Capitolo 6. Integrali di funzioni di una variabile

Transcript

1 Cpitolo 6 Integrli di funzioni di un vribile Ci si pone il problem del riuscire misurre l re di figure il cui contorno non è costituit d segmenti. 6. L integrle definito Si f : [, b] R R un funzione limitt tr m e M, che per comodità supponimo essere positiv. Indichimo con S l prte di pino compres fr il grfico di f e l sse, e si S l re di S. S Se il grfico di f è un trtto di rett llor S è un rettngolo o un trpezio, di cui fcilmente conoscimo l re. M se il grfico di f non è un segmento come possimo fre? Proprio perché per noi è fcile determinre l re di un poligono, possimo pprossimre S con dei rettngoli. In che modo? Suddividimo l intervllo [, b] in n sottointervlli di ugule mpiezz b (l suddivisione può essere nche più generle, m ci restringimo n questo cso prticolre per fissre il concetto). Ponimo m j = inf f, M j = sup f ( j, j ) ( j, j ) con j =,,, n. Ciscuno degli j è bse di un rettngolo l cui ltezz è ugule l vlore che l funzione ssume nel punto medio del sottointervllo. 76

2 6. - L integrle definito Somm przile inferiore Somm przile superiore j j j+ n n j j j+ n n Possimo quindi porre (vedi l figur) n (6.) s n = m j ( j j ), S n = j= n M j ( j j ) dette, rispettivmente, somm przile inferiore e somm przile superiore. Come si può notre, l somm inferiore pprossim per difetto l re dell regione di spzio sottes dll funzione che stimo considerndo, mentre l somm superiore l pprossim per eccesso. In (??) umentndo n si ument il numero dei sottointervlli e le somme przili dovrebbero migliorre l pprossimzione dell re di S. Se n tende d infinito, l somm inferiore e l somm superiore tendono coincidere e essere uguli S. Se ciò ccde, ovvero se il limite j= (6.) lim s = lim S = L n + n + è finito llor L = S è detto integrle definito dell funzione f nell intervllo [, b] ed è indicto con l notzione (6.) f()d. Se L è finito llor diremo nche che f è integrbile nell intervllo [, b]. Quli sono le funzioni integrbili? Teorem 6.. Si f : [, b] R R un funzione. Se f è continu llor f è integrbile. Se f è limitt e monoton llor f è integrbile. Grzie l precedente teorem possimo ffermre che le funzioni elementri sono integrbili in intervlli chiusi in cui sono continue. Esempio 6.. Considerimo l funzione f : R {} R con legge f() =. Quest funzione è limitt e possiede un unic discontinuità in =, quindi è Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.77

3 Cpitolo 6 - Integrli di funzioni di un vribile integrbile in ogni intervllo contenente lo zero. Teorem 6.. Sino f, g : [, b] R R funzioni integrbili. Allor:. kf()d = k f()d in cui k R;. αf() ± βg() : [, b] R è integrbile per ogni α, β R e per ogni α, β R; (αf() ± βg()) d = α f()d ± β g()d. c f() d = c f() d + c f() d con c [, b]. 6. L integrle indefinito Si f : [, b] R R un funzione continu. Un funzione F : [, b] R R l cui legge è tle che F () = f() è dett primitiv di f. Esempio 6.4. Considerimo l funzione f() =. Cerchimo un primitiv di f. Dl clcolo delle funzioni derivte sppimo che ( ) =. d cui ( ) =. Quindi l funzione è un primitiv dell funzione f. F () = Considerimo l esercizio precedente. Anche le funzioni F () = +, F () = sono primitive di f() =. Sembr che l insieme delle primitive di un funzione si ottengno considerndo un prticolre primitiv e ggiungendo un costnte. Inftti Teorem 6.5. È dt l funzione f : [, b] R R continu, e si F un primitiv di f. Allor l insieme delle primitive è ugule F () + C con C costnte rele. Con il simbolo f()d 78Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.

4 6. - Legme fr integrle definito ed indefinito si indic l integrle indefinito dell funzione f nell intervllo [, b] che è l insieme delle primitive dell funzione f. Esempio 6.6. Trovimo l insieme delle primitive di f() = sin. Poiché (cos ) = sin llor l funzione coseno è primitiv dell funzione seno. Allor sin d = cos + C. Teorem 6.7. Sino f, g : [, b] R R funzioni continue. Allor: kf()d = k f()d in cui k R; (f() + g()) d = f()d + g()d. 6. Legme fr integrle definito ed indefinito Se f è integrbile in [, b] e c, [, b], llor f è integrbile in [c, ]. L funzione F : [, b] R definit d F () = c f(t) dt viene chimt funzione integrle di f reltiv l punto c. Sussiste un legme fr integrzione indefinit, ovvero l ricerc delle primitive, e l integrzione definit, ovvero il clcolo delle ree sottese d grfici di funzioni. Il legme è espresso dl teorem fondmentle del clcolo integrle. Teorem 6.8. Si f : [, b] R R un funzione continu. Allor: l funzione F () = f()d è un primitiv di f; f()d = F (b) F () in cui F è un primitiv di f. Grzie questo teorem bbimo risolto il problem di prtenz, quello di misurre l prte di pino compres fr il grfico di f e l sse. Esempio 6.9. Voglimo clcolre l re sottes dll funzione f() = nell intervllo [, ], ovvero voglimo clcolre d. Dobbimo trovre un primitiv di f e vlutrl gli estremi dell intervllo come indicto dl teorem fondmentle del clcolo integrle. Poiché un primitiv di Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.79

5 Cpitolo 6 - Integrli di funzioni di un vribile f() = è l funzione F () = srà ] d = = =. 6.4 Metodi di clcolo dell integrle indefinito Come mostrto dl teorem fondmentle del clcolo integrle, per clcolre un integrle definito bisogn sper ricvre un primitiv dell funzione che stimo integrndo. Dobbimo sviluppre dei metodi che ci permettono di trovre un primitiv delle funzioni. Questo non è sempre possibile: ci sono delle funzioni per cui non esiste un espressione dell legge dell primitiv. In quest sezione vedremo i metodi per ricvre le primitive delle funzioni più utili per le ppliczioni. Integrzione immedit delle derivte. L integrzione immedit si ottiene invertendo l tbell Proposizione 6.. α d = α+ α + + C, α (, ) (, + ); d = ln + C cos d = sin + C; sin d = cos + C; d ( cos = + tn ) d = tn + C Come potete notre nell tbell non ci sono le primitive di tutte le funzioni elementri. Ad esempio, mncno l primitiv dell funzione logritmo e dell funzione tngente. Le formule dell proposizione?? possono essere generlizzte utilizzndo l formul di derivzione di funzione compost. Proposizione 6.. f () f() α d = f()α+ α + + C, α (, ) (, + ); f () f() f () cos [f()] d = sin [f()] + C; f () cos f() d = d = ln f() + C ; f () sin [f()] d = cos [f()] + C ; f () ( + tn f() ) d = tn f() + C. 8Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.

6 6.4 - Metodi di clcolo dell integrle indefinito Esempio 6.. Clcolimo l integrle e d. Si potrebbe procedere con l sostituzione t = per ricondurci d un integrle immedito. M poiché l derivt dell esponente dell esponenzile è 6 llor possimo riscrivere l integrle come e d = 6 6 e d. f () e f() Quindi pplicndo l formul f ()e f() d = e f() + C bbimo che e d = 6 e + C. Esempio 6.. Considerimo l integrle tn d. Dll definizione di funzione tngente bbimo che tn d = sin cos d. Si potrebbe procedere con l sostituzione t = cos. M possimo ricondurci d un integrle qusi immedito. Poiché l derivt dell funzione cos è l funzione sin llor possimo riscrivere quest ultimo integrle come Quindi pplicndo l formul f () f() sin f () cos /f() d. d = log f() + C bbimo che tn = log cos + C. Integrzione per prti Questo metodo discende dll formul di derivzione del prodotto di funzioni (f()g()) = f ()g() + f()g (). Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.8

7 Cpitolo 6 - Integrli di funzioni di un vribile D quest ultim discende che f()g() = [f ()g() + f()g ()] d d cui (6.4) f()g () d = f()g() f ()g() d. Esempio 6.4. Clcolimo con il metodo di integrzione per prti e d. Per pplicre il metodo di integrzione per prti dobbimo identificre un funzione f ed un g. L scelt deve essere intelligente per rendere più semplice l integrle l secondo membro di (??). Sceglimo f() = e g () = e. Quindi pplicndo (??) d = f g f g e e f g e d = e e. Esempio 6.5. Clcolimo con il metodo di integrzione per prti sin d. Sceglimo f() = e g () = sin. Quindi pplicndo (??) sin d = ( cos ) ( cos ) d = cos + cos. f g f g f g Esempio 6.6. Clcolimo con il metodo di integrzione per prti sin d. Sceglimo f() = sin e g () = sin. Quindi pplicndo (??) sin sin d = sin ( cos ) cos cos d f g f g f g = sin cos + cos d ( = sin cos + sin ) d = sin cos + d sin d d cui sin d = sin cos + sin d 8Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.

8 6.5 - Misur di ree d cui sin d = sin cos d cui sin d = sin cos. Esempio 6.7. Clcolimo con il metodo di integrzione per prti ln d. Riscrivendo l integrle come ln d = ln d. sceglimo f() = ln e g () =. Quindi pplicndo (??) ln f g d = ln f g f g d = ln d = ln. 6.5 Misur di ree Are sottes dl grfico delle funzioni. Nell definizione di integrle definito bbimo considerto solo funzioni positive. Se bbimo un funzione f negtiv in [, b], in (??) l misur dell re dei rettngoli è negtiv, e se il limite (??) è finito, llor L è un numero negtivo e rppresent l opposto dell misur dell re compres fr il grfico di f e l sse. Ne consegue che dt un generic funzione f : [, b] R R integrbile, llor l misur dell re sottes dl grfico di f è dt d f() d. Esempio 6.8. Clcolimo l re sottes dll funzione f() = sin nell intervllo [, π]. Nell intervllo indicto l funzione sin è positiv. Ne consegue che π sin d è l misur dell re che stimo cercndo. Poiché un primitiv di sin è cos vremo che π sin d = cos ] π = cos π + cos =. Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.8

9 Cpitolo 6 - Integrli di funzioni di un vribile Esempio 6.9. Clcolimo l re sottes dll funzione f() = e nell intervllo [, ]..5.5 Poiché l funzione f() è positiv in [, ] e negtiv in [, ] vremo che l misur dell re considert è ( e ) d + e d. Un primitiv di f() l bbimo trovt in un esempio precedente. e d = e. Essendo e d = e ] = e e e d = e ] = l misur dell re considert è ugule e. Are compres tr i grfici di due funzioni. R R tli che f() g(). Sono dte le funzioni f, g : [, b] = f() = g() b 84Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.

10 6.6 - Esercizi Non è complicto mostrre che l re compres fr i grfici di f e g è dt d (f() g()) d Esempio 6.. Clcolimo l misur dell prte di pino compres fr i grfici delle funzioni = e = per [, ]..5.5 Poiché in [, ] si h llor per clcolre l misur dell re considert dobbimo clcolre ( ) d. Essendo ( ) = 4 llor ( ) d = 4 + C ] = Esercizi Esercizio 6.. Utilizzndo gli integrli qusi immediti, clcolre i seguenti integrli:. ( + ) d; d; (e + 5) e d; sin cos d; sin + cos d; d; ln d; Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.85

11 8. 9. Cpitolo 6 - Integrli di funzioni di un vribile d; sin ( + ) d. Esercizio 6.. Utilizzndo il metodo di integrzione per prti clcolre i seguenti integrli:. e sin d; e d; ln d; sin d; sin d. Esercizio 6.. Clcolre i seguenti integrli definiti: π π π e e cos d; sin d; + d; ln d; d ln ; ( )e d. Esercizio 6.4. Clcolre l re dell regione di pino limitt dll sse e dll rco dell prbol = in [, ]. Esercizio 6.5. Clcolre l re dell regione di pino limitt dll sse e dll rco dell prbol = + + che st l di sopr dell sse. Esercizio 6.6. Clcolre l re dell regione finit di pino limitt dll prbol = + 6 e dll rett = 5. Esercizio 6.7. Clcolre l re dell regione finit di pino limitt dlle prbole = e = e con >. Esercizio 6.8. Clcolre l re dell regione finit di pino limitt dlle curve di equzione = cos e = e con π < < π. 86Appunti di Mtemtic e Sttistic di Nicol Pintus e Piermrio Schirru.