Capitolo 8. Equazioni di erenziali ordinarie. 8.1 Motivazioni

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1 Capitolo 8 Equazioni di erenziali ordinarie In questo capitolo ci occuperemo brevemente delle equazioni di erenziali ordinarie, concentrandoci su alcune tipologie notevoli che ricorrono nelle applicazioni. 8.1 Motivazioni Descriviamo brevemente due problemi che sono di motivazione per l introduzione del problema delle equazioni di erenziali : il primo problema è di natura fisica, mentre il secondo è di natura geometrica. 1. Supponiamo che un punto P di massa m si muova lungo una retta soggetto ad una forza F dipendente dalla sua posizione, dalla sua velocità ed eventualmente dal tempo. Se xt) indica la sua posizione a tempo t, un ragionamento simile a quello visto in precedenza relativo all interpretazione di ẋt) come velocità istantanea di P porta a considerare ẍt) come la sua accelerazione istantanea. Dunque la seconda legge di Newton a erma che il moto è governato dalla relazione mẍt) =F t, xt), ẋt)). Tale relazione rappresenta un equazione di erenziale ordinaria nell incognita xt). esempio, se P è s o g g e t t o a d u n a f o r z a e l a s t i c a F = kx, sihal equazione ẍ = essendo k la costante della molla. Essendo il moto completamente determinato dal fatto di conoscere posizione e velocità di P all istante iniziale t 0,lasuacomprensioneportaalproblema 8 >< mẍt) =F t,xt), ẋt)) xt 0 )=x 0 >: ẋt 0 )=v kx, Ad

2 8.2. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA A.A detto problema di Cauchy relativo all equazione di erenziale mẍt) =F t,xt), ẋt)). 2. Supponiamo che C sia una famiglia di curve nel piano determinate dalla relazione 8.1) y = fx, c 1,c 2,...,c n ) dove x varia in un intervallo I R e c i 2 R per i =1,...,n. Per determinare una curva di C dobbiamo in generale assegnare n condizioni per bloccare le costanti c 1,c 2,...,c n. Ci domandiamo se esiste una qualche equazione a cui il generico elemento di C deve soddisfare. Derivando rispetto a x possiamo scrivere delle relazioni del tipo 8 y 0 x) =f 1 x, c 1,c 2,...,c n ) >< y 00 x) =f 2 x, c 1,c 2,...,c n ). >: y n) x) =f n x, c 1,c 2,...,c n ), dove f i indica la derivata i-esima rispetto a x. Supponiamodipoterricavarec 1,...,c n dalle relazioni precedenti in funzione delle quantità x, y 0 x),y 00 x),...,y n) x)). Sostituendo in 8.1) otteniamo che la generica curva di C soddisfa ad una relazione del tipo F x, yx),...,y n) x)) = 0 che coinvolge x, la funzione yx) e le sue derivate fino all ordine n. 8.2 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni di erenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni elementari introduttive. 1. Un equazione di erenziale ordinaria è una relazione del tipo F x, yx),y 0 x),...,y n) x)) = 0. Si dice che essa ha ordine n poiché la derivata massima che vi compare è quella n-esima. Grazie a quanto visto nella sezione precedente, ci aspettiamo che un equazione di questo tipo ammetta in generale infinite soluzioni dipendenti da n costanti. Per determinare una soluzione in particolare, occorre assegnare condizioni aggiuntive. Seguendo le considerazioni suggerite dall analisi del moto di un punto materiale, ricoprono particolare interesse le condizioni per cui la funzione e le sue derivate fino all ordine n 1 in un punto x 0 assumano 208

3 A.A FORMULAZIONE DEL PROBLEMA alcuni valori assegnati. Si giunge così al problema 8 F x, yx),y 0 x),...,y n) x)) = 0 >< yx 0 )=a 0 8.2) y 0 x 0 )=a 1... >: y n 1) x 0 )=a n 1 detto problema di Cauchy associato all equazione di erenziale. Esempio 8.1. Sono equazioni di erenziali ordinarie ad esempio e y 0 x) =x +arctanyx) z 00 t)+2z 0 t)+zt) =sint. La prima è un equazione del primo ordine nell incognita yx). Essendo chiaro che la variabile indipendente è x, siusaindicarel equazioneanchenellaforma y 0 = x +arctany. La seconda è un equazione del secondo ordine nell incognita zt) che si può scrivere nella forma z 00 +2z 0 + z =sint omettendo la dipendenza da t. Osservazione 8.2. Il problema della primitiva può essere visto come una particolare equazione di erenziale: infatti trovare la primitiva di f su un intervallo I equivale proprio a risolvere l equazione di erenziale y 0 x) =fx). Si vede in questo esempio come le soluzioni dell equazione siano infinite e dipendano e ettivamente da una costante arbitraria. Considerando equazioni del tipo y n) x) =fx), vediamo come le costanti arbitrarie possano essere e ettivamente n. 2. Lo studio teorico del problema di Cauchy 8.2) risulta particolarmente delicato: esempi espliciti mostrano che l esistenza di soluzioni e la loro unicità risultano fatti del tutto non scontati. Ci accontentermo di enunciare il seguente risultato fondamentale sotto ipotesi non ottimali. 209

4 8.2. FORMULAZIONE DEL PROBLEMA A.A Teorema 8.3. Siano J R un intervallo e f = fx, a 1,...,a n 1 ):J R R R! R una funzione derivabile separatamente rispetto alle sue variabili con derivate continue. Siano x 0 2 J e y 0,y 1,...,y n 1 2 R. Allora il problema di Cauchy 8 y n) x) =fx, yx),y 0 x),...,y n 1) x)) >< yx 0 )=y 0 8.3) y 0 x 0 )=y 1... >: y n 1) x 0 )=y n 1 ammette una ed una sola soluzione massimale) y : I! R dove x 0 2 I J. Tale soluzione è unica nel seguente senso: se ỹ : Ĩ! R è un altra soluzione, allora Ĩ I e 8x 2 Ĩ : ỹx) =yx). Osservazione 8.4. L equazione di erenziale y n) x) =fx, yx),y 0 x),...,y n 1) x)) si dice in forma normale. Come visto in precedenza, lo studio del moto di un punto materiale porta all equazione di erenziale del secondo ordine in forma normale ẍ = 1 F t, x, ẋ) m Osservazione 8.5. Vediamo una conseguenza analitica molto utile del teorema di esistenza ed unicità per problemi del tipo y 0 x) =fx, yx)) Supponiamo che c 2 R sia tale che yx 0 )=y 0 fx, c) =0 perognix 2 I. Allora si ha immediatamente che l equazione y 0 = fx, y) ammettelasoluzionecostante ỹx) =c. Tale soluzione in un certo senso banale) viene detta una soluzione stazionaria dell equazione. Ad esempio l equazione y 0 = x sin y 210

5 A.A EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI ammette infinite soluzioni stazionarie date da ỹ = k con k 2 Z. Invecel equazione y 0 =1+y 2 non ammette soluzioni stazionarie. Diciamo S l insieme delle soluzioni stazionarie dell equazione y 0 = fx, y). Sia y = yx) una soluzione non stazionaria dell equazione. Allora yx) non può mai assumere un valore stazionario, cioè non può mai intersecare un elemento di S: in caso contrario, se fosse yx 0 )=c per qualche x 0 nel dominio di y e c 2S,allorailproblemadi Cauchy y 0 x) =fx, yx)) yx 0 )=y 0 ammetterebbe due soluzioni diverse y 1 x) =yx) ey 2 x) =c. In particolare, se 0 è una soluzione stazionaria dell equazione, allora ogni altra soluzione è positiva o negativa sul suo intero dominio di definizione: si ha dunque un informazione a priori sul segno della soluzione. 3. Nel seguito ci occuperemo di alcuni tipi di equazioni di erenziali che ricorrono spesso nelle applicazioni alla fisica ed all ingegneria. 8.3 Equazioni a variabili separabili Si tratta di equazioni del tipo 8.4) y 0 = fy)gx) dove f,g sono funzioni derivabili definite su due intervalli I e J. IlproblemadiCauchy associato è y 0 = fy)gx) 8.5) yx 0 )=y 0 con x 0 2 J e y 0 2 I. Supponiamo che per il problema valga il risultato di esistenza ed unicità della soluzione. 1. Per risolvere l equazione 8.4), seguiamo un procedimento formale molto usato nelle applicazioni esso può giustificarsi pienamente anche da un punto di vista teorico, ma non ce ne occuperemo). 211

6 8.3. EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI A.A Ponendo y 0 = dy/dx possiamo scrivere dy dx = fy)gx) dy fy) Integrando ambo i membri, arriviamo a = gx) dx. 8.6) Hy) =Gx)+c, dove H è u n a p r i m i t i v a d i 1 /f, G è una primitiva di g e c 2 R. Questarelazionedefinisce in forma implicita la soluzione y in funzione di x. Lacostantec si determina sostituendo la condizione iniziale: si ha Hy 0 )=Gx 0 )+c =) c = Hy 0 ) Gx 0 ). Il procedimento di risoluzione giustifica il nome di equazioni a variabili separabili: esse si risolvono tramite due integrazioni nelle variabili y e x separatamente. Osservazione 8.6. Sia S := {c 2 R : fc) =0} la famiglia delle soluzioni stazionarie dell equazione. Supponiamo che y : I! R non sia una soluzione stazionaria dell equazione: allora sappiamo che per ogni x 2 I fyx)) 6= 0. Ciò giustifica, nel procedimento visto sopra, la divisione per fy): a priori sappiamo che per le soluzioni non banali dell equazione, tale quantità non si annulla mai. 2. Vediamo alcuni esempi. Esempio 8.7. Risolviamo il seguente problema di Cauchy y 0 = e y y2) = 7. Si ha dy dx = ey da cui dy e y = dx e y = x + c. Tramite la condizione iniziale si ha c = e

7 A.A EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI Otteniamo dunque e y = x e 7 2 da cui e y = e 7 +2 x ed infine y = ln e 7 +2 x. Esempio 8.8. Risolviamo il seguente problema di Cauchy x 0 = x sin t x0) = 1. Qui l incognita è una funzione xt). Ponendo x 0 = dx/dt si ha dx x =sintdt da cui Z 1 Z x dx = equindi sin tdt ln x = cos t + c. Notiamo che zt) = 0 è soluzione stazionaria dell equazione. Dunque la nostra soluzione xt) haunsegnodefinitosulsuodominio: essendox0) = 1 > 0, abbiamo che xt) > 0 per ogni t appartenente al dominio di definizione. Possiamo dunque eliminare il modulo e scrivere ln x = cos t + c. Poiché x0) = 1 si ha ln 1 = 1+c da cui c =1. Otteniamodunque ln x =1 cos t da cui xt) =e 1 cos t. Esempio 8.9. Risolviamo il seguente problema di Cauchy y 0 = xy sin y y1) = 0. Notiamo che la funzione yx) = 0 è soluzione dell equazione di erenziale e soddisfa anche la condizione iniziale: per l unicità della soluzione del problema di Cauchy, abbiamo che yx) =0èlafunzionechestiamocercando. 213

8 8.4. EQUAZIONI LINEARI DEL PRIMO ORDINE A COEFFICIENTI A.A. CONTINUI Equazioni lineari del primo ordine a coe cienti continui Si tratta di equazioni del tipo 8.7) y 0 x)+ax)yx) =bx) dove a, b : I! R sono funzioni continue definite su un intervallo I. IlproblemadiCauchy associato è y 0 x)+ax)yx) =bx) 8.8) yx 0 )=y 0, con x 0 2 I e y 0 2 R. 1. Vediamo come risolvere il problema di Cauchy 8.8). Sia A una primitiva di a su I. Allora e Ax) [y 0 x)+ax)yx)] = e Ax) bx). Ma si ha per cui e Ax) [y 0 x)+ax)yx)] = e Ax) yx) 0 e Ax) yx) 0 = e Ax) bx). Integrando da x 0 a x si ottiene e Ax) yx) e Ax0) yx 0 )= da cui, tenendo conto che yx 0 )=y 0,siottiene yx) =e Ax) applee Ax 0) y 0 + Z x Z x x 0 e As) bs) ds, x 0 e As) bs) ds. Se supponiamo che Ax 0 )=0,cioèscegliamocomeA la primitiva di a che vale 0 in x 0, otteniamo la formula 8.9) yx) =e Ax) appley 0 + Z x x 0 e As) bs) ds. 2. Riassumendo, la formula risolutiva per il problema di Cauchy 8.8) è data da Z x yx) =e appley Ax) 0 + e As) bs) ds x 0 214

9 A.A EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE dove A è l a p r i m i t i v a d i a su I che vale 0 in x 0,cioè Ax) = Z x x 0 as) ds. 3. Se poniamo y 0 = c nella formula 8.9), al variare di c 2 R otteniamo chiaramente tutte le soluzioni dell equazione di erenziale 8.7) in questo caso Ax) puòessereunaqualunque primitiva di ax)). 4. Vediamo un esempio. Esempio Consideriamo il problema di Cauchy y 0 +2y = e x Si ha ax) =2ebx) =e x.dunque y1) = 3. Si ottiene Dunque Ax) = Z x yx) =e 2x 1) apple ds =[2s] x 1 =2x 1). Z x 1 e 2s 1) e s ds. yx) =e 2x 1) apple3+ Z x =e 2x 1) apple 3+ e3x apple e e 3s 2 ds = e apple3+ 2x 1) 3s 2 3 e 3. x Equazioni lineari del secondo ordine a coe cienti costanti Sono le equazioni della forma 8.10) y 00 x)+ay 0 x)+byx) =fx) dove a, b 2 R e f : I! R è una funzione continua. La funzione fx) sidicetermine forzante dell equazione. L equazione 8.11) y 00 x)+ay 0 x)+byx) =0 215

10 8.5. EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE A.A si dice l equazione omogenea associata alla precedente. Il problema di Cauchy associato è della forma 8 >< y 00 x)+ay 0 x)+byx) =fx) 8.12) yx 0 )=y 0 >: y 0 x 0 )=y 1, dove x 0 2 I, y 0,y 1 2 R. 1. Per risolvere le equazioni 8.10), facciamo la seguente osservazione fondamentale: se y 1 x) e y 2 x) sono soluzioni dell equazione, allora la di erenza vx) =y 1 x) y 2 x) èsoluzione dell equazione omogenea associata 8.11). Infatti si ha v 00 x)+av 0 x)+bvx) =y 1 x) y 2 x)) 00 + ay 1 x) y 2 x)) 0 + by 1 x) y 2 x)) =[y 00 1x)+ay 0 1x)+by 1 x)] [y 00 2x)+ay 0 2x)+by 2 x)] = fx) fx) =0. Dunque la generica soluzione dell equazione può esprimersi nella forma yx) =ỹx)+soluzionegenericadell omogeneaassociata), dove ỹx) èunasoluzioneparticolaredell equazione. Dunquelastrategia per risolvere il problema di Cauchy 8.12) per equazioni lineari del secondo ordine a coe cienti costanti è la seguente. 1. Determinare tutte le soluzioni dell equazione omogenea associata. 2. Determinare una soluzione particolare ỹ dell equazione di partenza. 3. Determinare le costanti generiche che compaiono utilizzando le condizioni iniziali. 2. Consideriamo l equazione omogenea y 00 x)+ay 0 x)+byx) =0. Per trovarne tutte le soluzioni, si considera il polinomio caratteristico esipongonodiversealternative. P z) =z 2 + az + b 1. Se P ammette due radici reali e distinte 1 e 2 caso a 2 4b>0), la soluzione generica dell equazione omogenea è della forma dove c 1,c 2 2 R. yx) =c 1 e 1x + c 2 e 2 x 216

11 A.A EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE 2. Se P ammette una sola radice reale di molteplicità due caso a 2 4b =0), la soluzione generica dell equazione è della forma dove c 1,c 2 2 R. yx) =c 1 + c 2 x)e x 3. Se P ammette due radici complesse coniugate + i e i con, 2 R caso a 2 4b<0), la soluzione generica dell equazione è della forma dove c 1,c 2 2 R. Esempio Data l equazione yx) =e x c 1 cos x)+c 2 sin x)) y 00 4y =0, il polinomio caratteristico P z) =z 2 4ammettelesoluzioni 1 =2e 2 = 2. Dunque la generica soluzione è yx) =c 1 e 2x + c 2 e 2x. Esempio Data l equazione y 00 2y 0 + y =0, il polinomio caratteristico P z) =z 2 2z +1 ammette come soluzione doppia =1. Dunque la generica soluzione è Esempio Data l equazione yx) =c 1 + c 2 x)e x. y 00 + y 0 + y =0 il polinomio caratteristico P z) =z 2 + z +1 ammette come soluzioni 1 = 1 + i p 3 e = 1 i p 3.Dunquelagenericasoluzioneè 2 2 yx) =e 1 2 x "c 1 cos p! 3 2 x + c 2 sin p!# 3 2 x. 3. La determinazione di una soluzione particolare ỹ dell equazione 8.10) è in generale un problema di cile. Esso può semplificarsi se il termine forzante fx) èdellaforma 8.13) fx) =R k x)e x cos x) 217

12 8.5. EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE A.A o 8.14) fx) =R k x)e x sin x) dove R k è un polinomio di grado k. Esempi di termini forzanti di questo tipo sono oppure fx) =x 2 e x, fx) =x, fx) =sin2x fx) =x 3 e 2x cos 3x. Per trovare una soluzione particolare, si considera il numero complesso esipongonoduealternative. z = + i 1. Se z = +i non è radice del polinomio caratteristico P z) dell equazioneomogenea associata, allora esiste una soluzione particolare della forma dove Q k e S k sono polinomi di grado k. e x [Q k x)cos x)+s k x)sin x)], 2. Se z = + i è radice del polinomio caratteristico P z) conmolteplicitàh, allora esiste una soluzione particolare dell equazione è della forma dove Q k e S k sono polinomi di grado k. x h e x [Q k x)cos x)+s k x)sin x)] IpolinomigenericiQ k e S k si determinano sostituendo direttamente nell equazione ed imponendo che essa sia verificata. Esempio Consideriamo l equazione y 00 2y =2e x. Il polinomio caratteristico è P z) =z 2 2cheammettecomeradiciz = ± p 2. Il termine forzante fx) =2e x è d e l l a f o r m a ) c o n l a s c e l t a k =0, =1e = 0. Dunque z =1, ed esso non è radice di P z). Dunque esiste una soluzione della forma ỹx) =ce x. Sostituendo nell equazione si ha che deve essere ce x 2ce x =2e x, da cui c = 2. Concludiamo che una soluzione particolare è ỹx) = 2e x. 218

13 A.A EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE Esempio Consideriamo l equazione 8.15) y 00 +4y =2+sin2x. Il termine forzante fx) =2+sin2x è s o m m a d i d u e t e r m i n i f o r z a n t i f 1 x) =2 e f 2 x) =sin2x. Per trovare una soluzione particolare dell equazione, grazie alla sua linearità, basta trovare due soluzioni particolari relative a f 1 e f 2 esommarletraloro,cioèbastatrovareỹ 1 x) e ỹ 2 x) taliche 8.16) ỹ 00 1x)+4ỹ 1 x) =2 e 8.17) ỹ 00 2x)+4ỹ 2 x) =sin2x econsiderareỹx) =ỹ 1 x)+ỹ 2 x). Per quanto riguarda f 1 x) =2,essoèdeltipo8.13)con k = = =0. Siha z = 0, che non è radice del polinomio caratteristico P z) =z Dunque esiste una soluzione particolare ỹ 1 x) di8.16)dellaforma Sostituendo in 8.16) si ricava ỹ 1 x) =c. 4c =2=) c = 1 2 cioè ỹ 1 x) = 1 2.Perquantoriguardaf 2x) =sin2x, essoèdellaforma8.14)conk = =0 e =2. Dunque z =2i, cheèradicedimolteplicitàunodelpolinomiocaratteristico P z) =z Esistealloraunasoluzioneparticolareỹ 2 di 8.17) della forma Dunque ỹ 2 x) =x [c cos 2x + d sin 2x]. ỹ 0 2x) =c cos 2x + d sin 2x + x [ 2c sin 2x +2d cos 2x]. e ỹ2x) 00 = 4c sin 2x +4dcos 2x + x [ 4c cos 2x 4d sin 2x]. Sostituendo in 8.17) si ha da cui Si ha dunque 4c sin 2x +4d cos 2x =sin2x c = 1 4 e d =0. ỹ 2 x) = 1 x cos 2x. 4 In conclusione, una soluzione particolare dell equazione 8.15) è data da ỹx) = x cos 2x. 4

14 8.5. EQUAZIONI LINEARI DEL SECONDO ORDINE A.A Vediamo un esempio di risoluzione di un problema di Cauchy seguendo la strategia vista al punto 1. Consideriamo il problema 8 >< y 00 2y =2 y0) = 1 >: y 0 0) = 1. Il polinomio caratteristico è P z) =z 2 2e z 2 2=0=) z = ± p 2. Si hanno due radici reali distinte z 1 = p 2ez 2 = p 2. La soluzione generica dell equazione omogenea associata è data da c 1 e p 2x + c 2 e p 2x. Cerchiamo una soluzione particolare: il termine forzante fx) =2èdellaformaparticolare considerata al punto precedente con la scelta k = = =0. Dunque z =0,edessonon è r a d i c e d i P z). Dunque esiste una soluzione particolare ỹ della forma ỹx) =c. Sostituendo nell equazione si ha che deve essere 2c =2, cioè c = 1. Abbiamo dunque che la soluzione generica dell equazione completa è yx) = 1+c 1 e p 2x + c 2 e p 2x. Le costanti c 1,c 2 si determinano attraverso le condizioni iniziali. Poiché y 0 x) = p 2c 1 e p 2x p 2c2 e p 2x,otteniamoday0) = 1ey 0 0) = 1 1+c 1 + c 2 = 1 p p 2c1 2c2 =1 da cui La soluzione del problema è c 1 = 1 2 p 2 e c 2 = yx) = 1+ 1 h 2 p e p 2x p 2. e p i 2x. 220

15 A.A EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE N 8.6 Equazioni di erenziali lineari di ordine n a coe - cienti costanti Si tratta di equazioni del tipo y n) x)+a 1 y n 1) x)+ + a n 1 y 0 x)+a n yx) =fx), dove a 1,...,a n 2 R e f : I! R è una funzione continua. Il problema di Cauchy associato è y 8>< n) x)+a 1 y n 1) x)+ + a n 1 y 0 x)+a n yx) =fx), yx 0 )=y 0 y 0 x 0 )=y 1... >: y n 1) x 0 )=y n 1 dove x 0 2 I, y 0,y 1,...,y n 1 2 R. 1. La risoluzione di equazioni di questo tipo è analoga a quanto già visto per le equazioni di ordine due. Sihachelegenericasoluzioneèdellaforma yx) =ỹx)+soluzionegenericadell omogeneaassociata), dove ỹx) èunasoluzioneparticolaredell equazione. Lasoluzionegenericadell omogenea associata dipende da n costanti che vengono determinate attraverso le condizioni iniziali del problema. 2. La generica soluzione dell omogenea associata si trova considerando il polinomio caratteristico P z) =z n + a 1 z n a n 1 z + a n. Esso ha in generale n radici: a di erenza che nel caso n = 2, tali soluzioni possono avere molteplicità h>2. Per scrivere la generica soluzione dell equazione omogenea, si procede come segue. 1. Si individuano tutte le radici di P z). 2. Se 2 R è una radice di P z) dimolteplicitàh, ad essa è associata una soluzione della forma c 0 + c 1 x + c 2 x c h 1 x h 1 )e x, dove c 0,c 1,...,c n 1 sono costanti generiche. 3. Se ±i è u n a c o p p i a d i r a d i c i c o m p l e s s e c o n i u g a t e d i P z) conmolteplicitàh, allora ad essa è associata una soluzione della forma e x d 0 + d 1 x + d 2 x d h 1 x h 1 )cos x) +f 0 + f 1 x + f 2 x f h 1 x h 1 )sin x), 221

16 8.6. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE N A.A dove d 0,d 1,...,d h 1,f 0,f 1,...,f h 1 sono costanti generiche. 4. La generica soluzione dell equazione omogenea è data dalla somma delle soluzioni dei punti a) e b), al variare di tutte le radici di P z). Esempio Consideriamo ad esempio l equazione Il polinomio caratteristico è che si può fattorizzare nel seguente modo y y y 00 8y 0 +4y =0. P z) =z 4 2z 3 +5z 2 8z +4 P z) =z 1) 2 z 2 +4). Dunque le radici di P z) sono =1conmolteplicità2,elacoppiadiradicicomplesse coniugate ±2i. Dunquelagenericasoluzionedell equazioneèdatada con c 0,c 1,d 0,f 0 2 R. yx) =c 0 + c 1 x)e x + d 0 cos 2x + f 0 sin 2x, 3. Come nel caso n =2,la determinazione di una soluzione particolare dell equazione diviene semplice se il termine forzante è del tipo o fx) =R k x)e x cos x) fx) =R k x)e x sin x) dove R k è un polinomio di grado k. In tal caso si considera il numero complesso z = + i esiprocedecomesegue. 1. Se z non è radice del polinomio caratteristico P z)dell equazioneomogeneaassociata, allora esiste una soluzione particolare della forma dove Q k e S k sono polinomi di grado k. e x [Q k x)cos x)+s k x)sin x)], 2. Se z è radice del polinomio caratteristico P z) di molteplicità h, allora esiste una soluzione particolare dell equazione della forma dove Q k e S k sono polinomi di grado k. x h e x [Q k x)cos x)+s k x)sin x)] 222

17 A.A EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE N IpolinomigenericiQ k e S k si determinano sostituendo nell equazione ed imponendo che essa sia verificata. Esempio Consideriamo l equazione y y y 00 8y 0 +4y = e 2x edeterminiamoneunasoluzioneparticolare: siha z =2,edessononèradicedelpolinomio caratteristico P z), le cui radici sono, per quanto visto all esempio precedente, z =1e z = ±2i. Dunquel equazioneammetteunasoluzioneparticolaredellaformaỹx) =ce 2x. Sostituendo nell equazione si ha 16c 16c +20c 16c +4c)e 2x = e 2x da cui c =1/8. Dunque una soluzione particolare è data da ỹx) = 1 8 e2x. La soluzione generale dell equazione è data dunque da yx) = 1 8 e2x +c 0 + c 1 x)e x + d 0 cos 2x + f 0 sin 2x, dove c 0,c 1,d 0,f 0 sono generiche costanti. Esercizi 1. Dimostrare che il problema di Cauchy y 0 x) =yx)+fx) y0) = 0 dove fx) = 0 se x 6= 0 1 se x =0. non ammette soluzioni. 2. Dimostrare che il problema di Cauchy y 0 x) = p yx) ammette infinite soluzioni. y0) = Trovare una soluzione del problema x 0 = x + y y 0 = x y con le condizione iniziale x0) = 1 e y0) = 0. Suggerimento: derivando la prima equazione si ottiene x 00 = x 0 + y 0, per cui si può sostituire nella seconda...) 223

18 8.6. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE N A.A Trovare la funzione zt) :R! C che risolve il problema z 0 t) =izt) z0) = 1 5. Risolvere il sistema x 0 = 2xy y 0 = x 2 y 2 con le condizioni iniziali x0) = 1 e y0) = 0. Suggerimento: scrivi zt) = xt) + iyt) e trova l equazione corrispondente per z.) 224