CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof.

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1 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA A.A PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL Compito A Corso del Prof. Manlio BORDONI Esercizio. Sia W il sottospazio vettoriale di R 4 generato dai vettori v = t (, 0, 0, v 2 = t (0,,, 0 { x 2x e sia U il sottospazio di equazioni cartesiane 2 + x 3 x 4 = 0. x 2 x 3 + 2x 4 = 0 (a Determinare la dimensione ed una base di U. (b Verificare che W e U sono sottospazi supplementari. (c Decomporre il vettore v = t (, 4, 0, 0 nella somma v = w + u con w W e u U. (d È vero che W è il complemento ortogonale di U? Giustificare la risposta. (e Scrivere e dimostrare la formula della proiezione ortogonale di un vettore v R n su un altro vettore w R n. (f Data una base {v,..., v n } di R n, come si trova a partire da essa una base ortonormale? Dimostrare che due vettori non nulli ortogonali sono linearmente indipendenti. (a La codimensione di U è 2, essendo indipendenti le due equazioni che lo rappresentano, quindi U ha dimensione 4-2=2. Risolvendo il sistema di equazioni si hanno le 2 soluzioni t 0 + t 2 0 t,t R ed i vettori v 3, v 4 che stanno a moltiplicare rispettivamente t e t nelle soluzioni scritte costituiscono una base di U. (b I vettori v, v 2, v 3, v 4 sono linearmente indipendenti in quanto il determinante della matrice delle loro coordinate è diverso da 0, quindi essi danno una base di tutto R 4. Pertanto la somma W + U è R 4 stesso; la formula

2 di Grassmann dà poi che l intersezione W U ha dimensione 0 per cui in definitiva W U = R 4 ed i due sottospazi sono supplementari. (c Scrivendo il vettore v come combinazione lineare di v, v 2, v 3, v 4, v = a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 + a 4 v 4 si ottiene il sistema di Cramer a + a 3 3a 4 = a 2 + a 3 2a 4 = 4 a 2 + a 3 = 0 a + a 4 = 0 che ammette la soluzione a =, a 2 = 3, a 3 = 3, a 4 = sichhé v = v + 3v 2 +3v 3 +v 4 = w+u avendo posto w = v +3v 2 W e u = 3v 3 +v 4 U. (d No, essendo i vettori di W non ortogonali a quelli di U, ad esempio v, v 3 = 0. (e Vedi libri di testo, vol. I, pp (f Vedi libri di testo, vol. I, pp. 72 e 7. Esercizio 2. Sia T : R 3 R 3 l operatore rappresentato nella base canonica dalla matrice A =. 4 4 (a Determinare la dimensione ed una base del nucleo di T. (b Determinare la dimensione ed equazioni cartesiane dell immagine di T. (c Calcolare gli autovalori e gli autospazi di T e stabilire se T è diagonalizzabile oppure no. (a Il nucleo di T si trova risolvendo il sistema omogeneo di matrice A. Poiché il determinante di A vale 0 ed il rango dia è 2, il nucleo di T ha dimensione ; risolvendo il sistema si ha KerT = t 2. 3 t R (b L immagine di T ha dimensione 2, uguale al rango di A, ed una sua base è data per esempio dalle prime due colonne di A. La codimensione vale

3 e l unica equazione cartesiana si trova ponendo uguale a 0 il determinante della matrice avente per colonne un generico vettore di R 3 e le due colonne base dell immagine. Eseguendo il calcolo si ottiene l equazione x x 2 = 0. (c L equazione caratteristica det(a λi = λ 3 + 6λ 2 9λ = 0 ha le soluzioni λ = 0, λ 2 = λ 3 = 3. L autospazio relativo all autovalore 0 coincide con il nucleo di T, mentre l autospazio relativo all autovalore 3 è E(3 = s. T non è diagonalizzabile in quanto l autovalore 3 s R ha molteplicità geometrica, diversa dalla molteplicità algebrica che è 2. Esercizio( 3. Piano ( euclideo. Riferimento cartesiano RC(O; i, j. Sono dati 7 i punti A, B. 3 (a Determinare i vertici C, C del rombo ACBC di area 2. (b Determinare l equazione cartesiana della circonferenza C passante per i punti O, A, B e della retta r tangente in O a C. (c Determinare le coordinate dell ortocentro (punto d intersezione delle altezze del triangolo OAB. (d Data una circonferenza x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, scrivere e dimostrare le formule che danno il raggio e le coordinate del centro. (e Definire i coseni direttori di una retta r : ax + by + c = 0 e scrivere le formule che permettono di calcolarli. Dimostrare che m= a (se b 0 è uguale b alla tangente trigonometrica dell angolo formato da r orientata secondo le y crescenti e l asse x (cioè che m è il coefficiente angolare di r. (a I punti cercati si trovano sull asse ( del segmento AB. Il punto medio M 4 di questo segmento ha coordinate mentre la retta contenente tale segmento ha equazione 2xy = 0, pertanto ( l asse ha equazioni parametriche 4 + 2t x = 4 + 2t, y = 3t. Detto C(t il punto mobile sull asse, la 3t t condizione sull area si esprime con det 3 3t = 2. Svilup-

4 ( 0 pando i calcoli si trova t = ±2 e quindi i due punti C 7, C ( 8 (b Imponendo alla generica circonferenza x 2 +y 2 +ax+by+c = 0 il passaggio per i 3 punti, si ha c = 0, + + a b = 0, a + 3b = 0 da cui si ricava a = 32, b = 22, dunque C ha equazione x2 +y 2 32x 22y = 0. Per trovare la retta tangente nell origine basta trovare la perpendicolare in O alla congiungente O con il centro della circonferenza, che ha coordinate ( 6 : tale congiungente ha equazione y = 6 x e la tangente y = x. 6 (c L altezza relativa al lato AB è la perpendicolare per O alla retta AB trovata prima, quindi ha equazione 3x + 2y = 0. Analogamente, l altezza relativa al lato OB è la perpendicolare per A alla retta OB; quest ultima ha equazione 3x 7y = 0, dunque l altezza ha equazione 7(x (y + = 0 ossia 7x+3y 4 = 0. Intersecando le due altezze trovate si hanno le coordinate dell ortocentro ( 8 2 tale punto. (d Vedi libri di testo, vol.ii, pp (e Vedi libri di testo, vol. II, p Si verifica facilmente che la terza altezza passa per Esercizio 4. Spazio euclideo. Riferimento cartesiano RC(O;i, j, k. Sono dati i piani α : 2x + y 3z = 0, α : x + y + z 3 = 0. (a Verificare che α, α non sono paralleli. Calcolare l angolo αα. (b Determinare l equazione cartesiana della sfera S tangente nell origine O ad α ed il cui centro appartiene al piano β : x + 2y z 7 = 0. (c Detti n, n due vettori perpendicolari rispettivamente ad α e ad α, calcolare l area del parallelogramma da essi generato. (d Determinare equazioni cartesiane della proiezione ortogonale su α della retta r di equazioni parametriche x = t, y = t, z = t. (a I piani non sono paralleli in quanto i coefficienti delle incognite non sono proporzionali, anzi sono perpendicolari in quanto risulta aa + bb + cc = ( = 0.

5 (b Il centro della sfera deve appartenere anche alla retta n per O e perpendicolare ad α, di equazioni parametriche x = 2t, y = t, z = t; sostituendoqueste nell equazione di β si trova t =, quindi il centro ha 2 coordinate. Il raggio è uguale alla distnza fra O e il centro, dunque vale 4 e la sfera ha equazione (x (y 2 + (z = 4 ossia x 2 + y 2 + z 2 4x 2y + 6z = 0. (c Vettori perpendicolari ai piani sono n prodotto vettoriale è n n 4 2, n ed il loro. L area del parallelogramma è uguale a n n = 42. (d r ha equazioni cartesiane x y = 0, x z = 0. Il fascio di piani di asse r ha equazione x y + k(x z = 0 ossia ( + kx y kz = 0. Imponendo la condizione di perpendicolarità con α si ha 2( + k + ( + (( k = 0 da cui si trae k =. Sostituendo il valore trovato di k si ha il piano γ : 4x y + z = 0. La proiezione ortogonale cercata è la retta r che si ottiene intersecando α con γ. In effetti risulta poi r r in quanto r stessa è contenuta in α come subito si verifica: sostituendo nell equazione di α le coordinate del punto mobile di r si ha 2t + t 3t = 0 cioè l identità 0 = 0.