1. Esercizi 3 + ( 1) , z 3 = 1., z 2 = 3

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1 () Calcolare [ [ () Siano z = z z z z ; z z + z z ; z z ;. Esercizi + ( ) z = + z = ] ; ]. Calcolare z z z z. () Nel piano complesso individuare i numeri + i ( i) + i i ; (4) scrivere la forma trigonometrica dei seguenti numeri complessi: + i i i ; (5) calcolare le seguenti radici n-esime; w 4 = + i w 5 = + i ; w = + i. (6) risolvere le seguenti equazioni: z 4 = z z; z + z = ; z iz + = ; z z = ; z 4 = z +.

2 . Esercizi () Calcolare 4 + ( ) + ; () dimostrare che i vettori sono linearmente dipendenti; () dimostrare che i vettori 4 sono linearmente indipendenti; (4) stabilire se i vettori sono linearmente dipendenti; (5) stabilire se i vettori sono linearmente indipendenti; (6) stabilire se il vettore è combinazione lineare dei vettori (7) siano v v v R. Dimostrare che: se v e v sono linearmente dipendenti allora v v v 4 sono linearmente dipendenti; se v v v sono linearmente indipendenti allora v v sono linearmente indipendenti; se v v v sono linearmente indipendenti allora v v +v v v sono linearmente indipendenti; se v v v sono linearmente dipendenti allora v v + v v sono linearmente dipendenti; (8) Dimostrare che ogni vettore di R è combinazione lineare dei seguenti vettori: (9) determinare l angolo fra i vettori X = ; Y = ; ;

3 () stabilire per quali valori di k R i vettori X = k k sono ortogonali; k () stabilire per quali valori di k R l angolo fra i vettori X = Y = k k Y = k k è acuto rispettivamente ottuso; () sia S =. Determinare S ; 4 () siano X Y R due vettori non nulli ed ortogonali. Dimostrare che sono linearmente indipendenti; (4) calcolare l area del parallelogramma di lati e ; (5) stabilire per quali valori di k R i vettori X = k Y = k sono linearmente dipendenti; k + (6) siano X Y R vettori lineramente indipendenti. Dimostrare che i vettori X Y X Y sono linearmente indipendenti.

4 4. Esercizi () Determinare equazioni parametriche per la retta r: passante per i punti e 4 passante per P = e vettore direttore A =. ; passante per e parallela alla retta r : X = + t ; () determinare un equazione cartesiane per il piano passante per e ortogonale al vettore ; 6 () determinare un equazione cartesiane per il piano passante per ed ortogonale alla retta r : X = t ; (4) determinare un equazione cartesiane per il piano π passante per i punti (5) determinare un equazione cartesiane di un piano passante per 4 e. (6) determinare un equazione cartesiane per il piano contenente la retta r : X = + t e passante per 4 ; (7) sia P R e sia n R un vettore non nullo. Sia π = {X R : X P n = } il piano passante per P e ortogonale a n. Siano P P π. Dimostrare che la retta passante per P e P è contenuta

5 nel piano π; (8) determinare un equazione parametrica per il piano π : x y + z = ; (9) () determinare un equazione parametrica per il piano passante per e ortogonale al vettore ; 4 () determinare un equazioni parametrica per il piano π passante per i punti () sia r : X = P + ta t R ed A un retta nello spazio e sia Q / r. Dimostrare che il piano contenente la retta r e passante per P ha equazioni parametriche () determinare un equazione parametrica per il piano contentente la retta r : X = + t e passante per 4 4 ; (4) determinare un equazione cartesiana per il piano π : X = + t + s per s t R; (5) siano P P P R tre punti non allineati. Dimostarare che il piano passante per P P P ha equazioni parametriche X = P + t(p P )+s(p P ) t s R. rispettivamente equazioni cartesiane ax + by + cz = d dove a b = (P P ) (P P ) ed d = n P ; c (6) determinare equazioni cartesiane per la retta r: passante per ; passante per e parallela alla retta r : X = + t ; 5

6 6 ortogonale alle rette s : X = + t s : X = + t e passante per P =. (7) Determinare Un equazione cartesiana e parametrica per il piano π: ortogonale ad e passante per ; passante per P = P = P = ; passante per P = P = e parallelo alla retta r : { x z = y z = (8) Siano dati { al variare di k R il piano π : kx + y z = k ed la x kz = k retta r :. Determinare per quali valori di k il piano y + kz = 4 π e la retta r sono paralleli; (9) siano s : X = + t s : X = + t due rette nello spazio. Determinare un piano π contenente le rette s e s. Tale piano è unico? () sia r : X = + t. Determinare un piano π contenente r e passante per () Determinare equazioni cartesiane e parametriche per la retta r passante per ed incidente alle rette s : { x y z = x y = { x + y z = s : y =

7 () Determinare equazioni cartesiane e parametriche per la retta r incidente e ortogonale alle rette { { x z = x = s : s y = : y + z = () Determinare la distanza dall origine O della retta r di equazioni parametriche x = t y = + t t R. z = + t (4) Determinare la distanza dal punto P = ed il piano di equazioni parametriche x = + t s y = + t s z = + s (5) Data la retta r di equazione cartesiane { x + z = y + = t s R. 7 determinare i punti di r la cui distanza dal piano π di equazione è pari a 4. (6) Date le rette { x y + z = r : y + z = x y z + = r : { x + y = y + z = verificare se sono sghembe e determinare la loro distanza. Verificare inoltre che tale distanza è pari alla lunghezza del vettore P P dove P e P sono i punti di intersezione con r e r rispettivamente dell unica retta perpendicolare e incidente le rette r e r.

8 8 4. Esercizi () Sia V uno spazio vettoriale su K. In seguito denoteremo con K l elemento neutro rispetto alla somma di K e con il vettore nullo di V. v = per ogni v V ; sia v V e λ K. Dimostrare che se λv = allora v = oppure λ = ; un vettore v è linearmente indipendente se e solamente se v ; sia λ K. Allora λ = ; sia B = {v... v n }. Allora: (a) se v... v n sono linearmente indipendenti allora ogni sottoinsieme di B è costituito da vettori linearmente indipendenti; (b) se B è un insieme formato da vettori linearmente dipendenti allora ogni sovrainsieme di B è costituito da vettori linearmente dipendenti. () Sia V uno spazio vettoriale su K. Siano v v v v 4 V vettori linearmente indipendenti e siano λ λ λ 4 K. Dimostrare che v v λ v v λ v... v 4 λ 4 v sono linearmente indipendenti. Dimostrare che V ammette una struttura di spazio () sia π un piano di R passante per l origine. Dimostrare che π è un sottospazio vettoriale di R ; (4) sia r una retta in R passante per l origine. Dimostrare che r è un sottospazio vettoriale di R ; (5) sia π : x + y z = un piano nello spazio. Stabilire se esistono due rispettivamente tre vettori linearmente indipendenti che appartengono a π; (6) sia S R non vuoto. Dimostrare che S è un sottospazio vettoriale di R ; (7) sia W = {a + a x + a x R [x] : a + a = a a + a = }. Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di R [x]; (8) sia K n [x] l insieme dei polinomi di grado n. Dimostrare che x... x n sono linearmente indipendenti e generatori; (9) siano + x + x + x R [x]. Dimostrare che + x + x + x sono linearmente indipendenti e formano un sistema di generatori; () siano e =.... e n =. K n. Dimostrare che e... e n sono linearmente indipendenti e formano un sistema di generatori; () stabilire se i vettori dipendenti; R4 sono linearmente

9 9 () stabilire se i vettori R4 sono linearmente indipendenti; () sia R4. Stabilire se L ; (4) stabilire se i vettori + x + x + x x + x x 4 R[x] sono linearmente dipendenti oppure linearmente indipendenti; (5) stabilire se x 4 L( x x x + x x 4 x ); (6) sia S = L R. Dimostrare che S = x y z R : x + y + z = x y + z =. (7) stabilire se W = {p R 5 [x] : p() = p() = } è un sottospazio vettoriale di R 5 [x]; (8) siano R4. Sapendo che + + = dimostrare che L = L = L

10 5. Esercizi () In M (R) calcolare ( ) ( ) ( ) +. ( ) ( ) ( ) () stabilire se M (R) sono linearmente dipendenti oppure indipendenti; () siano A... A k M n m (K). Dimostrare che A... A k sono linearmente indipendenti se e solamente se A T... AT k M m n(k) sono linearmente indipendenti; {( ) } a b (4) dimostrare che W = M c d (R) : a + b d = è un sottospazio vettoriale di M (R); (5) calcolare la trasposta delle seguenti matrici: ( ) ( ) (6) calcolare la coniugata e l aggiunta delle seguenti matrici: ( ) i i 4 5i ( i + i + i i i 5 + i i i 7 + i + i i i 9 + 4i 4 i i + i + i i (7) stabilire per quali valori di h R le seguenti matrici ( ) h + h + h h h h 4 h h h + h sono antisimmetriche; (8) stabilire per quali valori di h R le seguenti matrici ( ) h + h + h h ( h + i h + + i h + h h h h + h h + h h + h h h sono simmetriche; (9) stabilire per quali valori di h C le seguenti matrici ) h i h i h + i h i sono Hermitiane; () stabilire per quali valori di h C le seguenti matrici ( ) i + h + i h + h h + h i h i.. h i + h i + i + i + h i h i h + i h i )...

11 sono anti-hermitiane; () calcolare la traccia delle seguenti matrici: ( ) () sia V = M n n (K). Dimostrare che: l insieme delle matrici diagonale è un sottospazio vettoriale di V ; l insieme delle matrici triangolari superiori rispettivamente inferiori è un sottospazio vettoriale di V ; l insieme delle matrici ha traccia nulla è un sottospazio vettoriale di V ; l insiem W = {A V : A+A T = } è un sottospazio vettoriale di V. () dimostrare che se A è antisimmetrica allora Tr(A) =. Vale il viceversa? (4) dimostrare che se A è antihermitiana allora Tr(A) è un numero immaginario puro i.e. Tr(A) = Tr(A). Vale il viceversa? (5) dimostrare che se A è hermitiana allora Tr(A) è un numero reale. Vale il viceversa? (6) sia A M n n (C). Dimostrare che A è Hermitiana se e solamente se ia è anti-hermitiana; (7) dimostrare che W = {A M n n (C) : A = A } è chiuso rispetto alla somma ma non è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare. W ammette una struttura di spazio vettoriale su R? (8) Calcolare quando possibile i prodotti AB e BA delle seguenti matrici: ( (i) A = ( (ii) A = 4 8 ) B = ) B = ( 6 4 ) ; (iii) A = ( 5 ) B = (iv) A = (iv) A = 4 + i i i 4 i B = B = 4 ; ; i i i i i

12 (9) Siano e = e = e = e 4 = e 5 = R5 e sia A M m 5 (R) rispettivamente B M 5 n (R). Dimostrare che Ae i = A i per =... 5 rispettivamente e T i B = B i per i =... 5; () siano A B M n n (R) matrici ortogonali. Dimostrare che AB è ancora una matrice ortogonale; A è invertibile ed A T = A è ancora una matrice ortogonale. () siano A B M n n (C) matrici unitarie. Dimostrare che AB è ancora una matrice unitaria; A è invertibile ed A = A è ancora una matrice unitaria. () In R n definiamo R n R n R (X Y ) g(x Y ) = X T Y. Dimostrare che: (a) n = g( ) è il prodotto scalare canonico; (b) g(x Y ) = g(y X); (c) g(x X). g(x X) = se e solamente se X = ; (d) g(x + Z Y ) = g(x Y ) + g(z Y ); (e) g(λx Y ) = λg(x Y ); (f) g(x Y + Z) = g(x Y ) + g(x Z); (g) g(x λy ) = λg(x Y ); (h) se A M n n (R) è una matrice ortogonale allora g(ax AY ) = g(x Y ) per ogni X Y R n. È vero il viceversa?; (i) se S R n allora S = {v R n : g(v s) = s S} è un sottospazio vettoriale di R n.

13 6. Esercizi () Siano A B M n n (K). Se B è invertibile dimostrare che Tr(B AB) = Tr(A); () stabilire se le seguenti matrici ( ) ( ) sono ortogonali; () siano A B M n n (R). Dimostrare che se A B sono matrici ortogonali allora BAB T è ancora una matrice ortogonale; (4) sia A M n n (K) e sia λ K. Dimostrare che det(λa) = λ n det(a); (5) sia A M n n (R) antisimmetrica. Se n è dispari dimostrare che det(a) = ; (6) calcolare i determinanti delle seguenti matrici: ( 4 ) 4 (7) dire per quali valori di a R la matrice a a è non singolare; (8) dare un esempio di una matrice diagonale non invertibile; (9) dare un esempio di una matrice antisimmetrica e invertibile; () dare un esempio di una matrice simmetrica e non invertibile; () dare un esempio di una matrice diagonale non invertibile; () dare un esempio di una matrice antisimmetrica e invertibile; () dare un esempio di una matrice simmetrica e non invertibile; (4) sia GL(n K) = {A M n n (K) : det(a) }. Dimostrare che: Id n GL(n K); se A B GL(n K) allora AB GL(n K); A GL(n K) se e solamente se A T GL(n K); se A B GL(n K) allora A 4 B T A è una matrice invertibile; se A B GL(n K) allora A + B è ancora una matrice invertibile?. (5) siano A B M n n (R). Se A B sono ortogonali allora A + B è ortogonale? (6) siano A B M n n (K). Se A è invertibile e AB = dimostrare che B =.

14 4 (7) sia A = (A... A n ) M n n (K). Supponiamo che A è combinazione lineare delle colonne A... A n. Dimostrare che det(a) = ; (8) trovare se esistono le matrici inverse delle seguente matrici: (9) Verificare che det = 8. Suggerimento: trasformare la matrice in triangolare superiore tramite passaggi opportuni. () Stabilire se esiste l inversa delle seguenti matrici e in caso affermativo determinare la sua espressione A = A = A = 4 8 B = 7 6 C = 7 () Calcolare il determinante della seguente matrice e determinare per quali valori del parametro reale h è invertibile A = h h h 4 h h 4. h () Per ognuna delle seguenti matrici discutere al variare del parametro reale h l esistenza dell inversa e determinare una sua espressione quando esiste. 4 h B = h 6 5 h C = () Determinare il rango delle seguenti matrici: 4 B = C =. h + h..

15 5 7. Esercizi () ridurre a scala le seguenti matrici: ( ) () calcolare il rango delle seguenti matrici: () al variare di t C calcolare il rango della matrice t t t t t t (4) si discuta la compatibilità dei seguenti sistemi lineari: x y + z = x + y + z = x y + z t = x + y + z = 6 4x + y + z = x + y + z + t = x + y z = x 5y + z = 5 x + y + z t = 5. (5) si discuta al variare di k R la compatibilità del seguente sistema lineare: kx + z = x + y =. (k + )x + z = y + z =. (a) (b) (c) { kx + 4y + kz = x + ky + z = λx + 8y = λ x + λy = λ x + y = x + y + αz = αx z = x + αy + z =

16 6 (6) si dicuta al variare dei parametri α β R la compatibilità del seguente sistema lineare: x + 4y z = α βx + αy βz = β x y z = (7) Risolvere il seguente sistema lineare: x + x + x 5 = x + x 4 + x 5 = x x 4 x 5 = x + x + x + x 4 = (8) al variare dei parametri k h R stabilire la posizione reciproca delle rette { { x + kx s : x = x x s x h = : kx = h x kx =. (9) al variare dei parametri k h R stabilire la posizione reciproca delle retta { x + kx s : x = h kx + 4x = ed il piano π : x kx + x = h () Si considerino le rette s : { x + x x = x = s : { x x x = x x =. (a) Stabilire la posizione reciproca di s e s. (b) Determinare equazioni per la retta s parallela alla retta X = t( ) T e complanare con ciascuna delle due rette s e s. (c) Calcolare la distanza del punto P = ( ) dalla retta s. () Siano P Q R due punti distinti. Dimostrare che un vettore X R appartiene alla retta passante per P e Q se e solamente se la matrice A = (P Q X Q) M (R) ha rango uno. () Siano P P P tre punti non allineati. Dimostrare che un vettore X R appartiene al piano π passante per P P P se e solamente se det(x P P P P P ) =. () Si discuta al variare del parametro k R la dipendenza lineare dei vettori: k k k k k k k k R5.

17 7 (4) Dire se il vettore R è combinazione lineare dei vettori 6. (5) siano v = v = dire se il vettore Z = k k v =. Al variare di k R è combinazione lineare dei vettori v v v ; (6) si discuta al variare di k R la lineare indipendenza dei seguenti vettori: k k k 4 k R5. (7) Dire se il vettore + x + x è combinazione lineare dei vettori x + x x + x + x + x + x R [x]. (8) si discuta la variare di k R la lineare indipendenza dei vettori: [ k ] [ k k ] [ k + ] [ ] M (R).

18 8 8. Esercizi () sia V uno spazio vettoriale su K. Sia B = {v... v n } una base di V e sia F B : V K n l applicazione che associa ad ogni vettore v le sue coordinate rispetto alla base B i.e. F B (v) = [v] B. Dimostrare che w... w m V sono linearmente indipendenti se e solamente se [w ] B... [w m ] B K n sono linearmente indipendenti; w... w m V formano un sistema di generatori di V se e solamente se i vettori [w ] B... [w m ] B K n formano un sistema di generatori di K n ; w... w m V formano una base di V se e solamente se i vettori [w ] B... [w m ] B K n formano una base di V ; Sia W = L(w... w m ) e sia W = F B (W ) = {F B (w) : w W }. Dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di K n ; W = L([w ] B... [w m ] B ); w W se e solamente se [w] B W. dim W = dim W. () sia B =. Dimostrare che B è un base di R e calcolare F B : R R. () sia B =. Dimostrare che B è un base di R e calcolare le coordinare dei vettori: (4) sia B = rispetto alla base B; base di R 4 e calcolare le coordinare dei vettori: rispetto alla base B;. Dimostrare che B è una

19 {( ) ( ) ( ) ( )} (5) sia B =. Dimostrare che B è una base di M (R) e calcolare le coordinare dei vettori: ( ) ( ) ( ) rispetto alla base B; (6) sia V = M (R) e sia ([ W = L 4 5 Dire per quali valori di α β R il vettore 5 6 ]). ( α + β 4 + β 4α + 9 ) W. (7) dire se i vettori + x + x x x + x + x formano una base di R [x]. In caso affermativo calcolare F B : R [x] R ; (8) si discuta al variare del parametro k R la lineare dipendenza dei vettori k + x + kx k + x R [x]. (9) sia V = R [x] e sia B = ( + x x x x ). Dimostrare che B è una base di V. Determinare le coordinate di un polinomio a + a x + a x rispetto alla base B. sia W = L( + x x + x ). Determinare per quali valori del parametro k R si ha + kx + (k + )x W () Sia W = x x x x 4 R4 : x + x = ; x + x 4 = la dimensione ed una base di W ; () sia dato in R 4 il sottospazio x + x + x = W : x + x + x 4 = x + x + x + x 4 =. Determinare la dimensione ed una base di W ; () sia dato in R 4 il sottospazio x + x + x 4 = W = x + x + x + x 4 = x x + x + x 4 =.. Determinare Determinare la dimensione ed una base di W ; () Sia W = L. Determinare una base di W.

20 (4) sia W = {A M (R) : A = A T } rispettivamente W = {A M (R) : A = A T }. Dimostrare che dim W = rispettivamente dim W = ; (5) dimostrare che W = {p(x) R [x] : p() = p() = } è un sottospazio vettoriale di R [x] e determinare una base di W ; (6) dimostrare che R[x] non ammette un sistema finito di generatori; (7) in R[x] sia W = L( x + x x x + x ). Determinare una base di W ; (8) si discuta al variare di k R la lineare dipendenza dei vettori k + x + kx k + x R [x]. (9) Sia V = M (R) e sia B = ([ Dire se B è una base di V. coordinate delle matrici [ ]). In caso affermativo determinare le rispetto alla base B. () sia π : ax + by + cz = un piano nello spazio R. Dimostrare che dim π = ; () siano v... v m K n. Sia A = (v... v m ) M n m (K). Sia S = (S... S m ) una sua riduzione a scala. Siano S j... S j k le colonne che contengono i perni. Dimostrare che v j... v jk formano una base di L(v... v m ). () completare a base di R i seguenti vettori: ]. ;. () completare a base di R 4 i seguenti vettori: ; ;

21 . (4) sia W = L. Determinare la dimensione di W. Completare a base di R 4 una base di W. Determinare le equazioni cartesiani di W.

22 9. Esercizi () Considerare in R 4 i seguenti sottospazi vettoriali: { W = L U = x x x = x x + x 4 = 4 (a) Determinare una base e le equazioni cartesiane di W. (b) Completare a base di R 4 una base di W. (c) Determinare una base di U. (d) Determinare una base di U + W. (e) Determinare una base e le equazioni cartesiane di U W. (f) Dire se U e W sono in somma diretta. () discutere al variare dei parametri h k R se i seguenti sottospazi W = L k k h h U = k h k h sono in somma diretta. ([ () sia V = M (R) e siano U = L ([ ]) e W = L. Determinare la dimensione ed una base di U e W. Completare a base di M (R) una base di W. Dire se U e W sono in somma diretta. (4) Sia V = C [t] e siano W = L ( i + t + t + t + it t t (i ) + ( i)t + t ) e U = L ( + it + it i + it + t + t it + (i + )t + (i + )t ). due sottospazi di U (a) Calcolare la dimensione ed una base di W. (b) Completare a base di C [t] una base di U. (c) Dire se U e W sono in somma diretta. (5) sia V uno spazio vettoriale su K. Siano U W sottospazi vettoriali di V. Se dim U = dim W = e dim(u W ) = dimostrare che dim V 5. (6) Sia V = M n n (R) e siano U = {A V : A = A T } e W = {A V : A = A T }. Dimostrare che V è in somma diretta di U e W. (7) siano π un piano passante per l origine ed r una retta passante per l origine. Dimostrare R è in somma diretta di π e r se e solamente se π e r sono incidenti. ])

23 (8) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Sia W V un sottospazio di V. Dire se e esiste W V tale che V = W W. Tale sottospazio è unico?

24 4. Esercizi () Sia T : R R l applicazione così definita: T x x = x + x x x x x Dimostrare che T è lineare; () sia T : R 4 R l applicazione così definita: x T x x + x 4 x = x x + x 4 x x + x 4 Dimostrare che T è lineare; () sia v o R un vettore non nullo. Sia T : R R così definita: T (X) = X v o. Dimostrare che T è lineare; (4) sia A M m n (K) e sia T : M p m (K) M p n (K) così definita: T (X) = XA. Dimostrare che T è lineare; (5) sia T : M n n (K) K così definita: T (X) = Tr(X). Dimostrare che T è lineare; (6) sia A M n n (K) e sia T : M n n (K) M n n (K) così definita: T (X) = X Tr(AX)Id n. Dimostrare che T è lineare. (7) sia T : M n n (K) M n n (K) così definita: T (X) = Tr(X)X. Dimostrare che T non è lineare; (8) sia T : R [t] R così definita: T (p) = p(). Dimostrare che T è lineare. Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; (9) sia T : R R 4 l unica applicazione lineare così definita: T = T = T = Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R R l unica applicazione lineare così definita: T = T = T =. 6 Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R [t] M (R) l unica applicazione lineare così definita: [ ] [ ] [ ] T () = T ( t + t ) = T (t + t ) =. 4.

25 Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R R l unica applicazione lineare così definita: T = T = T =. Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; () sia T : R 4 R l applicazione lineare definita da: x T x x = x + x x x + x + x 4. x x + x + x 4 4 Calcolare una base dell immagine di T ed una base del nucleo di T ; (4) sia T : R 4 R l applicazione lineare così definita x T y z = x + y z + w z + y + w. x + y z + 4w w Dimostrare che T è lineare; calcolare una base per l immagine di T ; calcolare una base per il nucleo di T ; calcolare le equazioni cartesiane dell immagine di T. (5) Sia T : R [t] R così definita: T (p) = [ p() p() p( ) Dimostrare che T è lineare; calcolare una base per l immagine di T ; calcolare una base per il nucleo di T. (6) Sia v R. Sia T : R R l applicazione così definta: T (w) = w v. Dimostrare che T è lineare e determinare la dimensione ed una base del nucleo di T rispettivamente dell immagine di T ; (7) sia A = [ ]. Sia T : M (R) M (R) X X Tr(AX)Id. Dimostrare che T è lineare; stabilire se T è iniettiva; determinare una base dell immagine di T. (8) sia [ x y x y w + z T : M (R) M (R) z w w + z y w Dimostrare che T è lineare; determinare una base di Ker T ; determinare una base di Im T ; ]. ] 5

26 6 stabilire se Ker T e Im T sono in somma diretta. Determinare un sottospazio W M (R) tale che M (K) è in somma diretta di W e Im T. (9) sia T : M n n (R) M n n (R) così definita: T (A) = A A T. Calcolare il nucleo di T ; calcolare l immagine di T ; stabilire se Ker T e Im T sono in somma diretta. () Sia T : V W una applicazione lineare. Sia S V. Ricordiamo che l immagine di S attraverso l applicazione T è il sottoinsieme T (S) = {T (s) : s S} W ; invece H W allora T (H) = {v V : T (v) H} è chiamata la controimmagine di W attraverso T. Dimostrare che se S V è un sottospazio di V allora T (S) è un sottospazio di W ; se S = L(w... w p ) allora T (S) = L(T (w )... T (w p )). In particolare dim T (S) dim S; se H W è un sottospazio vettoriale allora T (H) è un sottospazio di V di dimensione dim T (H) = dim(im T H)+ dim Ker T. () Sia A = (A A A ) M (R). Definiamo f(a) = A A A. Dimostrare che: f è lineare rispetto a ciascuna colonna. f(a) = det(a). () sia C = {e... e n } la base canonica di R n. Per ogni i n definiamo e i : R n R e i x. x n = x i. Dimostrare che e i è una applicazione lineare. Dimostrare che e... e n formano una base di Lin(R n R). () Siano W e V spazi vettoriali su K. Dimostrare che dim W dim V se e solamente se esiste una applicazione lineare iniettiva T : W V. (4) Siano W e V sottospazi vettoriali su K. Sia T : V W una applicazione lineare suriettiva. Dimostrare che esiste una applicazione lineare iniettiva L : W V tale che T L = Id W. (5) Siano V e W spazi vettoriali su K. Sia Z V un sottospazio vettoriale di V rispettivamente H W un sottospazio vettoriale di W. Sia H = {T : V W lineari : T (Z) H}. Dimostrare che H è un sottospazio vettoriale di L(V W ). (6) Sia T : V W un applicazione lineare iniettiva. Siano v... v n linearmente indipendenti. Dimostrare che T (v )... T (v n ) sono linearmente indipendenti.

27 (7) Sia T : V W un applicazione e siano v... v n V. Supponiamo che i vettori T (v )... T (v n ) sono linearmente indipendenti. Dimostrare che v... v n sono linearmente indipendenti. (8) Sia T : V W e sia w Im T. Sia v V tale che T (v) = w. Dimostrare che T (w) = {v + z : z Ker T }. (9) sia T : V V una applicazione lineare. Dimostrare che V = Ker T Im T se e solamente se Ker T Im T = {}; () Dire se i seguenti spazi vettoriali sono isomorfi e in caso affermativo scrivere esplicitamente un isomorfismo: R e R [x]. R 4 e R 4 [x]. { A M n n (R) : A = A T } e { A M n n (R) : A = A T }. C 5 [t] w M (C). C 4 e M (C). {A M n n (C) : A = A } e {A M n n (C) : A = A } {A M (C) : A = A : Tr(A) = } e R. M m n (K) e M m n (K). () Siano V e W spazi vettoriali su K. Sia Z V un sottospazio vettoriale di V rispettivamente H W un sottospazio vettoriale di W. Determinare le condizioni necessarie e sufficienti affinché esista una applicazione lineare T : V W tale che Ker T = Z e Im T = H; () Sia R[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali. Se p = a + a x + + a n x n K[x] definiamo rispettivamente p = a + a x + n + a n x n p = xa o + x a x n+ + + a n n +. Dimostrare che l applicazione rispettivamente T : R[x] R[x] p p L : R[x] R[x] p p è lineare. Verificare che T L = Id R[x]. T è biunivoca? L? 7

28 8. Esercizi () Siano A B M m n (K) e siano L A : K n K m rispettivamente L B : K n K m le applicazione lineari associate. Dimostrare che L A + L B = L A+B ; L λa = λl A. () Siano A M m p (K) e B M p n (K) Siano L A : K p K m rispettivamente L B : K n K p le applicazione lineari associate. Dimostrare che L A L B = L AB. () Sia A = 9. Determinare L A : R 4 R e 7 calcolarenucleo e immagine di L A ; (4) Sia A =. Scrivere l applicazione lineare L A e determinare nucleo e immagine di L A. (5) scrivere un applicazione lineare iniettiva T : R R ; (6) scrivere una applicazione lineare suriettiva T : R R ; (7) sia T : R R così definita T x y = z x y + z x + y + z y + z Dimostrare che T è lineare; determinare M T ; calcolare una base per l immagine di T ; calcolare una base per il nucleo di T ; calcolare equazioni cartesiane per l immagine di T ; calcolare T ; (8) Sia T : R R l unica applicazione lineare così definita: T = T =. T = (9) determinare M T ; () calcolare una base per l immagine di T ; () calcolare una base per il nucleo di T ; () calcolare equazioni cartesiane dell immagine di T ; () stabilire se Im T ;.

29 9 (4) Sia T : R 4 R così definita x T y x y + z + w z = z y w x y + z 4w w Determinare M T. Stabilire se T è suriettiva. Determinare una base per il nucleo di T. Determinare T. (5) Sia T : R 5 R 4 così definita x y T z w = t x + y + t y + z + w x + y + w + t x + y z + t w Determinare M T. stabilire se T è suriettiva; determinare una base per il nucleo di T ed una base per l immagine di T. (6) sia v = R e sia T : R R w w + w v v. (7) sia v = Dimostrare che T è lineare; determinare M T e stabilire se T è suriettiva. determinare una base per il nucleo di T ; determinare una base per l immagine di T ; stabilire se R è in somma diretta di Ker T e Im T. R e sia T : R R T (X) = X X v v. Determinare M T e verificare che M T è ortogonale; stabilire se T è biunivoca. In caso affermativo determinare T ; verificare che T (v) = v e T (w) = w per ogni w R tale che v w =.

30 (8) Si considerino le applicazioni lineari T : R R 4 e L : R 4 R così definite: T x x + x x = x + x x x + x + x x + x + x x L x x x + x 4 x = x + x 4. x x x x 4 x 4 Determinare una base e dimensione del nucleo di T ; determinare una base e dimensione dell immagine di L; determinare una base e dimensione del nucleo di L T ; determinare una base e dimensione dell immagine T L. (9) Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T = determinare M T ; stabilire se T è iniettiva; stabilire se Im T. 4 T =.

31 . Esercizi () Sia T : V W lineare e siano B e C basi di V e W rispettivamente. Dimostrare che F C (Im T ) = Im L MCB (T ). F B (Ker T ) = Ker L MCB (T ). () Sia T : V W una applicazione lineare. Sia r = dim Im T. Dimostrare che esiste una base B di V ed una base C di W tale che M CB (T ) = ( Idr () Scrivere una applicazione lineare T : R 5 R 4 la cui immagine ha dimensione ; (4) scrivere una applicazione lineare T : R R 4 iniettiva; (5) scrivere una applicazione lineare T : R 4 R suriettiva; (6) sia T : R R così definita T x y = z ). x + y + z x + y + z x y z Scrivere M CB (T ) dove B = base canonica. Stabilire se T è suriettiva. Calcolare una base per il nucleo di T. (7) Sia T : R R l applicazione lineare definita da. e C è la T = T = T =. (a) Scrivere la matrice M BC (T ) dove B = e C è la base canonica. (b) Scrivere la matrice M CC (T ) dove C è la base canonica di R ; (c) scrivere la matrice M BC (T ); (d) stabilire se T è suriettiva; (e) determinare le equazioni cartesiane dell immagine di T ; (f) stabilire se appartiene all immagine di T. (8) [ Sia T : R [t] ] M (R) così definita: T (a o + a x + a x ) = a a a. a a a

32 (a) Scrivere la matrice M C C(T ) dove C = { {[ ]} + t t } e C =. (b) Calcolare una[ base del ] nucleo ed una base per l immagine di T. (c) Stabilire se appartiene all immagine di T. In caso affermativo calcolare T ([ ]). [ ] (9) Sia T : R [t] R p() così definita: T (p) =. Determinare p() M C C(T ) dove C = { + t t } e C è la base canonica di R ; () sia T : R R così definita: T x y = x y + z x + y. Sia z y z B = una base di R. Infine sia C la base canonica di R. Determinare: M BC (T ); M CB (T ); M BB (T ). () Sia T : R R 4 l applicazione lineare definita da T = T = Stabilire se T è iniettiva; stabilire se 6 Im T. 4 determinare [ una ] base per il nucleo di T. sia A =. Sia e siano e T = T : M (R) M (R) X X Tr(AX)Id. B = C = {[ {[ basi di M (R). ]} ]}.

33 Stabilire se T è lineare: calcolare M CB (T ); stabilire se T è iniettiva; determinare[ una base ] per l immagine di T ; stabilire se Im T. () sia [ x y x y w + z T : M (R) M (R) z w w + z y w ]. Siano e B = C = {[ {[ basi di M (R). Stabilire se T è suriettiva; determinare M CB (T ); determinare una base di Ker T. () Sia T : R R così definita T x y = x y z x y + z. z x + y 5z Scrivere M CB (T ) dove B = base canonica; stabilire se T è suriettiva. calcolare una base per il nucleo di T. (4) Sia T : R R così definita T x y = x y z x y + z. z x + y 5z Scrivere M BB (T ) dove B = Stabilire se T è suriettiva. calcolare una base per il nucleo di T. ]} ]} e C è la.

34 4 (5) Sia T : R R 4 così definita T x y = z x y z x y + z x + y 5z x + z Scrivere M CB (T ) dove B = base canonica di R 4 ; stabilire se T è iniettiva. calcolare una base per l immagine di T. (6) Sia T : R 4 R così definita T x y z w =. x + y z w y z + w x + y z w Scrivere M BC (T ) dove B = base canonica di R 4. Stabilire se T è iniettiva. calcolare una base per l immagine di T.. e C è la e C è la

35 () Sia B =. Esercizi 5 una base di R 4. Cal- colare le coordinate di un vettore v R 4 rispetto a B. Determinare M(B C) e {[ M(C B) ] dove [ C]} è la base{[ canonica di ]} R 4. {[ ]} () Siano B = C = D = basi di R. Determinare: [ ] x le coordinate di rispetto alla base D. y [ ] x le coordinate di rispetto alla base C. y M(B C). M(C D). M(B D). M(D C). () Siano B = ( + t t t + t t ) C = ( + t + t + t ) basi di R [t]. Scrivere M(B C). (4) Siano B = C = D = basi di R. Determinare: le coordinate di x y z rispetto a D. le coordinate di M(B C). M(C D). M(B D). M(D C). x y z rispetto a C. (5) Sia T : R R così definita: T x y = x + y + z y + z z x + y + z Siano B = C = basi di R. Determinare: M BB (T )..

36 6 M CC (T ). M BC (T ). M CB (T ). Sia T : R [t] R l unica applicazione lineare tale che T () = T ( t) = T ( + t ) =. Sia B = ( + t t t ) una base di R [t] rispettivamente B = base di R. Determinare: M B B(T ). M B C(T ) dove C = ( t t ). M C B(T ) dove C è la base canonica di R. M C C(T ). una base di Ker T. una base di Ker T. (6) Sia T : R R 4 l applicazione lineare così definita: T x y z = 4x 5y 7z x y z x + y + z x + y + z. Sia B = base di R 4 e sia B =. base di R. Sia C rispettivamente C la base canonica di R 4 rispettivamente la base canonica di R. Determinare: M CC (T ); M BC (T ); M BB (T ); una base per il nucleo di T ; una base per l immagine di T.

37 4. Esercizi () Dire per quali valori di k R l angolo fra i vettori X = () Sia k k 4 4 è acuto ottuso rispettivamente retto. {[ B = ]}. k 7 Y = Dimostrare che B è una base ortogonale di R. Determinare le coordinate di un vettore v R rispetto alla base B. Determinare M(B C) dove C è la base canonica di R. () Sia B = Dimostrare che B è una base ortonormale. Determinare le coordinate di un vettore v R rispetto alla base B. Verificare che la matrice M(B C) dove C è la base canonica di R è ortogonale. (4) Sia B =. Dimostrare che B è una base ortogonale di R 4. Determinare le coordinate di un vettore v R 4 rispetto alla base B. Determinare la matrice M(B C) dove C è la base canonica di R 4. (5) Applicare il procedeminto di Gram-Schmidt alle seguenti basi: {[ ]}

38 8 (6) Siano v = v = v = ;. R. Verificare che i vettori v v v sono linermente dipendenti. Applicare il Procedimento di Gram-Schimdt ai vettori v v v. Perché il terzo vettore ottenuto attraverso il procedimento di Gram-Schimdt ai vettori v v v è il vettore nullo? (7) Sia R n e sia il prodotto scalare canonico. Siano v w R n e sia B = {v... v n } una base di R n. Dimostrare che le seguenti condizioni sono equivalenti: (a) v = w; (b) v v j = w v j per ogni j =... n; (c) v z = w z per ogni z R n. (8) Sia C una base ortonormale di R n rispetto al prodotto scalare canonico. Sia B una base di R n. Dimostrare che B è una base ortonormale se e solamente se M(C B) è una matrice ortogonale. (9) Sia W = L () sia W = L base ortogonale diw ; ortogonale di W ; () siano W = L sottospazi di R 4. Determinare: equazioni cartesiane di U. R4. Calcolare una R4. Calcolare una base U = L 6

39 proiezione ortogonale su (U + W ). equazioni cartesiane di W U. () Sia W = L un sottospazio di R4. Determinare una base ortogonale di W e completarla a una base ortogonale di R 4 ; Scrivere la proiezione ortogonale su W. () Sia W = L 4 un sottospazio di R4. Scrivere le equazione cartesiane di W e W rispettivamente. Determinare una base ortogonale di W e completarla a base ortogonale di R 4. Determinare la proiezione ortogonale su W. (4) Sia V uno spazio vettoriale su R e siano U e W sottospazi vettoriali di V. Dimostrare che V = U W se e solamente se per ogni v V esistono e sono unici u U e w W tale che v = u + w; (5) sia V uno spazio vettoriale su R e siano U e W sottospazi vettoriali di V tali che V = U W. Dimostrare che ogni vettore v V si scrive in maniera unica come v = u + w dove u U e w W. sia v V. Poiché esistono e sono unici u U e w W tali che v = u + w definiamo rispettivamente P U : V V P U (v) = u P W : V V P W (v) = w. Dimostrare che: (a) P U è lineare; (b) Ker P U = W e Im P U = U; (c) P U + P W = Id V. (6) Sia V = M n m (R) e sia g : V V R l applicazione g(a B) = Tr(AB T ). Dimostrare che per ogni A B C M m n (R) e λ µ R si ha: (a) g(a A) con uguaglianza se e solamente se A =. (b) g(a B) = g(b A). (c) g(λa + µb C) = λg(a C) + µg(y Z). (d) g(a λb + µc) = λg(a B) + µg(a C). 9

40 4 Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz e definire un angolo fra due matrici. Due matrici A e B si dicono ortogonali se g(a B) =. Sia S V. Dimostrare che S = {A V : g(a s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V. Se W = L(A... A s ) allora W = {A V : g(a A) = = g(a s A) = }. Se W è un sottospazio vettoriale di V dimostrare che V = W W. Siano A... A k vettori non nulli e a due a due ortogonali. Dimostrare che A... A k sono linearmente indipendenti. Dimostrare che V ammette basi formate da vettori non nulli e a due a due ortogonali. Siano A... A k V vettori a due a due ortogonali. Dimostrare che A T... AT k sono vettori a due a due ortogonali. (7) Sia V = M n n (R) e sia g : V V R l applicazione g(x Y ) = Tr(XY ). Dimostrare che per ogni A B C M n n (R) e λ µ R si ha: (a) g(a B) = g(b A). (b) g(λa + µb C) = λg(a C) + µg(y Z). (c) g(a λb + µc) = λg(a B) + µg(a C). (d) se g(a B) = per ogni B V allora A =. (e) Se A B V diremo che A e B sono ortogonali se g(a B) =. Sia S V. Dimostrare che S = {A V : g(a s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V. Sia W un sottospazio vettoriale di V. È vero che W W = {}?. Sia W = {A V : A = A T } rispettivamente W = {A V : A = A T } il sottospazio delle matrici simmetiche rispettivamente antisimmetriche. Dimostrare che: (a) per ogni A W si ha g(a A) e l uguaglianza è verificata se e solamente se A =. (b) per ogni A W si ha g(a A) e l uguaglianza è verificata se e solamente se A =. (c) se A W e B W allora g(a B) =. (d) Dimostrare che W = W. Dimostrare che esistono basi di V formata da vettori a due a due ortogonali.

41 5. Esercizi () Sia B = i i una base di C. Dimostrare che B è una base ortogonale; Calcolare le coordinate di un vettore v C rispetto alla base ortogonale B () Applicare il procedimento di Gram-Schimdt alla base B = i i di C. () Sia W = L = (4) Sia U = L i i i i + i i i. Calcolare W. + i i i. Calcolare U. (5) Sia C una base ortonormale di C n rispetto il prodotto Hermitiano canonico. Sia B una base di C n. Dimostrare che B è una base ortonormale se e solamente se M(C B) è una matrice unitaria. (6) Sia V = M n m (C) e sia h : V V C l applicazione h(a B) = Tr(AB ). Dimostrare che per ogni A B C M m n (C) e λ µ C si ha: (a) h(a A) con uguaglianza se e solamente se A =. (b) h(a B) = h(b A). (c) h(λa + µb C) = λh(a C) + µh(y Z). (d) h(a λb + µc) = λh(a B) + µh(a C). Defianiamo due matrici ortogonali se h(a B) =. Sia S V. Dimostrare che S = {A V : g(a s) = s S} è un sottospazio vettoriale di V. Dimostrare che se W è un sottospazio vettoriale di V allora V = W W. se A... A k sono vettori non nulli e a due a due ortogonali. Dimostrare che A... A k sono linearmente indipendenti. Dimostrare che esistono basi di V formate da vettori non nulli e a due a due ortogonali. 4

42 4 6. Esercizi () Calcolare gli autovalori ([ delle]) seguenti [ applicazioni ] lineari: T : R R x x y T =. y y + x T : R R T x x y = y + x. z x + y + z ([ ]) [ ] T : R R x y T =. y x T : C C T z z = z + z z. z z + z ([ ]) [ ] x y x z y w T : M (R) M (R) T =. z w y w z T : R [t] R [t] T (a + a t + a t ) = a + (a + a )t + ( a + a a )t. T : M n n (R) R [t] R [t] T (a + a t + a t ) = a + (a + a )t + ( a + a a )t. T : M n n (R) M n n (R) X X T. () Sia W R n e sia P W : R n R n la proiezione ortogonale su W. Dimostrare che gli autovalori di P W sono e. Dimostrare che P W è diagonalizzabile. () Siano B = ( + t t t + t t ) C = ( t t ) basi di R [t]. Sia T : R [t] R [t] così definita: T (p) = p()t + p. Dimostrare che T è lineare. Scrivere le matrici M CB (T ) M CC (T ) e M BB (T ). Determinare autovalori e autovettori di T. Determinare una base per ciascuni autospazio di T. Stabilire se T è diagonalizzabile. (4) sia T : V V tale che T + T + Id V = dove T = T T. Dimostrare che T è invertibile. (5) Sia T : V V un endomorfismo di V che verifica T (T Id) =. Dimostrare che V = Ker T Ker (T Id) e quindi che T è diagonalizzabile. (6) Sia T : V V un endomorfismo. Dimostrare che: Se λ K è un autovalore di T allora λ è un autovalore di T. Se T è invertibile allora λ autovalore di T se e solamente se λ è autovalore di T. Dedurre che T è diagonalizzabile se e solamente se T è diagonalizzabile. (7) Siano L T : V V endomorfismo diagonalizzabili. T + L rispettivamente T L è diagonalizzabile?

43 (8) Sia T : V V un endomorfismo di V. Sia λ K un autovalore di T con molteplicità algebrica. Dimostrare che anche la molteplicità geometrica è uguale a. (9) Sia T : V V un endomorfismo di V. Supponiamo che dim V = 7. Supponiamo inoltre che T ha tre autovaloti distinti λ λ λ tali che m g (λ ) = m g (λ ) = m g (λ ) =. Diomostrare che T non è diagonalizzabile. () Sia T : V V un endomorfismo di V. Supponiamo che dim V = 4 e che l endomorfismo ha due autovaloti distinti λ λ tali che m g (λ ) = m g (λ ) =. Dimostrare che T è diagonalizzabile. () Sia T : V V un endomorfismo di V. Supponiamo che dim V = 5 e che l endomorfismo ha due autovaloti distinti λ λ tali che m g (λ ) = 4 e m a (λ ) =. Dimostrare che T è diagonalizzabile. 4

44 44 7. Esercizi () Discutere la diagonalizzabilità su R e su C delle seguenti matrici: ( ) ( ) () Stabilire per quali valori di k R la matrice A = k k è diagonalizzabile. () Sia A M n n (K). Allora λ K è un autovalore di A se e solamente se λ è un autovalore di A T. Se A è diagonalizzabile allora A T è diagonalizzabile? Se K = C allora λ C è un autovalore di A se e solamente se λ è un autovalore di A. (4) Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D. (5) Dire se la matrice A = è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice / / diagonale D tale che P AP = D. (6) Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D. (7) Stabilire se la matrice A = è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D. (8) Stabilire se la matrice A =. è diagonalizzabile. In caso affermativo determinare una matrice invertibile P ed una matrice diagonale D tale che P AP = D.

45 (9) Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: ([ ]) ([ ]) x y x y + z z w y + z w calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T 4Id è iniettiva; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile. In caso affermativo calcolare una base di M (R) formata da autovettori di T. () Sia T : R R così definita ([ ]) x T = y [ x + y x y Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T. () Sia T : R R così definita T x y = z ]. x y + z x + y + z x y + z Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T. () Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T =. T = 5 Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T. () Sia T : R R l applicazione lineare definita da T = T = 4 Calcolare gli autovalori di T ; Stabilire se T è diagonalizzabile T =

46 46 Calcolare una base per ciascun autospazio e nel caso in cui T fosse diagonalizzabile calcolare una base di R formata da autovettori di T. (4) Sia T : M (R) M (R) l applicazione lineare così definita: T (X) = X Tr(AX)A [ ] dove A =. calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T 4Id è iniettiva; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile. In caso affermativo calcolare una base di M (R) formata da autovettori di T. (5) Sia T : R [t] R [t] così definita: T (a + a t + a t ) = (a + a a ) + (a + a + a )t + ( a + a + a )t. calcolare gli autovalori di T ; stabilire giustificando la risposta se T è diagonalizzabile. In caso affermativo calcolare una base di R [t] formata da autovettori di T.

47 () Data la matrice A = 8. Esercizi. Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. () Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. () Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T A U = D. (4) Data la matrice A = 5 5 Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. Infine calcolare A 5. (5) Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. (6) Data la matrice A = Determinare una matrice ortogonale U ed un matrice diagonale D tale che U T AU = D. (7) Sia A M n n (R) e sia il prodotto scalare canonico. Dimostrare che:

48 48 AX Y = X A T Y per ogni X Y R n. Sia A è una matrice antisimmetrica. Dimostrare che AX X =. Dedurre che l unico autovalore reale è λ = e che quindi una matrice antisimmetrica A non nulla non è diagonalizzabile su R. Sia A M n n (R) una matrice simmetrica oppure antisimmetrica e sia W R n un sottospazio vettoriale A-invariante i.e. per ogni w W si ha Aw W. Dimostrare che anche W è A-invariante. (8) Sia A M n n (R) una matrice ortogonale. Dimostrare che: per ogni X Y R n si ha AX AY = X Y dove è il prodotto scalare canonico. Vale anche il viceversa? se λ R è un autovalore di A allora λ = ±. (9) Sia A M n n (C) una matrice Hermitiana e sia il prodotto Hermitiano canonico. Dimostrare che: AZ W = Z AW per ogni Z W C n ; gli autovalori di A sono reali. () Sia A M n n (C) una matrice anti-hermitiana e sia il prodotto Hermitiano canonico. Dimostrare che: AZ W = Z AW per ogni Z W C n ; gli autovalori di A sono immaginari puri. () Sia A M n n (C) una matrice unitaria. Dimostrare che per ogni Z W C n si ha AZ AW = Z W dove è il prodotto Hermitiano canonico. Vale anche il viceversa? se λ C è un autovalore di A allora λ =.