24.1 Coniche e loro riduzione a forma canonica

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1 Lezione Coniche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y amenodicostantimoltiplicativenonnulle,diciamo ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f (a, b, c, d, e, f 2 R). Nella precedente lezione ci siamo posti il problema di descrivere il luogo geometrico (eventualmente vuoto) C = { P =(x, y) ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =} ed abbiamo visto che tale luogo può essere un ellisse, un iperbole, una parabola (coniche classiche) o qualcos altro. Per tale motivo è opportuno introdurre la seguente definizione. Definizione 24. (Coniche). Una conica C nel piano (rispetto ad un fissato sistema di riferimento Oxy) èildato,amenodicostantimoltiplicativenonnulle,di un equazione della forma ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =, con a, b, c, d, e, f 2 R e a, b, c non simultaneamente nulli. Se C èlaconicaax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =,moltospesso,nelseguito, utilizzeremo la locuzione la conica C di equazione ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =. Nella lezione precedente abbiamo studiato come cambia l equazione di una conica (nel senso della definizione sopra) quando operiamo nel piano una rototraslazione: la nuova equazione si ottiene sostituendo alle vecchie variabili la loro espressione in funzione di nuove variabili. Vediamo cosa si può dire nel caso specifico delle coniche. Come prima cosa osserviamo che l equazione di cui sopra si può sempre scrivere nella forma a, x 2 +2a,2 xy + a 2,2 y 2 +2a,3 x +2a 2,3 y + a 3,3 = (24..) per opportuni a i,j 2 R (sarà chiara fra poco la maggiore convenienza di una tale notazione rispetto alla precedente). Vorremmo trovare un sistema di riferimento O x y nel piano con coordinate x,y in modo tale che l equazione (23..) divenga più semplice e, soprattutto, riconoscibile: per esempio potremmo desiderare d avere un equazione canonica nel senso della seguente definizione. 24

2 242 Definizione 24.2 (Forma canonica di una conica). Nel piano sia fissato un sistema di riferimento Oxy e sia C una conica. Diciamo che C è in forma canonica (o che Oxy èunsistema di riferimento canonico per C) sel equazionedic èdella forma x 2 + y 2 =, (24..2) oppure per qualche,, 2 R. y 2 =2 x (24..3) Cerchiamo, quindi, di capire come fare per passare dal vecchio riferimento Oxy ad un nuovo riferimento O x y rispetto a cui C sia in forma canonica. Per individuare l angolo di rotazione ' el origineo del nuovo sistema di riferimento faremo uso della teoria delle forme quadratiche vista in precedenza. Infatti all equazione (24..) si possono associare facilmente le due forme quadratiche a, x 2 +2a,2 xy + a 2,2 y 2, a, x 2 +2a,2 xy + a 2,2 y 2 +2a,3 xt +2a 2,3 yt + a 3,3 t 2 le cui matrici (simmetriche) sono, rispettivamente, a a, a, a,2 a,3 A =,2, B a a,2 a,2 a 2,2 a 2,3 A 2,2 a,3 a 2,3 a 3,3 dette rispettivamente matrice dei termini di secondo grado della conica e matrice (completa) della conica. Osserviamochesiha x x y ya = a, x 2 +2a,2 xy + a 2,2 y 2 +2a,3 x +2a 2,3 y + a 3,3. (24..4) Esempio Nel piano con fissato sistema di riferimento Oxy si consideri la conica C di equazione 3x 2 +2xy +3y 2 +2 p 2x =. La matrice dei termini di secondo grado di C elamatricecompletadic sono rispettivamente 3 p 2 3 A =, B 3 A 3 p. 2 Sia ora O x y un nuovo sistema di riferimento nel piano legato ad Oxy da una certa rototraslazione della forma x cos ' sin ' x u = y sin ' cos ' y + v (si veda la Proposizione 23.6) e supponiamo che C sia rappresentata rispetto a tale sistema dall equazione

3 x 243 x y y A =. (24..5) Qual è allora il legame tra le matrici B e B nelle equazioni (24..4) e (24..5)? La rototraslazione di cui sopra si può scrivere in forma compatta come x cos ' sin ' u ya sin ' cos ' y A. Sostituendo tale formula nelle (24..4) e (24..5) otteniamo il seguente risultato. Proposizione Nel piano siano fissati due sistemi di riferimento Oxy e O x y. Si assuma che il semiasse positivo delle x formi un angolo ' (misurato in senso antiorario) con il semiasse positivo delle x echelecoordinatedio rispetto al sistema di riferimento Oxy siano (u, v). Poniamo cos ' sin ' u Q sin ' cos ' va cos ' sin ', P =. sin ' cos ' Sia poi C una conica avente nei due sistemi di riferimento matrici complete B e B ematricideiterminidigrado2 A ed A rispettivamente. Allora esiste 2 R non nullo tale che B = t QBQ e A = t P AP. Data una conica C di equazione (24..), per determinare una sua equazione canonica si può dunque procedere come segue. Si determina prima una matrice ortogonale speciale che diagonalizzi la matrice A del complesso dei termini di secondo grado: in questo modo l equazione di C viene trasformata in una della forma ba, bx 2 + ba 2,2 by 2 +2ba,3 bx +2ba 2,3 by + ba 3,3 =. Ciò equivale a una rotazione che ci fa passare dal vecchio sistema di riferimento Oxy ad un sistema di riferimento ausiliare Obxby. Aquestopuntocontrasformazionideltipo(bx, by) 7! (x +a, y +b) (cioè formando iquadrati:èilmetodoconcuisirisolvonoleequazionidisecondogrado!)sifain modo che scompaiano il massimo numero di monomi di grado e, eventualmente, il termine noto. L equazione risultante diviene se det(a) 6=,oppure x 2 + y 2 =, y 2 =2 x, se det(a) =, dunque è in forma canonica. Ciò equivale a una traslazione che ci fa passare dal sistema di riferimento ausiliario Obxby al nuovo sistema di riferimento O x y. Illustriamo quanto visto con un esempio dettagliato.

4 244 Esempio Consideriamo la conica C dell Esempio 24.3 di equazione 3x 2 +2xy +3y 2 +2 p 2x =, (24..6) con matrici associate 3 p 2 3 A =, B 3 A 3 p. 2 Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = 3 t 3 t = t2 6t +8=(t 2)(t 4), quindi gli autovalori di A sono 2 e 4. L autospazioe A (2) si determina risolvendo il sistema s = : t calcoliamo che E A (2) = L((, )). Poiché sappiamo che l autospazio relativo all altro autovalore 4 contiene autovettori non nulli (per definizione) ortogonali agli autovettori di E A (2) (perché A è simmetrica: si veda la Proposizione 22.), sappiamo che l autospazio E A (4) = L((, )). Quindi la matrice ortogonale speciale cercata è p p 2/2 2/2 P = p p 2/2 2/2 elarotazionecorrispondenteè x = y p p p 2/2 p 2/2 bx 2/2 2/2 by o, equivalentemente, ( x = p 2/2bx + p 2/2by y = p 2/2bx + p 2/2by. La conica C nel sistema di riferimento ausiliare Obxby ha matrice dei termini di secondo grado 2 ba =. 4 Per determinare i monomi di grado nella sua equazione relativa a Obxby basta sostituire nell equazione (24..6) le espressioni di x ed y in funzione di bx e by nei monomi di grado. Quindilasuaequazioneè Si noti che 2bx 2 +4by 2 +2bx +2by =. 2bx 2 +2bx =2(bx 2 + bx) =2((bx +/2) 2 /4) = 2(bx +/2) 2 /2,

5 245 4by 2 +2by =4(by 2 + by/2) = 4((by +/4) 2 /6) = 4(by +/4) 2 /4. Ponendo x = bx+/2 e y = by+/4,l equazionedic rispetto al sistema di riferimento O x y diviene 2x 2 +4y 2 3/4 =, che è un equazione canonica. Moltiplicando ambo i membri per 4/3 otteniamo infine l equazione 8 3 x y2 =. (24..7) Deduciamo che C èun ellissedisemiassi p 3/8 e p 3/6. Le equazioni della rototraslazione che trasforma l equazione (24..6) nell equazione (24..7) sono p p x 2/2 2/2 = p p x y 2/2 2/2 y + p p 3 2/8. (24..8) 2/8 Il centro di C èilpuntoche,delnuovosistemadiriferimento,èl origine. Quindiè il punto che ha coordinate (, ) rispetto a O x y.dalleequazioni(24..8)deduciamo allora che il centro di C ha coordinate ( 3 p 2/8, p 2/8) rispetto a Oxy. Gli assi di C sono le rette che, del nuovo sistema di riferimento, sono gli assi coordinati. Quindi sono le rette di equazioni x =e y =rispetto a O x y.dalle equazioni (24..8) deduciamo che x = y p p p 2/2 p 2/2 x + 2/2 2/2 y /2, /4 dunque gli assi della conica C sono le rette di equazione p p 2x 2y + = e 2 p 2x +2 p 2y +=rispetto a Oxy. In maniera simile il lettore determini le coordinate dei vertici di C rispetto a Oxy. Per disegnare C, oltrealleinformazionigiàdeterminate,puòessereutilecalcolare le intersezioni con gli assi x ed y. Per calcolare le intersezioni di C con l asse delle ordinate risolviamo il sistema ( 3x 2 +2xy +3y 2 +2 p 2x = x = la cui unica soluzione è (, ). Le intersezioni con l asse delle ascisse sono invece date dalle soluzioni del sistema ( 3x 2 +2xy +3y 2 +2 p 2x = cioè (, ) e ( 2 p 2/3, ). y =

6 246 y y' ŷ O' O=Ô x x' xˆ Figura 24. In Figura 24. abbiamo riportato il disegno della conica C Determinazione del tipo di una conica Abbiamo visto finora che ogni conica C ha una forma canonica ed abbiamo trattato in dettaglio come trovarla nell Esempio Viene spontaneo domandarsi se c è un metodo che, a priori, ci permetta di stabilire se C èunaconicaclassicaonoe, nel caso C sia classica se sia un ellisse, un iperbole o una parabola, senza dovere necessariamente operare il cambio di coordinate. Nel seguito indicheremo con A la matrice dei termini di secondo grado di C econ B la sua matrice completa. Definizione Una conica C si dice degenere se la sua equazione si decompone in un prodotto di due polinomi di grado (non necessariamente distinti), non degenere altrimenti. Èfacilerendersicontocheunaconicainformacanonicaèdegenereseesolose la sua matrice B ha determinante nullo. Poiché dalla Proposizione 24.4 segue che la matrice B di C èlegataaquellab della sua forma canonica da una relazione del tipo B = t QBQ per un qualche 2 R non nullo, calcolando i determinanti di ambo i membri possiamo dedurre il seguente risultato. Proposizione Una conica C èdegenereseesoloselasuamatricecompleta B ha determinante nullo. Supponiamo che C sia non degenere: allora o C èun ellisseimmaginaria,oppureè una conica classica. Supponiamo di essere in questo secondo caso. Se x 2 + y 2 =

7 èunasuaequazionecanonica,c èun ellisse,un iperboleounaparabolasecondoché e siano concordi, discordi, o uno di essi sia nullo. Indicata con A = 247 la matrice dei termini di secondo grado della forma canonica di C, dinuovodalla Proposizione 24.4 sappiamo che A = t P AP per un qualche 2 R non nullo. Deduciamo allora che C èun ellisse,un iperboleounaparabolasecondochéa,e dunque A, sia definita,indefinita,semidefinita. Queste considerazioni ci permettono anche di classificare una conica calcolandone la sua equazione canonica senza necessariamente determinare la rototraslazione che la riduce in tale forma canonica. Esempio Si consideri la conica C di equazione 4x 2 +4xy +4y + y 2 =. Le matrici associate a C sono A =, B 2 2A. 2 2 Poiché det(b) = 6 6=,laconicaC ènondegenere.poichédet(a) =,laconica C èunaparabola. Sevogliamodeterminarnel equazionecanonicaosserviamochele matrici Q e P definite nella Proposizione Proposizione 24.4 soddisfano le relazioni t QBQ = B A, t P AP = A = per un qualche 2 R non nullo. Poiché l equazione di una conica e, di conseguenza, la sua matrice completa, è individuata a meno di una costante moltiplicativa, possiamo sempre supporre che sia =. Quindi deve essere l autovalore non nullo di A, cioè =5. Confrontando i determinanti di B e B si ottiene 2 = 6, cioè =4/ p 5. Concludiamo che C èunaparabolalacuiequazionecanonicaè 5y 2 = 8 p 5 x., Il parametro di C èdunque8/5 p 5.

8 248 y' O' x' Figura 24.2 Nella Figura 24.2 riportiamo il disegno della conica C. Esempio Si consideri la conica C di equazione 7x 2 +8xy + y 2 +9x =. Le matrici associate a C sono 7 4 9/2 7 4 A =, B 4 A. 4 9/2 Poiché det(b) = 45/4 6=,laconicaC ènondegenere. Poichédet(A) = 9, la conica C èun iperbole.sevogliamocalcolarnel equazionecanonicaosserviamoche dobbiamo determinare le matrici Q e P definite nella Proposizione 24.4 tali che t QBQ = B A, t P AP = A =. Quindi e devono essere gli autovalori di A, cioè =9e =, econfrontando i determinanti di B e B, = 45/4, cioè = 5/4. Concludiamo che C èun iperbolelacuiequazionecanonicaè Moltiplicando ambo i membri per 9x 2 y 2 = 5/4. 4/5 otteniamo 36 5 x y2 =. IsemiassidiC sono dunque p 5/6 (quello corrispondente all asse immaginario) e p 5/2 (quello corrispondente all asse trasverso).

9 249 Nella Figura 24.3 riportiamo il disegno di C nel sistema di riferimento Ox y. y' O' x' Figura 24.3 Tale ultima equazione non è l equazione standard data nell Esempio 23.. Consideriamo la rotazione x = y, y = x di /2 radianti (si veda l Esempio 23.5) che trasforma l equazione di C nell equazione standard x2 5 y2 =. Nella Figura 24.4 riportiamo il disegno di C nel sistema di riferimento Ox y. x'' y'' O' Figura 24.4