MODELLO MONOINDICE. R = a + β R. R M = è variabile aleatoria di rendimento del mercato (in Italia può essere usato il MIB 30).

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1 ODELLO ONOINDICE Il rendmento d un ttolo uò essere scrtto come: R = a + β R (1) dove: R = rendmento dell -mo ttolo; a = comonente aleatora del rendmento, ndendente dall andamento del mercato; R = è varable aleatora d rendmento del mercato (n Itala uò essere usato l IB 30). β = è una costante che raresenta LA VARIAZIONE EDIA DI R dovuta ad una varazone meda d R, ( β = 0,5 vuol dre che c s asetta un aumento o una dmnuzone della metà d un aumento o una dmnuzone d E[R ] ). Inoltre s defnsce a = α + e (2) α = Ε[a ] e = è una varable aleatora con E[e ] = 0 dunque (3) R = α + β R + e N.B.: le stme d α e β sono ottenute dalla (v..6) REGRESSIONE LINEARE effettuata con le sere storche. 1

2 Saamo che: σ e : = Var[e ] σ = Var[R ] con: σe 2 = E[e - E[e ]] = E [( R (α + β R )-E[e ]) 2 ] = = E [( R (α + β R )) 2 ] = E[(R -R * ) 2 ] con R * = rendmento teorco rsultante dalla regressone multla. Cov(e,R ) = E[(e 0)(R -E[R ] )] = 0 (er otes) - CALCOLO DEL VALORE EDIO DI R (4) E[R ]=α + β E[R ] + 0 S rcava della (3) alcando le roretà della meda e rcordando che E[e]=0 - CALCOLO DELLA VARIANZA DI R Var[R ]= E[(R E[R ]) 2 ] = (dalle rel. (3) e (4) s uò scrvere) = E[((α + β R + e ) (α + β E[R ])) 2 ] = = E[ (β (R E[R ]) + e ) 2 ] = = E[β 2 (R E[R ]) 2 + e 2 + 2β (R E[R ])e ] = (er le ro. della meda) = β 2 E[(R - E[R ]) 2 ] + E[e 2 ] + 2β E[(R - E[R ])e ] = = β 2 E[(R - E[R ]) 2 ] + E[e 2 ] + 0 ; ( n forma sntetca) σ 2 = β 2 σ 2 + σ 2 (5) σ 2 = varanza d rendmento dell ndce d mercato. e 2

3 Il rocedmento che stamo seguendo è fnalzzato ad ottenere una formulazone della varanza d ortafoglo con l assunzone che er ogn ttolo valga la (1). Per scrvere la var. d ortafoglo è necessaro determnare la covaranza tra due generc ttol ( e ) ove: R = α + β R + e R = α + β R + e Bsogna anche recsare che su e, oltre a saere che la meda è nulla, otzzamo anche che: (a) E[e e ] = Cov(e,e ) = 0 ( ncorrelazone tra error d ttol dvers) (b) E[e (R - E[R ])]= Cov (e,r ) = 0 (ncorr. tra e e le oscllazon del,, mercato) - CALCOLO DELLA COVARIANZA; Cov (R,R )= σ σ = E[ (R -E[R ]) (R -E[R ]) ] = = E[((α + β R + e ) (α + β E[R ])) ((α + β R + e ) (α + + β E[R ])) ] = = E[(β (R E[R ]) + e ) (β (R E[R ]) + e ) = = β β E[(R - E[R ]) 2 ] + β E[(R - E[R ])e ] + + β E[(R - E[R ])e ] + E[e e ]; (er le otes a e b) σ = β β E[(R - E[R ]) 2 ] = β β σ 2 (6) Relogo: {1,2,,n} R = α + β R + e con a = α + e E[R ]= α + β E[R ] σ 2 = β 2 σ 2 + σ 2 σ = β β σ 2 e 3

4 C servamo ora de rsultat delle agne recedent er arrvare alla formula della varanza d ortafoglo. Partamo qund dal rendmento d un ortafoglo comosto da quote x d n ttol: R = R x + R x + R x + + R n x n = R x R = (α + β R + e ) x E[R] = x α + β E[R ]x In uno de assagg er la determnazone della var. d ortafoglo (ved) samo gunt alla seguente scrttura sntetca: Var[R] = x σ x x σ = (sosttuendo abbamo:) = x 2 (β 2 σ 2 + σ 2 )+ 2 x x β β σ 2 = = x 2 β 2 σ 2 e + x 2 σ 2 = + 2 x x β β σ 2 (unendo l rmo e l ultmo termne abbamo:) σ 2 = x x β β σ 2 + x 2 σ 2 (7) la (7) uò anche essere rscrtta n questo modo: σ 2 = ( x β ) ( x β )σ 2 + x 2 σ 2 e oché l BETA d un ortafoglo s defnsce: e = = β = x β σ 2 = β 2 σ 2 + x 2 σ 2 (8) Per un numero molto grande d ttol ossamo ensare che l rscho d ortafoglo debba dmnure; questa affermazone è e e e 4

5 confermata dalla relazone (8). Infatt l secondo termne della medesma quando n è grande dventa molto ccolo, mentre l rmo, dendendo solo da ndc d mercato, non vara al varare della comoszone del ortafoglo. σe 2 : l suo effetto sul ortafoglo è nullo se n è grande, qund è una ISURA DEL RISCHIO DIVERSIFICABILE. L effetto d β 2 σ 2 sul ortafoglo non dmnusce al crescere d n. β è la msura del rscho non dversfcable del ttolo. 5

6 REGRESSIONE LINEARE R = α + β R + e R(t) α 0 R(t) date le sere storche de rendment del -mo ttolo e del rendmento del mercato relatve ad un erodo (t), con un metodo statstco s determnano valor d α e β. Per t {1,2,,n} s ha 365 σ [(R (t) E[R ])(R (t) E[R ])] t=1 β = = σ (R (t) E[R ]) 2 t=1 conoscendo β s uò rcavare α, nfatt essendo: E[R ]= α + β E[R ] α = β E[R ] - E[R ] Inoltre σ 2 = (1/365) (R (t)-r * ) 2 con R * = valor teorc 365 e t=1 N.B.: al var. del temo delle osservazon varano anche α e β. β è legata alla struttura del catale dell azenda, al suo ndebtamento, a dvdend, al numero d azon crcolant 6