Introduzione alla Teoria dei giochi e ai modelli di oligopolio. Pietro Garibaldi Marta Bruschi

Transcript

1 Introduzione alla Teoria dei giochi e ai modelli di oligopolio Pietro Garibaldi Marta Bruschi 28 giugno 2014

2 Indice 1 Gioco in forma strategica Definizioni Gioco con strategie finite Gioco con strategie infinite Strategie dominanti forti Dilemma sociale Strategie dominanti deboli Equilibrio di Nash Equilibrio di Nash con strategie finite Equilibrio di Nash con strategie infinite Oligopolio e mercati concentrati Modello di Cournot: competizione sulle quantità Modelli di Bertrand: competizione sui prezzi Modello di Bertrand con prodotti di erenziati Gioco in forma estensiva Rappresentazione ad albero Rappresentazione in forma strategica di un gioco dinamico Sottogiochi e subgame perfect equilibrium Backward Induction Multipli SPE SPE e strategie infinite Deterrenza all entrata Strategie Miste 52 1

3 2 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA Capitolo 1 Gioco in forma strategica Fino a questo punto del corso di microeconomia abbiamo assunto che gli agenti economici (consumatori, imprese concorrenziali o monopolistiche) sono razionali, ma prendono decisioni in modo isolato dal contesto. Ovvero, nel prendere le decisioni, gli individui ignorano il comportamento degli altri agenti. In altre parole l analisi microeconomica condotta fin ora trascura due aspetti fondamentali: 1. L agente economico, per quanto razionale, è un animale sociale. Quindi vive di interazioni. 2. Le decisioni di ciascun agente dipendono dalle decisioni degli altri agenti; ovvero vi un interazione strategica tra gli individui. La teoria dei giochi studia il comportamento individuale in ambienti sociali in cui le azioni di ciascun individuo influenzano gli altri. Questo strumento di analisi può essere usato per studiare non solo il sistema economico, ma anche altri ambienti sociali: per esempio la famiglia, la scuola, le relazioni internazionali tra gli Stati. È possibile definire un gioco come uno scambio sociale con regole prestabilite. Tre sono gli elementi essenziali che costituiscono un gioco: 1. giocatori : agenti razionali; 2. strategie : scelte dei giocatori; 3. pay-o : utilità dei giocatori. Esempio 1:

4 1.1. DEFINIZIONI 3 Immaginiamo che i manager di due imprese, una manifattura e un agenzia di marketing, debbano decidere se formare una partnership oppure no. Il valore congiunto totale delle due imprese sarebbe di 1, 000, 000 euro. I due amministratori delegati possono scegliere tra due strategie : negoziare direttamente con il management dell altra azienda o a dare la negoziazione ad un avvocato. Se negoziano direttamente non devono sostenere alcuna spesa; mentre se assumono un avvocato lo devono pagare 50, 000 euro, ma possono aumentare il ricavo derivante dalla partnership di 100, 000 euro, a danno della controparte. Quindi possiamo definire i pay-o di ciascun manager come segue: = 500 : se entrambi negoziano direttamente; = 550 : se il manager assume un avvocato, ma la controparte negozia direttamente; = 400 : se il manager negozia direttamente, ma la controparte assume un avvocato; = 450 : se entrambi i manager assumono un avvocato. N.B. I pay-o non rappresentano necessariamente i profitti delle imprese, ma descrivono l utilità che gli agenti traggono dal verificarsi di una certa combinazione di strategie. In questo esempio specifico, l utilità coincide con il profitto delle imprese, perchè l obiettivo dei manager nel decidere le modalità con cui contrattare le condizioni della partnership, è ricavare il maggior profitto possibile per la propria impresa. È possibile e utile rappresentare questo tipo di gioco, in cui ci sono solo due giocatori, che decidono simultaneamente, con la tabella sottostante: CEO IND CEO MKT direttamente avvocato direttamente 500; ; 500 avvocato 550; ; Definizioni Un gioco in forma strategica è definito da tre componenti: 1. giocatori;

5 4 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA 2. insieme di strategie; 3. pay-o di ciascun giocatore. Definiamo: I l insieme di tutti i giocatori; N il numero dei giocatori o #(I); k 2 I il giocatore k-esimo; X k insieme delle strategie disponibili al giocatore k-esimo; x k 2 X k una strategia disponibile al giocatore k-esimo; Esempio: I= { CEO MKT. ; CEO IND.} N =2 X IND = {negoziare direttamente; avvocato} X MKT = {negoziare direttamente; avvocato} Definiamo: x =(x 1,x 2,..., x n ) profilo di strategie, che specifica per ogni giocatore k-esimo, appartenente all insieme dei giocatori I, una strategia disponibile a k. X = Q n k=1 X (prodotto cartesiano di tutti gli X k) l insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie di tutti i giocatori. x i =(x 1,x 2,..., x i diversi da i; 1,x i+1,..., x n ) un profilo di strategie di tutti i giocatori X i = Q j6=i X j l insieme di tutte le possibili combinazioni di strategie di tutti i giocatori diversi da i, x i 2 X i un profilo di strategie di tutti i giocatori diversi da i. Esempio: x IND = negoziare direttamente x MKT = x IND = negoziare direttamente

6 1.2. GIOCO CON STRATEGIE FINITE 5 x =(x IND,x MKT )=(x IND,x IND ) = (negoziare direttamente, negoziare direttamente) X = X IND x X MKT = { (negoziare direttamente, negoziare direttamente), (negoziare direttamente, avvocato), (avvocato, negoziare direttamente), (avvocato, avvocato)} N.B. Quindi un profilo di strategie x può essere definito in due modi equivalenti: (x 1,x 2,...x i,...x n ) oppure (x i, x i ) Definiamo pay-o di ogni giocatore una funzione che associa a ciascun profilo strategico un numero reale: U i : X! R I pay-o (o funzioni di utilità) di ciascun giocatore dipendono dalle strategie scelte da tutti gli altri giocatori e rappresentano le preferenze del giocatore. Formalmente: U i (x) >U i (x 0 ) () il risultato che deriva dal profilo di stategie x è preferito al risultato derivante dal profilo x 0. Esempio: U IND (negoziare direttamente; negoziare direttamente) = 500 U IND (negoziare direttamente; avvocato) = > 400 () (negoziare direttamente; negoziare direttamente) (negoziare direttamente; avvocato) 1.2 Gioco con strategie finite Come anticipato nell esempio della sezione (1.1), nel caso particolare in cui #(I) = 2 e ogni giocatore ha un numero finito di strategie tra cui scegliere (X ha un numero finito di elementi), la funzione pay-o può essere rappresentata per mezzo di una matrice. In questa matrice ogni riga corrisponde a una delle strategie disponibili al giocatore 1 e ogni colonna a una delle strategie disponibili al giocatore 2. In ogni riquadro della matrice sono inseriti due valori: il pay-o del giocatore 1 (a sinistra) e il pay-o del giocatore 2 (a destra). Generalizzando, i pay-o nel riquadro della matrice all incrocio tra riga m e colonna n saranno: U 1 (m, n),u 2 (m, n), cioè saranno i pay-o dei giocatori quando il giocatore 1 sceglie la strategia m e il giocatore 2 sceglie la strategia n.

7 6 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA GIOC-1 GIOC m... n 1 U 1 (1, 1);U 2 (1, 1)... U 1 (1,m);U 2 (1,m)... U 1 (1,n);U 2 (1,n)... U 1 (..., 1);U 2 (..., 1)... U 1 (..., m);u 2 (..., m)... U 1 (..., n);u 2 (..., n) m U 1 (m, 1);U 2 (m, 1)... U 1 (m, m);u 2 (m, m)... U 1 (m, n);u 2 (m, n)... U 1 (..., 1);U 2 (..., 1)... U 1 (..., m);u 2 (..., m)...u 1 (..., n);u 2 (..., n) n U 1 (n, 1);U 2 (n, 1)... U 1 (n, m);u 2 (n, m)... U 1 (n, n);u 2 (n, n) 1.3 Gioco con strategie infinite Fino a questo punto abbiamo assunto che i giocatori abbiano un numero finito di strategie tra cui scegliere. Tuttavia ci sono situazioni che è meglio rappresentare immaginando che i giocatori possano scegliere tra un numero infinito si strategie o, più precisamente, assumendo che i giocatori possano scegliere un valore all interno di un intervallo continuo di numeri reali. Esempio 2: Due direttori dell area marketing di una azienda, Ann e Beth, competono per la promozione. Questi hanno un curriculum molto simile, ma l uno dirige l area marketing del dipartimento nella regione settentrionale del paese e l altra responsabile del marketing del dipartimento nella regione meridionale. Quindi lo scatto di carriera sarà aggiudicato a chi conseguirà i migliori risultati nel corso dell anno. La scelta strategica che A. e B. devono prendere consiste nel budget da spendere per la campagna promozionale. I loro pay-o sono costituiti dal ricavo complessivo del proprio dipartimento al netto delle spese per la pubblicità e in relazione ai ricavi dell altro dipartimento. In questo caso è possibile rappresentare le strategie e i pay-o come numeri reali all interno di un intervallo: X i = [0,M], con i = {A, B} e M 2 R X = [0,M] x [0,M], U i : [0,M] x [0,M]! R N.B. Nei giochi in forma strategica i giocatori scelgono simultaneamente. Inoltre, fino a questo momento e per il resto di questo corso, abbiamo assunto e assumeremo che tutti i giocatori sanno il valore esatto dei pay-o di tutti i giocatori. In teoria dei giochi si dice che i pay-o vengono considerati common knowledge. Nella realtà questa assunzione non è mai completamente

8 1.4. STRATEGIE DOMINANTI FORTI 7 soddisfatta. Per studiare situazioni con informazione incompleta bisognerebbe descrivere non solo le preferenze di ogni giocatore, ma anche cosa ogni giocatore pensa circa i pay-o degli altri e cosa pensa che gli altri pensino rispetto al proprio pay-o. Questo procedimento è complesso e lo a ronterete a livelli più avanzati del vostro percorso di studi. Tuttavia ci sono situazioni che possono essere ben approssimate da una rappresentazione con informazione completa. Per esempio nel caso dei due manager in competizione tra loro: infatti questi condividono lo stesso obiettivo, posseggono le stesse competenze e hanno accesso allo stesso tipo di informazioni circa le caratteristiche del prodotto che vendono e del mercato che ognuno a ronta. Quindi è realistico assumere che ognuno dei due sia in grado di approssimare molto bene il valore dei pay-o altrui. 1.4 Strategie dominanti forti I pay-o di ciascun giocatore dipendono dalle scelte di tutti gli altri giocatori. Tuttavia, in alcune circostanze, il giocatore i-esimo può essere in condizione di fare il seguente ragionamento: Qualunque cosa scelgano gli altri giocatori, la strategia x i è strettamente preferibile a qualunque altra strategia x 0 i a me disponibile. Esempio 3: I= {1,2} X 1 = { Top, Bottom } X 2 = { Left, Right } 1 2 L R T 3; 3 1; 2 B 2; 0 0; 0 Top è una strategia dominante forte per 1 perchè: U 1 (T, L) >U 1 (B, L) (i.e. 3 > 2) U 1 (T, R) >U 1 (B, R) (i.e. 1 > 0) Left NON è una strategia dominante forte per 2, perchè:

9 8 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA U 2 (T, L)> U 2 (T, R) (i.e. 3 > 2) U 2 (B, L) = U 2 (B, R) (i.e. 0 = 0) Definizione: Una strategia x i 2 X i è detta strategia dominante forte se 8x 0 i 6= x i e 8x i 2 X i, 8j 6= i vale la seguente disuguaglianza: Definizione: U i (x i, x i ) >U i (x 0 i, x i ) Se CIASCUN giocatore ha una strategia dominante forte, la combinazione di queste strategie è chiamata soluzione del gioco con strategie dominanti forti. Questo tipo di soluzione è la più robusta possibile in teoria dei giochi, perchè richiede il minor numero di assunzioni circa il comportamento dei giocatori. Infatti è su ciente ipotizzare che ogni giocatore faccia il meglio dal suo punto di vista. Mentre non è necessaria alcuna assunzione circa il comportamento degli altri giocatori: la razionalità del comportamento degli altri giocatori e la correttezza delle aspettative circa le loro scelte, dal punto di vista di ciascun giocatore, non ha alcun e etto su quale strategia sia ottimale: la strategia ottimale è la strategia dominante forte. N.B. La soluzione del gioco va sempre espressa in termini di profilo di strategie x =(x i, x i ) e non di pay-o U= (U i (x i, x i ),U i (x i, x i )), perchè la soluzione è sempre un profilo di strategie a cui sono associati dei pay-o Dilemma sociale Esempio 4: Due studenti, che condividono un appartamento, devono decidere se collaborare nel pulire la cucina oppure non collaborare e non pulire. I = {studente-1, studente-2} X i = {Cooperare, Non Cooperare}, i = {1, 2} 1 2 C NC C 2; 2 0; 3 NC 3; 0 1; 1

10 1.4. STRATEGIE DOMINANTI FORTI 9 Per lo studente-1 Non Cooperare è una strategia dominante forte : U 1 (NC, C) >U 1 (C, C) (i.e 3 > 2) e U 1 (NC, NC)> U 1 (C, NC) (i.e. 1 > 0) Per lo studente-2 Non Cooperare è una strategia dominante forte: U 2 (C, NC) >U 2 (C, C) (i.e. 3 > 2) e U 2 (NC, NC) >U 2 (NC, C) (i.e. 1 > 0) Quindi entrambi gli studenti non puliscono la cucina. Questo risultato è la soluzione ottimale dal punto di vista individuale, anche se è sub-ottimale dal punto di vista sociale, perchè gli studenti vivranno in una cucina sporca, mentre preferirebbero una cucina pulita. Infatti: U 1 (C, C) >U 1 (NC, NC) e U 2 (C, C) >U 2 (NC, NC). (i.e. 2 > 1) Esempio 5: Dilemma del prigioniero Il dilemma sociale viene anche chiamato dilemma del prigioniero, perchè fu rappresentato per la prima volta con il seguente esempio. Due delinquenti vengono catturati dalla polizia, che ha un numero di prove su ciente per incriminarli e condannarli ad una pena di 1 un anno di reclusione. Se uno dei due confessa potrà godere di uno sconto di pena per aver collaborato con la giustizia ed essere subito rilasciato, ma le informazioni fornite permetterebbero di condannare il complice a cinque anni di reclusione. Se entrambi confessano, entrambi verranno condannati a cinque anni di detenzione, ma, per aver collaborato, gli sarà concesso uno sconto di due anni sulla pena e quindi rimarranno in carcere solo 3 anni. In sintesi: I = {delinquente-1, delinquente-2} X i = {Confessare, Non Confessare}, i = { 1, 2} 1 2 NC C NC -1; -1-5; 0 C 0; -5-3; -3 Come nel caso precedente per entrambi i giocatori Confessare è la strategia dominante forte ( 0 > 1e 3 > 5). Così facendo però si condannano a 3 anni di reclusione, mentre se avessero collaborato e taciuto avrebbero scontato solo un anno di galera. La contraddizione tra ciò che è ottimale dal punto di vista individuale e ciò che è ottimale dal punto di vista collettivo costituisce un dilemma sociale. Questa

11 10 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA contraddizione è insuperabile nei giochi in forma strategica, poichè gli agenti non hanno modo di coordinarsi. Si tratta della cosiddetta trappola della strategia dominante. Tuttavia nella realtà spesso si possono osservare soluzioni cooperative, diverse da quelle rappresentate negli esempi precedenti. Ovvero, gli agenti economici spesse volte sono in grado di raggiungere la soluzione che massimizza i pay-o totali (pareto e ciente). Ad una prima analisi si potrebbe pensare che il modello sbagli nel modellare le preferenze dei giocatori, i quali in realtà non agiscono in modo esclusivamente egoista, ma posseggono un lato altruista che li porta a tutelare il bene comune. Questa obiezione è discutibile e implicherebbe un cambiamento delle funzioni di pay-o. Esiste anche un altra risposta, che non richiede di rinunciare all ipotesi di comportamento egoista da parte di tutti gli individui. Infatti si noti che i giochi fin qui rappresentati prevedono che i giocatori interagiscono una sola volta e le loro scelte, una volta fatte, non possano più essere cambiate. Questa assunzione è molto restrittiva, in quanto in situazioni reali gli agenti interagiscono ripetutamente nel tempo, cioè il gioco viene replicato più e più volte. La rappresentazione dei giochi in forma ripetuta è su ciente a superare la trappola della strategia dominante, perchè permette ai giocatori di mettere in atto strategie cooperative, ma coerenti con la natura egoista del loro agire. Vedremo esempi di questa tipologia di giochi in seguito. 1.5 Strategie dominanti deboli Ci sono situazioni in cui un giocatore non ha una strategia che gli garantisce un pay-o strettamente maggiore rispetto a quello prodotto da tutte le altre strategie, a prescindere dalle scelte degli altri giocatori. Tuttavia è ancora possibile individuare una strategia disponibile al giocatore che produca un pay-o maggiore o uguale a quello prodotto da ogni altra. Infatti, per alcune strategie disponibili agli altri giocatori, tale strategia produrrà un utilità equivalente a quella prodotta da strategie diverse; mentre per almeno un profilo di strategie degli altri giocatori tale strategia produrrà un utilità strettamente maggiore. Questa strategia è detta dominante debole. Definizione formale x i 2 X i, i 2 I è detta strategia dominante debole se 8x 0 i 6= x i 2 X i, 8j 6= i vale:

12 1.5. STRATEGIE DOMINANTI DEBOLI 11 U i (x i, x i ) U i (x 0 i, x i )e9 bx i 2 X i 8j 6= i tale che U i (x i, bx i )>U i (x 0 i, bx i ) Esempio 6: I = {1, 2} X 1 = {T, B}, X 2 = {L, R} 1 2 L R T 3; 3 1; 2 B 2; 0 0; 0 L dominante debole per il giocatore 2: U 2 (T,L) >U 2 (T,R), (i.e.3 > 2) U 2 (B,L) =U 2 (B,R), (i.e.0 =0) T per 1 è dominante forte: That is: U 1 (T,L) >U 1 (B,L), (i.e.3 > 2) U 1 (T,R) >U 1 (B,R), (i.e.1 > 0) Per il giocatore-1 sia che x 1 = T o x 1 = B =) L R, poichè se x 1 = T =) L R mentre se x 1 = B =) L R. Per il giocatore-2 sia se x 2 = L o x 2 = B =) T B. Esempio 7: I = {1, 2} X 1 = {T, M, B}, X 1 = {L, R} 1 2 L R T 1; 1 1; 1 M 1; 0 0; 1 B 0; 1 1; 0

13 12 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA Per il giocatore-1 T è dominante debole: U 1 (T,L) U 1 (T,R) ( = U 1 (M,L) >U 1 (B,L) ( >U 1 (M,R) = U 1 (B,R) N.B. Il giocatore-2 è indi erente tra L e R! Definizione Se ciascun giocatore ha una strategia dominante debole, il profilo di strategie composto dalle strategie dominanti deboli di tutti i giocatori è la soluzione del gioco. Tale soluzione è chiamata soluzione in strategie dominanti deboli. Esempio 8: Asta al secondo prezzo Immaginiamo un asta in cui il banditore mette in palio un quadro al miglior o erente. Regole dell asta: Ogni giocatore deve scrivere su un foglio la propria o erta; vince chi fa l o erta più alta; il vincitore pagherà un prezzo pari alla seconda o erta più elevata; se ci sono due o più o erte massime identiche, si tira a sorte il vincitore. N.B. Nessuna regola formale vieta ai giocatori di fare un o erta diversa rispetto al vero valore che, in cuor loro, attribuiscono al quadro. L utilità di ciascun giocatore dipende dal valore che attribuisce all oggetto, dalla propria o erta e dalle o erte di tutti gli altri partecipanti all asta. Esempio: Giocatori={A, B, C}, fanno le seguenti o erte: Vince il giocatore A, ma paga 90. Notazione: A B C OFFERTA

14 1.5. STRATEGIE DOMINANTI DEBOLI 13 n numero di partecipanti all asta k + 1 numero di o erte massime uguali, cioè numero di giocatori che si contendono il premio. v i valore che il giocatore i-esimo attribuisce al quadro; b i 0o erta del giocatore i-esimo; r prezzo e ettivamente pagato dal giocatore che vince l asta; Pay-o : U i (b 1,b 2,..., b i,.., b n )= Tesi: ( 0, 9j 6= i t.c. b j >b i v i r k+1, b i b j, 8 j 6= i b i = v i è una strategia dominante debole. Ovvero è ottimale dire la verità sul valore che si assegna al bene. Dimostrazione: Lo dimostriamo verificando che non esistono alternative migliori, qualunque siano le o erte degli altri giocatori. 1. r<v i 8 b i >v i! U i = v i r >< b i = v i! U i = v i r r<b i <v i! U i = v i r b i = r! U i = v i r k+1 >: <v i r b i <r! U i =0 2. r = v i 8 >< b i >v i = r! U i = v i r = r r =0 b i = v i = r! U i = v i r k+1 >: k+1 b i <v i = r! U i =0 3. v i <r 8 b i >v i! U i =(v i r) < 0 >< b i = v i < r! U i = 0b i = r! U i = v i r < 0 k+1 b i <v i <r! U i =0 >: v i <b i <r! U i =0

15 14 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA 1.6 Equilibrio di Nash Equilibrio di Nash con strategie finite Esempio 9: La battaglia dei sessi Immaginiamo una coppia di fidanzati che devono decidere come passare il sabato pomeriggio. Sara vorrebbe andare al cinema, mentre Marco preferisce andare allo stadio. La cosa più importante però è stare insieme. Quindi per Sara il pay-o più alto è dato dall andare insieme al cinema; mentre per Marco il pay-o più alto è dato dall andare insieme allo stadio. Tuttavia entrambi preferiscono rinunciare al proprio passatempo preferito, pur di stare con il partner. Schematicamente: I= {Sara, Marco}; X sara = {Stadio, Cinema} ; X marco = {Stadio, Cinema} Sara Marco CINEMA STADIO CINEMA 2; 1 0; 0 STADIO 0; 0 1; 2 N.B. In questo gioco ci sono due soluzioni: (CINEMA, CINEMA) e (STADIO, STADIO). Infatti, se Sara va al cinema, per Marco la scelta migliore è andare al cinema con lei; mentre se Marco va allo stadio, per Sara la scelta migliore è accompagnarlo allo stadio. Definizione: Dato x i =(x 1,..., x i 1,x i+1,...x n ), un profilo di strategie di tutti i giocatori diversi dall i-esimo e x i 2 X i, una strategia disponibile al giocatore i-esimo. x i si definisce miglior risposta dato x i se non esiste una strategia x i 2 X i che dà al giocatore i-esimo un pay-o più alto: U i (x i, x i ) U i (x i, x i ), 8x i 2 X i Definizione: x =(x 1,..., x i,...x n) si definisce equilibrio di Nash se per ogni giocatore i 2 I la strategia x i è una miglior risposta al profilo di strategia x i di tutti gli altri giocatori. In altre parole, x i è la miglior risposta alle migliori risposte di tutti gli altri giocatori. In modo formale: x è N.E. se 8i 2 I, U i (x i, x i) U i (x i, x i), 8x i 2 X i

16 1.6. EQUILIBRIO DI NASH 15 Si può dire che un profilo di strategie è un equilibrio se nessun giocatore ha interesse a deviare unilateralmente, ovvero nessun giocatore può aumentare il proprio pay-o scegliendo una strategia diversa da x i quando tutti gli altri scelgono il profilo di strategie x i. N.B. (1) Il concetto di equilibrio di Nash è più ampio e richiede meno assunzioni rispetto alle soluzioni che abbiamo studiato in precedenza. Infatti: sia le soluzioni in strategie dominanti forti, sia le soluzioni in strategie deboli sono equilibri di Nash. Esempio: 1)Il dilemma del prigioniero ha una soluzione in strategie dominanti forti data dal profilo di strategie (Confessare, Confessare) e tale soluzione è un equilibrio di Nash. 1 2 NC C NC -1; -1-5; 0 C 0; -5-3; -3 2)Nell asta al secondo prezzo, la soluzione in strategie dominanti deboli, data dal profilo di strategie {b i = v i, 8i}, è un equilibrio di Nash. N.B. (2) Ci possono essere più equilibri di Nash all interno dello stesso gioco strategico, cioè più soluzioni possono coesistere contemporaneamente. Esempio: La battaglia dei sessi è un tipico esempio di gioco con soluzioni multiple in strategie dominanti deboli. Sara Marco CINEMA STADIO CINEMA 2; 1 0; 0 STADIO 0; 0 1; 2 Esempio 10: Divisione di un tesoro Il capo di una tribù trova un cofanetto contenente 4 monete d oro. Due famiglie della tribù sostengono di esserne proprietarie. Per risolvere la disputa il capo tribù decide che i membri delle due famiglie dovranno simultaneamente e separatamente dire al capo tribù quante delle monete contenute nel cofanetto vogliono tenere per sè.

17 16 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA Se complessivamente le richieste non sono maggiori di 4 monete, ogni famiglia riceverà quanto richiesto e il capo tribù terrà per se stesso il resto. Invece se le richieste complessivamente superano le 4 monete, il capo tribù terrà tutte le monete per sè. Studiamo il possibile comportamento delle famiglie per mezzo di un gioco in forma strategica: I={famiglia A, famiglia B } X=X A xx B = {0, 1, 2, 3, 4} x {0, 1, 2, 3, 4} A B ;0 0;1 0;2 0;3 0;4 1 1;0 1;1 1;2 1;3 0;0 2 2;0 2;1 2;2 0;0 0;0 3 3;0 3;1 0;0 0;0 0;0 4 4;0 0;0 0;0 0;0 0;0 Quanti equilibri di Nash ci sono? 6! Gli equilibri di Nash in questo gioco sono: 8 x 1 =(x A =0,x B =4); x 2 =(x A =1,x B =3); >< x 3 =(x A =2,x B =2); x 4 =(x A =3,x B =1); x >: 5 =(x A =4,x B =0); x 6 =(x A =4,x B =4). N.B. (3) Una soluzione è sempre un equilibrio di Nash, ma non vale il viceversa. Ovvero, a nchè un profilo di strategie possa essere una soluzione di un gioco, deve essere un equilibrio di Nash, però non tutti gli equilibri di Nash sono anche soluzioni di un gioco. Infatti studiando i giochi dinamici si vedrà che certi equilibri di Nash sarebbero soluzioni improbabili. REGOLA PRATICA PER TROVARE UN EQUILIBRIO DI NASH. (In un gioco in forma strategica, con strategie finite e con due giocatori). Cominciamo, per convenzione dal giocatore in riga:

18 1.6. EQUILIBRIO DI NASH Per il giocatore in riga, prendere in considerazione ad una ad una tutte le strategie del giocatore in colonna e porsi la seguente domanda: Se il giocatore in colonna sceglie la strategia x c giocatoreincolonna, quale strategia deve scegliere il giocatore in riga per ottenere il pay-o più alto possibile? In pratica: cercare per ogni colonna le celle con il pay-o più alto. Quindi sottolineare il contenuto della cella. 2. Per il giocatore in colonna, prendere in considerazione ad una ad una tutte le strategie del giocatore in riga e porsi la seguente domanda: Se il giocatore in riga sceglie la strategia x r giocatoreinriga, quale strategia deve scegliere il giocatore in colonna per ottenere il pay-o più alto possibile? In pratica: cercare per ogni riga le celle con il pay-o più alto. Quindi sottolineare il contenuto della cella 3. Ogni cella in cui entrambi i valori sono sottolineati riporta ad una coppia di strategie che costituisce un equilibrio di Nash. Ovvero ciascuna strategia della coppia è la miglior risposta che il giocatore può scegliere, data la strategia scelta dall altro giocatore. Inserire esercizi? Equilibrio di Nash con strategie infinite Come abbiamo visto nelle sezioni precedenti, ci sono situazioni che è opportuno rappresentare per mezzo di strategie continue. In questo caso il procedimento che ci porta ad individuare gli equilibri di Nash è diverso da quanto visto fin ora. Esempio 11: Immaginiamo uno studio legale in cui lavorino due avvocati. I profitti dello studio dipendono dall impegno congiunto di entrambi i partner nel lavoro. Quindi la funzione dei profitti può essere rappresentata nel modo seguente: (x 1,x 2 )=4x 1 +4x 2 + x 1 x 2 I due avvocati dividono esattamente a metà i profitti dello studio. Ciascun avvocato, non solo trae un guadagno crescente all aumentare dei profitti, ma a ronta anche un costo che cresce all aumentare degli sforzi impiegati nel lavoro. Ovvero, tante più ore lavorate e un maggior numero di clienti producono maggiori ricavi, ma aumentano lo stress e la fatica e riducono il numero di ore che una persona può dedicare ai propri hobby e agli a etti. Ogni ora in più lavorata ha un costo via via più elevato. La funzione di costo può essere rappresentata nel modo seguente: C(x i )=x 2 i, i 2 {1, 2}

19 18 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA I={ avvocato-1, avvocato-2} X 1 = X 2 = I R Pay-o : U i (x i,x j )= 1 2 (x i,x j ) C(x i ) = 1 2 (4x i +4x j + x i x j ) x 2 i =2x i +2x j x ix j x 2 i i 2 {1, 2}, j 6= i Per trovare l equilibrio di Nash dobbiamo porci la seguente domanda: qual è la quantità di lavoro, x i, che l avvocato i-esimo deve scegliere per massimizzare la sua utilità, data la scelta del partner, x j? Ovvero dobbiamo trovare la funzione di reazione del giocatore i-esimo. Soluzione formale: A livello formale possiamo scrivere la funzione di reazione come: x i (x j ) = argmax U i (x i,x j ), dato x j E si ricava risolvendo il seguente problema di ottimizzazione: F.O.C. max U i (x i,x j ) x i dato x i (x i,x j i = x j 2x i =0 2x i = x j x i (x j )= x j

20 Allo stesso modo possiamo trovare x j(x i ). L equilibrio di Nash è costituito dalla coppia (x i,x j), che troviamo risolvendo il sistema: ( x i (x j)= x j x j(x i )= x i ( x i = ( x i)... N.E. = ( x i = 4 3 x j = ( 4 3 )= 4 3 Soluzione Grafica: Per ogni dato valore di x j, U j =2x i +2x j x ix j x 2 i è una parabola in x i : Figura 1.1: Massimizzazione dell utilità dell i-esimo giocatore, per diversi valori di x j : rappresentazione grafica Le funzioni di reazione (o best reply functions ), ricavate dal problema di massimizzazione, possono essere rappresentate come segue: L equilibrio di Nash è costituito dalla coppia (x i,x j), che troviamo in corrispondenza dell intersezione tra le due rette: 19

21 20 CAPITOLO 1. GIOCO IN FORMA STRATEGICA Figura 1.2: Funzione di reazione: rappresentazione grafica Figura 1.3: Intersezione delle due funzioni di reazione: soluzione grafica del gioco

22 21 Capitolo 2 Oligopolio e mercati concentrati Una delle applicazioni più interessanti di teoria dei giochi in economia riguarda l analisi del comportamento delle imprese. Quando la produzione è portata avanti da un ridotto numero di imprese il mercato viene definito oligopolio o mercato concentrato. In alcuni settori le imprese fissano prezzi quasi identici, di conseguenza la competizione avviene sulle quantità vendute ai consumatori. Un esempio di concorrenza sulle quantità è rappresentato dall industria casearia: il prezzo del latte fissato dai diversi produttori è molto simile, di conseguenza la competizione riguarda lo spazio occupato sugli sca ali dei supermercati. Viceversa ci sono industrie in cui le unità di prodotto venduto ai consumatori sono fissate e le imprese competono sui prezzi. Per esempio questo accade nell industria aeronautica: ogni aereo ha un numero prefissato di posti e le diverse compagnie gareggiano sui prezzi per conquistare il maggior numero di clienti. 2.1 Modello di Cournot: competizione sulle quantità Immaginiamo un mercato in cui competono n imprese, le quali producono un bene perfettamente omogeneo. Ogni impresa sostiene un costo marginale c i > 0, con i = 1...n. Per semplicità assumiamo costi fissi uguali a zero. La domanda aggregata è rappresentata dalla seguente funzione: Q= P i=n i=1 q i =A-P P il prezzo di mercato, che tutte le imprese prendono come dato. L obiettivo delle imprese è massimizzare i pay-o, che in questo caso coincidono con i profitti, scegliendo la quantità ottimale q i 2 R +

23 22 CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI Quindi questo modello appartiene alla categoria dei giochi con strategie infinite. Se q i è la strategia dell i-esima impresa e q i il profilo di strategie delle altre n 1 imprese, possiamo definire le funzioni dei pay-o come segue: i (q i,q i )=Pq i c i q i =(P c i )q i =(A P i=n i=1 q i c i )q i N.B. Riscrivendo la funzione della domanda aggregata in funzione di q i, si ottiene P = A P i=n i=1 q i. Poichè siamo interessati alle quantità che le imprese scelgono di produrre per massimizzare il loro profitto e il modello consiste in un gioco a strategie infinite, per risolvere il modello dovremo applicare il metodo per trovare la soluzione di un gioco a strategie infinite, che abbiamo studiato nel capitolo precedente. Cerchiamo le funzioni di reazione: F.O.C. max (q i,q i ) s.t.q i = q (q i, q i i = q i + A Xi=n q i c i = 2q i + A X qj c i =0 i=1 j6=i q i = 1 2 (A X j6=i q j c i ) q i = ( 1 2 (A P j6=i q j c i ) se A P j6=i q j c i > 0 0 altrimenti Esempio 12: Competizione sulle quantità con costi asimmetrici. Ipotesi: n =2 c 1 =30 c 2 =50 A =130 ( 1 2 q 1 = 2 30) 0 altrimenti se (130 q 2 30) > 0

24 2.1. MODELLO DI COURNOT: COMPETIZIONE SULLE QUANTITÀ 23 q 2 = ( 1 2 (130 q 1 50) se (130 q 1 50) > 0 0 altrimenti Soluzione analitica: ( q 1 = 1 2 (130 q 2 30) q 2 = 1 2 (130 q 1 50) Soluzione grafica: 2q 1 =130 q q 1 =130 2 (130 q 1 50) q 1 2 q 1 = q1 =40 N.E. = q2 = 1 ( ) = 20 2 ( q 1 =40 q2 = 1 ( ) = 20 2 Figura 2.1: Competizione sulle quantità con costi asimmettrici: soluzione grafica

25 24 CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI Esempio 13.1: Competizione sulle quantità con costi asimmettrici con n imprese Generalizziamo il modello a n imprese. Le funzioni di reazione delle n imprese sono date da: 8 q 1 = 1(A (q q q n ) c 1 ). ><. q i = 1(A 2 (q 1 + q 2 + q q i 1 + q i q n ) c i ).. >: q n = 1(A (q q 2 + q q n 1 ) c n ) Generalizzando: q i = 1 2 (A P j6=i q j c i ) La domanda aggregata è data da: Xi=n q i = 1 i=n 2 (na (n 1) X i=1 i=n X (2 + n 1) q i =(na i=1 i=n X q i = (na i=1 Xi=n c i ) i=1 P i=n i=1 c i) n +1 i=1 q i Xi=n c i ) i=1 (2.1) Quindi sostituendo nella funzione di reazione delle i-esima impresa otteniamo: q i = 1 2 (A X j6=i q j c i ) q i = 1 2 (A X q i q i ) c i ) ( j=n j=1 2q i q i = A (na P i=n i=1 c i) c i n +1 (n +1 q i = n)a + P i=n i=1 c i) (n +1)c i n +1

26 2.1. MODELLO DI COURNOT: COMPETIZIONE SULLE QUANTITÀ 25 q i = A + P i=n i=1 c i) n +1 Esempio 13.2: Competizione sulle quantità con costi simmettrici con n imprese Se c i = c 8i =1...n 8i =1..n, allora: qi = A + P i=n i=1 c i) n +1 = A + nc nc c n +1 = A c n +1 Quindi potremmo riscrivere la domanda aggregata come: c i c i Nota che: P = A Q = A nq = A n( A c n +1 ) = A n +1 + nc n Le imprese hanno un mark-up, ovvero fanno profitti positivi se: P> c () A + nc >c () A>c. (A è il prezzo massimo che i n+1 n+1 consumatori sono disposti a pagare). 2. Se il numero di imprese tende a infinito, la quantità prodotta tende a zero e il prezzo di equilibrio di Cournot tende al costo marginale, cioè al prezzo di equilibrio nel modello di concorrenza perfetta: lim n!1 A n+1 = 0 e lim n!1 A n+1 + nc n+1 = c, (lim n!1 n +1 n) In pratica il modello di Cournot conferma l assunzione del modello di concorrenza perfetta, secondo il quale, in un mercato con un numero molto elevato di imprese che producono lo stesso bene, ogni singola impresa ignora l e etto che la propria produzione ha sul prezzo del bene stesso.

27 26 CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI 2.2 Modelli di Bertrand: competizione sui prezzi Il modello di base di Bertrand configura un caso estremo di competizione di prezzo e assume che: Le imprese producano un bene omogeneo; Le imprese siano in grado di produrre qualunque quantità di bene, al prezzo fissato; L impresa che fissa il prezzo più basso di tutte cattura tutto il mercato; Se più imprese fissano lo stesso presso più basso, si dividono il mercato in parti uguali; Le imprese hanno costi fissi pari a zero e uguali costi marginali: c i = c per tutte le n imprese sul mercato. In modo formale possiamo dire che se Q = A P è la domanda aggregata e n è il numero di imprese nel mercato: A è il prezzo massimo che i consumatori sono disposti a pagare e P = min{p 1,P 2,...P n } è il prezzo di mercato. Quindi ogni imprese dovrà scegliere il prezzo, P i 2 R +, a cui vendere il bene, in modo da massimizzare il proprio pay-o, che coincide con i profitti: 8 >< (P i c)q =(P i c)(p i A), se P i = min{p 1,P 2,...P n } 1 i = k >: (P i c)(p i A), se k apple n imprese fissano P i = min{p 1,P 2,...P n } 0, se P i > min{p 1,P 2,...P n } Soluzione analitica: Per trovare l equilibrio di Nash che risolve il modello, procediamo verificando se, per ogni possibile combinazione (P 1,P 2 ) esiste una deviazione profittevole per almeno uno dei due giocatori. 1)P 1 6= P 2 i) P 1 >P 2 >c: q 1 =0! 1 =0eq 2 = Q! 2 =(P 2 c)q 9 P1tale 0 che c<p 0 1 <P 2! 1 > 0. Quindi P 0 1 costituisce una deviazione profittevole per 1. ii) P 2 >P 1 >c (Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici).

28 2.2. MODELLI DI BERTRAND: COMPETIZIONE SUI PREZZI 27 iii) P 2 >c P 1 : q 1 = Q, ma 1 apple 0eq 2 =0! 2 =0 9 P 0 1tale che c<p 0 1 <P 2! 1 > 0. Quindi P 0 1 costituisce una deviazione profittevole per 1. iv) P 1 >c P 2 (Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici). v) c P 1 >P 2 q 1 =0! 1 =0eq 2 = Q, ma 2 < 0 9 P 0 2 tale che c c = P 0 2 >P 2! 2 =0. Quindi P 0 1 costituisce una deviazione profittevole per 1. vi) c P 2 >P 1 (Stesso ragionamento del punto precedente, invertendo i pedici). Nessuna coppia tale che P 1 6= P 2 costituisce un Equilibrio di Nash e soluzione del modello. Proviamo ora con: 2) P 1 = P 2 i) P 1 = P 2 >A q 1 = q 2 =0! 1 = 2 =0 9 P 0 2 e 9 P 0 1 tali che c<p 0 1 = P 0 2 <A! 2 = 1 > 0. Quindi P 0 1 e P 0 2 costituiscono una deviazione profittevole per 1. ii) A>P 2 = P 1 >c q 1 = q 2 = 1Q! 2 1 = 2 = 1(P 2 c)q 9 c<p 0 2 <P 1 e 9 c<p 0 1 <P 2 tale che q 2 = Q o q 1 = Q,! 2 =(P 0 2 c)q o 1 =(P 0 1 c)q Quindi P 0 1 e P 0 2 costituiscono una deviazione profittevole per 1. iii) P 2 = P 1 <c q 1 = q 2 = 1 2 Q! 1 = 2 < 0 9 P 0 2 c e 9 P 0 1 c tale che q 2 =0 o q 1 =0 e 2 =0 o 1 =0 Quindi P 0 1 costituisce una deviazione profittevole per 1. iv) P 1 = P 2 = c q 1 = q 2 = 1 2 Q e 1 = 2 =0 8 P 0 2 <P 1 = c! 2 < 0e 8P 0 2 >P 1 = c! 2 = 0 ; lo stesso vale per 1. Quindi non esiste una deviazione profittevole per entrambi i giocatori. Quindi P 1 = P 2 = c

29 28 CAPITOLO 2. OLIGOPOLIO E MERCATI CONCENTRATI è l equilibrio di Nash e la soluzione del modello. Nota che: In questo modello la guerra dei prezzi porta al risultato concorrenziale, anche in presenza di duopolio. Il risultato è generalizzabile a n>2. Questo risultato è molto diverso dalla soluzione del modello di Cournot, dove tutte le imprese facevano profitti positivi, tendenti a zero solo se il numero di imprese sul mercato tendeva ad infinito. Questa di erenza è determinata dalla non continuità del modello di Bertrand: cioè dal fatto che un cambiamento marginale nel prezzo sposta completamente la domanda da un produttore ad un altro. Nella realtà questo risultato non si verifica quasi mai, perchè nella quasi totalià dei casi i beni non sono perfettamente omogenei, come si assume in questo modello. In altre parole, quando un consumatore deve scegliere da che impresa acquistare, non bada solo ed esclusivamente al prezzo, ma a una serie di caratteristiche del prodotto. Di conseguenza un cambiamento marginale del prezzo non è su ciente a spostare tutta la domanda di mercato nel mondo reale. Inoltre bisogna tenere presente che in questa specificazione del modello si ipotizza che le imprese decidono una volta per tutte e simultaneamente il prezzo del loro prodotto. Anche questa ipotesi è irrealistica. Sarà modificata e corretta per mezzo dei giochi ripetuti, che studierete più avanti lungo il vostro percorso di studi. 2.3 Modello di Bertrand con prodotti di erenziati In questa variazione del modello assumiamo che ci siano due imprese che producono due beni simili, ma non perfettamente sostituibili. Ovvero anche se una delle due imprese fissa un prezzo più alto dell altra, non perde tutti i consumatori. Questa ipotesi è rappresentata dalla domanda per il bene dell impresa i-esima: q i (P 1,P 2 )=A P i (P i P ) dove il termine (P i P ) è la di erenza tra prezzo i-esimo e prezzo medio di mercato. Se P i > P, la domanda i-esima diminuisce, ma non si azzera. Esempio 14.1: concorrenza di prezzo, beni di erenziati, costi diversi Ipotesi: n=2 P = (P 1+P 2 ) 2

30 2.3. MODELLO DI BERTRAND CON PRODOTTI DIFFERENZIATI 29 q 1 (P 1,P 2 )=A P 1 (P 1 P )=A P1 (P 1 P 1 +P 2 ) 2 )=A 3 2 P P 2 q 2 (P 1,P 2 )=A P 2 (P 2 P )=A P2 (P 2 P 1 +P 2 ) 2 )=A 3 2 P P 1 c 1 <A c 2 <A 1 =(P 1 c 1 )q 1 =(P 1 c 1 )(A 3 2 P P 2) 2 =(P 2 c 2 )q 2 =(P 2 c 2 )(A 3 2 P P 1) Per trovare l equilibrio di Nash soluzione del modello, usiamo il procedimento standard che si applica nei giochi con strategie infinite: Soluzione analitica: 1) Massimizziamo i rispetto a P i e dalle F.O.C. ricaviamo le funzioni di reazione: (il problema è simmetrico, quindi è su cienti calcolare una sola i = A 3 2 P i P j +(P i c i )( 3 2 )=0 F.O.C. 2A 3P i + P j 3P i +3c i =0 2) Risolviamo il sistema: ( P 1 (P 2 )= 1 3 A P c 1 P i (P j )= 1 3 A P j c i P 2 (P 1 )= 1 3 A P c 2 ( P 1 (P 2 )= 1 3 A ( 1 3 A P c 2)+ 1 2 c 1 P2 (P 1 )= 1A + 1P c 2 2 ( P1 = 2A + 18c c 35 2 P2 = 2A + 18c c 35 1 Soluzione grafica:

31 Figura 2.2: Concorrenza di prezzo, beni di erenziati, costi diversi: soluzione grafica Esempio 14.1: concorrenza di prezzo, beni di erenziati, costi uguali Se i costi sono uguali: c 1 = c 2 = c, la soluzione diventa: P 1 = P 2 = 2 5 A c I profitti delle imprese sono positivi? Ovvero le imprese sono in grado di ottenere un mark-up quando i beni sono di erenziati? P>c () P c>0 () 2A + 3c c>0 () 2 (A c) > Questa disuguaglianza è sempre vera, date le ipotesi del modello. Quindi possiamo concludere che, se n = 2 e i prodotti sono di erenziati, le imprese 30

32 31 fisseranno P>ce otterranno profitti positivi. Capitolo 3 Gioco in forma estensiva Nei giochi esaminati fino a questo momento (giochi in forma strategica), i giocatori scelgono le proprie strategie in modo simultaneo e si incontrano una sola volta. Questa tipologia di giochi rende impossibile studiare situazioni in cui gli agenti agiscono in modo sequenziale, ovvero scelgono le proprie azioni uno dopo l altro e possono osservare le scelte fatte in precedenza dagli altri giocatori. Questi giochi si dicono giochi dinamici o giochi in forma estensiva. 3.1 Rappresentazione ad albero I giochi in forma estensiva si rappresentano con uno schema ad albero. Un albero è formato da un insieme di nodi e rami. Ogni ramo parte da un unico nodo e conduce ad un unico nodo. Ogni albero ha un solo nodo a cui non arriva alcun ramo, chiamato radice e molteplici nodi da cui non partono altri rami, chiamati foglie. (Fig. 3.1) Formalmente: Nell ambito dei giochi in forma estensiva si usa la seguente notazione: N insieme dei nodi del gioco I n giocatori attivi al nodo n A n i insieme delle azioni disponibili al giocatore I nel nodo n. x n = {a n i } i2in 2 A n = Q i2i n A n i nodo n. profilo di azioni scelto dai giocatori attivi al l = { l i} i2i 2 R I pay-o di ogni giocatore nelle foglia l.

33 32 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA Figura 3.1: Gioco dinamico: schema ad albero Strategie nei giochi in forma estensiva Nei giochi in forma estensiva le strategie sono l insieme che specifica le azioni che i giocatori intraprendono o intraprenderebbero in ciascun nodo in cui sono attivi. Formalmente: N i insieme dei nodi in cui il giocatore i è attivo; A n i insieme delle azioni disponibili a i nel nodo n; x i = {a n i } n2ni 2 A i = Q n2n i A n i una strategia del gioctaore i, che specifica le azioni che il giocatore i sceglierà ad ogni nodo in cui è attivo. Esempio 15: (Fig.3.2) Il giocatore 1 ha due stategie: { a; b }; il giocatore 2 ha quattro strategie: { (c,e); (c,f); (d,e); (d,f) } Esempio 16.1: (Fig 3.3) Il giocatore 1 ha quattro stategie: { (a; e), (a;f), (b;f), (b;e) };

34 3.1. RAPPRESENTAZIONE AD ALBERO 33 Figura 3.2: Gioco Dinamico 1 Figura 3.3: Gioco Dinamico 2

35 34 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA il giocatore 2 ha due strategie: { c; d } Nota: Perchè la strategia (b,f) del giocatore 1 comprende l azione f, che 1 avrebbe intrapreso ad un nodo che non può raggiungere, proprio perchè nel nodo precedente sceglie b? Ci sono due possibili spiegazioni: 1. Una strategia descrive sempre cosa il giocatore intende fare ad ogni nodo in cui è attivo, perchè c è una probabilità positiva che per qualche motivo il giocatore non riesca a intraprendere l azione che vorrebbe al nodo precedente. 2. La strategia di un giocatore è osservata anche dagli altri giocatori, che prendono le loro decisioni tenendo in considerazione le scelte altrui ad ogni nodo. Quindi per ogni giocatore è utile sapere quale sarebbe la scelta degli altri se il gioco arrivasse ad un certo nodo, piuttosto che ad un altro, in seguito ad una loro azione, per decidere cosa fare. 3.2 Rappresentazione in forma strategica di un gioco dinamico Una volta definite le strategie di ogni giocatore, se il gioco dinamico comprende solo due giocatori, è possibile rappresentare il gioco in forma strategica. Possiamo rappresentare il gioco dell esempio precedente con la seguente tabella: Esempio 16.2: Giocatore-2 Giocatore-1 (C;E) (C;F) (D;E) (D;F) A 2; 1 2; 1 0;0 0;0 B 1; 2 0;0 1; 2 0;0 Gli equilibri di Nash sono dati dalle seguenti coppie di strategie: 1. {A, (C;E)} 2. {A, (C;F)} 3. {B, (D;E)}

36 3.3. SOTTOGIOCHI E SUBGAME PERFECT EQUILIBRIUM 35 Nota: Il terzo equilibrio ignora l aspetto dinamico del gioco. Infatti la strategia (D;E) è da leggersi così: il giocatore-2 sceglie D, se il giocatore-1 sceglie A e sceglie E se il giocatore-1 sceglie B. Poichè D porta ad un pay-o zero per entrambi i giocatori, mentre E dà un pay-o 1 al giocatore-1 e 2 al giocatore-2, il giocatore-1 preferisce scegliere B quando tocca a lui. In altre parole, B è la miglior risposta che 1 può dare a (D, E) Tuttavia, se il giocatore-1 deviasse e scegliesse comunque A davvero tutti rischierebbero di ottenere un pay-o nullo? No! Perchè la miglior risposta di 2 a A è C, non D. Questa soluzione ignora il fatto che 2 osserva cosa sceglie 1 prima di agire. Avrebbe senso solo se 2 potesse in qualche modo impegnarsi a scegliere d se 1 sceglie a. 3.3 Sottogiochi e subgame perfect equilibrium Come abbiamo visto nell esempio precedente, nei giochi in forma estensiva esistono degli equilibri di Nash che non tengono in considerazione della dimensione dinamica del gioco. Come possiamo eliminare questi equilibri? Di quali condizioni aggiuntive abbiamo bisogno? Ogni gioco in forma estensiva può essere scomposto in sottogiochi: ogni nodo, che non sia una foglia, definisce un sottogioco Esempio 17.1: (Fig. 3.4) Questo gioco, può essere scomposto in tre sotto-giochi:

37 36 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA Figura 3.4: Scomposizione in sottogiochi Definizione I Subgame Perfect Equilibria (SPE) sono un sottoinsieme degli Equilibri di Nash. Un profilo di strategie che costituisce un equilibrio di Nash è anche un SPE se è un equilibrio di Nash in ciascun sotto-gioco in cui può essere scomposto il gioco. Esempio 17.2: Dato il gioco dell esempio precedente, troviamo per ciascun sotto-gioco il profilo di strategie che definisce un equilibrio di Nash. (Fig. 3.5, 3.6). Quindi il SPE è : {A; (E,C)} Nota In ogni stadio del gioco i giocatori agiscono come se non avessero memoria, ovvero scelgono la strategia ottimale senza considerare quanto accaduto nelle fasi del gioco precedenti. Quindi qualunque tipo di vendetta intrapresa da un giocatore in risposta all azione di un altro nella fase precedente è priva di significato in questo contesto e il comportamento degli agenti è mirato solo ad ottenere il massimo pay-o da quella fase in avanti.

38 3.3. SOTTOGIOCHI E SUBGAME PERFECT EQUILIBRIUM 37 Figura 3.5: Primo e secondo sottogioco con equilibri di Nash evidenziati. Figura 3.6: Terzo sottogioco con SPE evidenziato.

39 38 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA 3.4 Backward Induction Il metodo, che abbiamo appena applicato, per cercare i SPE costituisce una soluzione a ritroso del gioco: si parte dai sottogiochi definiti dagli ultimi nodi prima delle foglie e poi si passa a sottogiochi più ampi, fino ad arrivare al gioco nel suo complesso. Per ogni sottogioco si identificano i pay-o che conducono alla strategia ottimale per ciascun giocatore. Esempio 18: Dato questo gioco, cerchiamo i SPE utilizzando la soluzione a ritroso: Figura 3.7: Gioco Dinamico 3 1) Partiamo dal sottogioco più piccolo: il giocatore-1 sceglie F, che gli garantische un pay-o di 5, mentre E gli garantirebbe un pay-o solo di 4. (Fig. 3.8) 2) Passiamo al nodo superiore e cerchiamo l equilibrio di Nash in questo sottogioco: sapendo che se si arriva al nodo successivo il giocatore-1 sceglie F, il giocatore-2 preferisce scegliere D che gli garantische un pay-o di 3, mentre scegliere C darebbe a 1 la possibilità di scegliere F e così 2 otterebbe un pay-o di 2. (Fig. 3.9)

40 3.4. BACKWARD INDUCTION 39 Figura 3.8: Primo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato Figura 3.9: Secondo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato

41 40 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA 3) Infine, passando al nodo ancora superiore: il giocatore 1 sa che se sceglie a il giocatore-2 al nodo successivo sceglierà D e cos 1 otterrà un pay-o nullo, se invece sceglie subito B ottiene pay-o 1, quindi preferisce B. (Fig. 3.10) Figura 3.10: Terzo sottogioco del gioco dinamico 3: SPE evidenziato Quindi il SPE è : { (B;F), D }. Soluzione in forma strategica Utilizzando la rappresentazione in forma strategica e cercando le migliori risposte di ogni giocatore ad ogni strategia della controparte, troviamo tutti gli equilibri di Nash del gioco. Come si può notare sono due: peró solo uno dei due è anche un SPE, l altro non tiene conto della dinamica del gioco, come spiegato nell esempio precedente. Giocatore-2 Giocatore-1 c d (a;e) 4; 4 0; 3 (a;f) 5;2 0; 3 (b;e) 1; 0 1; 0 (b;f) 1; 0 1; 0

42 3.4. BACKWARD INDUCTION Multipli SPE Esempio 19: Figura 3.11: Gioco dinamico 4 Nel sottogioco più piccolo il giocatore-2 è indi erente tra C e D, perchè gli garantiscono lo stesso pay-o. (Fig. 3.12) Quindi se il giocatore-2 sceglie C, la miglior risposta del giocatore-1 sarà B (30 > 25). (Fig. 3.13) Se il giocatore 2 sceglie D, la miglior risposta del giocatore 1 è A (25 > 20). (Fig. 3.14)

43 42 CAPITOLO 3. GIOCO IN FORMA ESTENSIVA Figura 3.12: Primo sottogioco del gioco dinamico 4: SPE evidenziato Figura 3.13: Secondo sottogioco del gioco dinamico 4: primo SPE evidenziato Figura 3.14: Secondo sottogioco del gioco dinamico 4: secondo SPE evidenziato

44 3.4. BACKWARD INDUCTION 43 Quindi ci sono due SPE: { B;C } e { A;D } SPE e strategie infinite Fin ora abbiamo rappresentato giochi in cui gli agenti scelgono tra un numero finito di strategie, ma ci possono essere dei giochi in forma estensiva in cui gli agenti devono scegliere tra un numero infinito di strategie. Il metodo di risoluzione non cambia. Esempio 20: Competizione di quantità con impresa leader Immaginiamo di avere un duopolio in cui l impresa-1, che chiameremo impresa leader, può scegliere per prima la quantità da produrre; l impresa-2, che chiameremo impresa follower osserva e poi decide che quantità produrre. L impresa leader può scegliere qualsiasi quantità positiva. Lo stesso vale per l impresa follower. Possiamo rappresentare il gioco con il seguente schema ad albero: Figura 3.15: Gioco dinamico con strategie infinite Cerchiamo il SPE del gioco con backward induction: La domanda aggregata è definita dalla seguente espressione: P = A q 1 q 2