Coniche R. Notari 15 Aprile

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1 Coniche R. Notari 15 Aprile

2 1. Notazioni. Proposizione 1 Ogni conica si rappresenta tramita un equazione algebrica di secondo grado della forma a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. Detta B la matrice quadrata di ordine 3 le cui entrate sono i coefficienti a ij, e detto Y = t (x, y, 1), l equazione può essere scritta come t Y BY = 0. Detta invece A = ( a11 a 12 a 12 a 22 ), ed X = t (x, y) l equazione può essere scritta come t XAX + 2(a 13, a 23 )X + a 33 = 0. 2

3 2. Cambi di coordinate. Teorema 2 Sia γ un luogo descritto da un equazione di secondo grado della forma t XAX + 2(a 13, a 23 )X + a 33 = 0, e sia X = P X + ( a b un cambio di coordinate, con P matrice ortogonale speciale. Allora la nuova equazione di γ è della forma ) t X A X + 2(a 13, a 23 )X + a 33 = 0, dove A = t P AP, e det(b ) = det(b). Quindi, det(b) è invariante per cambi di coordinate, come anche il polinomio caratteristico di A (e quindi gli autovalori, la traccia ed il determinante di A). 3

4 3. Coniche e coppie di rette. Remark 3 Per uniformare la nomenclatura, le coniche vengono chiamate coniche non degeneri, mentre le coppie di rette vengono chiamate coniche degeneri. Teorema 4 Sia γ un luogo piano rappresentato da un equazione di secondo grado. γ è una conica non degenere se B ha rango 3. γ è una retta (contata doppia) se B ha rango 1. Infine, γ è una coppia di rette distinte (eventualmente complesse coniugate) se B ha rango 2. 4

5 4. Classificazione delle coniche. Teorema 5 Sia γ una conica non degenere definita da un equazione della forma t XAX + 2(a 13, a 23 )X + a 33 = 0. γ è un ellisse reale se A è definita in segno e tr(a) det(a) < 0, è un ellisse immaginaria se A è definita in segno e tr(a) det(a) > 0, è una parabola se A è semidefinita in segno, è un iperbole se A non è definita in segno. Remark 6 Se P è una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A allora X = P X definisce un cambio di coordinate che trasforma l equazione di γ nella forma Ax 2 + By 2 + 2Cx + 2Dy + E = 0. Quindi, a meno di una traslazione, abbiamo riportato γ in forma canonica. 5

6 5. Coniche a centro. Remark 7 Le coniche non degeneri aventi un centro di simmetria sono le ellissi e le iperboli. Teorema 8 Sia γ un ellisse o un iperbole descritta da un equazione della forma t XAX + 2(a 13, a 23 )X + a 33 = 0. Il centro di simmetria di γ è l unica soluzione del sistema lineare AX = t (a 13, a 23 ). Proposizione 9 Sia γ una conica a centro avente C(x C, y C ) come centro di simmetria, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora X = P X + ( xc y C è un cambio di coordinate che riporta γ in forma canonica. ) 6

7 6. Parabola. Proposizione 10 Sia γ una parabola avente V (x V, y V ) come vertice, e sia P una matrice ortogonale speciale che diagonalizza A. Allora X = P X + ( xv y V è un cambio di coordinate che riporta γ in forma canonica. ) Remark 11 Procedura per il calcolo del vertice della parabola. Sia λ l autovalore non nullo di A, e sia V (λ) il suo autospazio. Siano B 1, B 2 i punti d intersezione di V (λ) con γ, e sia M il loro punto medio. Attenzione: anche se B 1 e B 2 sono complessi coniugati, M è un punto reale. Sia r la retta parallela all autospazio V (0) passante per M. Il vertice della parabola è l unico punto d intersezione tra r e γ. 7

8 7. Tangenti ad una conica. Teorema 12 Sia γ una conica non degenere definita dall equazione t Y BY = 0 con B matrice simmetrica, e sia A(x A, y A ) un punto del piano. Sia Y A = t (x A, y A, 1), e supponiamo che t Y A B (0, 0, a). Sia p A la retta definita da p A : t Y A BY = 0. Se A γ allora p A è la retta tangente a γ in A. Se A / γ, allora p A interseca γ nei punti in cui le rette tangenti a γ per A toccano γ. Remark 13 La retta p A è chiamata retta polare di polo A rispetto a γ. La costruzione della retta polare permette lo studio di molte proprietà delle coniche. Teorema 14 (di reciprocità ) Sia γ una conica. Se B p A allora A p B. 8

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