COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI 20 Febbraio 2014

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1 COMPITO DI CONTROLLI AUTOMATICI Febbraio 14 Esercizio 1. [11 punti] Si consideri il modello ingresso/uscita a tempo continuo avente la seguente funzione di trasferimento: G(s) = 1 3 s(s + 1)(s + 1) (s 2 + s + 1) (s 2 1s ). i) Si determini il diagramma di Bode (modulo e fase) della risposta in frequenza del sistema; ii) si determini il diagramma di Nyquist di G(jω) per ω R, si studi, attraverso il criterio di Nyquist, la stabilità BIBO del sistema ottenuto per retroazione unitaria negativa da G(s) e si determini l eventuale numero di poli a parte reale positiva di W(s). Esercizio 2. [7.5 punti] Dato il modello ingresso/uscita a tempo continuo descritto dalla seguente equazione differenziale: d 3 y(t) dt 3 + (2 a) d2 y(t) dt 2 con a parametro reale, + (2 2a) dy(t) dt 2ay(t) = d2 u(t) dt 2 + du(t) dt i) si studi al variare di a la stabilità asintotica e BIBO del sistema; 2u(t), ii) per a = 1 si determini la risposta al gradino del sistema, w 1 (t), la si tracci graficamente e se ne valutino tempo di salita (in modo approssimato) e sovraelongazione percentuale. Esercizio 3. [7.5 punti] Si consideri il sistema di funzione di trasferimento G(s) = 1 + s 1 + s 1 + s2 1. i) Si progetti un compensatore stabilizzante C 1 (s) che garantisca errore a regime al gradino pari a circa.1, di attraversamento pari a circa 1 4 rad/s e margine di fase pari a circa 9. ii) Si progetti un compensatore stabilizzante C 2 (s) che garantisca errore a regime alla rampa pari a circa.1, di attraversamento pari a circa.1 rad/s e margine di fase almeno pari a 45. iii) Con riferimento al seguente schema 1

2 d(t) r(t) + e(t) u(t) C(s) + y(t) G(s) si dica se uno dei due precedenti controllori è in grado di assicurare che l effetto a regime sull uscita di un disturbo d(t) = d δ 1 (t) sia nullo e si giustifichi adeguatamente la risposta. Teoria. [5 punti] Dato un modello ingresso/uscita LTI a tempo continuo causale, descritto da un equazione differenziale lineare e a coefficienti costanti: si definisca il concetto di stabilità BIBO; si forniscano due caratterizzazioni della stabilità BIBO in termini di proprietà della risposta impulsiva del sistema; si dimostri che tali condizioni sono equivalenti tra loro ed alla stabilità BIBO; si dimostri che la stabilità BIBO è equivalente al fatto che la funzione di trasferimento del sistema abbia tutti i poli a parte reale negativa. 2

3 SOLUZIONI Esercizio 1. i) [5 punti] 3 Diagramma di Bode Modulo 1 db Diagramma di Bode Fase gradi ii) [6 punti] 3

4 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis N = 2,n G+ = 2 e quindi n W+ =. Pertanto W(s) è BIBO stabile. Esercizio 2. i) [3.5 punti] L equazione caratteristica del sistema è = s 3 + (2 a)s 2 + (2 2a)s 2a =: d(s). Per valutare per quali valori di a il polinomio d(s) è un polinomio di Hurwitz utilizziamo la tabella di Routh. Si trova: a 2 2 a 2a 1 2a 2 4a a 2a e pertanto d(s) è Hurwitz se e solo se a <. Di conseguenza il sistema è asintoticamente stabile se e solo se a <. Per quanto concerne la stabilità BIBO, certamente il sistema è BIBO stabile per tutti i valori del parametro a per cui è asintoticamente stabile. La funzione di trasferimento del sistema è W(s) = s 2 + s 2 s 3 + (2 a)s 2 + (2 2a)s 2a = (s + 2)(s 1) s 3 + (2 a)s 2 + (2 2a)s 2a. Chiaramente l unica cancellazione rilevante tra numeratore e denominatore è quella del fattore instabile s 1, essa si verifica se e solo se a = 1 e per tale valore di a si trova W(s) = s + 2 s 2 + 2s + 2 4

5 che è BIBO stabile. Di consequenza, il sistema è BIBO stabile se e solo se a < oppure a = 1. ii) [4 punti] Per a = 1 la funzione di trasferimento del sistema diventa quella vista prima: W(s) = s + 2 s 2 + 2s + 2 La trasformata di Laplace della risposta al gradino è W 1 (s) = W(s) 1 s = s + 2 s(s 2 + 2s + 2). La decomposizione in fratti semplici di W 1 (s) porta a e ad essa corrisponde la funzione del tempo La sua derivata vale per t > dw 1 dt W 1 (s) = 1 s s + 1 s 2 + 2s + 2 w 1 (t) = [ 1 e t cos t ] δ 1 (t). = e t cos t + e t sint = ( 2e t cos t π ). 4 Chiaramente tale derivata è nulla per ogni t del tipo t = 3π/4 + kπ,k Z. Pertanto la risposta al gradino ha un andamento oscillatorio. Per determinare la sovraelongazione è sufficiente determinare il punto di massimo della g 1 (t) e a tal fine è sufficiente calcolare g 1 (t) per t = 3π/4. Si trova ( ) 3π w 1 = 1.67, 4 che corrisponde ad una sovraelongazione del 6.7%. Per calcolare il tempo di salita (al 1%) in modo approssimato cerchiamo la più piccola soluzione dell equazione w 1 (t r ) = [ 1 e tr cos t r ] = 1, da cui si ottiene la stima approssimata (per eccesso) t r π/2 = 1.57 secondi. Il grafico della risposta al gradino è il seguente: 5

6 Time offset: Esercizio 3. i) [3 punti] È necessario il ricorso preliminare a C 1 (s) = 1, con il che il diagramma di Bode di C 1 (s)g(s) taglia l asse a db a circa 13 rad/s con margine di fase di circa Diagramma di Bode Modulo db

7 1 Diagramma di Bode Fase gradi Ricorrendo ad una rete anticipatrice con coppia polo-zero distanziata di una decade, ad esempio C 1 (s) = s s 1 si ottiene il risultato desiderato. 45 Diagramma di Bode Modulo db

8 1 Diagramma di Bode Fase gradi ii) [3.5 punti] Nel secondo caso è necessario il ricorso preliminare a C 2 (s) = 1 s, con il che il modulo in ω =.1 è di circa 4db. Diagramma di Bode Modulo 6 4 db

9 Diagramma di Bode Fase gradi Da ciò la necessità di una rete ritardatrice con coppia polo-zero distanziata di due decadi, oltre al posizionamento dello zero in corrispondenza della di attraversamento, per il requisito sul margine di fase. Quindi C 2 (s) = 1 s 1 + 1s 1 + 1s 6 Diagramma di Bode Modulo 4 db

10 Diagramma di Bode Fase gradi iii) [1 punti] Come noto dalla teoria, l effetto del disturbo a gradino sull uscita è nullo a regime se e solo se la funzione di trasferimento da disturbo a uscita si annulla in s = e ciò accade se e solo se il compensatore ha un polo nell origine. Pertanto C 2 (s) assicura la reiezione, mentre C 1 (s) no. Teoria. [5 punti] Si veda il Capitolo 4, pag. 8-82, del Libro di testo (seconda edizione). 1