Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica

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1 Marco Di Marzio Primi elementi di inferenza statistica

2 Ringraziamenti Un sentito ringraziamento a Fabiola Del Greco e Agnese Panzera per la preziosa collaborazione.

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4 Indice Probabilità. Esperimenti casuali Algebra degli eventi Probabilità e sue concezioni Assiomi della probabilità Probabilità condizionata e indipendenza Proprietà degli eventi indipendenti Formula di Bayes Esercizi svolti 2 3 Variabili casuali semplici 9 3. Variabili casuali Distribuzioni di probabilità Famiglie parametriche Funzioni di ripartizione Variabili casuali identicamente distribuite Moda Quantili Valore atteso Varianza Coefficiente di variazione Disuguaglianza di Chebyshev Variabili casuali standardizzate Esercizi svolti 32 5 Principali variabili casuali discrete Tre esperimenti casuali fondamentali Variabile casuale binomiale Variabile casuale geometrica Variabile casuale ipergeometrica Variabile casuale di Poisson Esercizi svolti 43 7 Principali variabili casuali continue Esperimenti casuali descritti da variabili casuali continue Variabile casuale normale Variabile casuale normale standard Variabile casuale uniforme Variabile casuale esponenziale Esercizi svolti 52 M. Di Marzio iii Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

5 Indice 9 Variabili casuali multiple Variabili casuali multiple e distribuzioni di probabilità congiunte Funzioni di variabile casuale multipla Distribuzioni di probabilità marginali Distribuzioni di probabilità condizionate Variabili casuali indipendenti Covarianza Correlazione Indipendenza e incorrelazione Distribuzione normale doppia Esercizi svolti 69 Funzioni di variabili casuali 78. Somma di variabili casuali Distribuzioni del minimo e del massimo di variabili casuali Variabili casuali che derivano dalla normale Somme di particolari variabili casuali indipendenti Teorema centrale del limite Popolazione e campionamento Popolazione, campione e inferenza Popolazione come pdf parametrica Campione casuale e osservato Statistiche campionarie Media campionaria: valore atteso e varianza Media campionaria: funzione di densità Valore atteso della varianza campionaria Funzione di densità della varianza campionaria nel caso di campioni casuali gaussiani Altre statistiche calcolate su campioni casuali gaussiani Verosimiglianza e sufficienza Funzione di verosimiglianza Sintesi dell informazione tramite statistiche Statistiche sufficienti Esercizi svolti 3 5 Stima 7 5. Il problema della stima Proprietà degli stimatori Proprietà per piccoli campioni Proprietà per grandi campioni Costruzione degli stimatori Esercizi svolti 7 7 Stima per intervalli Il problema della stima per intervalli Definizione di quantità pivotale Quantità pivotali nel caso di popolazione normale Quantità pivotali nel caso di grandi campioni Costruzione di stimatori per intervalli Intervalli di confidenza per la media Numerosità campionaria per la stima della media Intervalli di confidenza per la proporzione Intervalli di confidenza per la varianza Proprietà degli stimatori intervallari Esercizi svolti 29 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) iv M. Di Marzio

6 INDICE 9 Verifica d ipotesi Ipotesi statistiche Il test statistico Accuratezza del test statistico Costruzione del test statistico Verifica d ipotesi sulla media Verifica di ipotesi sulla differenza tra medie Verifica di ipotesi nel caso di grandi campioni Verifica d ipotesi sulla proporzione Verifica d ipotesi sulla differenza tra proporzioni Verifica di ipotesi sulla varianza Esercizi svolti 46 2 Test Chi-quadrato Formulazione generale Test di conformità Test di indipendenza Test di omogeneità Esercizi svolti Predizione Predittori ottimi non condizionati Predittori ottimi condizionati Due modelli di media condizionata Inferenza su medie condizionate Stima Proprietà degli stimatori B e B Stime intervallari e test su β Test di linearità Esercizi svolti Affidabilità Definizioni Andamenti tipici del tasso di guasto Tasso di guasto di alcune variabili casuali continue Stima della durata media Sistemi complessi Sistemi in serie Sistemi in parallelo Sistemi in serie con parti positivamente correlate Sistemi in parallelo con parti positivamente correlate Esercizi svolti 23 A Analisi matematica 29 A. Insiemi A.2 Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo A.3 Intervalli di numeri reali A.4 Valore assoluto A.5 Simboli di sommatoria e produttoria A.6 Doppia sommatoria A.7 Lo spazio R n A.8 Funzioni A.9 Funzioni esponenziale e logaritmo A. Funzioni limitate A. Limiti di funzioni e continuità A.2 Derivata di una funzione M. Di Marzio v Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

7 Indice A.3 Derivate parziali A.4 Integrali indefiniti e integrali definiti A.5 Calcolo di integrali doppi B Calcolo combinatorio 222 B. Disposizioni e permutazioni B.2 Combinazioni B.3 Disposizioni con ripetizione C Tavole statistiche 224 D Elenco delle abbreviazioni e dei simboli 23 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) vi M. Di Marzio

8 Probabilità Indice. Esperimenti casuali Algebra degli eventi Probabilità e sue concezioni Assiomi della probabilità Probabilità condizionata e indipendenza Proprietà degli eventi indipendenti Formula di Bayes Esperimenti casuali Spesso è necessario formulare previsioni su esiti di esperimenti (se prodotti dall uomo) o fenomeni (se presenti in natura). In generale il complesso degli esiti possibili è noto, ma quale esito in particolare si verificherà non è dato saperlo con certezza. Di tali situazioni aleatorie si occupa il calcolo delle probabilità. Per esso, come per ogni altro campo della scienza, esiste uno specifico linguaggio formalizzato. Così l insieme di tutti i possibili esiti è detto spazio fondamentale ed è indicato con Ω, mentre il singolo esito è detto evento elementare e viene indicato con ω: Ω = {ω, ω 2,...}, a seconda dell esperimento o fenomeno che viene rappresentato, lo spazio fondamentale Ω può contenere un numero finito o infinito di eventi elementari. Infine qualunque sottoinsieme di Ω si definisce evento. Esempio.. Si osservi il numero risultante dal lancio di un dado. Definire Ω e gli eventi E = numero pari ; F = numero non maggiore di 4 ; G = numero non minore di 5 ; H = numero multiplo di 3. Si ha: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} ; E = {2, 4, 6} ; F = {, 2, 3, 4} ; G = {5, 6} ; H = {3, 6}. Esempio.2. Da un mazzo di 4 carte napoletane se ne estrae una. I semi sono: B, C, D, S. Individuare gli eventi: Si ha: I = asso ; L = carta minore di 3 che non abbia seme C ; M = carta del seme D. I = {B, C, D, S} ; L = {B, D, S, 2B, 2D, 2S} ; M = {D, 2D, 3D, 4D, 5D, 6D, 7D, 8D, 9D, D}. I concetti di esperimento o fenomeno prima considerati possono essere descritti da un modello formale detto esperimento casuale. L esperimento casuale si definisce come una procedura di osservazione di uno solo degli elementi di uno spazio fondamentale Ω tale che: M. Di Marzio Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

9 .. Esperimenti casuali ) l elemento di Ω che verrà osservato, detto esito, non è prevedibile con certezza; 2) l esperimento casuale è replicabile nelle stesse condizioni anche infinite volte. L eperimento è definito casuale e non deterministico proprio perchè, sebbene ripetuto nelle identiche condizioni, esso fornisce di volta in volta esiti differenti che sono dettati dal caso. Una singola replica dell esperimento è detta prova. In statistica il concetto di esperimento casuale serve a formalizzare la rilevazione di un carattere statistico. In questo caso Ω è l insieme delle possibili modalità del carattere. La prova dell esperimento è l estrazione di una unità dalla popolazione e la rilevazione sulla stessa della modalità del carattere. Infine la modalità osservata costituisce l esito. Esempio.3. Rileviamo il contenuto di cellulosa di sacchetti ad alta resistenza estratti dalla massa prodotta dal nostro impianto durante la mattinata. Il carattere statistico è il contenuto di cellulosa, e le misurazioni sono altrettante prove di un esperimento casuale. Affinché in una prova si verifichi un evento è necessario che l evento elementare che risulterà sia contenuto nell evento stesso. Allora Ω si verifica ad ogni prova poiché è l insieme di tutti i possibili esiti. In quanto tale, Ω è anche detto evento certo. Esempio.4. Con riferimento all esempio., nella tavola seguente sono riportati gli eventi che si verificano in corrispondenza di ogni evento elementare. ω Eventi Ω, F 2 Ω, E, F 3 Ω, F, H 4 Ω, E, F 5 Ω, G 6 Ω, E, G, H Consideriamo due prove di un esperimento casuale con spazio fondamentale Ω. L esito di tale esperimento ripetuto è dato da una coppia di valori, e lo spazio fondamentale, chiamato spazio prodotto, è costituito da tutte le possibili coppie di elementi di Ω, cioè il prodotto cartesiano (sez. A.7) tra Ω e se stesso: Ω = Ω Ω = {(ω i, ω j ) : ω i Ω, ω j Ω }. Esempio.5. Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Elencare gli elementi dello spazio fondamentale Ω. Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6} {, 2, 3, 4, 5, 6} = {(, ), (, 2), (, 3), (, 4), (, 5), (, 6), (2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, ), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, ), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, ), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, ), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. In generale, per k ripetizioni dell esperimento abbiamo: Ω = k fattori { }} { Ω Ω... Ω = {(ω, ω 2,..., ω k ) : ω i Ω, i {, 2,..., k}}. Esempio.6. Dalla fornitura di lampadine appena consegnataci scegliamo a caso un elemento. Si indichi l evento lampadina difettosa con D, e l evento contrario con N. Elencare gli elementi dello spazio fondamentale Ω relativo all esperimento casuale estrazione di 3 lampadine. Ω = {D, N} {D, N} {D, N} = {DDD, NDD, DND, DDN, NND, DNN, NDN, NNN}. Si può immaginare anche che i singoli esperimenti siano tra loro differenti, cioè si possono eseguire consecutivamente n esperimenti casuali ognuno con uno specifico spazio fondamentale Ω i con i =, 2,..., n. La n-upla di esiti è ancora elemento di uno spazio fondamentale prodotto che si indica come: Ω = Ω Ω 2... Ω n = {(ω, ω 2,..., ω n ) : ω i Ω i, i {, 2,..., n}}. di cui ovviamente conosciamo l intervallo delle possibili modalità che in questo caso costituisce lo spazio fondamentale Ω. Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 2 M. Di Marzio

10 . PROBABILITÀ.2 Algebra degli eventi Poichè un evento è un insieme di eventi elementari, le relazioni tra eventi possono essere descritte per mezzo di operazioni logiche tra insiemi. Dato un generico spazio fondamentale Ω e i suoi sottoinsiemi {E, E 2,...}, definiamo le seguenti operazioni (o relazioni) logiche:. Inclusione Un evento E è incluso in un evento E 2, cioè E E 2, se tutti gli eventi elementari in E sono anche esiti elementari in E 2 ; si dice anche che E implica E Uguaglianza Gli eventi E e E 2 sono uguali, cioè E = E 2, se E E 2 e E 2 E. 3. Negazione (o complemento) Consiste di eventi elementari non appartenenti all evento che viene negato: ω E se e solo se ω / E. Si dice anche che E è il complemento di E. 4. Unione Consiste di eventi elementari che appartengono ad almeno uno dei k eventi uniti: ω k E i se esiste almeno un indice i {, 2,..., k} tale che ω E i. 5. Intersezione Consiste di eventi elementari che appartengono a tutti i k eventi intersecati: ω k E i se ω E i i {, 2,..., k}. Si noti che spesso per l intersezione vengono usate differenti notazioni; ad esempio, E E 2, può trovarsi indicato anche come E E 2 oppure E, E Differenza La differenza tra due eventi E e E 2 consiste di eventi elementari appartenenti a E che non sono in E 2 : ω (E E 2 ) se e solo se ω (E E 2 ). Un evento particolare è il cosiddetto evento impossibile, definito come la negazione di Ω e indicato con. Poichè = Ω, l evento impossibile non contiene alcun evento elementare, così, qualsiasi esito risulterà, mai si verificherà, da cui il nome. Per E Ω, si ha E =, E = E, E = Ω E, E E =, E Ω = E, E Ω = Ω, Ω = E E, E = E. Dati gli eventi E, E 2 e E 3 appartenenti a Ω, le operazioni di intersezione, unione e negazione soddisfano le seguenti leggi. Leggi commutative: Leggi associative: E E 2 = E 2 E, E E 2 = E 2 E. E (E 2 E 3 ) = (E E 2 ) E 3, E (E 2 E 3 ) = (E E 2 ) E 3. Leggi distributive: E (E 2 E 3 ) = (E E 2 ) (E E 3 ), E (E 2 E 3 ) = (E E 2 ) (E E 3 ). Prima legge di De Morgan: Seconda legge di De Morgan: E E 2 = E E 2. E E 2 = E E 2. Nella figura.2 possiamo osservare una rappresentazione delle leggi di De Morgan tramite diagrammi di Venn. Se si considera tutta la parte scura si evince la prima legge, mentre se si considera solo la parte a quadretti si evince la seconda legge. Due eventi E e E 2 si dicono incompatibili se E E 2 =. Una classe importante di eventi tra loro incompatibili è rappresentato dagli eventi elementari {ω, ω 2,...} di un esperimento casuale. Una classe di sottoinsiemi {E, E 2,..., E k } dell insieme A è detta partizione di A se k E i = A e E i E j = i j. La figura. contiene esempi di relazioni tra eventi rappresentate con diagrammi di Venn. Nella tabella. riassumiamo alcuni interessanti casi della corrispondenza tra la terminologia della teoria degli insiemi, quella della probabilità e quella del mondo reale da noi descritto come esperimento casuale. M. Di Marzio 3 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

11 .2. Algebra degli eventi Figura.: Alcune operazioni tra insiemi rappresentate attraverso diagrammi di Venn. A= B= Α A B= B A Ω Figura.2: Leggi di De Morgan tramite diagrammi di Venn. Teoria degli insiemi Teoria della probabilità Esperimento casuale Insieme Ω Evento certo Tutti gli esiti ω elemento di Ω, ω Ω Evento elementare Singolo esito Insieme Evento impossibile Nessun esito E sottoinsieme di Ω, E Ω Evento Insieme di esiti E contenuto in E 2, E E 2 E implica E 2 Se E accade, anche E 2 accade Negazione dell insieme E, E Evento contrario ad E E non accade Intersezione di n insiemi, n Ei Intersezione di n eventi E, E2,..., En accadono insieme Unione di n insiemi, n Ei Unione di eventi Almeno uno tra E, E2,..., En accade Differenza tra due insiemi, E E 2 Differenza tra eventi E accade e E 2 non accade Tabella.: Insiemi, probabilità ed esperimenti casuali. Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 4 M. Di Marzio

12 . PROBABILITÀ Esempio.7. Una linea produttiva industriale viene interrotta. Due eventi circa la durata del fermo sono: A = almeno 3 giorni e B = meno di 7 giorni. Descrivere: a) il complemento di A; b) l evento intersezione tra A e B; c) l evento unione tra A e B; d) A e B sono incompatibili? e) A e B sono collettivamente esaustivi? f) Quanto vale (A B) (Ā B)? g) Quanto vale A (Ā B)? Di seguito le risposte. a) Ā = non più di 2 giorni; b) A B = da 3 a 6 giorni; c) A B = un qualunque numero di giorni; d) no; e) si; f) B; g) A B..3 Probabilità e sue concezioni Si consideri una prova di un generico esperimento casuale con spazio fondamentale Ω. Dato un evento E Ω si definisce probabilità di E, e la si indica con P(E), una misura del grado di fiducia riposto nel verificarsi di E. Ma come assegnare le probabilità agli eventi? La risposta è complessa e spesso non definitiva. Sono state elabrate diverse concezioni di probabilità negli ultimi secoli. Purtroppo spesso una data concezione non è applicabile, e diverse concezioni portano a valutazioni diverse. Così bisogna ben ponderare la natura dell esperimento casuale per capire quale concezione applicare. Di seguito riportiamo due tra le concezioni più importanti, quella classica e quella frequentista. Se si sa che gli esiti hanno la stessa probabilità di verificarsi e si conoscono tutti, allora P(E) è data dal rapporto tra il numero di eventi elementari favorevoli e il numero di eventi elementari possibili: P(E) = numero di eventi elementari favorevoli numero di eventi elementari possibili = E Ω, dove A indica la cardinalità di A. Questa concezione è detta classica. I limiti di questa concezione sono nel difetto logico per cui si usa il concetto nella definizione del concetto stesso, infatti si dice hanno la stessa probabilità..., e inoltre nella scarsa applicabilità poichè, se si esclude l ambito dei giochi di sorte, difficilmente l equiprobabilità degli eventi elementari risulta plausibile. Esempio.8. Con riferimento all esempio., gli eventi elementari sono equiprobabili, così possiamo applicare la definizione classica di probabilità. Si ottiene P(Ω) = P(G) = + 6 ; P(E) = ; P(F ) = ; P(H) = + 6. ; Esempio.9. In una stanza sono presenti venti persone di cui cinque sono fumatori. Si scelgono casualmente tre individui. Qual è la probabilità che il primo e il secondo siano fumatori mentre il terzo non lo sia? Poniamo F i = l i-esimo individuo è un fumatore, per i =, 2, 3. Lo spazio fondamentale di questo esperimento ripetuto è dato da tutte le terne possibili estraibili senza reimmissione cioè Ω = Ω Ω 2 Ω 3 dove Ω i è lo spazio fondamentale della prova i-esima. Poichè gli individui hanno tutti la stessa probabilità di essere estratti, le terne sono equiprobabili, e di conseguenza possiamo usare la formulazione classica di probabilità. Così calcoleremo il rapporto tra il numero delle terne favorevoli all evento {F, F 2, F 3 } e il numero delle terne possibili. Il numero delle terne favorevoli è pari a 5 4 5, mentre il numero delle terne possibili è dato dalle permutazioni di 2 oggetti presi tre alla volta. La probabilità cercata è allora P(F, F 2, F 3 ) = In molti casi un esperimento si verifica ripetutamente nelle stesse condizioni, ad esempio n volte. Così i dati del passato rendono disponibile la frequenza assoluta del verificarsi di un evento E che qui indichiamo con n E. La concezione frequentista adotta come approssimazione di P(E) la frequenza relativa di E, precisando che più prove ci sono state, cioè più alto è il denominatore n della frequenza relativa, meglio la frequenza relativa approssima P(E). Purtroppo in questa concezione P(E) non è conoscibile poiché corrisponde alla frequenza ottenuta dopo aver effettuato infinite prove, formalmente: n E P(E) = lim n n. Rispetto alla concezione classica questo approccio presenta i seguenti vantaggi: la conoscenza di tutti gli esiti possibili non è richiesta, né è necessaria l ipotesi di equiprobabilità. Purtroppo anche l approccio frequentista soffre di limiti di applicabilità. Basti pensare che spesso si è interessati a probabilità di eventi non ripetibili nelle medesime condizioni. M. Di Marzio 5 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

13 .4. Assiomi della probabilità Esempio.. Abbiamo ripetuto volte il lancio di una moneta bilanciata e osservato la frequenza relativa dell esito Testa. La figura.3 rappresenta l andamento di tale frequenza relativa all aumentare del numero delle prove. Questi dati costituiscono una chiara verifica empirica della tendenza della frequenza relativa alla probabilità, che sappiamo essere pari a.5. Frequenza relativa Numero prove Figura.3: Andamento della frequenza relativa di teste su lanci di una moneta..4 Assiomi della probabilità Qualunque sia la concezione di probabilità adottata, è possibile definire la probabilità come una funzione reale che rispetta certi assiomi verificati da ogni concezione. Tale approccio permette una trattazione matematica della probabilità esclusivamente basata sugli assiomi e valida per ogni concezione. Segue la definizione assiomatica di probabilità. Dato uno spazio Ω, una funzione P che associa un numero reale ad ogni sottoinsieme di Ω è detta probabilità se soddisfa i seguenti assiomi: ) P(Ω) = ; 2) P(E) ; 3) P(E E 2 ) = P(E ) + P(E 2 ) se E E 2 = ; dove E, E e E 2 sono sottoinsiemi di Ω. Una rapida riflessione suggerisce che i tre assiomi elementari sono rispettati sia dalla concezione classica che dalla frequentista. Il terzo assioma ci fornisce la regola per ottenere la probabilità di un qualsiasi evento E Ω. Infatti essendo gli eventi elementari incompatibili si ha P(E) = P(ω j ), {j: ω j E} dove la sommatoria è estesa a tutti gli eventi elementari contenuti in E. Così la teoria della probabilità sviluppata a partire dagli assiomi fornisce le regole per calcolare la probabilità di un qualsiasi sottoinsieme di Ω quando gli eventi elementari hanno già avuta assegnata una probabilità secondo una data concezione. Esempio.. Lanciamo un dado di cui non sappiamo se sia regolare. La concezione classica fornisce le seguenti probabilità P(2) = P(4) = P(6) = 6 mentre supponiamo che la concezione frequentista sostenga che P(2) = 6 ; P(4) = 2 6 ; P(6) = 3 6. Si osservi che le due concezioni attribuiscono probabilità differenti ai singoli esiti. Ora consideriamo l evento numero pari. La teoria assiomatica fornisce una regola di calcolo della probabilità di uscita del numero pari valida per ogni concezione; in particolare, il terzo assioma impone che P(numero pari) = P(2) + P(4) + P(6) Usando gli assiomi è facile dimostrare le seguenti proprietà: i) P( ) = ; Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 6 M. Di Marzio

14 . PROBABILITÀ A= B= E= A E = B E = Figura.4: Riduzione dello spazio fondamentale per effetto del verificarsi di A (risp. B). Ω ii) P(E) = P(E) ; iii) P(E) ; iv) P(E E 2 ) = P(E ) + P(E 2 ) P(E E 2 ) (Teorema delle probabilità totali). Il teorema delle probabilità totali coincide con il terzo assioma se gli eventi sono incompatibili, essendo in questo caso P(E E 2 ) = P( ) =. Esempio.2. Un ristorante ha rilevato che: il 75% dei clienti richiede un antipasto (evento A), il 5% richiede un secondo (evento S), il 4% li richiede entrambi. Calcoliamo la probabilità che un cliente richieda almeno uno tra antipasto e secondo. Anzitutto, applicando la concezione frequentista di probabilità, abbiamo che Applicando il teorema delle probabilità totali abbiamo P(A) =.75 ; P(S) =.5 ; P(A S) =.4. P(A S) = P(A) + P(S) P(A S) = = Probabilità condizionata e indipendenza Dati due eventi E e E 2 sottoinsiemi di Ω, se P(E ) > ci si può chiedere qual è la probabilità di E 2 sapendo che si è verificato E. Questa probabilità è detta condizionata ed è indicata con P(E 2 E ). Per definizione P(E 2 E ) = P(E 2 E ) P(E ) Tale rapporto è interpretabile come segue. Poiché sappiamo che l esito dell esperimento è contenuto in E, per il calcolo della probabilità di E 2 non tutti gli eventi elementari di Ω sono da considerarsi possibili, ma solo quelli in E, così come non tutti gli eventi elementari in E 2 sono casi favorevoli ma solo quelli in E 2 E. Esempio.3. Nella figura.4 si può notare che una volta verificatosi l evento A (risp. B) i casi favorevoli per il verificarsi di E si riducono a quelli compresi in A E (risp. in B E), mentre i casi possibili sono contenuti in A (risp. in B). Quindi il condizionamento opera una riduzione dello spazio fondamentale: esso non è più Ω ma E. Ovviamente ogni evento è condizionato al proprio spazio fondamentale, infatti per ogni evento E in Ω si ha P(E) = P(E Ω) = P(E Ω)/P(Ω) = P(E)/ ; inoltre P(E E) = per ogni E Ω. Dalla probabilità condizionata si evince il teorema delle probabilità composte: P(E E 2 ) = P(E )P(E 2 E ), come si vede, la probabilità di una intersezione è calcolata in base alle probabilità dei singoli eventi. Per la legge commutativa P(E E 2 ) = P(E 2 E ), così P(E E 2 ) = P(E )P(E 2 E ) = P(E 2 E ) = P(E 2 )P(E E 2 ).. M. Di Marzio 7 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

15 .5. Probabilità condizionata e indipendenza Generalizzando, dati gli eventi E, E 2,..., E n in Ω, se P(E E 2... E n ) > P(E E 2... E n ) = P(E )P(E 2 E )...P(E n E E 2... E n ). Esempio.4. Per gli eventi E ed E 2, si possono descrivere le probabilità congiunte e condizionate per mezzo di una tabella a doppia entrata del tipo seguente: E E E 2 P(E E 2) P(E E 2) P(E 2) E 2 P(E E 2) P(E E 2) P(E 2) P(E ) P(E ) tale struttura è analoga a una distribuzione statistica doppia dove ogni carattere ha due modalità e agli incroci sono poste le frequenze relative. In effetti, la distribuzione statistica doppia ci descrive quanto accaduto in passato. Circa il futuro, ci possiamo chiedere la probabilità di una modalità di un dato carattere (probabilità marginali) o una coppia di modalità dei due caratteri (probabilità congiunte). In tal caso interpretiamo le frequenze relative come approssimazioni delle probabilità (concezione frequentista). Ovviamente la tabella a doppia entrata può essere costruita anche per caratteri con più di due modalità. Nella suindicata tabella le probabilità marginali sono: le probabilità congiunte sono: infine le probabilità condizionate sono: P(E ), P(E ), P(E 2), P(E 2) ; P(E E 2 ), P(E E 2 ), P(E E 2 ), P(E E 2 ) ; P(E 2 E ), P(E 2 E ), P(E 2 E ), P(E 2 E ), P(E E 2), P(E E 2), P(E E 2), P(E E 2). Dati due eventi E e E 2 sottoinsiemi di Ω, si dirà che essi sono indipendenti se e solo se o, in maniera equivalente, se e solo se P(E 2 E ) = P(E 2 )P(E ), P(E 2 E ) = P(E 2 ), cioè il verificarsi di un evento non cambia la probabilità di verificarsi dell altro. Questa formula esplicita che se c è indipendenza il teorema delle probabilità composte si riduce alla condizione di indipendenza. Generalizzando, se gli eventi E, E 2,..., E n sono a due a due indipendenti, allora P(E E 2... E n ) = n P(E i ). Esempio.5. Consideriamo il lancio di un dado. Definiamo i seguenti eventi: A = Numero pari ; B = Numero maggiore o uguale a 4 ; C = Numero maggiore di 4. Stabiliamo se c è indipendenza tra gli eventi A e B e tra gli eventi A e C. Dobbiamo calcolare quanto vale P(A B): P(A B) = P(A B) P(B) = P({4, 6}) P({4, 5, 6}) = 2/6 3/6 = 2 3. Come si vede, P(A B) P(A) = /2, cioè i due eventi sono dipendenti. Va segnalato che il verificarsi B ha ridotto lo spazio campionario da {, 2, 3, 4, 5, 6} a {4, 5, 6}. Per stabilire se gli eventi A e C sono indipendenti, al solito, calcoliamo P(A C) per poi confrontarlo con P(A): P(A C) = P(A C) P(C) = P({6}) P({5, 6}) = /6 2/6 = 2. Risulta P(A C) = P(A), cioè i due eventi sono indipendenti poiché la riduzione dello spazio campionario ha lasciato inalterata la probabilità di A. Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 8 M. Di Marzio

16 . PROBABILITÀ Incompatibilità Indipendenza Definizione E E 2 = P(E E 2) = P(E )P(E 2) Relazione tra eventi tra probabilità Rappresentazione su diagrammi di Venn non si rappresenta Conseguenza su P(E E 2 ) su P(E E 2 ) Tabella.2: Incompatibilità ed indipendenza. Essendo molto diffusa una certa confusione tra i concetti di incompatibilità e indipendenza tra gli eventi, è opportuno riportarne schematicamente le differenze nella tabella.2. Infine si può facilmente dimostrare che due eventi che hanno probabilità positiva non possono essere contemporaneamente incompatibili e indipendenti. Infatti se sono indipendenti la probabilità della loro intersezione è data dal prodotto di due numeri positivi e quindi è un numero positivo. D altro canto se sono incompatibili la probabilità della loro intersezione deve essere nulla. Se due eventi non sono indipendenti si dicono dipendenti. Due eventi dipendenti E e E 2 si dicono positivamente correlati se negativamente correlati se P(E ) < P(E E 2 ), P(E ) > P(E E 2 ). Oltre che tra eventi appartenenti allo spazio fondamentale di un singolo esperimento casuale, il concetto di indipendenza esiste anche tra esperimenti casuali come segue. Dati n esperimenti casuali, diremo che essi sono mutuamente indipendenti se P(A A 2... A n ) = n P(A i ) Dove A i è il generico evento appartenente allo spazio fondamentale Ω i associato all i-esimo esperimento casuale, e A A 2... A n è un elemento dello spazio fondamentale prodotto Ω = Ω Ω 2... Ω n (sez..). Esempio.6. Consideriamo l esperimento casuale composto dai seguenti due: ) osservare la difettosità un manufatto e 2) osservare il sesso di un dipendente. Il manufatto può essere difettoso o non difettoso, per cui Ω = {D, N}, mentre il dipendente può essere maschio o femmina, per cui Ω 2 = {M, F }. Si assuma inoltre che P(D) =.6 e P(M) =.7 L esperimento composto ha il seguente spazio campionario prodotto Ω = Ω Ω 2 = {(D, M), (D, F ), (N, M), (N, F )}. Si dirà che i due esperimenti sono indipendenti se e solo se: P(D, M) = P(D)P(M) =.42 ; P(D, F ) =.8 ; P(N, M) =.28 ; P(N, F ) =.2..6 Proprietà degli eventi indipendenti L indipendenza ha un certo numero di proprietà, le più importanti delle quali sono di seguito riportate. ) Simmetria Se E è indipendente da E 2, allora anche E 2 è indipendente da E. È facile dimostrare questa proprietà ricordando che P(E 2 E ) = P(E E 2 ) e quindi che P(E 2 )P(E E 2 ) = P(E )P(E 2 E ), applicando la definizione di indipendenza P(E E 2 ) = P(E ) si ha: P(E 2 )P(E ) = P(E )P(E 2 E ), da cui si ricava P(E 2 ) = P(E 2 E ), cioè E 2 è indipendente da E. 2) Indipendenza tra i complementi Se E e E 2 sono indipendenti, lo sono anche E e E 2. Infatti dire che la probabilità del verificarsi di E non cambia al verificarsi di E 2 è esattamente lo stesso che dire che essa non cambia al non verificarsi di E 2. Sfruttando la simmetria, ricaviamo anche che E e indipendente da E 2. M. Di Marzio 9 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

17 .7. Formula di Bayes 3) Indipendenza dei complementi Se E e E 2 sono indipendenti, lo sono anche E e E 2. Infatti per la seconda legge di De Morgan P(E E 2 ) = P(E E 2 ), ora applicando il teorema delle probabilità totali e ricordando che E e E 2 sono indipendenti, si ottiene P(E E 2 ) = P(E E 2 ) = (P(E ) + P(E 2 ) P(E E 2 )) = P(E ) P(E 2 ) + P(E )P(E 2 ) = ( P(E ))( P(E 2 )) = P(E )P(E 2 ). Infine P(E E 2 ) = P(E )P(E 2 ). 4) Indipendenza di un evento da se stesso Affinché E sia indipendente da se stesso si deve verificare che P(E E) = P(E)P(E), cioé, essendo E E = E, si deve avere P(E) = P(E)P(E). Ma ciò è falso se < P(E) <, infatti in questo caso P(E) < P(E)P(E) e quindi in generale esiste sempre dipendenza tra un evento e se stesso. Comunque due eventi fanno eccezione, nel senso di essere indipendenti da se stessi. Essi sono l evento impossibile e l evento certo. Infatti per entrambi si ha P( ) = P( )P( ) = e P(Ω) = P(Ω)P(Ω) =..7 Formula di Bayes Sia la classe di k insiemi {C, C 2,..., C k } una partizione dello spazio Ω, e sia E un sottoinsieme non vuoto di Ω. Applicando la proprietà distributiva si ottiene: E = E Ω = E (C C 2... C k ) = (E C ) (E C 2 )... (E C k ) k = (E C i ). Così la partizione {C, C 2,..., C k } di Ω induce la partizione {E C, E C 2,..., E C k } di E. Esempio.7. Nella figura.5 la partizione {A E, B E, C E, } dell evento E è indotta dalla partizione {A, B, C} dello spazio fondamentale Ω. A= B= C= A E = B E = C E = E= Figura.5: Scomposizione di E indotta dalla partizione {A, B, C}. Ω Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) M. Di Marzio

18 . PROBABILITÀ Essendo gli eventi {C, C 2,..., C k } incompatibili, anche gli insiemi {(E C i ), i =, 2,..., k} lo sono, per cui, appellandosi al terzo assioma della probabilità (si dice anche al teorema delle probabilità totali per eventi incompatibili ) si ottiene: P(E) = P(E C ) + P(E C 2 ) P(E C k ) k = P(E C i ) ; ma dal teorema delle probabilità composte abbiamo che P(E C i ) = P(C i )P(E C i ), per cui P(E) può essere scritto come somma di probabilità condizionate: P(E) = P(C )P(E C ) + P(C 2 )P(E C 2 ) P(C k )P(E C k ) k = P(C i )P(E C i ). Dato un qualsiasi elemento C h della partizione, e supponendo che P(E) >, la formula di Bayes esprime tramite le espressioni finora trovate la probabilità di C h dato E: P(C h E) = P(C h E) P(E) = P(C h)p(e C h ) k P(C i)p(e C i ). Poichè la classe {C, C 2,..., C k } è una partizione, allora si verificherà un solo elemento di essa. Un modo per capire l importanza della formula di Bayes sta nel connotarla temporalmente tramite un nesso di causalità. Allora sia l evento E l effetto di una sola tra un insieme di cause {C, C 2,..., C h } incompatibili e complessivamente necessarie (nel senso che una se ne deve verificare). La formula di Bayes risponde al quesito: qual è la probabilità che, essendosi verificato E, sia stata C h a causarlo? Una tale interpretazione mette in luce la formula di Bayes come tecnica di aggiornamento delle aspettative sulla base di nuova conoscenza. In questo senso la probabilità di C h può essere determinata senza sapere che E si è verificato. Per ovvie ragioni tale probabilità è detta probabilità a priori e viene indicata come P(C h ). Quando si viene a sapere che E si è verificato, P(C h ) deve essere aggiornata con una misura della compatibilità tra E e C h data da P(E C h ) e chiamata verosimiglianza. Così la probabilità a priori viene aggiornata nella probabilità a posteriori P(C h E). In termini rigorosi questo può essere osservato riscrivendo la formula di Bayes come P(C h E) = P(C h ) P(E C h), P(E) ora una buona compatibilità implica che P(E C h ) > P(E) e quindi un rapporto maggiore di uno che rende la probabilità a posteriori maggiore di quella a priori (e viceversa). Esempio.8. Una compagnia di assicurazione suddivide le persone in due classi: soggette e non soggette ad incidenti. Le statistiche mostrano che le persone soggette (S) hanno probabilità.5 di avere un incidente in un anno (I), e le non soggette (S).3. Vogliamo conoscere la probabilità che un nuovo assicurato abbia un incidente entro un anno dalla stipula della polizza sapendo che il 25% della popolazione è soggetta ad incidenti. Poiché la probabilità cercata è P(S) =.25, P(I S) =.5 e P(I S) =.3, P(I) = P(S I) + P(S I) = P(S)P(I S) + P(S)P(I S) = =.35. Se un nuovo assicurato ha un incidente entro un anno dall acquisto della polizza, la probabilità che si tratti di una persona soggetta ad incidenti si ottiene ricorrendo alla formula di Bayes: P(S I) = P(S)P(I S) P(I) = =.357. M. Di Marzio Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

19 2 Esercizi svolti Esercizio 2.. Si consideri un esperimento casuale che consiste nel lanciare tre volte una moneta, e si determini lo spazio fondamentale nel caso si osservino: a) le sequenze di testa (T ) e croce (C); b) il numero di teste nei tre lanci. Soluzione a) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 8 esiti elementari Ω = {CCC, CCT, CT C, T CC, CT T, T CT, T T C, T T T }. b) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 4 esiti elementari Ω = {,, 2, 3}. Esercizio 2.2. Da un sacchetto di quattro palline contrassegnate da a 4 estraiamo due palline. Si determini lo spazio fondamentale nel caso a) si reintroduca la prima pallina estratta nell urna; b) non si reintroduca la prima pallina estratta nell urna. Soluzione a) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 6 esiti elementari (, ) (, 2) (, 3) (, 4) (2, ) (2, 2) (2, 3) (2, 4) Ω =. (3, ) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, ) (4, 2) (4, 3) (4, 4) b) Abbiamo il seguente spazio fondamentale composto da 2 esiti elementari (, 2) (, 3) (, 4) (2, ) (2, 3) (2, 4) Ω =. (3, ) (3, 2) (3, 4) (4, ) (4, 2) (4, 3) Esercizio 2.3. Un esperimento consiste nel lanciare un dado fino a che esca il 6. Si determini lo spazio fondamentale nei seguenti casi a) si osservino le sequenze dei risultati; b) si contino i lanci fino a che esca 6. Soluzione a) Lo spazio campionario è infinito, esso è del seguente tipo: Ω = 6, (, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (,, 6), (, 2, 6), (, 3, 6), (, 4, 6), (, 5, 6),... b) anche in questo caso lo spazio fondamentale è infinito, ed è del tipo seguente: Ω = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}. ; Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 2 M. Di Marzio

20 2. ESERCIZI SVOLTI Esercizio 2.4. Un concessionario di autoveicoli offre automobili con le seguenti opzioni a) con o senza airbag; b) con o senza climatizzatore; c) con o senza impianto stereo; d) con tre diversi motori. Determinare l insieme di tutte le possibili automobili offerte. Soluzione L insieme delle possibili macchine definisce uno spazio prodotto Ω = {Ω a Ω c Ω s Ω m }, cioè il prodotto cartesiano di quattro spazi fondamentali, dove Ω a = {a, ā}; Ω c = {c, c}; Ω s = {s, s}; Ω m = {m, m 2, m 3 }. La cardinalità di Ω è ( ) = 24. Esercizio 2.5. Si scelga a caso una carta da un mazzo di 52 carte. Definiamo i seguenti eventi: A = la carta scelta è un asso; B = la carta scelta è di picche. Determinare se i due eventi sono indipendenti. Soluzione Controlliamo se P(A B) = P(A)P(B). Ora, e P(A B) = P({la carta scelta è un asso di picche}) = /52, P(A)P(B) = 4/52 3/52 = /52. Quindi gli eventi sono indipendenti. Notiamo, invece, che A e B non sono incompatibili, e quindi la compatibilità non implica l indipendenza. Esercizio 2.6. Si lancino due monete non truccate, ossia si ritiene che i possibili esiti siano equiprobabili. Definiamo i seguenti eventi: A = la prima moneta dà croce; B = la seconda moneta dà testa. Determinare se i due eventi sono indipendenti. Soluzione Controlliamo se P(A B) = P(A)P(B). Ora, P(A B) = P({C, T }) = /4; inoltre P(A) = P({C, T } {C, C}) = /2 e P(B) = P({T, C} {T, T }) = /2. Così i due eventi sono indipendenti. Esercizio 2.7. Si lanciano due dadi non truccati. Definiamo i seguenti eventi: A = la somma è 6; B = il primo dado dà 4. Determinare se i due eventi sono indipendenti. Soluzione Controlliamo se P(A B) = P(A)P(B). Ora, P(A B) = P({4, 2}) = /36; e P(A) = P({, 5} {2, 4} {3, 3} {4, 2} {5, }) = 5/36 e P(B) = /6. Allora i due eventi non sono indipendenti. M. Di Marzio 3 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

21 Esercizio 2.8. Si lanciano due dadi non truccati. Definiamo i seguenti eventi: Determinare se i due eventi sono indipendenti. A = la somma è 7; B = il primo dado dà 4. Soluzione I due eventi sono indipendenti. Infatti lo spazio prodotto è [,..., 6] [,..., 6]. Esso ha 36 elementi, così per la concezione classica di probabilità si ha P(A B) = P({4, 3}) = /36; e d altro canto e P(A) = P({, 6} {2, 5} {3, 4} {4, 3} {5, 2} {6, }) = 6/36 P(B) = /6. Esercizio 2.9. Una moneta non truccata viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che esca testa (A) se al primo lancio è uscita testa (B)? Soluzione Calcoliamo la seguente probabilità condizionata: P(A B) = P(A B) P(B) = P(testa in entrambi i lanci) P(testa al primo lancio) = /4 /2 = /2. Si può inoltre notare che P(A B) = P(A), così gli eventi sono indipendenti. Esercizio 2.. Si calcoli P(A B) se a) P(A B) = ; b) A B; c) B A. Soluzione Si ha P(A B) = P(A B). P(B) Per cui: a) P(A B) = P( ) P(B) =. b) P(A B) = P(A) P(B). Poiché se A B, allora P(A B) = P(A). c) P(A B) = P(B) P(B) =. Poiché se A B, allora P(A B) = P(B). Esercizio 2.. Siano A, A 2, A 3 eventi a due a due indipendenti in Ω. Dimostrare che P(A A 2 A 3 ) = 3 ( P(A i )). Soluzione Applicando la II Legge di De Morgan e considerando l indipendenza abbiamo: P(A A 2 A 3 ) = P(A A 2 A 3 ) = P(A A 2 A 3 ) = P(A )P(A 2 )P(A 3 ) 3 3 = P(A i ) = ( P(A i )). Esercizio 2.2. A uno stadio di un inchiesta investigativa l ispettore è convinto al 6% della colpevolezza di un indagato. Supponiamo ora che l ispettore acquisisca una nuova prova: l indagato ha una certa caratteristica del colpevole. Se il 2% della popolazione possiede tale caratteristica, l ispettore come modificherà la valutazione sulla colpevolezza dell indagato? Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 4 M. Di Marzio

22 2. ESERCIZI SVOLTI Soluzione Definiamo i seguenti eventi: Si ha: A = l indagato è colpevole; B = l indagato possiede la caratteristica del criminale. P(A B) = P(A B) P(B) P(B A)P(A) = P(B A)P(A) + P(B A)P(A).6 = =.882. Esercizio 2.3. Abbiamo un campione di 4 aziende classificate secondo il capitale sociale e il fatturato. I dati sono: Fatturato Capitale sociale < > Vogliamo conoscere come sono legate queste due grandezze così da ricostruire alcuni dati mancanti nella nostra ricerca. Definiamo i seguenti eventi: a) Calcolare A = avere un capitale sociale inferiore o uguale a 25, B = avere un fatturato maggiore o uguale a 5. P(A), P(Ā), P(B), P( B), P(A B), P(A B), P(A B), P(B A), P(Ā B). b) Verificare se e perché A e B sono incompatibili. c) Verificare se A e B sono indipendenti. Soluzione Per utilizzare la tavola introdotta prima dobbiamo calcolare i totali marginali e poi calcolare le frequenze relative. La tavola con le frequenze marginali sarà: Fatturato Capitale sociale < (A) 8 3 > 25(A) a) Usando la concezione classica di probabilità: casi favorevoli su casi possibili si ottiene: P(A) = =.275; P(A) =.275 =.725; 4 P(B) = 23 =.575; P(B) =.575 =.425; 4 P(A B) = 3 4 =.75; P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = =.775; P(A B) = P(B A) = P(A B) P(B) P(A B) P(A) = 3 23 =.3; = 3 =.273. P(A B) = P(A B) =.3 =.87; M. Di Marzio 5 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

23 oppure P(A B) = P(A B) P(B) = 2 23 =.87. Si possono ottenere i medesimi risultati utilizzando il teorema delle probabilità totali. b) Se A e B sono incompatibili P(A B) = P(A) + P(B), cioè P(A B) = ma, come si è visto prima, P(A B) =.75, così gli eventi sono compatibili. c) Se A e B sono indipendenti, si ha P(A B) = P(A) e P(B A) = P(B), ma P(A B) =.3 P(A) =.275 e P(B A) =.273 P(B) =.575. Esercizio 2.4. In una catena di montaggio si eseguono due operazioni in sequenza. L esito della prima non dipende da quello della seconda. Le probabilità che le operazioni riescano senza difetti sono rispettivamente.9 e.8. Calcolare la probabilità che: a) nessuna delle due operazioni riesca; b) almeno una delle due operazioni non riesca; c) riesca esattamente una delle due. Soluzione Poniamo: R i = l operazione i-esima riesce; Ri = l operazione i-esima non riesce. a) Si deve calcolare Poiché gli eventi sono indipendenti avremo: P( R R 2 ). ma per cui: P( R R 2 ) = P( R ) P( R 2 ) P( R i ) = P(R i ), P( R R 2 ) = P( R ) P( R 2 ) = (.9) (.8) =..2 =.2 b) Dobbiamo calcolare la probabilità che non ne riesca almeno una, cioè: o non riesce una, o non riesce l altra, o non riescono entrambe ossia: P( R R 2 ). Soluzione Per il teorema delle probabilità totali avremo che: Soluzione 2 Si consideri che P( R R 2 ) = P( R ) + P( R 2 ) P( R R 2 ) = =.28. R R 2 = R R 2 (I legge di De Morgan) allora P( R R 2 ) = P(R R 2 ) = (.9.8) =.28. c) Ne riesce solo una, o l una o l altra, in simboli: P(R R 2 ) P(R R 2 ). Soluzione Per il teorema delle probabilità totali scriviamo P(R R 2 ) = P(R ) + P(R 2 ) P(R R 2 ) = (.9.8) =.98 per cui la probabilità cercata sarà: P(R R 2 ) P(R R 2 ) =.98 (.9.8) =.26. Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 6 M. Di Marzio

24 2. ESERCIZI SVOLTI Soluzione 2 R R 2 = R R 2 (II legge di De Morgan), negando si ottiene: che può essere scritto come allora: e quindi Esercizio 2.5. A e B sono tali che Calcolare: R R 2 = R R 2 R R 2 = R R 2 P(R R 2 ) = P( R R 2 ) =.2 =.98, P(R R 2 ) P(R R 2 ) =.98 (.9.8) =.26. P(A) = 2/7, P(B) = /3, P(Ā B) = /2. a) P(A B); b) P(A B); c) P(Ā B); d) P(A B); e) P(Ā B). Soluzione a) Sappiamo che P(Ā B) = P(A B) per cui P(A B) = /2. Ma P(A B) = P(A B) = P(A B) = /2 = /2. b) Per il teorema delle probabilità totali, per cui P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), così c) Poiché allora d) Poiché allora e) Per il teorema delle probabilità totali si ha: 2 = P(A B) = = 3 2. (Ā B) = B (A B) P(Ā B) = P(B) P(A B) = /3 3/2 = 4/2. (A B) = B (A B) e B (A B) =, P(A B) = P( B) + P(A B) = 2/3 + 3/2 = 7/2. P(Ā B) = P(Ā) + P( B) P(Ā B) ( = 2 ) ( + ) ( ) = = 8 2. Esercizio 2.6. Guglielmo e Robin si sfidano al tiro con l arco. La probabilità che Guglielmo centri il bersaglio è.35, mentre la probabilità che Robin non faccia centro è.6. Sapendo che la probabilità che almeno uno dei due sfidanti centri il bersaglio è pari a.75, calcolare la probabilità che entrambi facciano centro. Soluzione Definiamo i seguenti due eventi: G = Guglielmo colpisce il bersaglio; R = Robin colpisce il bersaglio. In simboli abbiamo P(G) =.35; P( R) =.6; P(G R) =.75. Dobbiamo calcolare P(G R). Per il teorema delle probabilità totali si ha: P(G R) = P(G) + P(R) P(G R) e in numeri da cui:.75 =.35 + (.6) P(G R) P(G R) = =. M. Di Marzio 7 Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22)

25 Esercizio 2.7. Il direttore marketing di una società che produce telefonini sta analizzando le chance di mercato di un nuovo modello. In precedenza solo il 35% dei telefonini ha avuto successo. Il direttore sa inoltre che in precedenza l 85% dei telefonini che erano stati di successo sul mercato avevano avuto giudizio positivo dalla sezione marketing, mentre lo stesso giudizio era stato dato solo al 5% dei telefonini che si sarebbero rivelati fallimentari. Il direttore vuole conoscere la probabilità di successo del nuovo modello sapendo che lo stesso ha avuto giudizio positivo. Soluzione Siamo quindi di fronte agli eventi: S = telefonino di successo; F = giudizio positivo; S = telefonino non di successo; F = giudizio negativo. Ricaviamo subito Da cui: Chiaramente P(S) =.35; P( S) =.65; P(F S) =.85; P(F S) =.5. P(S)P(F S) P(S F ) = P(S)P(F S) + P( S)P(F S) = = = = P( S F ) =.7532 = Possiamo concludere che il giudizio dell esperto è molto importante poiché un telefonino qualsiasi avrà successo con probabilità.35 ma se l esperto si è pronunciato favorevolmente la probabilità di successo sale a Esercizio 2.8. Una multinazionale gestisce le vendite dei suoi prodotti attraverso tre uffici A, B e C. La direzione della multinazionale, al fine di valutare la situazione finanziaria generale della struttura, rileva per ciascuno degli uffici la percentuale di vendite regolate attraverso la concessione di crediti e la percentuale di crediti di fornitura rimasti insoluti. I dati raccolti sono riportati di seguito: Crediti Crediti insoluti A.4.5 B.35.2 C.25.3 Sapendo che un cliente della multinazionale non ha adempiuto al pagamento del credito concessogli a fronte di un acquisto effettuato, determinare la probabilità che l operazione in questione sia stata gestita dall ufficio A. Soluzione Gli eventi da considerare per la risoluzione del problema in questione sono: Ed è agevole ricavare che: I = credito insoluto; C A = vendite dell ufficio A regolate con concessione di crediti; C B = vendite dell ufficio B regolate con concessione di crediti; C C = vendite dell ufficio C regolate con concessione di crediti. P(C A ) =.4; P(C B ) =.35; P(C C ) =.25 P(I C A ) =.5; P(I C B ) =.2; P(I C C ) =.3. La probabilità che il credito insoluto sia un credito di fornitura concesso dall ufficio A è dato da: P(C A I) = P(C A)P(I C A ) i P(C, i = A, B, C i)p(i C i ) dunque: P(C A I ) = =.58. Primi elementi di inferenza statistica (ed. maggio 22) 8 M. Di Marzio

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