Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

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1 Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 8/9 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli foglio di esercizi - dicembre 8 Integrali impropri, equazioni differenziali Esercizio - Per ognuno dei seguenti integrali impropri determinate qual è l insieme dei valori del parametro α > per cui esso è convergente: x + log x x + α + x α dx + e x e αx + x logx + x α dx sin x x α x + dx Poiché il denominatore non si annulla su [,+ [, studiamo la convergenza dell integrale all infinito Si ha che x + log x x e x + α + x α + e x x α per x Dunque, per il teorema del confronto asintotico, si tratta di valutare la convergenza di dx che converge se α > cioè se α > xα Anche in questo caso il denominatore della funzione integranda non è mai nullo sull intervallo [, + [, dunque studiamo la convergenza dell integrale all infinito Si ha che e αx +x x e per x e logx+x α > x α per x > Pertanto, per il criterio del confronto, si tratta x di valutare la convergenza dell integrale x α dx che converge se α > cioè se α > Notiamo che sull intervallo [, ] il denominatore della funzione integranda si annulla in pertanto studiamo la convergenza dell integrale vicino a zero Si ha che sin x 9x e x α x + x α per x Pertanto, per il criterio del confronto asintotico, si tratta 9 di valutare la convergenza dell integrale dx che converge se α < cioè se α < xα Esercizio - Sia f x : [,+ R una funzione continua per cui f x dx è convergente L affermazione allora ne consegue che lim x + f x = è vera per ogni funzione f che soddisfi alle suddette condizioni? Oppure esiste una funzione f che non converge a per x + e che soddisfa alle suddette condizioni? Supponiamo che f : [,+ R sia come da ipotesi continua e tale che f x dx sia convergente Se la funzione f fosse tale che il suo limite esiste ed è diverso da zero allora si vede che l integrale non può convergere Infatti supponiamo che lim f x = c e, per fissare le idee, supponiamo che sia c > : discorso x + del tutto simile si può fare nel caso sia c <, cioè per definizione ε > M R tale che x > M f x c < ε A questo punto è sufficiente prendere ε = c e si ha f x > c > per ogni x > M Dunque f xdx = M M c f xdx + f xdx f xdx + dx = + M M

2 Siamo quindi giunti ad un assurdo poiché avevamo supposto Dunque, se la funzione f ammette limite per x + allora la condizione affinché una funzione continua f : [,+ abbia integrale Resta da affrontare il caso in cui il lim x + ipotesi ma il cui limite non esiste si vede rappresentato nella figura f x dx convergente f x dx convergente lim f xdx = è necessaria x + f x non esiste Un esempio di funzione che soddisfa le nostre In conclusione: se concludere che sia uguale a f xdx è convergente, non è detto che lim f x = solo se tale limite esiste possiamo x + [In altre parole, a pensarci bene l esercizio chiedeva se è possibile che un area sia piccola senza rimpicciolire l altezza: certo, basta rimpicciolire la base! Per le serie il discorso è diverso, perché la somma di una serie k= a k per fissare le idee, con a k può essere vista come l area al di sotto del grafico di una funzione costante a tratti, che fra un intero k e il successivo intero k + vale costantemente a k In questo caso, non potendo variare la base, per far piccola l area cioè la somma della serie bisogna forzatamente rimpicciolire l altezza] Esercizio - Per ognuna delle seguenti serie, determinate se essa è convergente: Ricordiamo il seguente k logk Teorema del criterio dell integrale per le serie klogk klogkloglogk Sia f : [, + [ R una funzione non negativa e monotona decrescente Allora la serie + f k e l in- k= tegrale improprio positivamente entrambi f t dt hanno lo stesso comportamento, cioè o convergono entrambi o divergono La funzione f x = + xlogx soddisfa le ipotesi del teorema nell intervallo [,+ [, pertanto la serie k logk converge se e solo se converge l integrale dt Tuttavia t logt b lim b + t logt dt = lim b + loglogt = + b

3 e quindi la serie diverge + La funzione f x = xlogx soddisfa le ipotesi del teorema nell intervallo [,+ [, pertanto la serie klogk converge se e solo se converge l integrale dt Osserviamo che tlogt dunque la serie converge La funzione f x = + b lim b + xlogxloglogx tlogt dt = lim b + logt b = soddisfa le ipotesi del teorema nell intervallo [,+ [, pertanto la serie + klogkloglogk converge se e solo se converge l integrale tlogtloglogt dt b lim b + tlogtloglogt dt = lim logloglogt b = + b + e quindi la serie diverge Notiamo che Esercizio - Per ognuno dei seguenti problemi di Cauchy determinate la sua soluzione: y + y + y = sinx y = y = y = + x + y y = / y + x y = x y = Determiniamo la soluzione generale dell omogenea y + y + y = : il polinomio associato è r + r + e ha radici r = ± = ± i Dunque la soluzione y x dell omogenea è: y x = c e x cosx + c e x sinx Per la soluzione particolare della non omogenea seguiamo il metodo di somiglianza e dunque poniamo ŷx = Acosx + Bsinx Derivando otteniamo: ŷ + ŷ + ŷ = Acosx Bsinx + Asinx + Bcosx + Acosx + Bsinx = B + Acosx + B Asinx e imponiamo B + Acosx + B Asinx = sinx, dunque La soluzione generale dell equazione non omogenea è dunque B + A = B A = yx = c e x cosx + c e x sinx 5 cosx + 5 sinx A = 5 B = 5 Imponendo i dati di Cauchy, siccome y x = c c sinx + cosxe x + 5 sinx + 5 cosx, si ha = y = c 5 = y = c c + 5 c = 5 c = 5 La soluzione del problema di Cauchy è quindi yx = 5 cosx + 5 sinx e x 5 cosx + 5 sinx

4 Si tratta di un equazione del primo ordine non-lineare a variabili separabili Dunque si ha: dx = + x + y Integrando a sinistra e a destra: + y = arctany = + c + y + y = + x dx + x dx = x + x + c arctany Si ha pertanto: = x + x + c cioè arctany = 9x + x + c Imponendo il dato di Cauchy y = : π = arctan = c c = π Per cui 8 arctany = 9x + x + 8 π Applicando la funzione tangente alla, si arriva alla forma esplicita yx = tan 9x + x + 8 π Si tratta di un equazione lineare, non-omogenea del primo ordine pertanto la soluzione è data da yx = e x x t dt + e s t dt s ds = e t x x + e t s s ds [ ] [ ] = e x e + e e s x = e x e + e e x e = e x e + e e x = 5 Esercizio - Per ognuno dei seguenti problemi di Cauchy determinate la sua soluzione: y = y + x y = y y + 5y = 5x y = y = y = e y + x y = Notiamo che si tratta di un equazione del primo ordine non-lineare a variabili separabili dx = y + x y = + x dx Integrando arcsiny = = + x dx = x + x y + c Imponendo la condizione di Cauchy si ha che: = arcsin = + + c = c, per cui arcsiny = x + x

5 Siccome i valori della funzione arcsin sono fra π e π, bisognerà avere π x + x π, e dunque la soluzione non è definita per tutti gli x ],+ [, ma solo per gli x che soddisfano π x + x π Essendo la funzione x + x ˆx + ˆx = π esplicita strettamente crescente, ed essendo lim x + x + x = +, esiste un unico ˆx tale che, e la soluzione è definita per x [ ˆx, ˆx] Applicando la funzione seno alla, si arriva alla forma yx = sin x + x, per x [ ˆx, ˆx] Innanzitutto determiniamo la soluzione generale dell omogenea y y + 5y = : il polinomio associato è r r + 5 e le radici sono r = ± 5 = ± i Dunque la soluzione generale dell omogenea è: y x = c e x cosx + c e x sinx Determiniamo ora la soluzione particolare: essendo il secondo membro un polinomio di primo grado, proviamo con ŷx = Ax + B Dunque si ha ŷ x = A e ŷ x = Pertanto dobbiamo risolvere A = A = A + 5Ax + B = 5x da cui cioè 5B A = B = 5 Abbiamo ottenuto in questo modo la soluzione completa: Imponiamo ora i dati di Cauchy: yx = c e x cosx + c e x sinx + x + 5 y = c + 5 y x = c e x cosx c e x sinx + c e x sinx + c e x cosx + y = c + c + Dunque c + 5 = c + c + = cioè c = 5 c = 5 In conclusione la soluzione del problema di Cauchy è: yx = 5 cosx + 5 sinx e x + x + 5 Notiamo che si tratta di un equazione del primo ordine non-lineare a variabili separabili Dunque si ha: Integrando a sinistra e a destra: e y + = x dx = x x + c dx = e y + x e y + e y = log + ey + c e y = x dx + 5

6 Si ha log + ey = x x + c log + e y = x x + c e y = e x x e c yx = logex x e c Imponendo il dato di Cauchy: Quindi la soluzione del problema di Cauchy è: = y = logec e c = e + yx = logex x e + 6 Esercizio - Per ognuno dei seguenti problemi di Cauchy determinate la sua soluzione: y y = x + y = y = y = y = y y + x y = y + sinx cosx + y = Notiamo che si tratta di un equazione lineare del secondo ordine non-omogenea e a coefficienti costanti Per risolvere l omogenea consideriamo il polinomio associato: λ λ che ha radici λ = e λ = Dunque la soluzione dell omogenea è y x = c + c e x c R, c R Il termine noto è un polinomio di primo grado per cui il metodo di somiglianza suggerisce di cercare una soluzione particolare dell equazione non-omogenea della forma y x = Ax + B Tuttavia abbiamo appena visto in che ogni costante è soluzione dell equazione omogenea, per cui si deve cercare una soluzione particolare della forma y x = xax + B = Ax + Bx Dunque si ha y x = Ax + B, y x = A Pertanto si impone A Ax + B = x + Abbiamo quindi ottenuto la soluzione completa Imponendo il dato di Cauchy si ha: y = c + c da cui 6A = A B = yx = c + c e x 6 x 7 9 x cioè A = 6 B = 7 9 y x = c e x x 7 9 y = c 7 9 Dunque c + c = c 7 9 = cioè c = 6 7 c = 6 7 In conclusione la soluzione del problema di Cauchy è: yx = ex 6 x 7 9 x 6

7 Si tratta di un equazione non lineare del primo ordine a variabili separabili Dunque si ha Integrando a sinistra e a destra: y + y = y y + c xdx = x + c dx = y y + x y + y = xdx Dunque y y = x + c Imponendo il dato di Cauchy y = si ha: = + c c = Pertanto si ha y 8 x y = Da cui si ottiene y y x = x + x + 6 Si scarta la y perchè non verifica il dato di Cauchy y = Dunque la soluzione del problema di Cauchy è: yx = x + x + 6 y x = x x + 6 Si tratta di un equazione non lineare del primo ordine a variabili separabili, si ha pertanto dx Integrando a destra e a sinistra si ottiene sinx = y + cosx + sinx = y + cosx + dx y + = logcosx + + c Imponiamo ora il dato di Cauchy y = e otteniamo = log + c da cui c = + log Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è: y = logcosx + + log 7 Esercizio - Per ognuno dei seguenti problemi di Cauchy determinate la sua soluzione: y = x + x e y + 6e y y = y 6y + 9y = e x y = y = y = x + x y x y = / Si tratta di un equazione non lineare del primo ordine a variabili separabili Dunque si ha Integrando si ottiene dx = x + x e y + 6e y e y + 6e y = x + xdx e y + 6e y = e y + 6e y = x + xdx = x + x + c 7

8 Imponendo il dato di Cauchy si ha che + 6 = c cioè c = 7 Pertanto e y + 6e y x x 7 = La forma dell equazione suggerisce di porre e y = t e dunque risolvere, per ogni x fissato la seguente equazione: da cui si ottengono due soluzioni per e y = t t = + t + 6t x x 7 = 9 + x + x + 7 t = 9 + x + x + 7 Dunque e y = x + x + 7 poiché la soluzione t non va bene dal momento che t = e y > In conclusione la soluzione del problema di Cauchy è: yx = log x + x Determiniamo la soluzione generale dell equazione omogenea y 6y + 9y = Il polinomio associato è r 6r + 9 = r e ha radice doppia r = Dunque la soluzione y x dell equazione omogenea è: y x = c e x + c xe x = c + c xe x Per trovare una soluzione particolare dell equazione non omogenea seguiamo il metodo di somiglianza Quindi, tenendo conto del fatto che e x non è soluzione dell omogenea, possiamo cercare una soluzione del tipo ŷx = Ae x Derivando otteniamo e bisogna imporre Ae x = e x dunque A = ŷ 6ŷ + 9ŷ = Ae x 6Ae x + 9Ae x = Ae x La soluzione generale dell equazione non omogenea è dunque yx = c + c xe x + ex con c e c costanti arbitrarie Imponendo i dati di Cauchy, siccome y x = c e x + c + c xe x + ex, si ha = y = c + = y = c + c + c = = c 9 + c = c = 6 La soluzione del problema di Cauchy è quindi yx = + 6x e x + ex Osserviamo che si tratta di un equazione del primo ordine lineare e non omogenea La soluzione è data da 8

9 x yx = e t +t dt + x e s t +t dt sds r = + t, dr = 6t dt t dt = r +t dr = logr + c r = + s, dr = 6sds + s sds = 6 r dr = r + c = e log+t x = e log+x + x + x e log+t s sds e log+s sds = + x x + s sds = + x + s = + x x + x + = + x 8 Esercizio - Per ognuno dei seguenti problemi di Cauchy determinate la sua soluzione: y y + y = cosx y = y = y = x + y + e x y = y + y y = e x y = y = Determiniamo la soluzione generale dell equazione omogenea y y + y = Il polinomio associato è r r + = r e ha radice doppia r = Dunque la soluzione y x dell omogenea è: y x = c e x + c xe x = c + c xe x Per la soluzione particolare della non omogenea seguiamo il metodo di somiglianza e dunque poniamo ŷx = A cosx + B sinx Derivando otteniamo: ŷ ŷ + ŷ = Acosx Bsinx Asinx + Bcosx + Acosx + Bsinx = 8Bcosx + 8Asinx e imponiamo 8Bcosx + 8Asinx = cosx dunque A = e B = La soluzione generale dell equazione non omogenea è dunque yx = c + c xe x + sinx Imponendo i dati di Cauchy, siccome y x = c e x + c + c xe x + cosx, si ha = y = c c = c = = y = c + c + = c + + c = La soluzione del problema di Cauchy è quindi yx = xe x + sinx 9

10 Notiamo che si tratta di un equazione del primo ordine, lineare, non omogenea La formula risolutiva è: t yt = + e s w+ dw e s ds e t w+ dw t = + e logw+ s e s ds e logw+ t t log s+ = + e e s log t+ ds e = + = t + t s + t + e s ds s + e s ds t + In particolare integrando per parti si ha t s + e s ds = e s s + t + t e s ds = e t t + + e s t = te t e t + e t + Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è [ yt = = te t 5 e t + 5 ] + te t 5 e t + t + t + = [ te t 5 e t + ] t + Determiniamo la soluzione generale dell equazione omogenea y + y y = Il polinomio associato è r + r e le radici sono r = ± + 8 =, Dunque la soluzione y x dell omogenea è y x = c e x + c e x Per la soluzione particolare della non omogenea seguiamo il metodo di somiglianza, tenendo però conto che e x è una soluzione dell omogenea, dunque cerchiamo una soluzione del tipo ŷx = Axe x Derivando si ha ŷ x = Ae x + Axe x e ŷ x = Ae x + Axe x dunque ŷ + ŷ ŷ = Ae x + Axe x + Ae x + Axe x Axe x = Ae x e bisogna imporre Ae x = e x dunque si ottiene A = La soluzione generale dell equazione non omogenea è dunque yx = c e x + c e x xex Imponendo i dati di Cauchy, siccome y x = c e x c e x ex xex, si ha = y = c + c = y = c c c = c c = c = 9 c = 9 La soluzione del problema di Cauchy è quindi yx = 9 ex 9 e x xex