ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22/11/2013. = a 24 24! log(1 + x) = ( 1) = (24!) 1 24 = 23!. e x2 dx. x 2n

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1 ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 22//23 Esercizio Calcolare la 2esima derivata del logaritmo el puto. Risposta Si tratta di calcolare d 2 dx 2 log( + x) x= = a 2 2! dove a 2 è il termie di idice = 2 ello sviluppo di Maclauri log( + x) = ( ) + x di log( + x), per cui d 2 dx 2 log(y) y= = (2!) 2 = 23!. Esercizio 2 Esprimere sotto forma di serie l itegrale e x2 dx. Risposta Dallo sviluppo i serie e x2 = = valido i tutto R, i particolare duque co covergeza uiforme ell itervallo [, ], ricaviamo la richiesta espressioe dell itegrale: x 2!, = x 2! = =! x 2 dx = =!(2 + ). Questa idetità o cosete di ricavare esattamete il valore umerico dell itegrale, ma pur tuttavia di approssimarlo coi valori delle ridotte della serie. Cocludiamo osservado che la fuzioe = x 2+!(2 + ) forisce sotto forma di serie di poteze ua primitiva della celeberrima fuzioe e x2. Esercizio 3 Studiare la covergeza della serie di fuzioi = ( ) ( + 2) 2 + log (x).

2 Risposta La serie ha seso per x > ; ioltre, poedo y = log(x), ci ricoduciamo allo studio della serie di poteze ( ) ( + 2) 2 y. + Ora, siccome lim = a = lim =, il raggio di covergeza della serie è uguale ad. Quidi la serie coverge assolutamete ell itervallo ], [ e uiformemete egli itervalli chiusi di ], [. Vediamo cosa succede agli estremi. Per y = otteiamo la serie a termii positivi = , che si comporta come la serie armoica = ed è quidi divergete. Per y = abbiamo la serie a segi alteri ( ) ( + 2) 2, + = che coverge grazie al criterio di Leibiz. Torado alla serie di fuzioi iiziale, abbiamo che essa coverge per < log(x), ovvero ell itervallo (e, e], e totalmete, duque uiformemete, i tutti gli itervalli chiusi coteuti i (e, e). Esercizio Dopo aver studiato la covergeza della serie di fuzioi f(x) = e x, = si calcoli 2 f(x) dx. Risposta Possiamo studiare questa serie poedo y = e x e cosiderado la serie di poteze y. = Questa ha raggio di covergeza uguale ad, per cui fissato u qualsiasi itervallo compatto [a, b] (, ), abbiamo covergeza totale i tutti gli isiemi delle x R tali che e x [a, b]. I particolare avremo covergeza totale i tutti gli isiemi del tipo [ɛ, + ) co ɛ >. Lo studio precedete ci assicura che i particolare la serie coverge uiformemete ell itervallo [, 2], per cui 2 2 e x = e x = e e 2 = = = e e 2 = e e 2. 2

3 Esercizio 5 sua somma. Studiare la covergeza assoluta della serie di fuzioi x ( x) 2 e calcolare la Risposta Co la sostituzioe y = x/( x) 2 la serie di parteza diveta la serie geometrica y, che coverge assolutamete per y < alla fuzioe /( y) metre o coverge per y. Duque la serie di parteza coverge assolutamete per x < ( x) 2, ovvero per x < (3 5)/2 e per x > (3 + 5)/2, alla fuzioe x 2x+x 2 = metre o coverge al di fuori delle due semirette. x 3x + x 2, Esercizio 6 Data la serie di fuzioi 3 si x : (i) determiare l isieme E dei valori di x per i quali la serie coverge assolutamete; (ii) determiare il sottoisieme di E i cui la serie coverge totalmete; (iii) calcolare la derivata della serie ei puti i cui questa è derivabile; (iv) mostrare che la serie o coverge totalmete i tutto E. Risposta (i) La serie coverge assolutamete per ogi x R grazie al criterio del cofroto: ifatti risulta si x x e 3 x è assolutamete covergete (ii) I ogi itervallo x r < la serie coverge totalmete, di uovo grazie al criterio del cofroto: si x x r. (iii) I tutto R la serie 3 cos x delle derivate coverge totalmete, e di cosegueza ha per somma la derivata della somma della serie. (iv) Per ogi il massimo su R di 3 si x si raggiuge ei puti x = kπ/2, k N, e vale 3. Esercizio 7 Studiare la covergeza assoluta e quella totale della serie di fuzioi e x. Risposta Grazie al cofroto asitotico co 2, ad esempio, si ha covergeza assoluta per x < e totale i ogi semiretta ], r] co r < ; o c è covergeza totale i ], [ perché ogi addedo i tale semiretta ha estremo superiore uguale ad, e c è divergeza i tutta la semiretta [, [. Esercizio 8 Studiare la covergeza assoluta e quella totale della serie di fuzioi x. Risposta Covergeza iazitutto per x = ; poi, siccome x = e log x per x >, valgoo le stesse cosiderazioi dell esercizio precedete, trae per x che qui è sostituito da log x: duque covergeza assoluta i [, [ e totale i [, r] per < r <. Nel testo adottato per il corso è proposto, all Esercizio (b) del Capitolo II, lo studio della serie 2 si x 3, ma poi lo svolgimeto a p.58 è sbagliato. 3

4 Esercizio 9 Data la serie + x 2 2 : (i) determiare l isieme E dei valori di x per i quali la serie coverge; (ii) determiare il sottoisieme di E i cui la serie coverge totalmete; (iii) determiare il sottoisieme di E i cui la serie risulta derivabile. Risposta (i) Per ogi x R la serie data è a termii positivi. Applicado il criterio della radice lim x = x 2 vediamo che la serie coverge per ogi x tco x 2 <, ovvero 2 < x < 2, e o coverge quado 2 >. Rimagoo da cosiderare i casi x = ± 2. La serie diveta allora e quidi coverge. Coclusioe: l isieme E di covergeza è [ 2, 2 ]. (ii) L isieme di covergeza totale coicide co tutto E i quato sup x 2 2 = max x 2 x [ 2, 2 ] 2 = 2 e, come abbiamo osservato, x [ 2, 2 ] < +. (iii) Per studiare la derivabilità della serie i E applichiamo il teorema di derivazioe sotto il sego di serie. Studiamo quidi la serie otteuta derivado termie a termie quella data, ovvero ( ) + 2x 2 2. Questa coverge totalmete e quidi uiformemete i ogi isieme [ 2 + δ, 2 δ] co δ (, 2 ). Ifatti si ha max 2x 2 ( 2 = 2 2 δ) 2 ( 2δ)2 2 = 2 e la serie x [ 2 +δ, 2 δ] + ( 2δ) 2 coverge (si usi ad esempio il criterio della radice). Dal teorema di derivazioe sotto il sego di serie deduciamo che la serie di parteza è derivabile i ( 2, 2 ) e che la sua derivata coicide proprio co la serie delle derivate (*). Osserviamo ifie che la (*) o coverge ei puti x = ± 2. 2 Esercizio (i) Determiare l isieme E dei valori di x per i quali la serie log x coverge e il sottoisieme di E i cui la covergeza è totale.

5 (ii) Servedosi di (i), determiare l isieme E dei valori di x per i quali la serie x log coverge e il sottoisieme di E i cui la covergeza è totale. Risposta (i) L isieme E è la semiretta dove log x <, cioè E =], /e[. La domada del testo sulla covergeza totale è stata formulata male: la formulazioe corretta è co i sottoisiemi al posto di il sottoisieme, e la risposta è: covergeza totale i ogi semiretta x α oppure (equivaletemete!) i ogi semiretta x < α co α < /e, perché log x sup x α log x = log α. (Chi ha scritto che si ha covergeza totale i ogi compatto coteuto i E è adata/o più sul sicuro, ma ha perso qualcosa...) (ii) Per x > stesse risposte che per il puto (i), dal mometo che x log = e log x log = log x per x > ; i più, covergeza ache per x =. Purtroppo i molti compiti si dà per scotato che le fuzioi x log siao defiite per x <, dimeticado che x r per u geerico r o aturale ha seso solo se x (ed azi solo per x > quado r, che però o è il caso i questioe). Il fatto è che tate/i hao pesato alla serie geometrica, e i certi casi l hao pure scritto. 5