Vantaggi della stratificazione

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1 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Vata della stratfcaze I prcpal vata del campamet stratfcat s: mlramet ell effceza del stmatre del ttale e della meda; pssbltà d stmare parametr d sttpplaz (dm d stud); mlramet dell razzaze del lavr sul camp. Per verfcare l uada effceza dvut alla stratfcaze, s csder ce stt certe cdz Var ( ˆ) µ Var( ˆ µ ) ( µ µ ), L st W dve µˆ è l stmatre fdametale el cas del campamet casuale semplce (seza stratfcaze). La dffereza è sempre mare d 0 e qud la stratfcaze può sempre mlrare l effceza dell stmatre. Iltre, a partà d altre cdz, l uada effceza è tat mare quat mr s le varaze,, L ( σ K σ ), cè quat pù s meee le utà, etr strat. el cas lmte cu le utà strat s tutte uual tra lr, cè L, K,, L, s a σ 0 per strat e qud la varaza dell stmatre è ulla. Per cstrure strat pù mee c s può basare sulla varable d teresse, l cu valre per utà s csce, ma su ua varable auslara frtemete leata c questa. Per l esemp sulla prpese al csum, la stratfcaze è effcace se tale prpese dpede frtemete dal sess.

2 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Allcaze delle utà tra l strat Ua queste fdametale ruarda l allcaze delle utà campare tra l strat, cè cme la dmese campara cmplessva vee suddvsa tra,, K L. Le rele d allcaze pù utlzzate s: ufrme: tutt sttcamp rfert a dvers strat a la stessa dmese,, K,, L H prprzale: è l allcaze pù utlzzata cu sttcampe a dmese prprzale a quella dell strat a cu s rfersce, W quest cas l stmatr del ttale e della meda ccd c quell usual L ˆµ st e ˆ τ st L d eyma: mmzza la varaza dell stmatre estraed pù utà dal strat cu la varaza è mare (mre meetà), ma,, L rcede la csceza d σ K σ : σ H σ

3 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Esemp ell ambt d u dae sulla spesa destata all acqust d u cert prdtt vee presa csderaze ua pplaze d csumatr suddvsa L 3 strat secd l ttl d stud. Gl strat a dmese: (lceza meda), (dplma), (laurea). Supped ce la varaza cmplessva è σ 4.765,40, metre le 3 varaze del strat s σ 40,0, σ 3.496,68, σ 0.640,7, e ce la dmese cmplessva del campe è 500, s a: allcaze ufrme: 67, 67, 3 66 allcaze prprzale: 0, 384, 3 96 allcaze d eyma: 4, 389, 3 70 S a le seuet varaze dell stmatre della meda: allcaze ufrme: Var ( ˆ µ ) 8, 53 allcaze prprzale: Var ( ˆ µ ) 6, 6 allcaze d eyma: Var ( ˆ µ ) 5,595 st st st La mlre allcaze è quella d eyma; cas la varaza dell stmatre preseza d stratfcaze è ferre d quella del campamet casuale semplce par a Var ( ˆ) µ 9,

4 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb S suppa d aver adttat u allcaze prprzale e ce le stme delle mede de sttcamp crrspdet a 3 strat s: e le varaze campare s ˆ µ 5,56, ˆ µ 75, 65, µ 58,6 ˆ 3 S 746,65, S 4.89,04, S 4.48,96. La stma della meda della varable d teresse è ˆ µ st 5, , ,6 84, La stma della varaza dell stmatre è var( ˆ µ st ) , ,04 0, + 0, ,96 + 0,6 8, L tervall d cfdeza al 95% per la meda a estrem 84,,96 8,388 78,43, 84, +,96 8,388 89, 785 4

5 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Campamet a rappl el cas cu le utà della pplaze sa leate da vcl d ctutà vcaza può essere cveete, term d cst e d temp, utlzzare u campamet a rappl. S suddvde la pplaze u cert umer d rappl secd l vcl esstete tra le utà. P s estrae casualmete u cert umer d rappl e el campe ve cluse tutte le utà apparteet a rappl estratt. I vata d quest campamet s sprattutt d rde razzatv metre c pss essere svata term d effceza quat le utà estratte ted ad assmlars e qud l campe può essere rappresetatv della pplaze. Esemp ell ambt d u dae sulla prpese al csum s ptrebber estrarre, azcé sl dvdu, delle famle e cludere el campe tutte l dvdu apparteet alle famle estratte. Ovvamete cmprtamet de membr della stessa famla pss essere sml. ell ambt d u dae sulle cdz d lavr s ptrebbe pesare d estrarre delle mprese e cludere el campe tutt dpedet d mpresa estratta. Tuttava c ptrebbe essere ua frte smlaza tra le cdz d lavr de dpedet della stessa mpresa. 5

6 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Defz prelmar Il umer d rappl vee dcat c. Per l rappl, K,,, dcam c la dmese e c valre della varable d teresse per l utà,. strat è qud par a l K,,. Il ttale dell Per la pplaze cmplessva dcam c la dmese e s a parametr: ttale: meda: τ µ. rmalmete ve estratt md casuale semplce rappl e tutte le utà rappl ve cluse el campe ( ). 6

7 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb 7 Stma della meda e del ttale L stmatre fdametale della meda s ttee cme ˆ µ e può essere vst cme la meda campara de ttal d rappl mltplcata per l fattre crrettv /. L stmatre fdametale del ttale s ttee dal precedete cme: ˆ ˆ µ τ La varaza dell stmatre µˆ della meda è par a ~ ) ˆ Var( σ µ dve ~ σ è la varaza ella pplaze tra ttal de rappl. La varaza dell stmatre τˆ del ttale è par a ~ ) ˆ Var( ) Var( ˆ σ µ τ.

8 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb La varaza d µˆ può essere stmata md dstrt cme ~ S var( ˆ µ ), dve ~ S è la varaza campara tra ttal de rappl estratt. Aalamete la varaza d τˆ st può essere stmata cme ~ S var( ˆ τ ). Pss essere qud cstrut l tervall d cfdeza per l ttale e la meda; per la meda, ad esemp, l tervall d cfdeza a estrem: ˆ µ α z / var( ˆ µ ), ˆ µ + z α / var( ˆ µ ). La tecca del campamet a rappl può essere mdfcata md da estrarre sl alcue utà rappl. Il campamet rsultate è dett a due stad e s svle due fas: s estrae casualmete u cert umer d rappl (utà prmare); etr rappl estratt s estrae casualmete u cert umer d utà elemetar (utà secdare). 8

9 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Esemp ell ambt d u dae sulla prpese all acqust d u cert prdtt da parte de clet abtual d u cetr cmmercale vee estratt u campe d 0 famle. Per famla s rprta l umer d membr ( ) e la smma ce ess dcara d vler spedere ttale ell acqust del prdtt ( ): Famla ( ) umer membr ( ) Imprt spedble ( ) Saped ce la pplaze è frmata da 350 famle e da. 000 utà s a le seuet stme della meda e del ttale: ˆ µ (0 + L+ 30) 56,5 9,775 ˆ τ.000 ˆ µ.977, Le crrspdet stme delle varaze s: 350 var( ˆ µ ).000 µ [(0 56,5) + L + (30 56,6) var( ˆ τ ).000 var( ˆ ) ] 0,558 9

10 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Campamet sstematc S tratta d u pa d campamet cu per estrarre u campe d dmese : s determa l pass d campamet par a / (per semplctà s suppe ce sa multpl d ); s estrae l put d parteza r, cè u umer casuale ter cmpres tra e ; l campe sstematc è frmat dalle utà ce ella lsta della pplaze a etcette: r, r +, r +, K, r + ( ) Se, ad esemp, 48 e 8, s a ce 6; se p r 3, l campe è tteut estraed le utà c etcetta: c (3,9,5,,7,33,9,45). I camp ce s pss estrarre frma ua partze della pplaze. D cseueza s a le seuet prbabltà d cluse: π, π / se e s ell stess campe sstematc 0 altrmet Gl stmatr del ttale e della meda s: ˆµ s, ˆs τ. 0

11 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Quest stmatr s dstrt e a varaza: Var ( µ ˆ µ s) ( ), ( ˆ ) Var τ ( µ ), s dve è la meda dell -esm campe sstematc. esst del stmatr dstrt delle varaze d µˆ s e τˆ s. Sltamete s utlzza l stess stmatr del campamet casuale semplce: S var( ˆ µ s), S var( ˆ τ s). Per quat ruarda l effceza del campamet sstematc: per pplaz cu utà vce ella lsta s sml (stratfcaze mplcta) s a mare effceza rspett al casuale semplce; per pplaz cu utà s rdate rspett alla lsta (pplaze casuale) s a all crca la stessa effceza; per pplaz cu le utà vce ella lsta s mlt dverse tra lr (pplaz perdce) s a mre effceza. Il pa d campamet sstematc a l vata d essere utlzzable ace se s csce la lsta la dmese della pplaze cme quad, ad esemp, s tervsta u clete 0 clet ce etra u cetr cmmercale.

12 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Esemp S csder la seuete pplaze (c tred) cmpsta 6 utà ce a meda µ 58, 5 e varaza σ, utà S a 4 camp sstematc Campe Osservaz campare da cu E ( ˆ µ ) 58, 5, Var ( ˆ µ ), 5. La varaza del campamet s s casuale semplce è mlt superre, Var ( ˆ) µ 4, 5, c ua dffereza ella varaza: Var ( ˆ) µ Var( ˆ µ ) 3. s

13 Lez. 4 0/03/05 etd Statstc per l aret - F. Bartlucc Uverstà d Urb Per la seuete pplaze (apprssmatvamete casuale) c la stessa meda e varaza Y s a Var ( ˆ µ ) 5, 06 e qud, s a crca la stessa effceza del s campamet casuale semplce dat ce Var ( ˆ) µ 4, 5. Per la seuete pplaze (perdca) c la stessa meda e varaza Y s a Var ( ˆ µ ) 0 da cu: s Var ( ˆ) µ Var( ˆ µ ) 5,75 Qud quest cas l campamet sstematc è mlt me effcete d quell casuale semplce. s utà 3