [, b], e che l conclusione è fls se si toglie un qulunque delle ipotesi. 6. Si f : R R continu e tle che f() λ R per. Si provi che lim f(t) dt = λ. 7. Determinre le primitive delle funzioni rcsin, rctn, settsinh. 8. Si f : R R un funzione periodic di periodo T >, cioè tle che f( + T ) = f() per ogni R. Provre che se f R(, T ) llor f R(, + T ) per ogni R e +T f(t) dt = T 5.5 Metodi di integrzione f(t) dt R. Non esiste un procedur stndrd per il clcolo delle primitive e quindi degli integrli. I metodi che esporremo desso servono trsformre gli integrli (e non clcolrli), nturlmente con l spernz che dopo l trsformzione l integrle risulti semplificto e clcolbile. Integrzione per prti Il metodo di integrzione per prti nsce come conseguenz dell formul per l derivt di un prodotto: poiché D (f()g()) = f ()g() + f()g (), vremo f ()g() = D (f()g()) f()g (), 36