ESAME DI GEOMETRIA. 6 febbraio 2002 CORREZIONE QUIZ

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1 ESAME DI GEOMETRIA 6 febbraio CORREZIONE QUIZ. La parte reale di ( + i) 9 è positiva. QUIZ Si può procedere in due modi. Un primo modo è osservare che ( + i) =i, dunque ( + i) 9 =(+i)(i) 4 = 4 ( + i) : in particolare la parte reale di (+i) 9 è 4 >. Un secondo modo è osservare che un argomento di + i è π/4 e +i =, quindi ( + i) 9 = 9/ (cos(9π/4) + sin(9π/4)) : in particolare la parte reale di ( + i) 9 è 9/ cos(π/4)= 4 >. QUIZ. Le terne (,,k),( k,, ), (,, ) R sono linearmente indipendenti per ogni valore di k. Si consideri la matrice k A k = k. Allora det(a k ) : ciò significa che ρ(a k )= (ρ denota il rango) per ogni k R. QUIZ. Sia u =(i j) j. Allora u j =. Svolgimento. L affermazione è FALSA. Si osservi che u =(i j) j=i j j j=k sicché u j = k j = i. QUIZ 4. Esistono due matrici A, B R, tali che ρ(ab) = e ρ(b)= (ρ denota il rango).

2 Infatti è sufficiente scegliere A tale che ρ(a) = e B invertibile. Allora ρ(ab) ρ(a), ρ(a)=ρ(abb ) ρ(ab). Per esempio B = I, A = ( ). QUIZ 5. Il sistema AX = con A = vettore (,, ) ha spazio delle soluzioni generato dal Si noti che ρ(a) =. Infatti 4 4 R R R R R 4 4 R 4 4. Segue che le soluzioni del sistema AX = formano un sottospazio S R di dimensione = ρ(a). D altra parte (,, ) S è non nullo, quindi è sufficiente a generare tutto S. QUIZ 6. Sia f : R R l endomorfismo associato alla matrice A = dim(ker f) =.. Allora Svolgimento. L affermazione è FALSA. Si noti che ρ(a) =. Infatti R R +R R R R. Poiché ker f = { X R AX =} segue che dim(ker f) è la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema AX =. Per il teorema di Rouché Capelli risulta allora dim ker f) = ρ(a)=. QUIZ 7. La conica x + xy + y = è un ellisse. La matrice della conica è B = :

3 essendo det(b) segue che la conica è non degenere. Per classificare la conica è sufficiente determinare il segno della forma quadratica x + xy + y : tale segno è individuato dal segno degli autovalori della matrice della forma quadratica che è Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = det A = ( ) t t ( ). =( t) ( 4 = t )( t ). Concludiamo allora che gli autovalori di A sono concordi, dunque la conica data è un ellisse. QUIZ 8. Il centro della sfera x +y +z x+y 4z 8= è (,, ). Svolgimento. L affermazione è FALSA. Ricordiamo che il centro della sfera di equazione x + y + z + αx + βy + γz + δ = ( α, β, γ) : nel nostro caso il centro è perció (,,). è

4 ESERCIZI ESERCIZIO. (i) Siano A R m,n, X R n,, B R m,. Sapendo che il sistema lineare AX = B è risolubile con k soluzioni, scrivere il legame tra k, n e ρ(a B). Svolgimento. Il legame è dato dal teorema di Rouchè Capelli: precisamente k = n ρ(a B). (ii) Verificare che il sistema lineare x + x + x 4 = x +x x 4 = x x 4 = x +x x +4x 4 = ha soluzioni e trovarle. Svolgimento. La matrice completa del sistema è (A B) =. 4 Con operazioni elementari di riga si ottiene (A B) R R R 4 4 R 4 R 4 +R 4 R 4 R 4 R R 4 R 4 R 4 4. R 4 R 4 +R Dunque ρ(a) =ρ(a B) = : per il teorema di Rouchè Capelli il sistema ha 4 = soluzioni. Dai passaggi sopra indicati il sistema dato è equivalente a x + x + x 4 = x +x 4x 4 = x x 4 = Considerando t = x 4 come parametro ricaviamo che l insieme delle soluzioni del sistema dato è S = {( t, t, 5t,t) t R}. (iii) Si considerino i sottospazi di R 4 U = { (x,x,x,x 4 ) x +x +x 4 ==x +x x 4 }, V ={(x,x,x,x 4 ) x x 4 ==x +x x +4x 4 }. Scrivere le dimensioni dei sottospazi U V e U + V e trovare una base per ciascuno di essi. Svolgimento. Chiaramente si ha 4

5 U V = { (x,x,x,x 4 ) x +x +x 4 =x x 4 =x +x x +4x 4 =x +x x 4 =} Quindi U V è l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo x + x + x 4 = x +x x 4 = x x 4 = x +x x +4x 4 = la cui matrice incompleta è A. In particolare il sistema è equivalente a x + x + x 4 = x +x 4x 4 = x x 4 =. Pertanto U V = L((,, 5, )) e dim(u V )=. Per determinare U + V calcoliamo prima basi per ciascuno degli spazi U e V. U e V sono rispettivamente gli insiemi delle soluzioni dei due sistemi { x + x + x 4 = x +x x 4 =, { x +x x +4x 4 = x x 4 =. Le matrici di tali sistemi sono già ridotte per righe, sicché è facile verificare che U = { (s, s t, t s, t) s, t R } = L((,,, ), (,,, )), V = { (s 7t, t, s, t) s, t R } = L((,,, ), ( 7,,, )), Quindi U + V = L((,,, ), (,,, ), (,,, ), ( 7,,, )). Con operazioni elementari 7 7 R R R R R R R R R R 4 R 4 R / Concludiamo che (( 7,,, ), (,,, ), (5,, 5, )) è base di U + V. 5

6 ESERCIZIO. Si considerino le rette r : (x, y, z) =(,t, t), s : { x+y +z=, x y z=. (i) Verificare che r e s sono parallele. Svolgimento. r è parallela al vettore u = j k. s è intersezione dei due piani α e β rispettivamente d equazione x + y + z = e x y z =, perpendicolari nell ordine ai due vettori v = i+j+k e w = i j k: quindi s è parallela al vettore v w = 8j 4k = 4u. Concludiamo che r ed s sono parallele. (ii) Trovare l equazione del piano π che le contiene. Svolgimento. I piani contenenti s hanno equazione della forma λ(x + y +z ) + µ(x y z +)= per opportuni λ, µ R non simultaneamente nulli. Inoltre per t = si ottiene il punto (,, ) su r. I valori di λ e µ corrispondenti a π devono dunque soddisfare l equazione λ +µ=: in particolare scelto µ =, si ha λ = e 4y 8z + 8 = ovvero, semplificando, il piano π ha equazione y +z=. (iii) Verificare che la retta (x, y, z) =(t,, ) è contenuta in π e ortogonale a r. Svolgimento. Indichiamo con q la retta di cui sono date sopra le equazioni parametriche. Chiaramente q e parallela ad i. Inoltre, poiché u i = (ricordiamo che u = j k) segue anche che q è perpendicolare ad r. Inoltre, sostituendo, le equazioni parametriche di q nell equazione di π si ottiene l identità =,sicché q π. (iv) Trovare la distanza (minima) tra r e s. Svolgimento. Poiché r ed s sono parallele (vedi punto (i)) per calcolarne la distanza è sufficiente considerare una retta in π perpendicolare ad r (quindi anche ad s ), per esempio la retta q del punto (iii), e determinare la distanza dei punti di intersezione R = r q ed S = s q. Risulta R =(,,), S =(,,) sicché la distanza cercata è. 6

7 ESERCIZIO. (i) Dare la definizione di matrice diagonalizzabile. Svolgimento. A K n,n si dice diagonalizzabile su K se esiste P K n,n invertibile e tale che D = P AP sia diagonale. Sia f : R R l applicazione lineare f(x, y) =(x+ y, x y). (ii) Scrivere la matrice A associata a f e dire se f è biiettiva. Svolgimento. La matrice associata ad A ha come colonne le immagini dei vettori f(e ) ed f(e ), pertanto ( ) A =. Poiché A è invertibile segue che f è biiettiva. (iii) Verificare che A è diagonalizzabile. è simmetrica: per un ben noto teorema generale è allora diagonalizz- Svolgimento. A R, abile (su R ). (iv) Determinare una matrice diagonale D R, ed una matrice invertibile P R, tali che A = PDP. Svolgimento. Ricordo che D ha sulla diagonale gli autovalori di A e P ha per colonne una base costituita da autovettori di A (in maniera che la i esima colonna di P sia un autovettore associato all i esima entrata diagonale di D ). Il polinomio caratteristico di A è ( ) t p(t) = A ti = det = t 4=(t )(t +). t Inoltre v =(,) è un autovettore relativo a e v =(, ) è un autovettore relativo a. Possiamo perciò scegliere ( ) P = : con tale scelta ( ) D =. (v) Calcolare det(d 5 ) e det(a 5 ). Svolgimento. Per il teorema di Binet det(a 5 ) = (det(a)) 5 =( 4) 5 =, det(d 5 ) = (det(d)) 5 =( 4) 5 =. (vi) Calcolare D 8 e A 8. Svolgimento. Si noti che quindi A = A 8 =(A ) 4 = ( )( ) ( ) 4 4 = 4 = ( ) 8 8 ( ) 4, 4 = D 8. 7