ANALISI MATEMATICA 1 Commissione F. Albertini, P. Mannucci e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza
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- Fausto Rocchi
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1 + Svolgimento (cenno) a) Dominio={ R,6= }. Non ci sono simmetrie. b)! f() = 4,! + f() = 4. La funzione non può essere prolungata per continuità in =, dove c è un salto.!+1 f() =!+1 arctan + = 1, f()!+1 =,!+1 f()+ =!+1 arctan + = /. Quindi per! +1 la f() ha l asintoto obliquo y = /. Analogamente! 1 f() = 1 e procedendo come sopra si ottiene che y = / è asintoto obliquo per f() quando! 1. c) Se >, si ha f 5 () = (+) +( ) 1, che é strettamente negativa per ogni >. Se <, 6=, si ha f 5 () = +1 = + che è sempre strettamente (+) +( ) (+) +( ) positiva. Si ha! f () = 16/1 e! + f () = 6/1 Quindi = è un punto angoloso per f. La funzione f() è crescente negli intervalli ( 1, ) e (, ), ha un punto di massimo relativo in = e poi è decrescente in (, +1). La funzione non presenta minimo assoluto, mentre = è anche massimo assoluto. Ha senso calcolare! + f () =! f () =/5. d) Per il grafico si veda il disegno. 4 e) (Facoltativo) Si calcola facilmente che per 6= e 6=, si ha f () = 1 [(+) +(,che ) ] risulta positiva quando >1/, quindi la funzione é concava negli intervalli ( 1, ), (, ), e(, 1/), presenta un punto di flesso in =1/ ed é convessa in (1/, +1).
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3 Esercizio Studiare, al variare del parametro a n + log(n )+na n n. + cos n + Svolgimento (cenno) Se a> il numeratore del termine della serie è asintotico a na n,sea = il numeratore del termine della serie è asintotico a (1 + n) n. Se a< (anche se a<1!) il numeratore è asintotico a n. Il denominatore è asintotico a n,quindisihache i) se a> il termine della serie è asintotico a nan e la serie corrispondente converge (usando il n criterio della radice o del rapporto) se e solo se a<(sea =ilterminedellaserietendea+1 e quindi la serie non converge). ii) se a = il termine della serie è asintotico a (1+n)n e la serie corrispondente converge (usando n il criterio della radice o del rapporto). iii) se a< il termine della serie è asintotico a n e la serie corrispondente converge perché è n una serie geometrica con ragione q<1. Quindi la serie converge per ogni apple a<. Esercizio e arcsin() d (Suggerimento utilizzare la sostituzione t = arcsin()...). (b) Facoltativo Calcolare l area della regione A = {(, y) [, 1/], apple y apple e arcsin() }. Svolgimento (cenno) a) con la sostituzione t = arcsin(), poiché = sint, d = cos tdt, integrando due volte per parti si ottiene e arcsin() d = 1 Z / e t cos tdt= 1 (et cos t / + Z / e t sin tdt)= = 1 (et cos t / + e t sin t / Z / e t cos tdt). Quindi si ottiene a destra lo stesso integrale (in t) che abbiamo a sinistra e quindi ( ) Z / e t cos tdt= 1 (et cos t + e t sin t) / da cui Z / e t cos tdt= 1 (e / 1). Quindi b) (Facoltativo) L area di A è e arcsin() d = 1 4 (e / 1). (e arcsin() + )d = e arcsin() d + d = 1 4 (e / 1) + 1/ = 1 4 (e / 1) + 1.
4 Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite e cos( p )+! + sin + ap sin (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in = < (1 + ) f() = e p 1 cos < cos( p )+ sin( )+a p p sin. > Svolgimento (cenno) a) usando gli sviluppi di McLaurin il numeratore del ite è e cos( p )+ = ! + + o( )= + o(). Il denominatore è sin + a p p sin = sin + a p p + o(p ) = a + o(). quindi il ite è uguale a! + + o() a + o() = a. b) Calcoliamo il ite per! della f() e poi lo imponiamo uguale al ite per! + della f() che è proprio a. Per! dobbiamo considerare la f() definitaper <, quindi dobbiamo calcolare (1 +! ) 1 cos = e log(1+ ) 1 cos.! Calcoliamo il ite (con McLaurin) dell esponente (si può fare anche con L Hopital)! log(1 + ) 1 cos =! / =6. quindi! f() =e 6 Quindi f() è prolungabile per continuità in = se e solo se a = e6 cioè a =e 6. Tempo due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti,
5 + + Esercizio Studiare, al variare del parametro b Esercizio n + log(n )+nb n 5 n. +sinn + e arccos() d (Suggerimento utilizzare la sostituzione t = arccos()...). (b) Facoltativo Calcolare l area della regione A = {(, y) [, 1/], apple y apple e arccos() }. Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite a tan + sin 1! + cosh e 4 +. (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in = 1 < (1 ) (1 e ) < f() = a tan + sin( ) 1 > cosh e 4 + Tempo due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti,
6 + Esercizio Studiare, al variare del parametro a Esercizio 4 n + cos n +7 n a n + n + n. Z 1 e arcsin d (Suggerimento utilizzare la sostituzione t = arcsin...). (b) Facoltativo Calcolare l area della regione A = {(, y) [, 1], apple y apple e arcsin }. Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite sin( 1 )+5a! + p arcsin( p )+e cos( p ). (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in = < (1 ) 1 e < f() = sin( 1 )+5a > p arcsin( p )+e cos( p ) Tempo due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti,
7 + + Esercizio Studiare, al variare del parametro b Esercizio 4 n +sinn + n + n + n b n. Z 1 e arccos d. (Suggerimento utilizzare la sostituzione t = arccos...). (b) Facoltativo Calcolare l area della regione A = {(, y) [, 1], apple y apple e arccos }. Calcolare per ogni valore del parametro a> il ite sinh cos + e 4.! + 5a arcsin + sin (b) Determinare a > per cui la funzione seguente risulta prolungabile per continuità in = < (1 + ) cosh 1, < f() = sinh cos +e 4 5a arcsin + sin( ), > 5 5 Tempo due ore. Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato. È vietato tenere libri, appunti,
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