Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino. Luca Carlone. ControlliAutomaticiI LEZIONE III

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1 Ingegnera Elettrca Poltecnco d Torno Luca Carlone ControllAutomatcI LEZIONE III

2 Sommaro LEZIONE III Trasformata d Laplace Propretà e trasformate notevol Funzon d trasfermento Scomposzone n fratt semplc Calcolo della rsposta forzata Calcolo della rsposta lbera Calcolo della rsposta d un sstema LTI Esemp ed esercz numerc

3 Trasformata d Laplace Assoca la funzone d partenza d varable reale (soltamente l tempo) ad una funzone d varable complessa È uno strumento per la rsoluzone e lo studo d equazon dfferenzal lnear Esempo: ɺx ( t) = Ax( t) + Bu( t) Permette d trasformare operazon d dervazone e ntegrazone n operazon algebrche semplfcando la trattazone matematca

4 Trasformata d Laplace DEFINIZIONE: Trasformata d Laplace Sa f una funzone della varable reale t. La trasformata d Laplace d f è una funzone complessa d varable complessa s=α+jω, defnta come: [ ] nell potes che tale ntegrale converga per qualche valore d s. NOTAZIONE: soltamente s ndca con la lettera mnuscola la funzone d varable reale e con la mauscola corrspondente la funzone nel domno d Laplace + st F( s) f ( t) f ( t) e dt = L = 0

5 Trasformata d Laplace DEFINIZIONE: Anttrasformata d Laplace La funzone f(t) d orgne s può ottenere dalla funzone F(s) attraverso l anttrasformata d Laplace, defnta come: α+ j st f ( t) = L - [ F( s) ] = F ( s ) e ds π 2 j α j OSSERVAZIONE: la trasformata d Laplace è una trasformazone bunvoca, ovvero ad ogn funzone d varable reale corrsponde una e una sola trasformata d Laplace

6 Trasformata d Laplace Motvazon Per rsolvere le equazon dfferenzal che descrvono un sstema lneare tempo-nvarante:. S applca la trasformata d Laplace trasformando l problema dfferenzale n problema algebrco 2. S rcava una soluzone nel domno d Laplace 3. Per ottenere la soluzone s applca la trasformazone nversa, nota come anttrasformata d Laplace

7 Propretà e trasformate notevol PROPRIETA : Lneartà [ α f ( t) + α f ( t) ] = α [ f ( t) ] + α [ f ( t) ] L L L Conugazone F( s*) = F *( s) Traslazone n t Traslazone n s Dervazone n t L L L 0 [ f ( t t )] = F( s) e st 0 s0t = e f ( t) F( s s0 ) fɺ ( t) = sf( s) f (0)

8 Propretà e trasformate notevol PROPRIETA : Dervazone n s Integrazone n t Convoluzone L L L [ t f ( t) ] t df( s) = ds f ( ξ) dξ = F( s) s 0 s [ ] f ( t) f ( t) = F ( s) F ( s) 2 2 Teorema valore nzale f (0) = lm sf( s) s + Teorema valore fnale lm f ( t) = lm sf( s) t + s 0

9 f ( t ) F( s) δ( t) g( t) m t g ( t ) ( m )! sn( ωt) g( t) cos( ωt) g( t) s s m s ω + ω 2 2 s s + ω 2 2 e e e αt t e αt α t t e αt f ( t) m t g( t) ( m )! αt sn( ωt) g( t) cos( ωt) g( t) sn( ωt) g( t) F( s) s α m ( ) ω ( s α ) + ω 2 2 s α ( s α ) + ω ω( s α) (( s α ) + ω ) ( s α) ω cos( ωt) g( t) (( s α ) + ω ) NOTA: g(t) è l gradno untaro e serve a lmtare lo studo a t 0

10 Funzon d trasfermento RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO ɺx ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) L Y s C si A x C si A B D U s ( ) ( ) = (0) + [ ( ) + ] ( ) Rsposta lbera Rsposta forzata

11 Funzon d trasfermento RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO Y ( s) b s + b s b s + b = [ C( si A) B + D] = n m U ( s) s a s... a s a m m m m 0 n n + n FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (fdt) W(s)

12 Funzon d trasfermento FORME DI RAPPRESENTAZIONE Forma polnomale: m bm s + b s b s + b W ( s) = n m n s + a s + + a s + a m m 0 n n... 0 Forma guadagno-zer-pol: W ( s) = k m = n = ( s z ) ( s p )

13 Funzon d trasfermento FORME DI RAPPRESENTAZIONE Forma coeffcent e pol: W ( s) = n n c j ( s p ) = j = j Forma costant d tempo: W ( s) = k s h ( τ' s) 2 ζ ' 2 ( + s + s ) 2 ω' ω' 2ζ 2 ( τ s) ( + s + s ) 2 ω ω

14 Scomposzone n fratt semplc Per ottenere la rsposta nel tempo, anttrasformando la corrspondente trasformata d Laplace, è convenente utlzzare la rappresentazone coeffcent e pol Negl esercz numerc s parte soltamente da una rappresentazone polnomale In partcolare, è possble esprmere la F(s) come una combnazone lneare d termn, dett fratt semplc: ( s p) j

15 Scomposzone n fratt semplc POLI REALI DI MOLTEPLICITA UNITARIA: F( s) = m b s + b s b s + b m m m 0 n n... 0 n s + a s + + a s + a Calcolo de resdu F( s) = n = s r p. r = [( s p ) F( s)] = s= p 2. Prncpo d denttà de polnom n = p t f ( t) re g( t) = OSSERVAZIONE: resdu assocat a pol real sono real

16 Scomposzone n fratt semplc POLI REALI MULTIPLI F( s) = m m n n bm s + bm s b s + b0, ( ) = r j F s n n s + an s as + a 0 = j = ( s p ) n n = j t p t ( ) = f t r, j e g ( t ) ( j )! = j= Calcolo de resdu. n j d ( n ) r, j = ( s p ) ( ) F s n j ( n j)! ds s= p 2. Prncpo d denttà de polnom j

17 Scomposzone n fratt semplc POLI COMPLESSI CONIUGATI Generano una rsposta oscllatora l cu nvluppo è determnato dalla parte reale de pol OSSERVAZIONE: resdu assocat a pol compless conugat sono a loro volta compless conugat F( s) ms + n r r * = = + 2 s + as + b s + p jq s + p + jq S possono calcolare utlzzando la procedura vsta per I pol real d molteplctà untara oppure utlzzando SCILAB

18 Scomposzone n fratt semplc POLI COMPLESSI CONIUGATI La rsposta nel tempo corrspondente ad una coppa d pol compless conugat è data dall espressone: F( s) = r r * s + p jq + s + p + jq ( ) f ( t) = r e pt cos qt + r g( t) p = parte reale del polo q = parte mmagnara del polo r = modulo del resduo assocato al polo r = fase del resduo assocaton al polo

19 Calcolo della rsposta forzata PROBLEMA: dato l sstema ɺx ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) con A, B, C e D note e tempo-nvarant, DETERMINARE L espressone analtca della rsposta del sstema y(t) a fronte d un ngresso u(t) polnomale OSSERVAZIONE: la rsposta per ngress snusodal sarà trattata nella prossma lezone (LEZIONE IV)

20 Calcolo della rsposta forzata SOLUZIONE:. Trasformare la rappresentazone ngresso-stato-uscta n funzone d trasfermento 2. Applcare la trasformata d Laplace alla funzone u(t) 3. Ottenere l uscta del sstema nel domno d Laplace 4. Scomporre n fratt semplc e anttrasformare, ottenendo la rsposta forzata y f (t)

21 Calcolo della rsposta forzata. Trasformare la rappresentazone ngresso-stato-uscta n funzone d trasfermento ɺx ( t) = Ax( t) + Bu( t) y( t) = Cx( t) + Du( t) b s + b s b s + b W ( s) = [ C( si A) B + D] = n m m m m m 0 n n s + an s as + a0 OSSERVAZIONE: In sede d esame questo passaggo s può svolgere utlzzando l calcolatore (ved [SCILAB])

22 Calcolo della rsposta forzata 2. Applcare la trasformata d Laplace alla funzone u(t) m t u( t) = g( t) t 0 ( m )! L U ( s) = s m OSSERVAZIONE: Questo passaggo s può svolgere utlzzando le tavole con le trasformate e anttrasformate d Laplace

23 Calcolo della rsposta forzata 3. Ottenere l uscta del sstema nel domno d Laplace W ( s ) U ( s) Ottenuta al passo Ottenuta al passo 2 Y ( s) = W ( s) U ( s) f

24 Calcolo della rsposta forzata 4. Scomporre n fratt semplc e anttrasformare, ottenendo la rsposta forzata y(t) Forma polnomale Forma coeffcent e pol (fratt semplc) y f ( t) L - Yf ( s) OSSERVAZIONE: Questo passaggo s può svolgere utlzzando l calcolatore (ved [SCILAB]) o seguendo le ndcazon contenute nelle slde precedent (SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI)

25 Calcolo della rsposta lbera La rsposta lbera s ottene dal prmo addendo della relazone: Y s C si A x C si A B D U s ( ) ( ) = (0) + [ ( ) + ] ( ) Rsposta lbera Rsposta forzata C si A x ( ) (0) Dopo aver ottenuto è necessaro anttrasformare per ottenere la rsposta lbera nel tempo che rappresenta l evoluzone naturale d un sstema senza ngress a partre dalla condzone nzale x(0)

26 Calcolo della rsposta lbera SOLUZIONE: Y s C si A x ( ) = ( ) (0). Calcolare a partre da A, l C e le condzon nzal x(0) 2. Scomporre n fratt semplc e anttrasformare, ottenendo la rsposta lbera y l (t)

27 Calcolo della rsposta d un sstema LTI Il calcolo dell espressone analtca della rsposta d un sstema lneare tempo-nvarante (LTI) a fronte d un ngresso u(t) a partre dalle condzon nzal x(0) s ottene, per lneartà, sommando l contrbuto della rsposta lbera a quello dovuto alla rsposta forzata SOLUZIONE:. Calcolare la rsposta forzata yf(t) all ngresso u(t) trascurando l evoluzone lbera 2. Calcolare la rsposta lbera yl(t) trascurando l evoluzone forzata 3. La rsposta del sstema s ottene sommando I due contrbut: y( t) = y ( t) + y ( t) f l

28 Esemp ed esercz numerc