Geometria in movimento:

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1 Geometria in movimento: alla scoperta di invarianti Aspetti teorici e didattici della geometria delle trasformazioni, con l utilizzo di materiale manipolabile e GeoGebra INCONTRI DI FORMAZIONE C.R.S.E.M. SETTEMBRE 2013

2 Mercoledì 11Sett Giovedì 12Sett Plenaria AULA MAGNA DI FISICA Ore 16.30/18.30 dalla geometria euclidea alla geometria delle trasformazioni Le trasformazioni geometriche nelle Indicazioni Miur 2012 nella valutazione (Invalsi) AULA MAGNA DI FISICA Ore 16.30/17.30 Plenaria Conclusione collettiva sui laboratori effettuati Proprietà di tutte le trasformazioni AULA C / AULA F Ore 18.30/19.30 Laboratori per gruppi distinti: Infanzia/ Primaria Secondaria Laboratori per gruppi sulle isometrie LABORATORIO INFORMATICA Ore 17.30/19.30 Laboratori Infanzia/ Primaria Secondaria Presentazione del software GeoGebra Costruzioni guidate, adeguate al livello di conoscenza del software e al livello scolare Lunedì 16Sett Martedì 17Sett LABORATORIO INFORMATICA Ore 16.30/18.30 Laboratori Infanzia/ Primaria Secondaria Problemi di applicazione sulle isometrie, con modelli manipolabili e GeoGebra AULA C / AULA F Ore 16.30/18.00 Laboratori per gruppi distinti: Infanzia/ Primaria Secondaria Esempi di attività didattiche in classe, secondo un percorso verticale in continuità sulle trasformazioni AULA C / AULA F Ore 18.30/19.30 Laboratori per gruppi distinti: Infanzia/ Primaria Secondaria Esempi di attività didattiche in classe, secondo un percorso verticale in continuità sulle isometrie AULA MAGNA DI FISICA Ore 18.00/19.30 Plenaria Sintesi delle trasformazioni dal punto di vista storico Le trasformazioni isometriche tra le altre trasformazioni: gli invarianti Conclusioni

3 GEOMETRIA IN MOVIMENTO Processo di apprendimento... e domande, ricerca delle risposte e argomentazione La geometria studia le proprietà delle figure che non variano per movimenti o trasformazioni emozionale Clima di laboratorio Software di geometria dinamica Le trasformazioni geometriche sono corrispondenze biunivoche del piano in se (tra punti del piano o dello spazio) razionale razionale sociale Dimensioni dell apprendimento

4 Risoluzione di Problemi Costruzione e valutazione di Competenze da INVALSI classe 3 a secondaria /2012 Quale trasformazione E23. La seguente fotografia ha le dimensioni di 10 cm x 15 è cm. implicitamente Luciana la ingrandisce in proporzione; dopo l ingrandimento la dimensione coinvolta? maggiore misura 18 cm. Quanto misura l altra dimensione? A. 12 cm B. 15 cm C. 16 cm D. 18 cm Le trasformazioni geometriche come strumento nelle applicazioni

5 Le trasformazioni geometriche nei programmi ministeriali I programmi della trasformazioni nei programmi Scuola Dal 1979 Media al 2013? D. M. 9 febbraio 1979 La Geometria prima presentazione del mondo fisico Trasformazioni geometriche Quale evoluzione della presenza delle a) Isometrie (o congruenze) piane - traslazioni, rotazioni, simmetrie a partire da esperienze fisiche (movimenti rigidi) Quali - Composizioni sono? di isometrie. Quali Figure sono piane insegnabili? direttamente o inversamente congruenti. Come, perché? b) Similitudini piane, in particolare omotetie, a partire da ingrandimenti e impiccolimenti. Riduzioni in scala. c) Osservazione di altre trasformazioni geometriche: ombre prodotte da raggi solari o da altre sorgenti luminose, rappresentazioni prospettiche (fotografie, pittura, ecc.), immagini deformate...

6 Scuola Elementare 1985 I programmi della Scuola Elementare D.P.R. 12 febbraio 1985, n 104 c) GEOMETRIA E MISURA Obiettivi del primo e secondo anno: individuare simmetrie in oggetti e figure date; realizzare e rappresentare graficamente simmetrie mediante piegature, ritagli, disegni, ecc.; Obiettivi del terzo, quarto e quinto anno: riconoscere eventuali simmetrie presenti in una figura piana e classificare triangoli e quadrangoli rispetto alle simmetrie stesse; realizzare, anche con l'uso di materiale concreto e con disegni, la corrispondente di una figura geometrica piana sottoposta ad una traslazione, ad una simmetria assiale, ad una rotazione, ad un ingrandimento e rimpicciolimento in scala;

7 Scuola Materna 1991 I programmi della Scuola Materna D.M. 3 giugno 1991 INDICAZIONI CURRICULARI Lo spazio, l'ordine, la misura possibilità di introdurre il riferimento diretto ad oggetti matematizzati, come i materiali strutturati, e la familiarizzazione con simmetrie e combinazioni di forme (ritagli, piegature, mosaici, incastri, etc.).

8 Scuola Primaria 2004 Indicazioni Nazionali per i Piani di Studio Personalizzati nella Scuola Primaria (2004) Obiettivi specifici di apprendimento classe prima Individuare la posizione di caselle o incroci sul piano quadrettato. classi seconda e terza Descrivere gli elementi significativi di una figura ed identificare, se possibile, gli eventuali elementi di simmetria. classi quarta e quinta - Individuare simmetrie in oggetti o figure date, evidenziandone le caratteristiche. - Riconoscere figure ruotate o traslate di figure assegnate. - Operare concretamente con le figure effettuando trasformazioni assegnate.

9 Scuola dell infanzia primo ciclo d istruzione 2007 INDICAZIONI PER IL CURRICOLO per la scuola dell infanzia e per il primo ciclo d istruzione 2007 Spazio e figure Traguardi per lo sviluppo della competenza (scuola dell infanzia) Coglie le trasformazioni naturali. Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Riconoscere figure ruotate, traslate e riflesse. Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando ad esempio la carta a quadretti). Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola secondaria di primo grado Riconoscere figure piane simili in vari contesti e riprodurre in scala una figura assegnata.

10 Scuola dell infanzia primo ciclo d istruzione 2012 INDICAZIONI PER IL CURRICOLO per la scuola dell infanzia e per il primo ciclo d istruzione 2012 Spazio e figure Traguardi per lo sviluppo della competenza (scuola dell infanzia) Individua le posizioni di oggetti nello spazio,usando termini come avanti/dietro, sopra/sotto, Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola primaria Riconoscere, denominare e descrivere figure geometriche. Obiettivi di apprendimento al termine della classe quinta della scuola primaria Descrivere, denominare figure geometriche identificando simmetrie. Riconoscere figure ruotate, traslate, riflesse. Riprodurre in scala una figura assegnata (utilizzando ad esempio la carta a quadretti). Obiettivi di apprendimento al termine della classe terza della scuola secondaria di primo grado Riconoscere figure piane simili in vari contesti e riprodurre in scala una figura assegnata.

11 Scuola secondaria primo biennio d istruzione indicazioni 2010 Liceo artistico Primo biennio Geometria Lo studente acquisirà la conoscenza delle principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con particolare riguardo al teorema di Talete) e sarà in grado di riconoscere le principali proprietà invarianti. Lo studente apprenderà i principi matematici di base coinvolti nelle diverse tecniche di rappresentazione delle figure dello spazio e le relazioni tra di essi e le tecniche in uso nelle discipline grafiche e geometriche. Studierà i problemi di rappresentazione delle figure quali si presentano nel contesto artistico. La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata sia mediante strumenti tradizionali (in particolare la riga e compasso, sottolineando il significato storico di questa metodologia nella geometria euclidea), sia mediante programmi informatici di geometria. Liceo Scientifico Primo biennio Geometria Lo studente acquisirà la conoscenza delle principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con particolare riguardo al teorema di Talete) e sarà in grado di riconoscere le principali proprietà invarianti. Inoltre studierà le proprietà fondamentali della circonferenza. La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata sia mediante strumenti tradizionali (in particolare la riga e compasso, sottolineando il significato storico di questa metodologia nella geometria euclidea), sia mediante programmi informatici di geometria. ( ) L intervento dell algebra nella rappresentazione degli oggetti geometrici non sarà disgiunto dall approfondimento della portata concettuale e tecnica di questa branca della matematica.

12 Le trasformazioni nelle prove di valutazione ministeriali INVALSI Quale ruolo? Senso epistemologico?

13 da INVALSI classe 2 a primaria 2011/2012 D8. Osserva questo disegno: Con due di questi pezzi puoi ricostruirlo. Pezzo A Pezzo B Pezzo C Pezzo D Quali sono i due pezzi? Risposta: e

14 da INVALSI classe 2 primaria 2012/2013 D9. Carlo e Luisa giocano uno di fronte all altra. Insieme hanno realizzato questa costruzione Ambito Macro processo Item Mancata risposta OPZIONI A B C Numeri Utilizzare D9 2,6 17,0 12,0 68,4 Come vede la costruzione Luisa?

15 da INVALSI classe 5 a primaria 2011/2012 D27. Osserva le seguenti figure. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Ogni figura è stata ottenuta dalla precedente con una rotazione di A. 90 in senso orario B. 180 in senso orario C. 90 in senso antiorario D. 180 in senso antiorario

16 da INVALSI classe 5 a primaria 2012/2013 Ambito Macro processo Item Mancata risposta OPZIONI Errata Corretta Spazio e figure Utilizzare D3 3,6 39,9 56,5 D3. La superficie del rettangolo 2 è il triplo di quella del rettangolo 1. I lati AB e EF sono uguali e misurano 5 cm. Se BC misura 2 cm, quanto misura FG? Risposta: 6 cm Rettangolo 1 Rettangolo 2

17 da INVALSI classe 1 a secondaria /2012 D14. La lunghezza dell ombra di un albero varia durante il giorno a seconda dell altezza del sole sull orizzonte. Quanto deve misurare l angolo a affinché l altezza dell albero e la lunghezza della sua ombra diventino uguali? Risposta:

18 da INVALSI classe 2 a secondaria /2012 D7. Il Signor Carlo scende dal tram all incrocio di via Pietro Micca con via 20 Settembre (nella mappa che vedi qui sotto il punto è contrassegnato da un asterisco). a. Il Signor Carlo percorre 150 metri di via 20 Settembre e, all incrocio con via A.G.I. Bertola, svolta a destra risalendo fino all incrocio con via G. Botero. Quanti metri all incirca ha percorso in tutto? Risposta: b. Qual è, all incirca, la scala della mappa? A. 1:60 B. 1:600 C. 1:6 000 D. 1:60 000

19 da INVALSI classe 2 a secondaria /2012 D30. Il quadrilatero A B C D è ottenuto applicando al quadrilatero ABCD una trasformazione. Di quale trasformazione si tratta? A. Traslazione B. Simmetria rispetto all asse y C. Simmetria rispetto all asse x D. Rotazione attorno all origine

20 da INVALSI classe 2 a secondaria /2013 D1. Se il solido S viene fatto ruotare, Ambito Macro processo Item Mancata OPZIONI risposta A B C D Spazio e figure Interpretare D1 1,4 76,9 10,5 5,0 6,2 Quale tra le seguenti configurazione non può assumere? A. Figura 2 B. Figura 3 C. Figura 4 D. Figura 1

21 da INVALSI classe 2 a secondaria /2013 Ambito Macro processo Item Mancata risposta OPZIONI A B C D Spazio e figure Formulare D32 3,1 6,4 18,2 65,1 7,3 D32. Osserva la seguente fotografia: Gli automobilisti che precedono l autoambulanza vedono riflessa nello specchietto retrovisore la scritta Se la parola AMBULANZA fosse scritta normalmente sulle autoambulanze, in quale dei seguenti modi gli automobilisti la vedrebbero riflessa nello specchietto retrovisore?

22 differenze di risultati nei quattro gradi scolari rispetto al nucleo Spazio e figure

23 L evoluzione dei risultati dalla primaria alla seconda superiore

24 Osserva i rettangoli e individua eventuali trasformazioni Laboratorio in plenaria 1 Quale trasformazione porta 1 in 3? quale composizione di trasformazioni? 1 e 3 congruenti e simili 1, 3, 5 simili 1 e 5 simili e omotetici

25 Laboratorio in plenaria 2 Completa la tabella Osserva le seguenti figure ottenute mediante una trasformazione. Considerando la figura 1, indica e denomina ciascuna delle sue trasformate

26 Laboratorio in plenaria 2 figura trasformata trasformazione 1 2 proiettività 1 3 topologia 1 4 simmetria a. 1 5 traslazione 1 6 rotazione 1 7 similitudine 1 8 topologia 1 9 omotetia 1 10 affinità 1 11 simmetria c. Completa la tabella Osserva le seguenti figure ottenute mediante una trasformazione. Considerando la figura 1, indica e denomina ciascuna delle sue trasformate

27 La geometria delle trasformazioni TRASFORMAZIONI INVARIANTI Proiettività Affinità Similitudine (omotetia) Isometria Sono le proprietà geometriche che si conservano in una determinata trasformazione

28 Trasformazione proiettiva INVARIANTI Tutti gli invarianti topologici Concavità/convessità Rette Trasformazione Affine INVARIANTI Tutti gli invarianti topologici Tutti gli invarianti proiettivi Parallelismo Punto medio Rapporto fra segmenti paralleli Rapporto fra aree

29 similitudine isometrie

30 Laboratorio insegnanti 2 Utilizzando il modello in carta, parti ogni volta dal parallelogramma come in figura, e trasformalo in trapezio, in rettangolo, in triangolo.

31 Laboratori insegnanti GEOGEBRA Attività in laboratorio informatico

32 GeoG

33 La geometria delle trasformazioni TRASFORMAZIONI INVARIANTI Proiettività Affinità Similitudine (omotetia) Isometria Sono le proprietà geometriche che si conservano in una determinata trasformazione

34 Proiettività (piani non paralleli) Sorgente puntiforme INVARIANTI Tutti gli invarianti topologici Concavità/convessità Rette

35 Omotetia (piani paralleli) Sorgente puntiforme INVARIANTI Tutti gli invarianti topologici Tutti gli invarianti proiettivi Tutti gli invarianti affini Rapporto fra segmenti Ampiezza degli angoli

36 Affinità (piani non paralleli) Sorgente solare INVARIANTI Tutti gli invarianti topologici Tutti gli invarianti proiettivi Parallelismo Punto medio Rapporto fra segmenti paralleli Rapporto fra aree

37 Isometria (piani paralleli) Sorgente solare INVARIANTI Tutti gli invarianti topologici Tutti gli invarianti proiettivi Tutti gli invarianti affini Tutti gli invarianti omotetici Misura delle lunghezze

38 Classificazione delle trasformazioni

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