NOME COGNOME MATRICOLA CANALE

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1 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 1 1. Scrivere la formula che definisce l elemento generico della matrice prodotto di A = (a ij ) M(m n, K) per B = (b jh ) M(n p, K). 2. Dimostrare che se un polinomio P (z) a coefficienti reali e di grado positivo non è divisibile per alcun polinomio di grado uno a coefficienti reali, allora è divisibile per un polinomio di grado due a coefficienti reali. 3. Si consideri l affermazione: Siano r > 0 un intero e F = v 1, v 2,..., v r, G = w 1, w 2,..., w r due famiglie di vettori in uno spazio vettoriale V K. Si considerino i sottospazi W 1 = F, W 2 = G e W 3 = v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v r + w r. Allora dim W 3 dim W 1 + dim W 2. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

2 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 2 1. Enunciare il teorema delle dimensioni riguardante una funzione lineare. 2. Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso. 3. Si consideri l affermazione: Siano r > 0 un intero e F = v 1, v 2,..., v r, G = w 1, w 2,..., w r due famiglie di vettori in uno spazio vettoriale V K. Si considerino i sottospazi W 1 = F, W 2 = G e W 3 = v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v r + w r. Allora dim W 3 max{dim W 1, dim W 2 }. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

3 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 3 1. Scrivere la formula di Laplace per il determinante di una matrice quadrata, chiarendo il significato dei simboli che vi sono coinvolti. 2. Enunciare il Teorema Fondamentale dell Algebra e dimostrare come sua conseguenza che ogni polinomio di grado n > 0 a coefficienti complessi si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienti complessi. 3. Si consideri l affermazione: Siano r > 0 un intero e F = v 1, v 2,..., v r, G = w 1, w 2,..., w r due famiglie di vettori in uno spazio vettoriale V K. Si considerino i sottospazi W 1 = F, W 2 = G e W 3 = v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v r + w r. Allora dim W 3 dim(w 1 + W 2 ). (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

4 NOME COGNOME MATRICOLA CANALE Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria Proff. M. Imbesi - R. Sanchez - C. Zanella Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza TEMA 4 1. Enunciare la formula per l inversa di una matrice quadrata invertibile. 2. Siano P (z) un polinomio a coefficienti reali e α C una sua radice. Dimostrare che anche α è una radice di P (z). 3. Si consideri l affermazione: Siano r > 0 un intero e F = v 1, v 2,..., v r, G = w 1, w 2,..., w r due famiglie di vettori in uno spazio vettoriale V K. Si considerino i sottospazi W 1 = F, W 2 = G e W 3 = v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v r + w r. Allora dim W 3 dim W 1 e dim W 3 dim W 2. (a) Dire se l affermazione è vera o falsa. (b) Dimostrare o confutare l affermazione, a seconda del caso. Tempo: 30 minuti. È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.

5 Risposte ai quesiti n.3 dei vari temi. Tema 1. L affermazione è vera. La famiglia di generatori di W 3 assegnata è composta da vettori di W 1 +W 2 e ciò implica W 3 W 1 +W 2. Inoltre è vero in generale che dim(w 1 +W 2 ) dim W 1 +dim W 2. Ne segue: dim W 3 dim(w 1 + W 2 ) dim W 1 + dim W 2. Tema 2. L affermazione è falsa. Come controesempio si prenda V K = R 2, r = 2, v 1 = w 2 = (0, 0), v 2 = (1, 0) e w 1 = (0, 1). Risulta dim W 1 = dim W 2 = 1 e dim W 3 = 2. Tema 3. L affermazione è vera. La famiglia di generatori di W 3 assegnata è composta da vettori di W 1 + W 2 e ciò implica W 3 W 1 + W 2. Conseguentemente, dim W 3 dim(w 1 + W 2 ). Tema 4. L affermazione è falsa. Come controesempio si prenda V K = R 2, r = 1, v 1 = (1, 0) e w 1 = ( 1, 0). Risulta dim W 1 = dim W 2 = 1 e dim W 3 = 0.

6 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 1 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Nella seguente equazione nell incognita complessa z, m è un numero reale: (1 i)z 2 + ( 4 + 2i)z + m + (4 m)i = 0. (a) Esprimere in forma algebrica la somma e il prodotto delle soluzioni di tale equazione. (b) Trovare un valore di m R per cui almeno una delle due soluzioni è reale. 2. Sia L k : R 3 R 4 la funzione lineare definita dalle equazioni L k (1, 2, 3) = (1, 1, k, 1), L k (1, 2, 2) = (1, k, 1, k), L k (1, 0, 0) = (k, 1, 1, (k + 1) 2 ), dove k è un parametro reale. Trovare una base dell immagine di L k al variare del parametro k. 3. È data la matrice A = (a) Trovare il valore di c R per il quale v c = (1, 0, c) è un autovettore di A. (b) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. 4. Sono dati i tre punti P (1, 3, 1), Q( 1, 2, 0) e R(2, 2, 1) nello spazio cartesiano. (a) Trovare l equazione cartesiana del piano contenente P, Q ed R. (b) Trovare la distanza del punto P dalla retta s per Q ed R.

7 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 2 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Nella seguente equazione nell incognita complessa z, m è un numero reale: (1 + i)z 2 (4 + 2i)z + m + (m 4)i = 0. (a) Esprimere in forma algebrica la somma e il prodotto delle soluzioni di tale equazione. (b) Trovare un valore di m R per cui almeno una delle due soluzioni è reale. 2. Sia L k : R 3 R 4 la funzione lineare definita dalle equazioni L k (1, 2, 3) = (1, 1, k, 1), L k (1, 2, 2) = (k, 1, 1, k), L k (1, 0, 0) = (1, k, 1, (k + 1) 2 ), dove k è un parametro reale. Trovare una base dell immagine di L k al variare del parametro k. 3. È data la matrice A = (a) Trovare il valore di c R per il quale v c = (0, 1, c) è un autovettore di A. (b) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. 4. Sono dati i tre punti P (3, 1, 1), Q( 2, 1, 0) e R( 2, 2, 1) nello spazio cartesiano. (a) Trovare l equazione cartesiana del piano contenente P, Q ed R. (b) Trovare la distanza del punto P dalla retta s per Q ed R.

8 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 3 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Nella seguente equazione nell incognita complessa z, m è un numero reale: (1 i)z 2 + ( 4 + 2i)z + 4 m + mi = 0. (a) Esprimere in forma algebrica la somma e il prodotto delle soluzioni di tale equazione. (b) Trovare un valore di m R per cui almeno una delle due soluzioni è reale. 2. Sia L k : R 3 R 4 la funzione lineare definita dalle equazioni L k (1, 2, 3) = (1, 1, k 1, 1), L k (1, 2, 2) = (1, k 1, 1, k 1), L k (1, 0, 0) = (k 1, 1, 1, k 2 ), dove k è un parametro reale. Trovare una base dell immagine di L k al variare del parametro k. 3. È data la matrice A = (a) Trovare il valore di c R per il quale v c = (1, 0, c) è un autovettore di A. (b) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. 4. Sono dati i tre punti P ( 1, 3, 1), Q(1, 2, 0) e R( 2, 2, 1) nello spazio cartesiano. (a) Trovare l equazione cartesiana del piano contenente P, Q ed R. (b) Trovare la distanza del punto P dalla retta s per Q ed R.

9 Università degli Studi di Padova Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Lauree triennali in Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica proff. M. Imbesi, R. Sanchez, C. Zanella Prova scritta di Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria TEMA 4 Tempo a disposizione: due ore e 30 minuti. Svolgere gli esercizi con le dovute giustificazioni sul foglio di bella copia. Non si possono tenere calcolatrici, appunti, libri, telefoni. 1. Nella seguente equazione nell incognita complessa z, m è un numero reale: (1 + i)z 2 (4 + 2i)z + m 4 + mi = 0. (a) Esprimere in forma algebrica la somma e il prodotto delle soluzioni di tale equazione. (b) Trovare un valore di m R per cui almeno una delle due soluzioni è reale. 2. Sia L k : R 3 R 4 la funzione lineare definita dalle equazioni L k (1, 2, 3) = (1, 1, k 1, 1), L k (1, 2, 2) = (k 1, 1, 1, k 1), L k (1, 0, 0) = (1, k 1, 1, k 2 ), dove k è un parametro reale. Trovare una base dell immagine di L k al variare del parametro k. 3. È data la matrice A = (a) Trovare il valore di c R per il quale v c = (0, 1, c) è un autovettore di A. (b) Trovare una matrice ortogonale H tale che H T AH sia diagonale. 4. Sono dati i tre punti P ( 3, 1, 1), Q(2, 1, 0) e R(2, 2, 1) nello spazio cartesiano. (a) Trovare l equazione cartesiana del piano contenente P, Q ed R. (b) Trovare la distanza del punto P dalla retta s per Q ed R.

10 Svolgimento del tema n.1 N.B.: Lo svolgimento è per sommi capi, negli elaborati da parte dei candidati si richiedono maggiori dettagli. 1. (a) La somma delle due radici è e il loro prodotto è b a = 4 2i 1 i 1 + i 1 + i = 6 + 2i = 3 + i 2 c m + (4 m)i = 1 + i 2m 4 + 4i = = m 2 + 2i. a 1 i 1 + i 2 (b) Se le due radici sono x 1 = p R e x 2 = r + is, r, s R, allora p + r + is = 3 + i, pr + ips = m 2 + 2i. Uguagliando le parti immaginarie si ottiene s = 1 e ps = 2 da cui p = 2. Quindi x 1 = 2, x 2 = 1 + i e da x 1 x 2 = 2 + 2i = m 2 + 2i si ottiene m = L immagine di L k è generata dalle immagini dei vettori della base (1, 2, 3), (1, 2, 2), (1, 0, 0) di R 3, quindi per trovarne una base basta trasformare la matrice 1 1 k 1 1 k 1 k k 1 1 (k + 1) 2 H 21( 1) H 31 ( k) 1 1 k 1 0 k 1 1 k k k 1 k 2 k 2 + k + 1 Nel caso k = 1 si ottiene la base B 1 = (1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 3). Per k 1 proseguiamo con le operazioni elementari: 1 1 k 1 H 32 (1) 0 k 1 1 k k k k 2 k 2 + 2k L elemento in riga 3 e colonna 3 si annulla per k = 1, 2 e nel caso k = 2 si ottiene la base B 2 = (1, 1, 2, 1), (0, 3, 3, 3). Per k 1, 2 le tre righe della matrice a scala sono linearmente indipendenti e quindi una base è B 3 = (1, 1, k, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 2 k k 2, k 2 + 2k). 3. (a) Basta risolvere l equazione Av c = λv c, ovvero 4c λ 2 + 2c = 0 4 λc.

11 da cui c = 1 e λ = 4. (b) Vale p A (t) = (t 3 3t 2 24t + 80). Dal punto precedente sappiamo che λ = 4 è una radice del polinomio caratteristico. Dividiamolo per t 4: // Da t 2 +t 20 = 0 si ottengono le radici 4 e 5 e quindi p A (t) = (t 4) 2 (t+5). L autospazio E A (4) è l insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo di matrice equivalente a y = 2x + 2z, onde E A (4) = (1, 2, 0), (0, 2, 1). E A ( 5) si può ricavare con lo stesso metodo, oppure osservando che le righe della matrice di cui sopra sono nell ortogonale di E A (4) si ottiene direttamente E A ( 5) = ( 2, 1, 2). Applichiamo il procedimento di Gram-Schmidt alla base di E A (4), ricavando w 1 = (1, 2, 0) e w 2 = (0, 2, 1) (0, 2, 1) (1, 2, 0) (1, 2, 0) (1, 2, 0) (1, 2, 0) = (0, 2, 1) + 4 (1, 2, 0) = 5 = 1 (4, 2, 5). 5 Una base ortogonale di autovettori è (1, 2, 0), (4, 2, 5), ( 2, 1, 2); tali autovettori hanno moduli, rispettivamente, 5, 3 5, 3. Normalizzandoli e disponendoli in colonne si ottiene H = (a) Siccome P Q( 2, 5, 1) e P R(1, 5, 0), come varietà lineare il piano è (1, 3, 1) + ( 2, 5, 1), (1, 5, 0). Occorre allora imporre che non abbia pivot in ultima colonna la matrice a scala ottenuta da 1 2 x x y 3 H 21(5) x + y 8 H z z x x z 1 H 32( 15) 0 1 z x + y x + y 15z + 7

12 L equazione del piano cercato è 5x + y 15z + 7 = 0. (b) La retta QR è associata alla varietà lineare ( 1, 2, 0) + (3, 0, 1), il suo punto generico è P t ( 1 + 3t, 2, t) e P P t ( 2 + 3t, 5, t 1), che è un vettore variabile nella varietà lineare ( 2, 5, 1) + (3, 0, 1). La distanza è il modulo della proiezione ortogonale di v = ( 2, 5, 1) sull ortogonale di W = (3, 0, 1). La proiezione su W è w = ( 2, 5, 1) (3, 0, 1) (3, 0, 1) = 7 (3, 0, 1), (3, 0, 1) (3, 0, 1) 10 mentre la proiezione su W è w = ( 2, 5, 1) (3, 0, 1) = 1 (1, 50, 3). 10 La distanza cercata è w = 2510/10.