GEOMETRIA ANALITICA orizzontale verticale ORIGINE

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Faustino Fiore
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ASSE DELLE ASCISSE o ASSE DELLE x (orizzontale) ASSE DELLE ORDINATE o ASSE DELLE y

1 GEOMETRIA ANALITICA Def: Il piano cartesiano è un sistema di ASSI CARTESIANI (uno orizzontale e uno verticale) orientati che si incontrano in un punto detto ORIGINE. ASSE DELLE ASCISSE o ASSE DELLE x (orizzontale) ASSE DELLE ORDINATE o ASSE DELLE y (verticale) ORIGINE: punto O(0, 0) 4 QUADRANTI (parti in cui risulta diviso il piano) 1

2 Proprietà: esiste una corrispondenza biunivoca tra ogni PUNTO DEL PIANO e una coppia ORDINATA di numeri reali, tali numeri si dicono COORDINATE CARTESIANE. (a, b)εr,! P π / P = (a, b) per ogni coppia di numeri reali esiste un solo punto nel piano cartesiano e viceversa ogni punto del piano è individuato da un UNICA coppia di numeri reali; P(x, y): il primo numero rappresenta il valore della x (ascissa), il secondo numero il valore della y (ordinata). OSSERVAZIONE: un punto con coordinata delle x = 0 è sull asse delle y

3 un punto con coordinata delle y = 0 è sull asse delle x MISURA DELLA DISTANZA TRA DUE PUNTI PRIMO CASO: due punti posti su una retta parallela all asse x; i punti hanno la stessa y. REGOLA: d (A; B) = x A x B Osservazione: il simbolo significa valore assoluto e rappresenta il numero ottenuto con il segno + 3

4 calcolare la distanza tra A ( ; 3) e B (6 ; 3) d (A, B) = x A x B = 6 = 4 = 4 cm calcolare la distanza tra C ( -4 ; -) e D ( - ; -) d (C, D) = x C x D = 4 ( ) = 4 + = = cm due punti posti su una retta parallela all asse y; i punti hanno la stessa x. REGOLA: d (A, B) = y A y B A (5; 4) B (5; +3) d (A, B) = y A y B = 4 3 = 7 = 7 cm 4

5 SECONDO CASO: due punti qualsiasi. Si individua il punto P, che ha come coordinate la x del punto A e la y del punto B: P = (x A ; y B ) P = ( 1; ) Si calcola la distanza tra A e P d (A ; P) = y A y P = 4 = Si calcola la distanza tra B e P d (B ; P) = x B x P = 5 ( 1) = = 6 Si applica il Teorema di Pitagora per calcolare l ipotenusa AB: d(a, B) = AP + BP = (y A y P ) + (x B x P ) Ma y P = y B e x P = x A (y A y B ) + (x B x A ) Quindi si applica direttamente questa formula: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) 5

6 A=(-1;4) B=(5;) d(a, B) = ( 1 5) + (4 ) = ( 6) + (+) = = 40 = 10 Osservazione: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) questa formula è applicabile a qualsiasi coppia di punti, anche quelli paralleli all asse delle x o delle y. Es: A ( +3; 5) e B ( +3; +8) d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) = (+3 3) + ( 5 8) = 0 + ( 13) = 13 = 13 6

7 A ( +4; 6) e B ( +10; 6) d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) = (+4 10) + ( 6 + 6) = ( 6) + 0 = 6 = 6 Il PUNTO MEDIO Def: Il punto medio tra due punti A(x A, y A ) e B(x B, y B ) è il punto M(x M, y M ), che giace alla stessa distanza sia da A che da B. Le sue coordinate sono: x M = x A + x B Quindi: M ( x A + x B y M = y A + y B ; y A + y B ) 7

8 A ( ; 1) e B ( 6 ; 5) M ( + 6 ; ) = M(4; 3) A ( ; 1 ) 3 5 B(3 ; 4) M ( ; 5 4 ) = M ( ; = M ( 13 1 ; 4 5 ) ) = M ( ; ) PUNTI SIMMETRICI SIMMETRIA RISPETTO AGLI ASSI CARTESIANI Ricordo: due punti A e A si dicono simmetrici rispetto ad una retta r (detta ASSE DI SIMMETRIA) se la retta è 8

9 perpendicolare al segmento AA nel suo punto medio. Regola: due punti sono SIMMETRICI RISPETTO ALL ASSE x se hanno la stessa ASCISSA (x=x ) e ORDINATA opposta (y= - y ): P(x; y) il suo simmetrico rispetto all'asse x è P (x; y) due punti sono SIMMETRICI RISPETTO ALL ASSE y se hanno ASCISSA opposta (x= - x ) e stessa ORDINATA (y=y ): P(x, y) il suo simmetrico rispetto all'asse y è P ( x, y) A ( ; 6) simmetrico rispetto all asse x A ( ; +6) A ( ; 6) simmetrico rispetto all asse y A (+; 6) 9

10 SIMMETRIA RISPETTO ALL ORIGINE Ricordo: due punti A e A sono simmetrici rispetto al CENTRO DI SIMMETRIA O, se tale punto coincide con il punto medio del segmento AA. Oppure: A e A sono simmetrici rispetto ad O se appartengono ad una circonferenza di centro O e raggio OA e sono DIAMETRALMENTE OPPOSTI. Regola: due punti simmetrici rispetto all origine hanno ASCISSE OPPOSTE (x=-x ) e ORDINATE OPPOSTE (y=-y ). 10

11 P(x, y) il suo simmetrico rispetto all'origine è P ( x, y). Es: A (; 4) il suo simmetrico rispetto all origine è il punto A ( ; 4) RICHIAMO SULLE FUNZIONI NEL PIANO FUNZIONE: una relazione tra due variabili, una indipendente (x) e una dipendente (y). Quindi si scrive: y = f(x) x R! y R / y = f(x) Disegnare il GRAFICO della funzione: disegnare nel piano cartesiano la linea che è rappresentata dalla funzione y = 1 x + 3 è una retta Per disegnarla occorre trovare i punti che appartengono alla retta: x 0 y = = = = 4 11

12 = = 7 A ( 0;3) B ( ; 4) C ( 8;7) ---9/03--- OSSERVAZIONE: Se la funzione è del tipo y = ax + b, il suo grafico è una RETTA. Se la funzione è del tipo y = ax, il suo grafico è una PARABOLA. Se la funzione è del tipo y = a x EQUILATERA. Esempi: y = 3x + 7, il suo grafico è un IPERBOLE 1

13 y = 4 9 x y = 8 x 13

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