Esempio: Trovare le coordinate del punto medio del segmento di estremi. Applicando la formula, abbiamo che:

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Maddalena Rosi
4 anni fa
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1 IL PINO CRTESINO E L RETT Il punto medio di un segmento Il punto medio di un segmento è quel punto M che appartiene al segmento e ha la stessa distanza dagli estremi e del segmento. Dati i punti, il punto medio M del segmento ha le seguenti coordinate: Esempio: Trovare le coordinate del punto medio del segmento di estremi. pplicando la formula, abbiamo che: La distanza fra due punti La distanza fra due punti nel piano cartesiano può essere calcolata nei modi seguenti. Si può applicare quando i punti hanno la stessa ordinata cioè appartengono ad una retta parallela all asse. Esempio: Consideriamo i punti ( ; ) e ( ; ) Cioè si calcola il valore assoluto della differenza delle ascisse.

2 Si può applicare se i punti hanno la stessa ascissa cioè appartengono ad una retta parallela all asse. Esempio: Consideriamo i punti ( ; ) e ( ; ) Cioè si calcola il valore assoluto della differenza delle ordinate. Siamo nel caso generale, ovvero questa formula si può applicare sempre. Questa formula, che comprende anche i due casi particolari precedenti, si usa quando i due punti hanno diversa ascissa e diversa ordinata. Esempio: Consideriamo i punti (; ) e (; ) 6 (; ) (;) - L equazione - della retta nel piano 6 cartesiano - Ogni retta del piano cartesiano è identificata da un equazione. Rette parallele all asse La retta di equazione = è parallela all asse ed è formata da tutti (e soli) i punti che hanno come seconda coordinata. La retta di equazione = - è parallela all asse ed è formata da tutti (e soli) i punti che hanno come seconda coordinata -. Una retta parallela all asse, ha un equazione del tipo: =k. = =- - Rette parallele all asse

3 La retta di equazione = - è parallela all asse ed è formata da tutti (e soli) i punti che hanno come prima coordinata -. La retta di equazione = che è parallela all asse è costituita da tutti (e soli) i punti che hanno come prima coordinata. Una retta parallela all asse, ha un equazione del tipo:. Una retta passante per l origine, diversa dall asse, ha equazione del tipo = m con m numero reale. Esempio: Le retta in figura ha equazione. Ogni retta non parallela all asse ha equazione del tipo: = m + q dove m e q sono numeri reali. Il significato dei numeri m e q Nell equazione della retta = m + q, il numero m si chiama coefficiente angolare e il numero q termine noto. Per esempio, nell equazione: = + Il coefficiente angolare è Il termine noto è Il termine noto q è l ordinata del punto d intersezione della retta di equazione = m + q con l asse. 6 (; ) -> termine noto q= Il coefficiente angolare m dà invece informazioni sulla inclinazione della retta rispetto all asse. m > percorrendo la retta da m < sinistra verso destra si sale percorrendo la retta da sinistra verso destra si scende

4 angolo acuto angolo ottuso Se m > Quando m passa da ½, a, a, a ecc. le rette = m + q formano con l asse angoli acuti di ampiezza via via maggiore; in altre parole: al crescere di m si ottengono rette che formano Se m < al crescere di m le rette = m + q formano con l asse angoli ottusi di ampiezza via via maggiore; in altre parole: al crescere di m si ottengono rette sempre meno ripide m = m = m = - m = - m = / m = -/ L equazione generale della retta nel piano cartesiano L equazione = m + q non permette di rappresentare tutte le rette del piano cartesiano, in quanto non comprende le rette parallele all asse che hanno equazione =h cfr. esempio precedente con = -. L equazione che permette di rappresentare tutte le rette del piano è la seguente: a + b + c = dove a, b e c sono numeri reali con a e b non entrambi nulli. Se l equazione di una retta è assegnata nella forma a + b + c = si dice che l equazione è data in forma implicita; se invece l equazione di una retta è assegnata nella forma = m + q si dice che l equazione è data in forma esplicita. Per passare dalla forma implicita alla forma esplicita basta ricavare. Esempio: L equazione + + = è l equazione di una retta, data i forma implicita. Risolviamo questa equazione rispetto a : bbiamo così ottenuto l equazione della retta in forma esplicita. Rette parallele Due rette non parallele all asse, di equazioni = m + q e = m + q, sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare. La condizione di parallelismo è quindi: m = m Rette perpendicolari

5 Due rette non parallele agli assi, di equazioni = m + q e = m + q, sono perpendicolari se e solo se i loro coefficienti angolari hanno prodotto. La condizione di perpendicolarità è quindi: m m oppure m m Come determinare l equazione di una retta Sappiamo dalla geometria euclidea che una retta resta univocamente individuata quando se ne conoscono un punto e la direzione, oppure due punti. Trasferendoci nell ambito della geometria analitica, scaturiscono i seguenti problemi: a. determinare l equazione di una retta passante per un punto P(, ) e di coefficiente angolare m assegnato (il coefficiente angolare individua la direzione della retta); b. determinare l equazione di una retta passante per due punti assegnati. RETT PSSNTE PER UN PUNTO E DI SSEGNTO COEFFICIENTE NGOLRE L equazione della retta passante per P(, ) e di coefficiente angolare m è: m Esempio: L equazione della retta passante per P( ; ) e di coefficiente angolare m = è: ( ) RETT PSSNTE PER UN PUNTO E PRLLEL UN RETT DT Esempio: Determiniamo l equazione della retta passante per P( ; ) e parallela alla retta r, di equazione. L equazione della retta r in forma esplicita è:, quindi il suo coefficiente angolare è m In base alla formula su scritta, l equazione della retta passante per P( ; ) e parallela alla retta r sarà: 7 da cui RETT PSSNTE PER UN PUNTO E PERPENDICOLRE UN RETT DT Esempio: Determiniamo l equazione della retta passante per P( ; ) e perpendicolare alla retta r, di equazione. Il coefficiente angolare della retta r è ; pertanto una retta perpendicolare a r deve avere coefficiente angolare m '. La retta cercata è allora quella passante per P(;) e di coefficiente angolare m In base alla formula su scritta: da cui RETT PSSNTE PER DUE PUNTI

6 Vediamo come si determina l equazione di una retta passante per due punti (, ) e (, ) assegnati. Si dimostra che il coefficiente angolare m della retta passante per (, ) e (, ), con, è m, e pertanto la formula è Esempio: Determina l equazione della retta passante per (, ) e (, ). m ossia ) (

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