Il lavoro meccanico Il lavoro di una forza costante

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1 Il lavoro eccanico Il lavoro di una forza cotante Per potare oggetti, produrre deforazioni, e più in generale per odificare i itei fiici occorrono le forze. Se però conideriao, per eepio, un pezzo di legno che galleggia nelle acque fere di uno tagno vediao che ono preenti delle forze (il peo e la pinta di Archiede) a il itea non cabia configurazione perché non vi ono potaenti. el cao invece di una valanga che rotola a valle lungo un pendio innevato abbiao ia forze che potaenti. Dunque, affinché una forza poa odificare un itea fiico, biogna che il corpo a cui è applicata ia oggetto ad uno potaento. Inoltre tale potaento deve eere parallelo alla forza applicata, altrienti ignifica che non è tato cauato da quella forza. el cao in cui forza e potaento non iano paralleli olo la coponente della forza parallela allo potaento arà reponabile del cabiaento nel itea. In bae a quete coniderazioni introduciao una nuova grandezza fiica: il lavoro eccanico definita nella eguente aniera: il lavoro copiuto da una forza che pota il proprio punto di applicazione di un certo tratto è dato dal prodotto della coponente della forza parallela allo potaento per lo potaento teo. Se la forza e lo potaento forano un angolo aggiore di 90 la coponente parallela della forza e lo potaento hanno veri oppoti e il lavoro è negativo (lavoro reitente). Il lavoro eccanico i indica con la lettera L; e indichiao con lo potaento del punto di applicazione della forza e con F la coponente della forza parallela a tale potaento avreo: L = F. L unità di iura del lavoro nel SI è il newton etro, a cui i è dato il noe di joule (J), in onore del grande fiico inglee Jae Precott Joule ( ). Il lavoro di più forze Quando ullo teo corpo agicono più forze il lavoro copiuto da una ingola forza non è influenzato dalle altre forze agenti. Il lavoro totale eeguito ul corpo i può quindi ottenere in due odi equivalenti: 1) i calcola dappria la riultante e poi il lavoro della riultante ) i calcolano eparataente i lavori di tutte le forze agenti ul corpo e poi i oano Il lavoro di una forza non cotante Finora abbiao coniderato forze cotanti durante lo potaento del corpo. el cao della olla queto non accade: quando una olla coprea i ditende, an ano che la ua lunghezza i avvicina al valore di equilibrio l intenità della forza diinuice. Per calcolare il lavoro in queto cao prendiao dunque un itea di ai carteiani in cui ulle acie poniao lo potaento e ulle ordinate la forza. Il cao di forza cotante è rappreentato da un egento orizzontale e il lavoro è dato dal prodotto forza potaento, cioè dall area coprea tra tale egento e l ae delle acie. Queta oervazione ci perette di generalizzare la definizione di lavoro al cao di una forza non cotante: nel cao di forza non cotante il lavoro è dato dall area coprea tra la curva della forza e l ae degli potaenti in un grafico potaento forza. el cao della olla l intenità della forza è direttaente proporzionale allo potaento: F = k. La forza è rappreentata da una retta paante per l origine e l area ottea da queta curva è l area del triangolo rettangolo avente per 1 1 cateti lungo e k : L k k. Il lavoro eccanico nel quotidiano La parola lavoro (coe forza, velocità e a differenza di quantità di oto, velocità angolare ) è un terine della fiica che è adoperato anche nella vita di tutti i giorni, a il ignificato con cui viene olitaente uato è quello corretto dal punto di vita della eccanica? Conideriao il lavoro fatto per traportare una peante valigia: a giudicare dalla notra tanchezza direo di aver fatto un gran lavoro, a

2 la fiica ci dice che tale lavoro è eattaente zero. Infatti la forza che il braccio eercita per otenere la valigia è diretta verticalente vero l alto entre lo potaento avviene in direzione orizzontale. [Tuttavia la enazione di fatica che perientiao ha una ben precia origine. Infatti per otenere la valigia le fibre ucolari del braccio i contraggono e i rilaciano periodicaente dando luogo a nueroi e ipercettibili potaenti nella tea direzione delle forze prodotte. Il lavoro delle fibre è quindi dato dalla oa dei prodotti delle forze da ee viluppate per i piccoliii potaenti: da qui la fatica che proviao nel otenere la valigia. Un altro cao abbatanza orprendente è quello della forza centripeta necearia per antenere un peo legato ad un filo u una traiettoria circolare, coe nel lancio del artello. Anche in queto cao il lavoro copiuto è nullo, infatti la forza è diretta lungo il raggio della circonferenza ed è perciò perpendicolare allo potaento in ogni punto (naturalente queto non ignifica che un atleta poa lanciare il artello a 80 etri enza copiere lavoro, il lavoro in queto cao viene copiuto per fare acquiire all attrezzo inizialente fero la velocità angolare che poiede pria di eere laciato!) Verifiche di coprenione 1. Che coa occorre, oltre a delle forze, per odificare un itea fiico?. Coe è definito il lavoro eccanico? 3. Quali ono le unità di iura nel SI del lavoro? 4. Quanto vale il lavoro di una forza che ia perpendicolare allo potaento del corpo a cui è applicata? 5. Coe dipende il lavoro di una forza applicata ad un certo corpo dalla preenza di altre forze ullo teo corpo? 6. Coe i può calcolare il lavoro totale eeguito u un corpo quando u di eo agicono più forze? 7. Coe i può rappreentare graficaente il lavoro di una forza cotante? 8. Coe i può rappreentare graficaente il lavoro di una forza non cotante? 9. Coe i rappreenta graficaente la forza di una olla? 10. Coe i calcola il lavoro di una olla? 11. Quanto vale il lavoro di una olla? 1. Fai un eepio di ituazione in cui nella vita quotidiana i parla di lavoro a l effettivo lavoro eccanico è zero. Verifiche di conocenza 1. Indica in quali tra i eguenti cai il lavoro copiuto da una forza F agente u un corpo non è neceariaente nullo: a. la riultante delle forze che agicono ul corpo è zero b. la forza fora con lo potaento un angolo di 70 c. il corpo i uove con velocità cotante d. neuna delle forze che agicono ul corpo è parallela allo potaento e. tutte le forze che agicono ul corpo ono perpendicolari allo potaento. Quali tra le eguenti unità ono equivalenti al joule? a. 3 c. b. d. kg 3. Una forza F diretta lungo l orizzontale agice u un corpo di aa appoggiato u un piano orizzontale enza attrito potandolo orizzontalente di un tratto e copiendo un certo lavoro. In quali tra le eguenti ituazioni il lavoro copiuto è lo teo? a. la forza viene raddoppiata in intenità e inclinata di 60 ripetto all orizzontale entre lo potaento reta invariato b. la forza viene raddoppiata, la aa diezzata, lo potaento riane invariato c. tanto la forza quanto lo potaento vengono raddoppiati d. la forza viene inclinata di 60 ripetto all orizzontale e lo potaento viene raddoppiato

3 4. Un corpo, otto l azione di tre forze: F 1, F, F 3, copie uno potaento. Quali tra i eguenti ono procedienti corretti per calcolare il lavoro totale eeguito ul corpo? a. i calcolano i oduli delle tre forze, i oano tra loro, i oltiplicano per lo potaento b. i uddivide in tre parti uguali, i calcola il lavoro di F 1 ulla pria parte, il lavoro di F ulla econda, il lavoro di F 3 ulla terza e poi i oano i tre contributi c. i calcolano le coponenti delle tre forze parallele allo potaento, i oano tra loro e i oltiplica il riultato per lo potaento d. i calcola dappria il lavoro della riultante tra F 1 e F, poi il lavoro di F 3 e infine i oano i due contributi 5. La rappreentazione grafica del lavoro di una forza è: a. la lunghezza del egento che rappreenta lo potaento in un grafico in cui ull ae x è riportata la forza e ull ae y lo potaento b. l area coprea tra il grafico della legge oraria e l ae dei tepi c. l area coprea tra la curva della forza e l ae delle acie in un grafico in cui ull ae x è riportato lo potaento e ull ae y la forza d. il prodotto della aa per l accelerazione in un grafico accelerazione tepo 6. Una olla, allungata di 10,0 c copie un certo lavoro. Di quanto deve eere allungata per copiere un lavoro doppio? a. 0 c b. 5 c c. 40 c d. 14,1 c Problea volto 1 Dipendenza del lavoro copiuto da una forza dalla ua coponente parallela allo potaento Confronta il lavoro copiuto da una forza F 1 di 1500 inclinata di 0 ripetto all orizzontale che produce, u un corpo appoggiato u un piano orizzontale enza attrito, uno potaento di,510 in direzione orizzontale, con il lavoro copiuto da una forza F di 1550 inclinata di 5 ripetto all orizzontale che, applicata allo teo corpo, produce lo teo potaento.] Scriviao i dati del problea Modulo della pria forza: F 1 = 1500 Direzione della pria forza: θ 1 = 0 con l orizzontale Modulo della econda forza: F = 150 Direzione della econda forza: θ = 5 con l orizzontale Spotaento (in entrabi i cai): =,510 in orizzontale Incognite Lavoro L 1 della pria forza Lavoro L della econda forza Analii e oluzione Forza parallela allo potaento nel prio cao: F 1 = F 1 co(θ 1 ) = 1500 co(0 ) = 1409 lavoro nel prio cao: L 1 = F 1 = 1409,510 = 3537 J forza parallela allo potaento nel econdo cao: F = F co(θ ) = 1550 co(5 ) = 1405 Lavoro nel econdo cao: L = F = 1405,510 = 357 J Quindi la pria forza, ebbene di inore intenità copie un lavoro aggiore. Problea volto Confronto del lavoro di più forze calcolato coe oa dei lavori di ciacuna forza e del lavoro calcolato con la riultante delle forze Un corpo di aa 1,0 kg civola enza attrito lungo un piano inclinato di 30 ripetto all orizzontale per un tratto di 5,00. Calcola il lavoro totale eeguito ul corpo

4 dappria coe lavoro della riultante e poi coe oa dei lavori di tutte le forze agenti ul corpo. Scriviao i dati del problea Maa del corpo: = 1,0 kg Inclinazione del piano: θ = 30 ull orizzontale Lunghezza del piano: = 5,00 Incognita Lavoro totale L eeguito ul corpo (calcolato in due odi) Analii e oluzione Le forze che agicono ul corpo ono la forza peo F P g 1,0kg 9,8 118 diretta kg verticalente vero il bao e la reazione R diretta perpendicolarente al piano. La coponente F del peo e la reazione R i annullano tra loro; la riultante è quindi la coponente del peo parallela al piano: F = F P in(θ) = 118 in(30 ) = 59,0. Il lavoro della riultante è L = F = 59,0 5,00 = 95 J. Paiao a calcolare il lavoro totale coe oa dei contributi delle forze agenti u di eo. Il contributo L R della reazione è zero (forza e potaento perpendicolari). Poiché la forza peo fora un angolo di 60 con lo potaento L P =F P co(60 ) =118 0,500 5,00 =95 J. Quindi L=L R +L P =0+95 J=95 J. Problei 1. Calcola il lavoro copiuto dalla forza peo u un corpo di aa 8,00 kg che cade per un tratto di 6,0. Un pallone di aa 0,400 kg viene calciato vero l alto, raggiunge una altezza di 8,68 e poi ricade a terra. Quanto vale il lavoro eeguito dalla forza peo ul pallone durante la fae di alita? E durante la fae di dicea? 3. Un ragazzo tracina una litta ulla neve con una funicella che fora un angolo di 34 con l orizzontale. È preente una forza di attrito di 3,1 e la litta i uove di oto rettilineo unifore con una velocità di 0,8. Quanto vale il lavoro copiuto dal ragazzo in,5? (Suggeriento: e la litta i uove di oto rettilineo unifore ignifica che quindi la coponente della forza in direzione orizzontale deve eere. Lo potaento, poi, conocendo tepo e velocità i calcola ) 4. Un corpo appoggiato u un piano orizzontale viene tracinato per 4,5 da una forza di 6,7 ; tra corpo e piano è preente una forza di attrito di 4,7. Quanto vale il lavoro totale eeguito ul corpo? 5. Un corpo di 5,0 kg di aa civola u un piano inclinato di un angolo di 40 ripetto all orizzontale per 1,0. Se il coefficiente di attrito dinaico tra il corpo e il piano è 0,5 quanto vale il lavoro totale copiuto ul corpo? 6. Un itea di aortizzatori è forato da due olle uguali di cotante elatica k 400 dipote parallelaente. Che lavoro viene copiuto quando le olle i copriono di 1,0 c? 7. Un corpo di aa,5 kg è fiato alla oità di un piano inclinato di 5 ripetto all orizzontale traite una olla di cotante elatica k 11. Tra il corpo e il piano di appoggio non vi ono attriti. Inizialente la olla è nella ua poizione di equilibrio. Che lavoro viene copiuto ul corpo quando è ceo di 0,680? 8. Un corpo appoggiato u un piano orizzontale privo di attrito è fiato all etreità di una olla inizialente a ripoo di cotante elatica k 48,0. Il corpo viene tracinato per 16 c da una forza cotante di 0. Che lavoro viene copiuto ul corpo? (Suggeriento: dato che la forza della olla non è cotante in queto cao calcolare il lavoro della riultante non è certo la trada più veloce ) 9. Un corpo è collegato a due olle di cotanti elatiche 95 e 65 / e ripettivaente Se i pota il corpo dalla poizione di ripoo di 50 c vero detra quanto vale il lavoro copiuto dalle olle?

5 Energia cinetica L energia cinetica Un corpo di aa che i uove con una certa velocità v urtando contro una olla bloccata ad una etreità e inizialente a ripoo la coprie, cioè provoca un lavoro eccanico da parte della olla. Decriviao queta proprietà del oviento dei corpi ediante una nuova grandezza fiica che chiaiao energia cinetica. Ea dipende ia dalla aa che dalla velocità del corpo, ed è 1 definita dalla relazione: Ec v L energia cinetica è una quantità calare epre poitiva. La ua unità di iura nel SI è il kg che equivale al joule. Infatti 1J 1 1 1kg 1 1 1kg 1 Energia cinetica di un itea di corpi L energia cinetica di un itea di due o più corpi è definita coe la oa delle energie cinetiche dei corpi cotituenti il itea: per ottenere l energia cinetica di un itea di più corpi i calcolano dappria le energie cinetiche di ognuno dei corpi del itea prei ingolarente e poi i oano tutti i contributi. Il teorea delle forze vive Per trovare la relazione tra il lavoro eeguito u un corpo e l energia cinetica che acquita conideriao un corpo di aa inizialente a ripoo u cui agice una forza cotante F. Eo i F 1 uove con una accelerazione cotante a. Dopo un tepo t ha percoro il tratto at e ha raggiunto la velocità v = a t. Il lavoro eeguito ul corpo è quindi dato da: L F a at a t at v Ec. Cioè l energia cinetica acquiita da un corpo è uguale al lavoro copiuto u di eo. Queto riultato cotituice il teorea delle forze vive (o teorea dell energia cinetica), che nella ua fora più generale i enuncia coì: il lavoro copiuto u un corpo dalla riultante delle forze agenti u di eo è uguale alla variazione della ua energia cinetica. Oerviao che il lavoro copiuto u un corpo può eere poitivo, negativo o nullo. Quet ultio è il cao del oto circolare unifore, in cui la forza centripeta è perpendicolare allo potaento; in accordo con il teorea delle forze vive nel oto circolare unifore l energia cinetica non varia. Eepio 1 Applicazione del teorea delle forze vive per il calcolo della velocità finale di un obile Su un corpo di aa 3,0 kg appoggiato u un piano orizzontale enza attrito agice una forza orizzontale di 13 per un tratto di 1,8. Quanto vale la velocità finale del corpo? Scriviao i dati del problea Maa del corpo: = 3,0 kg Forza applicata: F = 13 Lunghezza del tratto di applicazione: = 1,8 Incognita Velocità finale v del corpo Analii e oluzione

6 Il lavoro copiuto ul corpo è L = 13 1,8 = 3 J. Per il teorea delle forze vive queto lavoro è uguale all energia cinetica acquitata dal corpo. Quindi poiao crivere: 1 3J 3,0kg v, da cui v 3J 3,0kg 3,9 L energia cinetica nel quotidiano Coe abbiao vito l energia cinetica dipende tanto dalla aa del corpo in oviento che dalla ua velocità. Queto fa ì che i poano avere ituazioni in cui l energia in gioco è olto alta anche per corpi di piccola aa; bata che la velocità ia ufficienteente elevata. Conideriao ad eepio un piccolo pezzo eccanico (per eepio una vite) della aa di 1 g taccatoi durante una anovra che orbita alla tea 3 quota dello Space Shuttle: eo i uove con una velocità di 7,7 10. La ua energia cinetica vale quindi: E c fraento 10 kg 7,7 10 3,0 10 J. Per farci un idea della grandezza di queta energia confrontiaola con quella di una lavatrice di 50 kg che cade dal terzo piano (h = 10 ). La velocità con cui arriva a terra è data dalla forula v gh 9, a cui corriponde 1 4 una energia cinetica E c lavatrice 50kg 14,5 10 J : cioè inore di quella del fraento! Queto è il otivo per cui le principali agenzie paziali pretano etrea attenzione al problea dei detriti paziali, o Space Debri, vera e propria pazzatura laciata u orbite incontrollate durante le iioni che orai i ueguono da vari decenni, che poono rappreentare eri richi per le attività uane nello pazio. Verifiche di coprenione 1. Coe è definita l energia cinetica di un corpo?. Quale è l unità di iura dell energia cinetica nel SI? 3. Diotra che l unità di iura dell energia cinetica e quella del lavoro eccanico ono equivalenti. 4. Coe è definita l energia cinetica di un itea di corpi? 5. Coe i calcola l energia cinetica di un itea di corpi? 6. Che coa accade ad un corpo inizialente in quiete ul quale agice una forza cotante per un certo intervallo di tepo? 7. Che relazione paa tra l energia cinetica acquiita dal corpo e il lavoro eeguito u di eo? 8. Enuncia e diotra il teorea delle forze vive. 9. Che coa accade e il lavoro copiuto u un corpo è negativo? 10. Che coa accade e la forza che agice u un corpo è perpendicolare alla ua traiettoria? Verifiche di conocenza 1. Per raddoppiare l energia cinetica di un corpo devo: a. raddoppiarne tanto al aa quanto la velocità b. raddoppiarne la velocità c. diezzarne la aa e raddoppiarne la velocità d. raddoppiarne la aa e diezzarne la velocità. Diponi in ordine di energia cinetica crecente i eguenti corpi in oviento: a. un uoo che corre b. una locootiva fera c. una autoobile che fa arcia indietro olto lentaente ( v 1 ) d. una pallottola di pitola

7 3. Indica tra le eguenti le afferazioni corrette. In un itea di corpi: a. Se l energia cinetica è zero anche la quantità di oto è zero b. Se la quantità di oto è zero anche l energia cinetica è zero c. Affinché l energia cinetica ia zero biogna che la oa vettoriale di tutte le velocità ia zero d. Affinché l energia cinetica ia zero biogna che la oa dei oduli di tutte le velocità ia zero 4. Indica tra le eguenti la procedura corretta per il calcolo dell energia cinetica di un itea di corpi: a. per ognuno dei corpi calcolare il odulo del vettore velocità, elevarlo al quadrato, oltiplicare per la aa e dividere per due; poi oare tutti i contributi b. per ognuno dei corpi oltiplicare il vettore velocità per la aa e dividere per due; poi fare la oa vettoriale di tutti i contributi e infine calcolare il odulo del vettore coì ottenuto ed elevarlo al quadrato c. fare la oa dei oduli di tutte le velocità ed elevarla al quadrato; poi oltiplicare il riultato per la oa di tutte le ae e dividere per due d. fare la oa vettoriale di tutte le velocità, calcolare il odulo ed elevarlo al quadrato; poi oltiplicare il riultato per la oa di tutte le ae e dividere per due 5. Sotituici al poto dei puntini il vocabolo o l epreione adeguata celto tra alcuni di quelli indicati: La differenza tra e quella di un corpo è pari della delle agenti ul corpo. (forze, la velocità, la aa, al lavoro, l energia cinetica, l energia cinetica iniziale, riultante, l accelerazione, finale, quantità di oto) 6. Indica tra le eguenti le afferazioni corrette: a. e il lavoro copiuto ul corpo è zero il vettore velocità riane cotante b. e il vettore velocità riane cotante il lavoro copiuto ul corpo è zero c. e il lavoro copiuto ul corpo è zero la traiettoria può eere non rettilinea d. e il lavoro copiuto ul corpo non è zero la traiettoria non può eere rettilinea Problea volto 1 Confronto dell energia cinetica di un itea pria e dopo un urto anelatico Un vagoncino di aa 1,0 kg i ta uovendo con una velocità cotante di 5,00 quando urta un altro vagone avente la tea aa fero ul binario. Dopo l urto i due vagoni retano attaccati. Calcola l energia cinetica del itea pria e dopo l urto. Scriviao i dati del problea Maa coune dei due vagoni: = 1,0 kg Velocità del prio vagone pria dell urto: v i = 5,00 Incognite Energia cinetica del itea pria e dopo l urto Analii e oluzione Pria dell urto l energia cinetica totale E c è uguale a quella del prio vagone: 1 1 E c1 vi 1,0 kg 5,00 150J poiché quella del econdo vagone è E c = 0. Otteniao la v v cioè: velocità finale coune dalla conervazione della quantità di oto: i f 1,0kg 5,00 4,0 kg v f ; da cui: v f 1,0 kg 4,0 kg 5,00,50. Le energie cinetiche finali dei

8 1 1 due corpi che ono uguali e pari a: E c1 Ec v f 1,0 kg,50 37,5 J ; quindi l energia cinetica finale E c = E c1 + E c = 37,5 J + 37,5 J = 75,0 J è età di quella iniziale. Problea volto Applicazione del teorea delle forze vive per il calcolo dello pazio di frenata di un autoobile Calcola quanto pazio occorre per ferari copletaente da quando inizia a frenare, ad un auto di aa k 90 kg che ha una velocità di 90 apendo che il coefficiente di attrito dinaico tra trada e pneuatici è h 0,85. Scriviao i dati del problea Maa dell auto: = 90 kg k Velocità iniziale: v 90 5 h Coefficiente di attrito dinaico: k d = 0,85 Incognita Spazio neceario all auto per ferari copletaente. Analii e oluzione Utilizziao il teorea delle forze vive per ricavare il tratto durante il quale la forza di attrito ha prodotto lavoro reitente. L energia cinetica iniziale è E c v 90kg 5,9 10 J e l energia 3 cinetica finale è zero. La forza di attrito vale: F g kd 90kg 9,8 0,85 7,7 10. La variazione di energia cinetica dell autoobile è 0, J =, J entre il lavoro della forza di attrito nel tratto è dato da: L = F = 7, (il egno eno è dovuto al fatto che la forza di attrito ha direzione oppota ripetto allo potaento). Dal teorea delle forze vive abbiao: 5,9 10 J, J = 7, da cui: ,7 10 J Problei 1. Calcola l energia cinetica di un ao di 0,53 kg cagliato con una velocità di 8,11.. Calcola l energia cinetica di un corpo di aa,50 kg che cade liberaente partendo da fero per un tratto di 1,00 3. Un ao di aa,10 kg è legato all etreità di un filo lungo 85,0 c e viene fatto roteare con un periodo di,76. Quanto vale la ua energia cinetica? 4. Tre uccelli uguali di aa 1,8 kg volano con velocità ripettive di: 1 in direzione nord, 10 in direzione et, 14 in direzione nord et. Quanto vale l energia cinetica del itea? 5. In eguito ad una eploione un corpo di aa 8,0 kg i pezza in due fraenti, dei quali il prio ha una aa di 3,6 kg ed acquita una velocità di. Quanto vale l energia cinetica del itea? 6. Un ragazzo di aa 4 kg ta civolando u uno littino di aa 4 kg in un tratto orizzontale ad una velocità di 8,, quando un altro ragazzo di aa 40 kg inizialente fero alta ullo littino.

9 Quanto vale la variazione di energia cinetica del itea? (Suggeriento: per calcolare la velocità finale devi far ricoro alla conervazione della quantità di oto ) 7. Una pallina di goa di aa 80 g cade da un altezza di 1,0, ribalza e riale fino ad una altezza di 0,83. Quanta energia ha pero durante l urto con il paviento? (Suggeriento: Dall altezza iniziale puoi calcolare con quale velocità la pallina tocca il paviento, e dall altezza finale puoi calcolare con quale velocità riparte dopo il ribalzo ) 8. Un corpo di aa,5 kg civola giù per un piano con attrito inclinato di 30 ripetto all orizzontale lungo 6,0. Inizialente il corpo è fero. Quanto vale la velocità finale acquiita dal corpo? 9. Un corpo di aa,5 kg civola giù per un piano con attrito inclinato di 30 ripetto all orizzontale lungo 6,0. Inizialente il corpo è fero e alla fine ha una velocità di 5,. Quanto vale la forza di attrito tra il corpo e il piano? (Suggeriento: crivi il lavoro riultante ul corpo e poi applica il teorea delle forze vive ) 10. Calcola il lavoro fatto dalla forza peo u un corpo di aa,50 kg che cade liberaente per un tratto di 1,00. Confronta il riultato con quello del problea Un corpo di aa 1,6 kg è, opra un piano orizzontale enza attrito, appoggiato all etreità libera di una olla di cotante elatica k 10 coprea di 0 c. Quale velocità acquita il corpo quando la olla viene laciata libera?

10 L energia potenziale Il lavoro della forza peo Due libri uguali ono appoggiati u due caffali ad altezza divera di una libreria. Se cadono, arrivano ul paviento con energie cinetiche divere. Il libro poto più in alto, anche e non poiede di fatto una aggiore energia ripetto all altro (ono infatti entrabi feri), potenzialente la poiede, infatti cadendo acquiirà una aggiore energia cinetica.. Potenzialente ignifica che tale energia i anifeta olo a patto che i verifichino certe particolari condizioni (il fatto che il libro cada giù dallo caffale). Ci doandiao allora e a partire dalla poizione iniziale del libro ia poibile calcolarne l energia cinetica finale. Eepio 1 Applicazione del teorea delle forze vive per il confronto dell energia cinetica finale di un corpo quando cende lungo un piano inclinato ripetto a quando cade liberaente Un corpo di aa 3,5 kg i trova alla oità di un piano inclinato enza attrito alto 40,0 c e lungo 80,0 c. Pria il corpo viene fatto civolare lungo il piano inclinato, poi viene riportato nella poizione iniziale e fatto cadere liberaente. Calcola l energia cinetica poeduta dal corpo quando tocca terra nei due cai. Scriviao i dati del problea Maa del corpo: = 3,5 kg Altezza del piano inclinato: h = 40,0 c = 0,400 Lunghezza del piano inclinato: l = 80,0 c = 0,800 Incognite Energia cinetica finale nei due cai (oto lungo il piano e caduta libera) Analii e oluzione In entrabi i cai applichiao il teorea delle forze vive: poiché il corpo parte da fero la ua energia cinetica finale è data dal lavoro della riultante delle forze agenti u di eo. Prio cao (oto lungo il piano). La forza riultante agente ul corpo è la coponente del peo parallela al piano: h 0,400 F g 3,5kg 9,81 15,9. Il lavoro è quindi: L = F = 15,9 0,800 = 1,7 J. l 0,800 Secondo cao (caduta libera). In queto cao la forza che agice ul corpo è olo il uo peo: L g h 3,5kg 9,81 0,400 1,7 J. Le due energie cinetiche ono uguali. ell eepio 1 vediao che l energia cinetica acquitata dal corpo alla fine della dicea non dipende dal percoro eguito dal corpo. Ciò è vero anche e noi cegliao una divera inclinazione per il piano e anche e facciao cendere il corpo lungo uno civolo dal profilo non rettilineo. In generale: il lavoro eeguito dalla forza peo u un corpo che copie un qualiai potaento non dipende dal percoro eguito per andare dalla poizione iniziale a quella finale, a olo dal dilivello tra le due poizioni. Forze conervative e forze diipative on tutte le forze godono della proprietà che il lavoro non dipende dal percoro; la forza peo gode di queta proprietà, altre forze no. Le forze che, coe il peo, godono di queta proprietà i dicono conervative, le altre diipative. L attrito è una forza diipativa. Se un corpo percorre una qualiai traiettoria in cui il punto iniziale e quello finale coincidono otto l azione di ole forze conervative, la ua energia cinetica finale arà uguale a quella che aveva all inizio, e invece ono preenti forze diipative, l energia cinetica finale arà inore di quella iniziale. Energia potenziale Per una forza conervativa è poibile crivere il lavoro eeguito durante lo potaento di un corpo in una fora che non dipende dai dettagli di tale potaento. Poiché, per il teorea delle forze

11 vive, tale lavoro i trafora interaente in energia cinetica, eo è una fora di energia chiaata energia potenziale. Più preciaente: la differenza di energia potenziale tra due poizioni è il lavoro della forza conervativa lungo un qualiai percoro che unice le due poizioni. L energia potenziale di olito i indica con il ibolo E p ed eendo oogenea all energia cinetica e al lavoro i iura in joule. Poiché eitono diveri tipi di forze conervative vi ono anche varie fore di energia potenziale. Energia potenziale gravitazionale L energia potenziale gravitazionale è quella relativa alla forza peo. Conideriao un corpo di aa che paa da un altezza h 1 a h. In bae a quanto abbiao vito nell eepio 1 poiao coniderare uno potaento verticale (h 1 h ) parallelo alla forza g. L energia potenziale ripetto alla quota h è quindi data da: E p g h 1 h. Energia potenziale elatica Il lavoro copiuto da una olla di cotante elatica k quando i allunga o i accorcia di un tratto 1 ripetto alla propria poizione di equilibrio è L k. Queta epreione rappreenta quindi anche l energia potenziale della olla. Inoltre, conocendo la cotante della olla e la ua energia E E potenziale poiao ricavare l allungaento: E 1 p p p k E p k. k k L energia potenziale nel quotidiano L energia potenziale gravitazionale iagazzinata in una grande quantità di acqua pota ad una certa altezza h trafora in energia cinetica quando queta precipita a valle forando una cacata. Su queto eplice principio i baa uno dei etodi couneente uati per la produzione di elettricità. Se infatti alla bae della cacata ettiao una turbina le cui pale ono ee in rotazione dall acqua e a queta turbina colleghiao una peciale apparecchiatura in grado di traforare l energia cinetica in energia di tipo elettrico, avreo realizzato una centrale idroelettrica. Eepio Calcolo della variazione di energia potenziale di un corpo quando varia la ua altezza ripetto a un livello di riferiento Su un terrazzo poto a 4,00 ripetto alla trada c è un tavolo alto 80,0 c. Quanto vale la variazione di energia potenziale di un libro di aa 1,80 kg che cade giù dal tavolo? Scriviao i dati del problea Maa del libro: = 1,80 kg Altezza del tavolo: h = 80,0 c = 0,800 Altezza del terrazzo: H = 4,00 Incognita Differenza di energia potenziale del libro nelle due poizioni Analii e oluzione L altezza iniziale del libro è: h 1 = H + h = 4,00 + 0,800 = 4,80 L altezza finale del libro è: h = H = 4,00 Applichiao la forula: E p g h1 h 1,80kg 9,8 4,80-4,00 14,1 J otiao che avreo ottenuto eattaente lo teo riultato anche coniderando coe livello di riferiento il terrazzo anziché la trada; in tal cao arebbe tato h 1 = 0,800 e h = 0.

12 Verifiche di coprenione 1. Se due oggetti ono in quiete ad altezze divere, quale dei due ha aggior energia cinetica?. Se due oggetti inizialente in quiete ad altezze divere vengono fatti cadere liberaente fine a terra, quale dei due avrà aggior energia cinetica alla fine della caduta? 3. Coa ignifica che un corpo in quiete ad una certa altezza poiede potenzialente una deterinata energia cinetica? 4. Se uno teo corpo viene fatto civolare da una certa altezza pria lungo un piano inclinato e poi lungo un econdo piano inclinato più ripido del prio, entrabi enza attrito, in quale dei due cai acquiterà aggior energia cinetica? 5. Coe dipende l energia cinetica acquiita da un corpo che civola lungo un piano inclinato privo di attrito dal profilo del piano? 6. Da che coa dipende il lavoro della forza peo nello potaento di un corpo tra due poizioni? 7. Che coa ignifica che una forza è conervativa? 8. Che coa ignifica che una forza è diipativa? 9. Fai un eepio di forza conervativa ed uno di forza diipativa. 10. Di quanto varia l energia cinetica di un corpo che i uove u un percoro chiuo (punto di partenza coincidente con il punto di arrivo) in preenza di ole forze conervative? 11. Che co è l energia potenziale? 1. In quale unità nel SI viene iurata l energia potenziale? 13. Coe i definice la differenza di energia potenziale tra due poizioni? 14. Coe i calcola l energia potenziale gravitazionale? 15. Coe i calcola l energia potenziale elatica? Verifiche di conocenza 1. Un corpo che inizialente i trova ulla oità di un piano inclinato enza attrito viene fatto civolare e alla fine della dicea ha una certa energia cinetica. Si vuole ripetere l eperiento in odo che acquiti una aggiore energia cinetica. Quali operazioni i poono fare a tal fine? a. auentare la aa del corpo b. auentare l inclinazione del piano c. auentare l altezza del piano diinuendo l inclinazione d. diinuire la aa del corpo. Su un corpo agicono forze di divero tipo. In preenza di quali forze il lavoro per potari da una poizione iniziale ad una finale non dipende dal percoro eguito? a. peo e attrito b. forza elatica c. forza elatica e peo d. forza elatica, peo e attrito e. forza elatica e attrito 3. Sotituici al poto dei puntini il vocabolo o l epreione adeguata celto tra alcuni di quelli indicati: della forza peo u un corpo che copie un qualiai non dipende per andare dalla iniziale a quella finale, a olo dal tra le due poizioni. (la forza, il lavoro, la aa, al lavoro, dilivello, l energia cinetica, poizione, dal percoro, velocità, dall accelerazione, finale, potaento) 4. Scegli le ripote corrette. Un corpo percorre una traiettoria chiua. La ua energia cinetica finale: a. è epre inore di quella iniziale b. e ul corpo agicono forze conervative è icuraente uguale a quella iniziale c. e ul corpo agicono olo forze conervative è icuraente uguale a quella iniziale d. è inore di quella iniziale olo e tra le forze agenti ul corpo ce ne è aleno una diipativa 5. L energia potenziale: a. i può crivere olo per le forze conervative b. i può crivere per qualiai tipo di forza c. i può crivere per qualiai tipo di forza, a nelle forze diipative dipende dal percoro d. non i può crivere per tutte le forze conervative

13 6. La forula per il calcolo dell energia potenziale è: a. gh b. F 7. L unità di iura dell energia potenziale nel SI è: a. b. J c. 1 c. v d. dipende dal tipo di forza d. kg 8. Un corpo di aa paa da una quota h 1 ad una h. In quale tra i eguenti cai è aia la variazione della ua energia potenziale gravitazionale? a. = 1,0 kg; h1 = 118 ; h = 115 c. = 0,840 kg; h1 = 7,0 ; h = 6,5 b. = 0,50 kg; h1 = 0; h = 16,8 d. =, kg; h1 = 1,58 ; h = 1,56 9. Una pallina di cartapeta viene parata da un fucilino a olla. Se i raddoppia la copreione della olla la velocità finale della pallina: a. raddoppia c. quadruplica b. reta invariata d. auenta di un fattore 10. Un corpo di aa è attaccato all etreità libera di una olla fiata verticalente al offitto. Si lacia poi cendere il corpo fino alla ua poizione di equilibrio. ella configurazione finale ripetto a quella iniziale: a. l energia potenziale elatica della olla è diinuita entre quella potenziale gravitazionale è auentata b. l energia potenziale elatica della olla è auentata entre quella potenziale gravitazionale è diinuita c. ono diinuite entrabe le energie potenziali d. ono auentate entrabe le energie potenziali Problea volto 1 Calcolo dell energia cinetica iniziale e finale di un corpo che ale e poi ridicende lungo un piano inclinato nei cai con e enza attrito Un corpo di aa 4,00 kg viene lanciato dalla bae di una alita inclinata di 45 vero l alto con una velocità di 15,0. Calcola l energia cinetica all inizio e quando ripaa per la poizione iniziale e tra il blocco e il piano: 1) non c è attrito; ) c è un coefficiente di attrito pari a 0,66. Scriviao i dati del problea Maa del corpo: = 4,00 kg Inclinazione del piano: θ = 45 Velocità iniziale del corpo: v 15,0 Incognite L energia cinetica iniziale e finale nei due cai Analii e oluzione Forza di attrito nel prio cao: aente Coefficiente di attrito nel econdo cao: k d = 0, L energia cinetica iniziale è: E c v 4,00 kg 15,0 450J Prio cao (enza attrito). La riultante delle forze agenti ul corpo è la coponente parallela al piano del 7,7 peo g in 4,00 kg 9,81 in 45 7,7 ; quindi: a 6,93. Il tepo 4,00 kg

14 15,0 v neceario al corpo per ferari è dato da: t,16 durante il quale percorre la ditanza a 6, at 6,93,16 16, e acquita la velocità finale: v fin a 6,93 16, 15,0, eattaente uguale alla velocità iniziale, pertanto anche l energia cinetica finale arà uguale a quella iniziale. Secondo cao (con attrito). In queto cao oltre alla coponente del peo lungo il piano c è anche la forza di attrito, data dal prodotto della coponente del peo perpendicolare al piano per il coefficiente di attrito dinaico: FA g co kd 4,00 kg 9,8 co 45 0,66 18,3. Mentre il corpo ale tanto l attrito che la coponente del peo parallela al piano ono dirette vero il bao, quindi la riultante è: F alita Falita 46,0 = 7,7 + 18,3 = 46,0 e l accelerazione è: a alita 11,5. Il tepo di alita vale: 4,00 kg 15,0 v 1 1 t 1,30 e lo pazio percoro: at 11,5 1,30 9,7. ella fae di a 11,5 dicea l attrito (che è oppoto alla direzione del oto) è vero l alto, quindi la riultante è data da: F dicea = Fdicea 9,4 7,7 18,3 = 9,4. L accelerazione vale adeo: a dica,4 e la velocità 4,00 kg finale: v E c 1 fin v fin,4 9,7 a 1 4,00 kg 6,8 9J 6,8. Da cui l energia cinetica: Problei 1. Calcola l energia potenziale ripetto a terra di un ragazzo di 54 kg eduto u un uretto alto 1,5.. Calcola la variazione di energia potenziale di un acenore con due perone a bordo (aa copleiva acenore + paeggeri: 36 kg) quando cende di un piano (dilivello: 4,00 ) 3. Un acenore (aa a vuoto 00 kg) è inizialente vuoto al piano terreno. Montano due perone, una di aa 5,0 kg e l altra di aa 81,0 kg. La pria i fera al econdo piano, l altra ale fino al quarto. L acenore viene poi chiaato al quinto piano dove ontano due perone, una di aa 64,5 kg che i fera al prio piano, l altra di aa 48,0 kg che proegue fino al piano terreno. Se l altezza di ciacun piano è 4,00, quanto vale la variazione totale di energia potenziale durante quete operazioni? (Suggeriento: attenzione ai egni!...) 4. Una olla di cotante elatica k 18 è dipota verticalente con una etreità fiata a terra. Sull etreità libera i appoggia un corpo di aa =,4 kg e i lacia che il itea i porti nella ua poizione di equilibrio. Quanto vale la variazione totale (cioè elatica + gravitazionale) di energia potenziale? 5. Uno littino di aa 5,1 kg con opra un ragazzo di aa 4,5 kg civola, partendo da fero, giù per un pendio alto 18,. Quanto vale la variazione di energia potenziale gravitazionale a età e alla fine della dicea?

15 6. Una olla di cotante elatica k 108 è dipota orizzontalente con una etreità fiata a una parete verticale. La olla viene coprea di 1,0 c e un corpo di aa 35 g viene appoggiato ull etreità libera. Quanto vale l energia potenziale del itea? 7. Una olla di cotante elatica k 368 e lunghezza a ripoo l 0 = 50,0 c ha inizialente una lunghezza l 1 = 71,8 c ridotta poi a l = 68,3 c. Quanto vale la variazione di energia potenziale?

16 Conervazione dell energia per un corpo oggetto alla forza peo Una palla viene laciata cadere dall ultio piano di un palazzo. ell itante iniziale la palla i trova a una certa altezza ripetto alla trada e poiede energia potenziale; durante la caduta, diinuendo l altezza, diinuice anche l energia potenziale della palla, entre auenta la ua velocità e di coneguenza la ua energia cinetica. Alla fine della caduta l altezza dal terreno è nulla e nulla è l energia potenziale, entre è aia l energia cinetica dovuta alla velocità con cui la palla giunge al uolo. Analizziao il lavoro copiuto dalla forza peo F p nella caduta dal livello A al livello B. In A la palla i trova all altezza h A ripetto alla trada, poiede quindi l energia potenziale E pa = g h A e ha velocità v A, pertanto la ua energia 1 cinetica vale E ca =. Quando la palla paa per il punto B, la ua energia potenziale è E pb = v A g h B, entre l energia cinetica è data da E cb = 1. Durante la caduta la forza peo F p copie il lavoro: LAB FP ha hb FP ha FP hb gha ghb che poiao crivere anche nella fora: L AB = E pa E pb. Il lavoro copiuto dalla forza peo è quindi uguale alla differenza tra l energia potenziale al livello iniziale (A) e l energia potenziale al livello finale (B). D altra parte, per il teorea delle forze vive, il lavoro della forza peo è anche uguale alla 1 1 variazione dell energia cinetica della palla: L AB = v B v A = E cb E ca. Uguagliao le due epreioni che rappreentano il lavoro della forza peo: E cb E ca (Teorea delle forze vive) = E pa E pb (Definizione di energia potenziale) Spotiao nel prio ebro i terini che riguardano la poizione B e al econdo ebro quelli relativi alla poizione A: E cb + E pb = E ca + E pa. Alla oa dell energia cinetica e dell energia potenziale poedute dalla palla a un certo livello i dà il noe di energia eccanica; ea è indicata dal ibolo E = E c + E p e iurata in joule (J). L equazione E cb + E pb = E ca + E pa otra che l energia eccanica della palla al livello B è uguale all energia eccanica al livello A. In generale poiao dire che durante il oto di un corpo u cui agice olo la forza peo, l energia eccanica i conerva. Pertanto l energia eccanica della palla durante la caduta è epre la tea a qualunque altezza dalla trada, anche e la ua energia potenziale diinuice e l energia cinetica auenta. Il principio di conervazione dell energia eccanica perette di riolvere agevolente problei di dinaica riguardanti la caduta dei gravi. Eepio 1 Applicazione del principio di conervazione dell energia eccanica per calcolare la velocità di un corpo in caduta libera Una palla di aa 0,0 kg cade dall ottavo piano di un palazzo, poto a 4 dal livello tradale. Vogliao calcolare la velocità della palla quando paa per il quinto piano, poto a 15 d altezza, e la velocità con cui giunge al uolo. Scriviao i dati del problea Maa della palla che cade = 0,0 kg. Altezza iniziale di caduta della palla h i = 4. Altezza interedia del 5 piano h A = 15. Altezza finale h f = 0. Velocità iniziale della palla v i = 0. v B

17 Incognite Velocità v A della palla al 5 piano. Velocità v f al uolo. Analii e oluzione Per riolvere il problea applichiao il principio di conervazione dell energia eccanica. Calcoliao l energia eccanica della palla all itante iniziale, auendo coe riferiento per l energia potenziale il 1 uolo: E = E ci + E pi = vi g hi = 0 + 0,0 kg 9,8 4 = 47 J. kg L energia cinetica poeduta dalla palla al 5 piano i calcola ediante il principio di conervazione dell energia eccanica: E = E ca + E pa, pertanto ea è data dalla differenza tra l energia eccanica e l energia potenziale a quel piano: E ca = E E pa = E g h A = 47 J 0,0 kg 9,8 kg 15 = 18 J. 1 18J Dall epreione dell energia cinetica EcA v A i ha il valore della velocità: v A 13. 0,0 kg In odo analogo calcoliao la velocità della palla quando arriva al uolo. Qui l energia potenziale è nulla poiché l altezza è 0: l energia eccanica è tutta otto fora di energia cinetica. La velocità pertanto è data 47 J da: v f. 0,0 kg Conervazione dell energia eccanica lungo un percoro qualunque Il principio di conervazione dell energia eccanica può eere applicato anche nella rioluzione di problei riguardanti la forza peo nei quali la traiettoria eguita dal obile non è verticale. Eepio Calcolo della velocità finale ediante il principio di conervazione dell energia Conideriao uno ciatore di 70 kg che, partendo da fero, cende lungo un pendio innevato dall altezza h = 0, enza attrito. Vogliao calcolare la velocità con cui giunge in fondo alla pita. Scriviao i dati del problea Maa dello ciatore = 70 kg. Velocità iniziale dello ciatore v i = 0. Altezza da cui parte lo ciatore h = 0. Incognita Velocità finale v f in fondo al pendio Analii e oluzione L unica forza che copie lavoro ullo ciatore è la forza peo (la reazione del terreno è infatti perpendicolare allo potaento), per cui poiao applicare il principio di conervazione dell energia eccanica. Conideriao il fondo del pendio coe livello di riferiento per il calcolo dell energia potenziale e deteriniao l energia eccanica al oento della partenza, cioè in cia al pendio, dove la velocità dello 1 ciatore è nulla: E = E ci + E pi = v i + g h i = kg 9,8 0 = 1, J. kg Calcoliao ora l energia eccanica E in fondo al pendio, dove l altezza è nulla: 1 E = E cf + E pf = 1 v f + g h f = 70 kg f v + 0 = 35 Uguagliao le due epreioni dell energia finale: 35 da cui otteniao la velocità finale: v f = 0. v f. v f = 1, J; on avreo potuto riolvere il problea utilizzando il econdo principio della dinaica per calcolare l accelerazione e con ea la velocità finale, perché non conocendo l inclinazione del pendio in ogni uo punto, è ipoibile deterinare la forza parallela al pendio teo che provoca l accelerazione. Il principio di conervazione dell energia perette di deterinare la velocità finale di un oto anche enza conocere l accelerazione durante il oto teo.

18 Verifiche di coprenione 1. Quale tipo di energia poiede un corpo di aa che i trova all altezza h dal uolo? Coe i calcola?. Quale tipo dei energia poiede un corpo di aa che i uove con velocità v? Coe i calcola? 3. Che relazione c è tra il lavoro copiuto dalla forza peo e l energia potenziale di un corpo quando eo paa da una quota h A a una quota h B? 4. Che relazione c è tra il lavoro copiuto dalla forza peo e l energia cinetica di un corpo che cade dal livello A al livello B? 5. Quale coneguenza i trae coniderando il lavoro copiuto dalla forza peo in relazione ripettivaente all energia potenziale e all energia cinetica di un corpo? 6. Che coa i intende per energia eccanica poeduta da un corpo? 7. Che coa affera il principio ci conervazione dell energia eccanica di un corpo oggetto oltanto alla forza peo? 8. Il principio di conervazione dell energia eccanica è valido olaente per traiettorie di caduta rettilinee? 9. Quale vantaggio i ottiene nell utilizzare il principio di conervazione dell energia eccanica nella rioluzione di problei di dinaica? 10. Decrivi le fore in cui i anifeta l energia eccanica nel oto di ocillazione del pendolo. Verifiche di conocenza 1. Una palla cade da un altezza h; tracurando la reitenza dell aria quale delle eguenti afferazioni è vera? a. L energia cinetica finale è aggiore dell energia potenziale iniziale perché la forza peo ha accelerato la palla b. In ogni poizione della palla durante la caduta, l energia cinetica è epre uguale ed oppota all energia potenziale, in odo che la loro oa ia cotante e uguale a 0 c. Durante la caduta l auento di energia cinetica è uguale alla diinuzione di energia potenziale. Una palla cade dall ottavo piano di un palazzo. A età caduta i ha che: a. l energia cinetica è inore dell energia potenziale b. l energia cinetica è uguale all energia potenziale c. l energia cinetica è aggiore dell energia potenziale 3. Due cae cadono da fere e dalla tea altezza; la pria cade in verticale, la econda lungo uno civolo inclinato di 30 ripetto all orizzontale e enza attrito. Quale delle eguenti afferazioni è vera? a. La velocità finale della caa che cade in verticale è aggiore dell altra perché l accelerazione è aggiore b. La velocità finale della caa che cade lungo lo civolo è aggiore dell altra perché il percoro è più lungo e quindi la caa ha il tepo di prendere più velocità c. Le due velocità ono uguali per il principio di conervazione dell energia eccanica d. on è poibile ripondere perché non i hanno dati iniziali ufficienti 4. Un corpo cade al livello B dal livello A poto all altezza h da B. Applicando il principio di conervazione dell energia ai tre percori indicati, coe ono le velocità finali? a. v1 < v < v3 b. v1 > v < v3 c. v1 = v = v3 5. Due palline aventi la tea aa vengono lanciate vero l alto, la pria con velocità doppia della econda. Quale delle eguenti afferazioni è corretta?

19 a. Le altezze raggiunte dalle due palline ono uguali b. L altezza raggiunta dalla pria pallina è quadrupla di quella della econda pallina c. L altezza raggiunta dalla pria pallina è doppia di quella della econda d. on i può riolvere il queito perché non i conoce la aa delle palline 6. Un pendolo nel punto più alto di un ocillazione raggiunge la quota di 0,46 ripetto al punto più bao. La ua velocità nel punto più bao vale: a. 9,0 b. 3,0 c.,1 d. non è poibile calcolarla perché non i conoce la aa del pendolo 7. Se raddoppiao la aa di un pendolo che ocilla, la velocità della aa nel punto più bao dell ocillazione: a. non cabia b. raddoppia c. quadruplica 8. Se i raddoppia la aa di un pendolo che ocilla, l energia cinetica poeduta dalla aa nel punto più bao: a. reta la tea per il principio di conervazione dell energia b. raddoppia perché l energia cinetica è direttaente proporzionale alla aa c. quadruplica perché l energia cinetica dipende dal quadrato della velocità 9. Sulla Luna, dove l accelerazione di gravità è un eto del valore che ha ulla Terra, una palla viene lanciata vero l alto con velocità iniziale v. L altezza raggiunta dalla palla è: a. uguale all altezza raggiunta ulla Terra, perché l energia di partenza è la tea b. inore dell altezza raggiunta ulla Terra, perché ulla Luna non c è aria che fornice la pinta di Archiede c. aggiore dell altezza raggiunta ulla Terra, perché a parità di energia eccanica l altezza è inveraente proporzionale a g Problea volto Calcolo della velocità di un altalena ediante il principio di conervazione dell energia Conideriao un altalena di lunghezza 3,0, ulla quale è eduto un babino; la aa altalena-babino vale 40 kg. All itante iniziale l altalena è potata vero l alto di 1,0 ripetto al punto più bao e poi viene laciata libera di ocillare. Vogliao calcolare la velocità v nel punto più bao dell ocillazione. Scriviao i dati del problea Lunghezza della fune dell altalena l = 3,0 aa che ocilla, forata dall altalena e dal babino = 40 kg poizione del punto di partenza dell altalena ripetto al punto più bao h = 1,0 velocità iniziale dell altalena nel punto più alto v i = 0 Incognita velocità v dell altalena nel punto più bao Analii e oluzione L unica forza che copie lavoro ull altalena è la forza peo (la tenione della fune è infatti perpendicolare allo potaento), per cui poiao applicare il principio di conervazione dell energia eccanica. L energia potenziale dell altalena ripetto al punto più bao e all itante iniziale è data da gh; l energia cinetica iniziale è nulla perché è nulla la velocità iniziale. Pertanto l energia eccanica calcolata nella poizione iniziale vale gh.

20 ella poizione più baa l altezza è nulla, per cui è nulla anche l energia potenziale. L energia cinetica vale 1 1 v. L energia eccanica pertanto è data da v. Poiché l energia eccanica i conerva, poiao crivere: 1 v = gh Ineriao i dati nell equazione: 1 40 kg v = 40 kg 9,8 kg 1,0 40 kg 9,8 1 kg Eeguendo le operazioni: v = 4,4. 0 kg Oerviao che per poter applicare il principio di conervazione dell energia al problea del pendolo non è neceario che le ocillazioni iano piccole. Problei 1. La palla dell eepio 1, di aa 0,00 kg cade partendo da fera dall ottavo piano poto a 4,0 d altezza. Calcola l energia potenziale, l energia eccanica e quella cinetica all inizio della caduta e per ogni piano fino al uolo. Il dilivello tra due piani è di 3,00. Riporta in un unico grafico carteiano i valori deterinati, ponendo ull ae delle acie l altezza dal uolo e ull ae delle ordinate le energie. In quale punto l energia cinetica uguaglia l energia potenziale gravitazionale?. Una palla di aa 0,5 kg cade da un palazzo e giunge al uolo con un energia cinetica di 44,1 J. Da che altezza è caduta? A che ditanza da terra l energia cinetica è uguale all energia potenziale? 3. Un vao di fiori di 0,500 kg cade da un balcone poto a 6,00 d altezza ripetto al terreno. Quant è la ua energia cinetica quando arriva al livello del uolo? A livello del uolo i trova la cala eterna che cende in cantina pota a,50 otto il livello del uolo. Quant è l energia cinetica del vao a livello della cantina? Quant è la ua velocità a tale livello? 4. Una tegola di 0,400 kg cade dalla oità di una torre; a una certa altezza la ua energia potenziale gravitazionale vale 16,0 J e la ua energia cinetica vale 6,4 J. Calcola quanto è alta la torre e la velocità che poiede la tegola quando cade a terra. 5. Uno ciatore di aa totale 90,0 kg cende lungo un pendio enza attrito. Calcola la velocità che poiede nel punto più bao poto a 50,0 otto il livello di partenza. La pita riale fino a 30,0 dal punto più bao. Quanto valgono l energia potenziale e quella cinetica alla oità del econdo livello? Quanto vale la velocità nel punto finale? 6. Uno ciatore di 80 kg poiede un energia cinetica di J e i lancia lungo una alita enza attrito. Calcola l altezza che raggiunge pria di ferari. 7. Un pendolo di aa 0,00 kg durante le ocillazioni raggiunge l altezza di 1,4 dal paviento. Il livello più bao delle ocillazioni i trova a 1,0 dal paviento. Quanto vale la velocità del pendolo nel livello più bao?