Esercizi di riepilogo. 10 dicembre Esercizi capitalizzazione semplice e composta e rendite

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1 Esercizi di riepilogo. 0 dicembre 205 Esercizi capitalizzazione semplice e composta e rendite Esercizio. Un capitale C viene impiegato in capitalizzazione semplice per 2 mesi al tasso annuo del 5%. La somma complessiva viene impiegata per 3 mesi al tasso annuo i=6% (capitalizzazione composta convenzione lineare). a) Determinare C sapendo che il montante finale ottenuto è pari a 4200 euro; b) successivamente si decide di investire i 4200 euro al tasso annuo 4%. Dopo quanto tempo si ottiene un montante pari a 5000 euro? (capitalizzazione composta convenzione esponenziale.) Montante:=C*(+0.05*2/2)*(+0.06)*(+0.06*/2); Montante := C Capitale:=solve(Montante=4200,C); Capitale := tempo:=solve(5000=4200*(+0.04)^t,t); tempo := anni:=4; mesi:=(tempo-4)*2; giorni:=(mesi-5)*30; anni := 4 mesi := giorni := (.) (.2) (.3) (.4) (.5) (.6) Tempo: 4 anni, 5 mesi e 0 giorni Esercizio 2. Si determini la rata di una rendita posticipata, differita di anno, di durata 4 anni, tale che al tasso del 2% il valore attuale sia pari a Euro VA:=R*(+i)^(-)*(-(+i)^(-4))/i; R K C i 4 VA := (.7) C i i VA:=subs(i=0.02,VA); VA := R Rata:=solve(VA=8000,R); Rata := (.8) (.9) Esercizio 3 Si determini la rata R tale che una rendita anticipata differita di 4 anni, di durata 7 anni, al tasso del 5%, abbia valore attuale pari a 300 euro. VA:=R*(+i)^(-3)*(-(+i)^(-7))/i; (.0)

2 Calcolo rata Rata:=45000*i[2]/(-(+i[2])^(-8)); Rata := Calcolo il debito residuo al periodo 4 D4:=Rata*(-(+i[2])^(-4))/i[2]; D4 := VA:=subs(i=0.05,VA); VA := R K C i 7 C i 3 i VA := R Rata:=solve(VA=300,R); Rata := (.0) (.) (.2) Esercizio 5 del 9//205 Un prestito di euro viene ammortizzato mediante 8 versamenti posticipati, mensili, costanti, al tasso effettivo annuo i = 6%. a) Determinare l'importo della rata R ed il debito residuo dopo il pagamento della quarta rata. b) Dopo il pagamento della quarta rata, a causa di sopravvenute difficoltà economiche, il debitore non riesce piu a sostenere il pagamento della rata. Il debitore ottiene di poter pagare rate da 2077 euro, ma la banca impone un nuovo tasso mensile effettivo i2 = 0,6%. Determinare il numero delle rate necessarie al debitore per estinguere il prestito (arrotondare per eccesso). Svolgimento Calcolo il tasso mensile equivalente al tasso annuo i i[2]:=(.06)^(/2)-; i 2 := (.3) n_rata:=solve(d4=2077*(-(+0.006)^(-n))/0.006); n_rata := (.4) (.5) (.6) Esercizio 7 del 9 giugno 205 Il Sig. Rossi ha euro di risparmi da investire in un conto vincolato per 63 mesi. La propria banca B0 gli offre un regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale al tasso effettivo annuo del 7%. La banca B propone invece un regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale al tasso nominale annuo convertibile trimestralmente del 6,8%. Una seconda banca B2 propone infine un regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare al tasso nominale annuo convertibile quadrimestralmente del 6,9%. Individuare l'istituto di credito pi\022u conveniente per il Sig. Rossi utilizzando i montanti. Montante_B0:=50000*(+0.07)^(63/2): Montante_B0=2397, 579 i4:=0.068/4; i4 := Osserviamo che in 63 mesi vi sono 63/3=2 trimestri (.7)

3 Montante_B:=50000*(+i4)^(2): Montante_B=2373, 622 i3:=0.069/3; i3 := In 63 mesi vi sono 5 quadrimestri e 3/4 di quadrimestre Montante_B2:=50000*(+i4)^(5)*(+i4*3/4): Montante_B2=9567, 5452 L'alternativa più conveniente è la B0 Esercizio 4. Dato il tasso i=4% annuo calcolare: a) il tasso semestrale equivalente a i=4% in regime di capitalizzazione semplice b) il tasso bimestrale equivalente a i=4% in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale ed il corrispodente tasso nominale annuo convertibile bimestralmente c) il tasso quadrimestrale equivalente al tasso semestrale determinato in a) (regime di capitalizzazione semplice) d) il tasso trimestrale equivalente al tasso bimestrale determinato in b) (regime di capitalizzazione composta convenzione esponenziale) ed il corrispondente tasso nominale annuo convertibile trimesralmente Svolgimento a) (.8) i2 = i 2 b) i2:=0.04/2; i6 = C i = 2 i i2 := K = C i / 6 K i6:=(+0.04)^(/6)-; j6 = i6$6 j6:=i6*6; c) Un quadrimetre è 2/3 di un semestre i3 = 0.02$2 3 i3:=0.02*2/3; i6 := = j6 := i3 := In alternativa, possiamo sfruttare il fatto che sia i3 che i2 sono equivalenti a i=4% () (2) (3) (4) (5) (6) (7)

4 i3:=0.04/3; d) Un trimestre è 3/2 di un bimestre da cui i3 := C i4 4 = C i = i4 = C i K = C i6 2 K false i4:=(+i6)^(3/2)-; j4:=i4*4; i4 := j4 := In alternativa, possiamo sfruttare il fatto che sia i4 che i6 sono equivalenti a i=4% 4 i4 = C 0.04 K = i4:=(+0.04)^(/4)-; j4:=i4*4; i4 := j4 := (8) (9) (0) () (2) (3) (4) (5) Esercizi su TIR e REA TAN e TAEG Esercizio 5. Determinare per quali valori di i [0,], il seguente progetto finanziario ha un REA positivo Progetto_C:=matrix(2,3,[0,,2,500, -290,-38]); 0 2 Progetto_C := 500 K290 K38 (2.) Ricordiamo che il montante del progetto finanziario è dato da REA*(+i) 2. Di conseguenza i valori di i che rendono positivi il REA rendono positivi anche il montante; ponendo x=(+i) si ha: Montante:=Progetto_C[2,]*x^2+Progetto_C[2,2]*x+Progetto_C[2,3]; Montante := 500 x 2 K 290 x K 38 (2.2) REA_C:=Progetto_C[2,]+Progetto_C[2,2]*(+i)^(-)+Progetto_C[2,3] *(+i)^(-2); REA_C := 500 K 290 C i K 38 C i 2 solve(montante0,x); RealRange KN, Open K 5 tasso:=evalf(53/50-);, RealRange Open 53 50, N (2.3) (2.4)

5 tasso := Da cui segue che si ottiene un REA positivo per i0.06 (2.4) Esercizio 4 giugno 202 Si ha una disponibilitè di 5000 euro e ci vengono proposte 3 tipologie di investimento. a) Ritirare dopo 4 anni 6500 euro; b) Riscuotere ogni mese, per i successivi 4 anni, rate costanti posticipate calcolate al tasso i 2 =0, 3%; c) Riscuotere tra 2 anni 3500 euro e tra 4 anni 3000 euro. Determinare quale alternativa è più conveniente, utilizzando ) il criterio del REA, con tasso di valutazione i=3%; 2) il criterio del T.I.R. Alternativa a) REA_a:= *(+0.03)^(-4); REA_a := (2..) Alternativa b) Trovo la rata R:=5000*0.003/(-(+0.003)^(-48)); R := Per calcolare il REA trovo tasso mensile equivalente a i=0.03 annuo i2:=(+0.03)^(/2)-; i2 := (2..2) (2..3) Calcolo il REA di B al tasso i 2 REA_b:=-5000+R*(-(+i2)^(-48))/i2; REA_b := c) REA_c:= *(+0.03)^(-2)+3000*(+0.03)^(-4); REA_c := Sulla base del criterio del REA, conviene l'alternativa c). Stabilisco la forma più conveniente sulla base del TIR a) Calcoli il REA REA_a:= *(+i)^(-4); REA_a := K5000 C 6500 C i 4 Il RIR è il tasso che annulla il REA ovvero Tir_a:=fsolve(REA_a=0,i); Tir_a := b) IL TIR dell'alternativa b) è pari al tasso annuo equivalente al tasso menisle usato per determinare la rata i2=0,003 Tir_b:=(+0.003)^2-; Tir_b := c) Calcolo il REA di C (2..4) (2..5) (2..6) (2..7) (2..8)

6 REA_c:= *(+i)^(-2)+3000*(+i)^(-4); REA_c := K5000 C 3500 C i 2 C 3000 C i 4 Pongo x=(+i) ed imposto l'equazione (2..9) -5000*x^4+3500*x^2+3000=0; K5000 x 4 C 3500 x 2 C 3000 = 0 Pongo t=x^2 solve(-5000*t^2+3500*t+3000=0,t); K 2, 6 5 Considero solo x^2=6/5 da cui x:=sqrt(6./5); e i:=x-; x := i := (2..0) (2..) (2..2) (2..3) Anche rispetto al criterio del TIR conviene C). Esercizio 6 Dire per quale valore di X il T.I.R. dell'operazione B risulta essere /3 del T.I.R. dell'operazione A. restart: Operazione_A:=Matrix([[0,,2],[-500,300,220]]); Operazione_B:=Matrix([[0,,2],[-500,X,420]]); 0 2 Operazione_A := K Operazione_B := 0 2 K500 X 420 (2.5) Calcolo il TIR dell'operazione A REA_A:= *(+i)^(-)+220*(+i)^(-2); REA_A := K500 C 300 C i C 220 C i 2 TIR_A:=solve(REA_A=0.,i); TIR_A := K , Calcolo il TIR di B è i:= */3; i := Calcolo il REA_B al tasso i= REA_B:=-500+X*(+i)^(-)+420*(+i)^(-2); REA_B := K C X Determino X ricordardo che il TIR è il tasso che annula il REA Valore_X:=solve(REA_B=0,X); (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.0)

7 Esercizio 6.a del 2/09/205 Data l'operazione restart: Operazione_A:=Matrix([[0,,2,3,4,5],[-300,40,y,0,0,0]]); Operazione_A := K y Valore_X := Posto y=280, verificare che il TIR dell'operazione è pari a: 4,988390% Svolgimento Calcolo REA_A REA_A:= /(+i)+280*(+i)^(-2)+0*(+i)^(-5); REA_A := K300 C 40 C i C 280 C i 2 C 0 C i 5 subs(i= ,rea_a); K (2.0) (2.) (2.2) (2.3) Esercizio 7 del 25/0/202 Riceviamo un finanziamento di 5000 euro da rimborsare in 2 rate semestrali costanti immediate posticipate, al tasso effettivo annuo i=4%. a) Calcolare la rata. b) Tenuto conto ) che le spese di instruttoria e notarili sono complessivmente di 20 euro e che tale somma deve essere versata all'atto della stipula del contratto; 2) che le spese per l'incasso di ogni rata sono di euro, determinare il TAN e il TAEG. Svolgimento Trovo il tasso semestrale restart: 2 i2 := C 0.04 K i2 := (2.2.) Calcolo rata Rata := 5000 i2 K C i2 K2 Rata := A:=Matrix([[0,,2],[5000,-Rata,-Rata]]); 0 2 A := 5000 K K REA_A:=A[2,]+A[2,2]*(+i)^(-)+A[2,3]*(+i)^(-2); REA_A := 5000 K K C i C i 2 (2.2.2) (2.2.3) (2.2.4)

8 tir_semestrale:=solve(rea_a=0,i); tir_semestrale := , K Il TAN è j2 ovvero j2:=i2*2; TAEG:=(tir_semestrale[]+)^2-; TAEG := j2 := Determino il tasso annuo equivalente al tasso semestrale TAEG:=( e-)^2-; TAEG := (2.2.5) (2.2.6) (2.2.7) Per il calcolo del TAEG costruisco l'operazione finanziaria i cui flussi di cassa tengono conto di tutte le spese A:=Matrix([[0,,2],[ ,-(Rata+),-(Rata+)]]); 0 2 A := (2.2.8) 4980 K K Il TAEG è il tasso annuale equvalente al Tir (semestrale) del progetto finanziario A, ovvero è il tasso che annulla il REA di A. REA_A:=A[2,]+A[2,2]*(+i)^(-)+A[2,3]*(+i)^(-2); REA_A := 4980 K C i K C i 2 semestrale:=solve(rea_a=0,i); semestrale := , K (2.2.9) (2.2.0) (2.2.) Esercizio 7. Riceviamo un finanziamento di importo pari a da estinguere in 60 rate mensili al tasso nominale annuo converibile mensilmente del j 2 =7%. Vengono rilevate spese di istruttoria per 70 e spese notarili 250 da pagare alla stipula del contratto; inoltre insieme alla rata vengono pagati 2 per spese di incasso. Calcolare TAN e verificare che il TAEG è pari a Svolgimento Il TAN è pari al tasso di interesse nominale annuo convertibile mensilmente. Abbiamo rate mensili e quindi, dal tasso nominale del 7% dobbiamo ricavare il tasso mensile e successivamente il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile. Ovvero: i[2]:=0.07/2; i 2 := (2.4) i 2 := TAN := 0.07 TAEG: è il costo totale del credito a carico del consumatore espresso in percentuale annua del credito concesso. Il T.A.E.G. comprende gli interessi e tutti gli oneri da sostenere per utilizzare il credito (art. 22 TUB) In altre parole il TAEG è il tasso che annulla il valore attuale dei flussi di cassa che comprendono la quota capitale, la quota interessi e tutte le altre spese sostenute. Determiniamo gli effettivi flussi di cassa dell'operazione, a partire dal calcolo della rata.

9 rata := i 2 K C i 2 K60 rata:=32000*i[2]/(-/(+i[2])^60); rata := (2.5) I flussi di cassa dell'operazione sono i seguenti: - al tempo 0 riceviamo il finanziamento di diminuito delle spese di istruttoria e delle spese notarili; - ad ogni mese paghiamo la rata di 633,64 euro più le spese di incasso di 2 euro. Il progetto finanziario può essere descritto nel seguente modo: Progetto_C:=Matrix(2,7,[[0,,2,a,a,a,60],[ ,- ( ),-( ),a,a,a,-( )]]): a := `..`: Progetto_C; K K K (2.6) Calcoliamo il REA dell'operazione finanziaria a cui si riferisce il TAEG K C 2 K C i_m REA := K 70 K 250 K ; i_m REA := ( )*(-/(+i_m)^60)/i_m; K C i_m 60 REA := 3680 K i_m Il TAEG è il tasso annuo equivalente al tasso mensile che annulla il REA. Sapendo che il TAEG = , troviamo il tasso mensile equivalente 2 TAEG_2 := C K (2.7) TAEG_2:=( )^(/2)-; TAEG_2 := (2.8) Per verificare che il TAEG sia effettivamente pari a , sostituiamo il tasso mensile ad esso equivalente nella fornula del REA. REA_T:=subs(i_m= ,REA); REA_T := (2.9) Esercizio 8 Per l'acquisto di una bicicletta da corsa del valore di 3050 euro, ci viene proposta la seguente forma di finanziamento: spese di istruttoria pari a 50 euro da pagare immediatamente, 24 rate costanti mensili immediate posticipate annuali al tasso nominale annuo convertibile mensilemente j2= e spese di incasso sulle rate pari a euro. a) calcolare l'importo della rata b) verificare che il TAEG dell'operazione è pari a 9, % Svolgimento:

10 Determino il tasso mensile effettivo applicato per determinare gli interessi da corrispondere i[2]:= /2; i 2 := Il TAN è il tasso annuo nominale convertibile mensilmente equivalente al tasso mensile precedentemente determinato. TAN := i 2 $2 TAN:=i[2]*2; Il TAN è pari a 6,78%. Determino l'importo della rata TAN := (2.20) (2.2) Rata := 3050 i 2 K C i 2 K24 Rata:=3050*i[2]/(-/(+i[2])^24); Rata := (2.22) Il TAEG è un tasso annuo, mentre la periodicità della rata è mensile. Di conseguenza il valore attuale dei flussi di cassa deve essere calcolato usando un tasso mensile. Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile effettivo che annulla il valore attuale dei flussi di cassa. In base a quanto detto, calcolo il tasso mensilo equivalente al TAEG tasso_mensile := C K tasso_mensile:=( e-)^(/2)-; tasso_mensile := Il tasso mensile che annulla il valore attuale dei flussi di cassa, soddisfa la seguente equazione K C K C i_m REA := 3050 K 50 K : i_m REA := ( )*(-/(+i_m)^24)/i_m; K C i_m 24 REA := 3000 K i_m (2.23) (2.24) Sostituendo a i_m il valore del tasso mensile equivalente al TAEG (ovvero ) si ha REA= 0 ( a meno di errori determinati dagli arrotondamenti) e quindi abbiamo verificato che il TAEG= 9, %. Infatti subs(i_m=tasso_mensile,rea); (2.25)