Fondamenti di Automatica per Ing. Elettrica

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1 Fondamenti di Automatica per Ing. Elettrica Prof. Patrizio Colaneri, Prof. Gian Paolo Incremona 2 Esame del 27 Giugno 208 Cognome Nome Matricola Firma Durante la prova non è consentita la consultazione di libri, dispense e quaderni. Questo fascicolo contiene 5 esercizi. Si prega di non allegare alcun foglio. 2 Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioingeneria, Politecnico di Milano, 2033 Milano, Italy, patrizio.colaneri@polimi.it, gianpaolo.incremona@polimi.it

2 2 Si consideri il sistema I. Esercizio ẋ = e x x 2 x e x2 + u ẋ 2 = e x x x 2 e x2 + u y = e x + e x2 Si trovi l equilibrio x corrispondente a u = 0 e si ricavi l uscita di equilibrio ȳ. Si studi la stabilità di x. Si scriva la funzione di trasferimento del sistema linearizzato rispetto a ( x, ū, ȳ). Ponendo le derivate degli stati a zero si ottiene che il punto di equilibrio è x = 0, ū = 0, ȳ = 2. Per discutere la stabilità asintotica linearizziamo il sistema nell intorno di ( x, ū). Le matrici del sistema linearizzato sono [ ] [ A =, B =, C = [ ], D = 0. ] Il polinomio caratteristico è s 2 + 2s + 2, quindi x è un punto di equilibrio asintonticamente stabile. La funzione di trasferimento del sistema linearizzato rispetto a ( x, ū, ȳ) è G(s) = 2(s + ) s 2 + 2s + 2.

3 3 Si consideri il sistema in figura dove II. Esercizio 2 h F(s) R(s) v u G(s) y Figura. Figura dell esercizio 2 G(s) = s, F (s) = s + s + α, R(s) = β s, β 0. Si scriva il sistema in spazio di stato { ẋ = Ax y = Cx. Si studi la stabilità interna in funzione di (α, β). Si studi l osservabilità del sistema in funzione di (α, β). Si denotino con x, x 2, x 3 le variabili di stato di G, F, R, rispettivamente. Notando che F (s) = + α s + α, u = v + h. si ha che { ẋ = x + u y = x, Il sistema si può quindi scrivere come { ẋ 2 = αx 2 + αy h = x 2 y ẋ = 2 α α 0 x β 0 0 y = [ 0 0]x., { ẋ 3 = βy v = x 3. Il polinomio caratteristico è s 3 + (2 + α)s 2 + (α β)s βα, da cui, per il criterio di Routh, si ricava che si ha asintotica stabilità per 2 < α < 0, β > 0. Il sistema è osservabile per α 0.

4 4 Si consideri il sistema retroazionato in figura dove III. Esercizio 3 d H(s) y 0 u y R(s) G(s) d R Figura 2. Figura dell esercizio 3 G(s) = (s + )(s + 0), H(s) = s, d(t) = sca(t), y0 (t) = sca(t), d R (t) = sin(00t). Si ricavi R(s) in modo tale che l errore a transitorio esaurito sia minore in valore assoluto di 0., che il margine di fase sia almeno 60 gradi e la pulsazione critica sia non inferiore a rad/s. Si noti che per avere l errore a transitorio esaurito minore in valore assoluto di 0. a fronte dello scalino della rampa e della sinusoide è necessario introdurre un integratore e il guadagno d anello deve essere 0.µ R + L(j00) < 0.. Imponendo che L(jω) < 0.0 in ω = 00, si ha µ R >.. Per soddisfare le specifiche scelgo con cui ho R(s) = L(s) = 200(s + )( + s0) s( + s00) 20( + s0) s( + s00)( + s0.) margine di fase φ m = 76.3 gradi e pulsazione critica ω c =.96 rad/s., 50 Bode Diagram Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 76.3 deg (at.96 rad/s) 00 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Figura 3. Diagramma di Bode di L(s)

5 5 Si consideri il sistema in figura IV. Esercizio 4 u(k) G(z) y(k) Figura 4. Figura dell esercizio 4 dove u(k) = sca (k) e y(0) = 0, y() = 2, y(2) = 3, y(k) =, k 3. Si ricavi G(z). Si noti che Dal momento che G(z) = allora si ha F (z) F (z) e Y (z) = 2 z 3 z 2 + k=3 z k = 2 z 3 z 2 + z z z z 2 = 2z2 5z + 4 z 2. (z ) (z ) F (z) = Y (z) = 2z2 5z + 4 z z 3 G(z) = 2z 2 5z + 4 (z )(z 2 z + 4).

6 6 V. Esercizio 5 T y 0 e (k) R (z) ZOH G(s) y Figura 5. Figura dell esercizio 5 Si consideri il sistema in figura, dove i convertitori sono in fase e sincroni (periodo T ) e inoltre G(s) = s 2. Si ricavi il tempo di campionamento T e il regolatore digitale R (z) in modo tale che l equivalente del sistema di controllo dal punto di vista analogico abbia margine di fase φ m 30 gradi e pulsazione critica ω c rad/s. Se scelgo il regolatore analogico R(s) = s s, il sistema equivalente dal punto di vista analogico avrà la funzione d anello L(s) = e s T 2 e la pulsazione critica con ω c. Il margine di fase è s + s 2 ( + 0.s), φ m π 4 T 2 > π 6 da cui T < π s. Scelgo T = 0. s (che vuol dire 40 campioni nel tempo di assestamento di circa 4 s) e utilizzando il metodo di Tustin (s = 2(z ) T (z+) ) ottengo R 2z 9 (z) = 3z.