si utilizzano per confrontare le distribuzioni

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1 Dspersone o Varabltà Defnzone: Le Msure d Dspersone: sono par a zero n caso d dspersone nulla s utlzzano per confrontare le dstrbuzon permettono d valutare la rappresentatvtà delle msure d centraltà. 89

2 Esempo: Classfcazone del collettvo A e del collettvo B per class d reddto. class d reddto val. cent. A B A B c n n n c n c Total

3 Msure d Dspersone: 1)Campo d varazone: (E 2 -E 1 ) 2)Dstanza nterquartlca: (Q 3 -Q 1 ) Collettvo A: E 1 =0, E 2 =60; (E 2 -E 1 )=60; Q 1 = x ( ) / ( )=16 Q 3 = x ( ) / ( )=30 (Q 3 -Q 1 )=14 Collettvo B: E 1 =0, E 2 =60; (E 2 -E 1 )=60; Q 1 =20+10 x ( ) / ( )=21.65 Q 3 =20+10 x ( ) / ( )=27.53 (Q 3 -Q 1 )=

4 3)La Varanza: meda degl scart al quadrato dalla meda della dstrbuzone Dpende da tutte le modaltà qund è molto sensble a valor abnorm. Calcolo semplfcato: k =1 n M - x n 1 = x V 2 ) ( M 2M - n x n 1 = = n n 1 + M x n n 1 2M - n x n 1 = = n + M 2Mx - x n 1 = = n M - x n 1 = x V ) ( 2 k =1 2 M - n x n 1 = V 92

5 Nell esempo precedente, l campo d varazone è =60 sa nel collettvo A che n quello B, la dstanza nterquartlca, nvece, vara da un collettvo all altro mettendo n luce la maggore varabltà del collettvo A rspetto al collettvo B. La varanza è una msura d varabltà pù precsa. In rfermento a due collettv A e B, avremo: val. cent. X 2 A X 2 n B X 2 n V A =71500/ =129.36; V B =62300/ =37.36 Varabltà d A > Varabltà d B 93

6 Dfett della varanza. a)dpende, eventualmente, da valor abnorm. b)è espressa con dmensonaltà al quadrato. c)e una msura assoluta d varabltà. Alternatve Scarto Quadratco Medo: Coeffcente d Varazone: SQM = CV SQM e CV non sono esent dal dfetto a). [b) è ok] [c) è ok] Scarto Semplce Medano: SSM=Medana =1,..,n [ x -Me ] V SQM M 94

7 Dstrbuzone della statura degl scrtt alla leva mltare della Sardegna e del Frul nat nel 1962 (dat ISTAT, 1985) Class d'altezza (cm) Valor central Frequenze relatve Sardegna Frul meno d ,5 0,064 0, ,5 0,182 0, ,5 0,302 0, ,5 0,269 0, ,5 0,136 0, ,5 0,040 0, ,5 0,006 0,071 pù d ,5 0,001 0,021 Total --- 1,000 1,000 95

8 Valor central Freq. rel. Sardegna Freq. rel. cumulate ( a ) ( b ) ( c ) ( a ) x ( b ) (a) x (a) x (b) 157,5 0,064 0,064 10, ,6 162,5 0,182 0,246 29, ,9 167,5 0,302 0,548 50, ,0 172,5 0,269 0,817 46, ,4 177,5 0,136 0,953 24, ,9 182,5 0,040 0,993 7, ,3 187,5 0,006 0,999 1,13 210,9 192,5 0,001 1,000 0,19 37, , , ,1 M=169,41; Me=165+(0,500-0,246)( )/(0,548-0,246)=169,21; Q 1 =165+(0,250-0,246)( )/(0,548-0,246)=165,07; Q 3 =170+(0,750-0,548)( )/(0,817-0,548)=173,75; E 2 -E 1 = =40; Q 3 -Q 1 =173,75-165,07=8,69; V=28736,1-M 2 =36,36; SQM= 36,36=6,03; CV=6,03/169,41=0,036; 96

9 Valor central Freq. rel. Sardegna Scart assolut da Me ( a ) ( b ) ( c ) 157,5 0,064 11,71 162,5 0,182 6,71 167,5 0,302 1,71 172,5 0,269 3,29 177,5 0,136 8,29 182,5 0,040 13,29 187,5 0,006 18,29 192,5 0,001 23, , Scart assolut da Me ordnat Freq. rel. Sardegna Freq. rel. cumulate ( a ) ( b ) ( c ) 1,71 0,302 0,302 3,29 0,269 0,571 6,71 0,182 0,753 8,29 0,136 0,889 11,71 0,064 0,953 13,29 0,040 0,993 18,29 0,006 0,999 23,29 0,001 1, , SSM=3,29 97

10 Valor central Freq. rel. Frul Freq. rel. cumulate ( a ) ( b ) ( c ) ( a ) x ( b ) (a) x (a) x (b) 157,5 0,007 0,007 1,10 173,6 162,5 0,035 0,042 5,69 924,2 167,5 0,117 0,159 19, ,6 172,5 0,274 0,433 47, ,2 177,5 0,287 0,720 50, ,3 182,5 0,188 0,908 34, ,6 187,5 0,071 0,979 13, ,1 192,5 0,021 1,000 4,04 778, , , ,8 M=176,26; Me=175+(0,500-0,433)( )/(0,720-0,433)=176,17; Q 1 =170+(0,250-0,159)( )/(0,433-0,159)=171,66; Q 3 =180+(0,750-0,720)( )/(0,908-0,720)=180,80; E 2 -E 1 = =40; Q 3 -Q 1 =180,80-171,66=9,14; V=31111,8-M 2 =44,21; SQM= 44,21=6,65; CV=6,65/176,26=0,038; 98

11 Valor central Freq. rel. Frul Scart assolut da Me ( a ) ( b ) ( c ) 157,5 0,007 18,67 162,5 0,035 13,67 167,5 0,117 8,67 172,5 0,274 3,67 177,5 0,287 1,33 182,5 0,188 6,33 187,5 0,071 11,33 192,5 0,021 16, , Scart assolut da Me ordnat Freq. rel. Sardegna Freq. rel. cumulate ( a ) ( b ) ( c ) 1,33 0,287 0,287 3,67 0,274 0,561 6,33 0,188 0,749 8,67 0,117 0,866 11,33 0,071 0,937 13,67 0,035 0,972 16,33 0,021 0,993 18,67 0,007 1, , SSM=3,67 99

12 Sommaro Sardegna Frul Meda Medana (E 2 -E 1 ) (Q 3 -Q 1 ) V SQM CV SSM

13 Trasformazon lnear Sano le x le modaltà dverse del carattere X con frequenze n per (=1,,k) ; se: z =x +c avremo: coè, n generale: M(z) = M(x ± c) = M(x) ± c 101

14 Avremo noltre: coè, n generale: V(z) = V(x ± c) = V(x) Se nvece: z =x c avremo: coè: M(z) = c M(x) 102

15 ancora: coè: V(z) = c 2 V(x) 103

16 In generale se: z = a + b x, dove le x sono le modaltà dverse del carattere X (cascuna avente frequenza par a n, con =1,..,k,) dremo che l carattere Z con modaltà dverse z (cascuna avente frequenza par a n, con =1,..,k,) è una Trasformazone Lneare d X. Applcando le formule precedent avremo: M(z)=M(a+bx)=M(a)+M(bx)=a+bM(x) V(z)= V(a+bx)=V(bx)=b 2 V(x) 104

17 Un caso partcolare d Trasformazone Lneare s ha quando tra X ed Z ntercorre la relazone: n tal caso s dce che Z è stata ottenuta dalla Standardzzazone d X. S dce, noltre, che Z è la varable standardzzata d X. La standardzzazone è un caso partcolare d Trasformazone Lneare, nfatt: 105

18 Pertanto la Standardzzazone può essere vsta come caso partcolare della Trasformazone Lneare quando: e ; avremo qund: In conclusone, se Z è la standardzzata d X, coè se: allora: M(z)=0 e V(z)=1. 106

19 Smmetra ed asmmetra d una dstrbuzone. y y y y= centro d smmetra e asse d smmetra Sano le x le modaltà dverse equspazate (o se la dstrbuzone è dvsa n class, esse sano d uguale ampezza) del carattere X con frequenze n per (=1,,k), allora: Condzone d Smmetra n = n k-+1 per =1,,k 107

20 Propretà dstrbuzonunmodale smmetrche: M = Me = Md dove Md è la Moda della dstrbuzone. Nota: se M=Me=Md non è detto che la dstrbuzone sa smmetrca Esempo: le x sano: X n x n M=Me=Md= ma la dstrbuzone non è smmetrca 108 Total 12 60

21 Dstrbuzone unmodale asmmetrca postva: Md<Me<M + Md Me M 109

22 Dstrbuzone unmodale asmmetrca negatva: Md >Me >M M Me Md 110

23 Msure d asmmetra. Indce d Pearson: Se: δ > 0 δ < 0 asmmetra postva. asmmetra negatva. δ è un ndce relatvo. Dfatt: a) δ=0 / smmetra, b) Md d dffcle determnazone 111

24 Indce d Pearson modfcato. Verfca emprca: n dstrbuzon non molto asmmetrche s ha che M Md 3 (M - Me) 112

25 Trasformazon de dat fnalzzate all ottenmento della smmetra Trasformazon d Potenza fnalzzate all ottenmento della smmetra: con x >0 e lg n base 10. S not, nnanztutto, che le trasformazon d potenza lascano nalterato l ordnamento de dat. Inoltre, l effetto su dat è seguente: se p>1 z >>x, coè aumentano tutt valor ma pù grand aumentano pù che proporzonalmente de pccol; se p<1 z <<x, coè dmnuscono tutt valor ma pccol dmnuscono meno che proporzonalmente de grand. 113

26 X X 2 X 1/2 ESEMPIO: 2 4 1, , , , , , , ,00 Pertanto per rcondurc ad una stuazone d smmetra useremo : a) n caso d asmmetra negatva valor d p>1 (ad esempo: p=2, 2.5, 3, 3.5 etc.); b) n caso d asmmetra postva valor d p<1 (ad esempo: p=1/2, 0, -1, -2 etc.). Perché trasformare dat per ottenere dstrbuzon 114 smmetrche? Rsposta: per facltare confront

27 In un collettvo d 132 untà vengono rlevate le seguent modaltà x del carattere X : avremo: M=867.03, Me=781.50, SQM=513.97, Mn=35, Max=2489; volendo costrure una dstrbuzone d frequenze stablamo le seguent class d modaltà: 0-250; ; ; ; ; ; ; ; ;

28 Avremo la seguente dstrbuzone d frequenze, cu corrsponde l annesso stogramma: Class d X f(x) Total da entrambe le rappresentazon (tabellare e grafca) s evnce 116 che la dstrbuzone d X è asmmetrca postva, con δ =0.499.

29 Per rendere smmetrca la dstrbuzone dobbamo trasformare le modaltà d X medante la Trasformazone d Potenza con p<1. S procederà per tentatv, s scelga p=1/2=0.5; avremo: 31,47 51,48 36,47 27,73 71,21 20,63 40,71 58,79 37,14 38,55 21,92 58,43 29,62 53,21 28,72 47,27 37,95 71,27 52,59 60,42 84,16 68,03 45,54 52,04 72,22 22,33 33,16 54,14 31,94 52,52 74,94 66,12 67,80 70,36 64,78 68,31 63,64 47,27 46,70 20,36 34,17 57,90 50,42 54,46 58,66 53,96 70,53 22,49 60,99 88,80 32,76 35,31 49,54 50,65 36,05 36,37 76,10 87,40 64,84 17,39 71,40 85,04 30,00 48,79 29,94 53,64 26,14 38,35 73,45 76,10 36,26 92,21 75,56 72,08 53,35 43,52 49,19 49,07 47,03 56,89 63,18 53,35 53,86 55,27 20,00 66,26 73,71 54,96 73,58 16,33 48,48 39,76 78,65 58,99 20,36 53,06 42,94 45,33 61,59 63,88 70,94 73,45 54,89 47,88 48,60 64,51 54,11 57,67 59,64 60,03 50,54 76,28 51,40 61,66 82,57 62,31 62,40 61,56 59,12 53,17 50,95 46,54 52,26 63,76 63,08 93,02 49,46 63,30 62,06 9,83 95,57 97,78 avremo: M=54,04; Me=53,91; SQM=18,12, Mn=9,83, Max=97,78; volendo costrure una dstrbuzone d frequenze stablamo le seguent class d modaltà: 0-10; 10-20; 20-30; 30-40; 40 50; 50 60; 60 70; 70-80; 80 90;

30 Avremo la seguente dstrbuzone d frequenze, cu corrsponde l annesso stogramma: Class d Z F(z) Total La dstrbuzone trasformata (con p=1/2=0.5) è certamente 118 meno asmmetrca d quella orgnara, nfatt: δ =0.021.

31 Allo scopo d mglorare ulterormente la smmetra s possono provare altre trasfomazon per valor dvers d p<1. A puro ttolo ddattco proveremo con p=0.485, avremo: 29,64 47,90 34,23 26,21 65,69 19,63 38,10 54,51 34,85 36,13 20,83 54,18 27,95 49,46 27,12 44,08 35,59 65,74 48,90 55,98 77,28 62,83 42,50 48,40 66,59 21,21 31,20 50,31 30,08 48,83 69,03 61,11 62,62 64,92 59,91 63,08 58,88 44,08 43,56 19,38 32,12 53,70 46,94 50,60 54,39 50,15 65,07 21,36 56,49 81,42 30,83 33,17 46,13 47,14 33,85 34,14 70,07 80,17 59,96 16,61 65,86 78,07 28,29 45,46 28,24 49,85 24,74 35,95 67,69 70,07 34,04 84,46 69,59 66,47 49,59 40,67 45,82 45,71 43,86 52,79 58,46 49,59 50,05 51,33 19,04 61,24 67,93 51,04 67,81 15,62 45,17 37,24 72,35 54,69 19,38 49,33 40,14 42,31 57,03 59,09 65,44 67,69 50,98 44,63 45,28 59,67 50,27 53,49 55,28 55,63 47,04 70,23 47,83 57,09 75,86 57,68 57,77 57,01 54,81 49,43 47,42 43,41 48,60 58,99 58,38 85,18 46,06 58,57 57,46 9,50 87,45 89,42 avremo: M=50,12; Me=50,10; SQM=16,43; Mn=9,50; Max=89,42; volendo costrure una dstrbuzone d frequenze stablamo le seguent class d modaltà: 0-10; 10-20; 20-30; 30-40; ; 50 60; 60 70; 70 80; 80 90;

32 Avremo la seguente dstrbuzone d frequenze, cu corrsponde l annesso stogramma: Class d Z f(z) Totale la dstrbuzone trasformata (con p=0.485) è pù smmetrca d quella orgnara, nfatt δ =