Istituzioni di Matematiche sesta parte
|
|
- Irma Ricciardi
- 4 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Istituzioni di Matematiche sesta parte anno acc. 2013/2014 Univ. Studi di Milano D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 27
2 index Matrici e operazioni tra matrici 1 Matrici e operazioni tra matrici 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 2 / 27
3 Matrici e operazioni tra matrici Vettori e matrici Un vettore ad n componenti è una n upla ordinata di numeri reali a 1, a 2,..., a n, che possono essere elencati in colonna (vettore colonna a 1 a 2... a n o in riga (vettore riga (a 1, a 2,..., a n. Una matrice a m righe ed n colonne (detta anche matrice m n è una tabella di numeri reali della forma a 11 a a 1n a 21 a a 2n = (a ij i=1,...,m,j=1,...,n, a m1 a m2... a mn (i indice di riga, j indice di colonna. OSSERVAZIONE - Un vettore riga ad n componenti è identificabile con una matrice 1 n, un vettore colonna ad n componenti è identificabile con una matrice n 1. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 3 / 27
4 Matrici e operazioni tra matrici Somma di matrici e prodotto di una matrice per un numero reale Due matrici con lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne possono essere sommate: (a ij i=1,...,m,j=1,...,n + (b ij i=1,...,m,j=1,...,n, = (a ij + b ij i=1,...,m,j=1,...,n, ad esempio ( ( = ( Una matrice può essere moltiplicata per un numero reale ad esempio λ(a ij i=1,...,m,j=1,...,n = (λa ij i=1,...,m,j=1,...,n, 2 ( /2 = ( D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 4 / 27
5 Matrici e operazioni tra matrici Prodotto di matrici Date due matrici A = (a ij ad m righe e n colonne e B = (b hk ad n righe e p colonne (tali cioè che il numero delle colonne di A sia uguale al numero delle righe di B si può definire una matrice C = A B con m righe e p colonne, detta prodotto riga per colonna di A per B: la matrice C ha come elemento della riga r e colonna s il numero reale c rs = a r1 b 1s + a r2 b 2s + + a rn b ns. A = a 11 a a 1n a r1 a r2... a rn a m1 a m2... a mn, B = b b 1s... b 1p b b 2s... b 2p b n1... b ns... b np ( ( Ad esempio, se A = e B = , si ha ( ( = D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 5 / 27
6 Matrici e operazioni tra matrici ESEMPIO A = tabella dei prezzi in euro degli articoli H, K e L per bambini (b, donne (f e uomini (m, B = tabella della composizione delle famiglie F1 e F2 in termini di bambini (b, donne (f e uomini (m. A = * b f m H K L , B = * F1 F2 b 1 3 f 1 1 m Posto A = e B = 1 1 la matrice C = A B permette di 2 1 ottenere la tabella della spesa in euro delle famiglie F1 e F2 per gli articoli H, K e L. C = * F1 F2 H K L D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 6 / 27
7 Matrici e operazioni tra matrici ESEMPIO (catena alimentare A = tabella delle quantità (rispetto un opportuna unità di misura di sostanze inquinanti I1, I2 presenti negli alimenti A1, A2 e A3. B = tabella delle quantità di alimenti A1, A2 e A3 ingerite dagli animali delle specie S1 e S2. A = * A1 A2 A3 I1 I , B = * S1 S2 A1 1 2 A2 1 2 A3 2 1 con notazioni analoghe a quelle viste nell esempio precedente, C = A B fornisce la tabella delle quantità di inquinanti I1 e I2 ingerite dagli animali di specie S1 e S2. C = * S1 S2 I1 I2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 7 / 27
8 index 1 Matrici e operazioni tra matrici 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 8 / 27
9 Sistema lineare, matrice dei coefficienti e matrice completa Sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x 1, x 2,..., x n (a ij, b h R a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Una soluzione del sistema: n upla di numeri reali (x 1, x 2,..., x n tali che a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 9 / 27
10 Matrice completa del sistema: [A b] = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m A = matrice dei coefficienti del sistema, b = colonna dei termini noti a 11 a a 1n b 1 A = a 21 a a 2n b = b 2... a m1 a m2... a mn b m Esempio: m = 3, n = 4, (x 1, x 2,..., x n = (x, y, z, w 3x + 2y z + w = 0 ( x + 3y + 2z = 1 [A b] = x + z + 3w = D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 10 / 27
11 Utilizzando la notazione del prodotto riga per colonna il sistema a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m può anche essere scritto come Ax = b ove A è la matrice dei coefficienti del sistema, b è la colonna dei termini noti e x 1 x = x 2... è il vettore colonna delle incognita. x n D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 11 / 27
12 Un sistema lineare si dice impossibile se non ammette alcuna soluzione, determinato se ammette una ed una sola soluzione, indeterminato se ha più di una soluzione (ed in tal caso ne ha infinite. Ad esempio il sistema è impossibile; il sistema { x +y = 0 x +y = 1 { x +y = 0 x = 1 è determinato ed ha come unica soluzione (x, y = (1, 1 ; il sistema { x +y = 0 2x +2y = 0 è indeterminato ed ha le infinite soluzioni (x, y = (k, k, al variare di k. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 12 / 27
13 Il metodo di Gauss STRATEGIA: passare dalla matrice [A b] ad un altra matrice [A b ] che rappresenti un sistema equivalente (cioè che ammette le stesse soluzioni, ma molto più semplice da risolversi. OPERAZIONI SULLE RIGHE (lecite, ovvero che fanno passare da un sistema ad un altro equivalente: 1 scambiare due righe tra loro; 2 moltiplicare una riga per una costante diversa da zero; 3 sommare ad una riga il multiplo di un altra. N.B. Le operazioni vanno fatte sulla matrice completa [A b], non solo sulla matrice A dei coefficienti. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 13 / 27
14 Operazioni lecite sulle righe Esempio di operazione di tipo 1 (scambio R 1, R 3 ( ( R 1 R Esempio di operazione di tipo 2 (3R 2 ( ( 3R Esempio di operazione di tipo 3 (R 1 + 3R 2 ( ( R 1 +3R D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 14 / 27
15 Esempi di matrici "semplici" ESEMPIO 1. corrisponde al sistema ( x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 z 3w = 4 dall ultima equazione si ricava z = 3w + 4, che si può sostituire nella seconda trovando y = 3z w = 3(3w + 4 w = 10w 12, e alla fine, sostituendo la z e la y nella prima si ricava anche x = 2y + z + 2 = 2( 10w 12 + (3w = 23w Quindi le soluzioni del sistema sono della forma (x, y, z, w = (23w + 30, 10w 12, 3w + 4, w. Si sono trovate infinite soluzioni quindi il sistema è indeterminato. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 15 / 27
16 ESEMPIO 2. corrisponde al sistema che è evidentemente impossibile. ( x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 0 = 4 Si noti che negli esempi 1 e 2 le matrici sono a gradini con un 1 come coefficiente dell incognita di ogni "gradino". D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 16 / 27
17 SCOPO DEL METODO: Ridurre la matrice [A b] in una forma a gradini del tipo: in cui in ogni riga compaiono meno incognite della riga precedente. STRUMENTO UTILIZZATO: le operazioni lecite sulle righe viste sopra. Si tratta di un algoritmo: dopo un numero finito di passi si ottiene una matrice dalla quale risulta evidente se il sistema ammette soluzioni oppure no e che, in caso affermativo, permette di trovare le soluzioni ricavando via via le incognite a partire dall ultima equazione e procedendo a ritroso. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 17 / 27
18 Illustrazione del metodo Come "creare" i gradini? Salvo effettuare scambi di righe, si parte da una matrice in cui la prima incognita compaia nella prima equazione. Moltiplicando la prima riga per una costante si ottiene una matrice in cui il primo elemento della prima riga è 1 R 2 ar 1 R 3 br 1,...,... 1 a a 1n b 1 a a a 2n b 2 b a a 3n b a a 1n b 1 0 a a 2n b 2 0 a a 3n b D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 18 / 27
19 A questo punto nel sistema dalla seconda equazione in poi non compare più la prima incognita, quindi compaiono al più n 1 incognite. Su questo sistema con una equazione in meno e con meno incognite si opera analogamente a quanto visto sopra. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla interamente (cioè diventa ( , tale riga può essere cancellata (corrisponde all equazione 0 = 0. Se nel corso della procedura, una riga della matrice si annulla in tutte le entrate salvo che nell ultima (cioè diventa ( k, k 0, il sistema è impossibile (tale riga infatti corrisponde all equazione 0 = k. Alla fine della procedura la matrice è ridotta a gradini, e il sistema, se risolubile, può essere risolto a partire dall ultima equazione a ritroso. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 19 / 27
20 ESEMPIO A 2x 2y + 4z = 0 x + 2z = 2 z = 1 3x 3y = (1/2R 1 R 4+6R R 2 R 1 R 4 3R 1 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 20 / 27
21 ( x y + 2z = 0 y = 2 (x, y, z = (4, 2, 1 z = 1 Si è trovata una ed una sola soluzione, quindi il sistema è determinato. ESEMPIO B 3x + y = 4 + x 2y = 3 x 3y = 8 ( 1/5R 2 R 1 R 2 ( ( ( / R 2 +3R 1 R 3 +R 1 R 3 +5R 2 ( ( / Il sistema quindi è impossibile. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 21 / 27
22 ESEMPIO C x 2y + z = 0 2x + y = 1 3x 4y + z = 2 ( ( /5 1/ (x, y, z = ( z+2 5, z Il sistema è indeterminato 5, 2z+1 R 2 2R 1 R 3 +3R 1 ( R 4 +10R 2 (1/5R 2 ( /5 1/ D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 22 / 27
23 ESERCIZIO 1 Per ciascuna di queste matrici stabilire se rappresenta un sistema determinato, indeterminato o impossibile. A = C = E = ( ( ( k B = D = al variare dei numeri reali h, k e r. ( F = ( h 1 ( r 2 1 r + 1,, D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 23 / 27
24 ESERCIZIO 2 Stabilire se i seguenti sistemi lineari hanno soluzioni, ed, in caso affermativo, determinarle. 2y 2z = 1 { x y = 1 x +z w = 0 x +y +2z = 0 y +z = 2 2x 2y z = 2 x +2y +z +w = 4 ESERCIZIO 3 Al variare del parametro reale h, stabilire se ciascuno dei seguenti sistemi lineari è determinato, indeterminato o impossibile. { x y = 2 x +2y +2z = 0 y +2z = h + 1 x +z = 0 y +z = 2 y z = 1 x +2y +hz = h + 2 D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 24 / 27
25 Se un sistema è indeterminato e le sue soluzioni dipendono da s parametri, si dice che il sistema ha s soluzioni. Se invece il sistema è determinato, si dice anche che ha 0 soluzioni. Ad esempio, il sistema { x +y +z = 0 2x +2y +2z = 0 ha le infinite soluzioni (x, y, z = (h, k, h k, al variare dei parametri h e k. Pertanto si tratta di un sistema indeterminato che ha 2 soluzioni. Invece il sistema dell esempio C ha 1 soluzioni. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 25 / 27
26 Caratteristica o rango di una matrice Il procedimento di riduzione a gradini che si è applicato alla matrice completa di un sistema lineare per ridurla a forma "semplice", può essere applicato ad una qualsiasi matrice. Il numero delle righe non nulle che si ottengono alla fine del procedimento viene detto caratteristica o rango della matrice (si dimostra che tale numero non dipende dalle operazioni che si sono fatte per ridurre a gradini la matrice. TEOREMA (di Rouché Capelli - Il sistema lineare Ax = b ha soluzioni se e solo se la caratteristica della matrice dei coefficienti A coincide con la caratteristica della matrice completa [A b]. Inoltre, se il sistema è risolubile, le soluzioni del sistema sono n r, ove n è il numero delle incognite e r è la caratteristica di A (e di [A b]. Ad esempio nel sistema dell esempio 2 x + 2y z = 2 y + 3z + w = 0 0 = 4 la matrice dei coefficienti ha caratteristica 2, mentre la matrice completa ha caratteristica 3, e il sistema è impossibile. D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 26 / 27
27 x + 2y z = 2 Invece, nel caso del sistema y + 3z + w = 0, tanto la matrice dei z 3w = 4 coefficienti quanto la matrice completa hanno caratteristica 3. Il sistema è risolubile ed ha 4 3 = 1 soluzioni. ESERCIZIO - Calcolare la caratteristica di ciascuna delle seguenti matrici: ( M = ; N = ESERCIZIO - Al variare del parametro reale α, determinare la carratteristica della matrice ( α 2 0 α D.Bambusi, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 27 / 27
Istituzioni di Matematiche prima parte
Istituzioni di Matematiche prima parte anno acc. 2014/2015 Univ. Studi di Milano E.Frigerio, C.Turrini (Univ. Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 30 index Generalità sugli insiemi 1 Generalità
DettagliIstituzioni di Matematiche prima parte
Istituzioni di Matematiche prima parte anno acc. 2011/2012 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Istituzioni di Matematiche 1 / 33 index Generalità sugli insiemi 1 Generalità
DettagliElementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari
Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare
DettagliCorso introduttivo pluridisciplinare Matrici e sistemi lineari
Corso introduttivo pluridisciplinare Matrici e sistemi lineari anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 30
DettagliGEOMETRIA 1 prima parte
GEOMETRIA 1 prima parte Cristina Turrini C. di L. in Fisica - 2014/2015 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica - 2014/2015) GEOMETRIA 1 1 / 44 index Relazioni in un insieme 1 Relazioni in un insieme 2 Gruppi,
DettagliSistemi Lineari. Elisabetta Colombo. Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 200-20 2 a di o.0 4 Capelli Rango o Caratterisca : definizioni a di o.0 Un equazione nelle n incognite x,..., x n della forma dove
DettagliArgomento 13 Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni Argomento Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto
DettagliSistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+
DettagliNote sull algoritmo di Gauss
Note sull algoritmo di Gauss 29 settembre 2009 Generalità Un sistema lineare di m equazioni in n incognite x,..., x n è un espressione del tipo: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n
DettagliSistemi lineari. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m1 x 1 + a m2 x 2 +..
Sistemi lineari: definizioni Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto termine
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito
DettagliSistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari Siano X 1,, X n indeterminate Un equazione lineare (o di primo grado) nelle incognite X 1,, X n a coefficienti nel campo K è della forma a 1 X 1 + + a n X n = b, a i, b K,
DettagliSistemi lineari. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 : : : a m1 x 1 + a m2 x 2 +..
Sistemi lineari: definizioni Sistemi lineari Un equazione nelle n incognite x,, x n della forma c x + + c n x n = b ove c,, c n sono numeri reali (detti coefficienti) e b è un numero reale (detto termine
DettagliSISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS
SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti
DettagliNote per il corso di Geometria Corso di laurea in Ing. Edile/Architettura. 4 Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss Jordan
Note per il corso di Geometria 2006-07 Corso di laurea in Ing. Edile/Architettura Sistemi lineari. Metodo di eliminazione di Gauss Jordan.1 Operazioni elementari Abbiamo visto che un sistema di m equazioni
DettagliNote per le esercitazioni di Geometria 1 a.a. 2007/08 A. Lotta. Metodi per il calcolo del rango di una matrice
Note per le esercitazioni di Geometria 1 a.a. 2007/08 A. Lotta Versione del 21/12/07 Metodi per il calcolo del rango di una matrice Sia A M m,n (K). Denotiamo con A (i) la riga i-ma di A, i {1,..., m}.
DettagliUn sistema di equazioni lineari ( o brevemente un sistema lineare) di m equazioni in n incognite, si presenta nella forma:
SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni lineari ( o brevemente un sistema lineare) di m equazioni in n incognite, si presenta nella forma: a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
DettagliAPPLICAZIONI. Im f = {b B a A tale che f (a) = b}.
APPLICAZIONI Diremo applicazione (o funzione) da un insieme A ad un insieme B una legge f che associa ad ogni elemento a A uno ed un solo elemento b B. Scriviamo f : A B e il corrispondente o immagine
DettagliI sistemi lineari di n equazioni in n incognite
I sistemi lineari I sistemi lineari di n equazioni in n incognite I sistemi lineari di n equazioni in n incognite, sono formati da equazioni di primo grado, in cui le incognite hanno tutte esponente uguale
DettagliSistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
DettagliArgomento 13 Sistemi lineari
Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto
DettagliSistemi lineari 1 / 12
Sistemi lineari 1 / 12 Sistemi lineari 2 / 12 Ricordiamo che cosa è un sistema lineare con m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n = b 2, (1).. a m1 x
DettagliLezione del 24 novembre. Sistemi lineari
Lezione del 24 novembre Sistemi lineari 1 Nelle lezioni scorse abbiamo considerato sistemi di equazioni lineari dei seguenti tipi: un equazione in un incognita; una, due o tre equazioni in due incognite;
DettagliMatematica II,
Matematica II 181111 1 Matrici a scala Data una riga R = [a 1 a 2 a n ] di numeri reali non tutti nulli il primo elemento non nullo di R si dice pivot di R Cosi il pivot di R compare come j mo elemento
DettagliA =, c d. d = ad cb. c d A =
Geometria e Algebra (II), 271112 1 Definizione D ora innanzi, al posto di dire matrice quadrata di tipo n n o matrice quadrata n n diremo matrice quadrata di ordine n o in breve matrice di ordine n Il
DettagliSISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3
SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni
DettagliEsercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale
Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque
DettagliLEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g
LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere
DettagliSistemi Lineari. Andrea Galasso
Sistemi Lineari Andrea Galasso Esercizi svolti Teorema. (Rouché-Capelli. Un sistema lineare Ax = b ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice
DettagliFederica Gregorio e Cristian Tacelli
1 Sistemi lineari Federica Gregorio e Cristian Tacelli Un sistema lineare m n (m equazioni in n incognite) è un insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte contemporaneamente a 11 x 1 +
DettagliPrima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.
Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice
Dettagli1. Consideriamo un sistema lineare. E piuttosto naturale aspettarsi che
Algebra Lineare (Matematica CI) 151113 1 Consideriamo un sistema lineare E piuttosto naturale aspettarsi che (a) se il numero delle equazioni e minore del numero delle incognite allora il sistema e indeterminato;
DettagliArgomenti trattati nella settimana novembre Il libro cui faccio riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra lineare
Argomenti trattati nella settimana 23-27 novembre 2009 Il libro cui faccio riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra lineare 1 Sistemi lineari; 2 applicazioni lineari; Sistemi lineari;
DettagliLEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3
LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 2 Esercizio 1. Calcolare il determinante e l inversa (quando esiste) della matrice ( ) cos θ sin θ R θ =, θ [0, 2π] sin θ cos θ Soluzione: Il determinante ( é cos
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
Dettaglia.a MATEMATICA GENERALE: SISTEMI LINEARI E MATRICI
aa 2012-2013 MATEMATICA GENERALE: SISTEMI LINEARI E MATRICI 1 Sistemi di equazioni lineari Definizione 11 i Un equazione lineare nelle indeterminate (o incognite X 1,, X 1 m a coefficienti interi (o razionali,
DettagliGeometria BAER PRIMO CANALE Foglio esercizi 1
Geometria BAER PRIMO CANALE Foglio esercizi 1 Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni lineari nelle variabili indicate trovando una parametrizzazione dell insieme delle soluzioni. a) x + 5y = nelle
DettagliNote sui sistemi lineari per il Corso di Geometria per Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 4 Maggio 2010
Note sui sistemi lineari per il Corso di Geometria per Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 4 Maggio 21 Sistemi lineari. Un sistema lineare di n 1 equazioni in m incognite
Dettagli3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6
Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, GParmeggiani LEZIONE 7 Sistemi lineari Scrittura matriciale di un sistema lineare Def 1 Un sistema di m equazioni ed n incognite x 1, x 2, x n, si dice
DettagliGEOMETRIA 1 prima parte
GEOMETRIA 1 prima parte Gilberto Bini - Cristina Turrini 2016/2017 Gilberto Bini - Cristina Turrini (2016/2017) GEOMETRIA 1 1 / 89 index Relazioni in un insieme 1 Relazioni in un insieme 2 Gruppi, anelli,
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliSistemi lineari 1 / 41
Sistemi lineari 1 / 41 Equazioni lineari Una equazione lineare a n incognite, è una equazione del tipo: a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, dove a 1,,a n,b sono delle costanti (numeri) reali. I simboli
DettagliSISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI
SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,
DettagliCorso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani
Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa
Dettagli1. [15 punti] Calcolare il rango della seguente matrice a coefficienti reali: ( 1/2) 1 (1/2)
Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA DI ALGEBRA LINEARE del 17 febbraio 011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra
DettagliMauro Saita, Esercizio 1.1 Determinare tutti i sottospazi vettoriali degli spazi vettoriali R, IR 2, IR 3 motivando
CORSO DI ALGEBRA LINEARE: Esercitazione n.1 del 20/12/2004. Mauro Saita, e-mail: maurosaita@tiscalinet.it 1 Spazi vettoriali. Sottospazi. Esercizio 1.1 Determinare tutti i sottospazi vettoriali degli spazi
DettagliESERCIZI SULLE MATRICI
ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a
DettagliALGEBRA LINEARE PARTE III
DIEM sez Matematica Finanziaria Università degli studi di Genova Dicembre 200 Indice PREMESSA 2 GENERALITA 2 RAPPRESENTAZIONE DI UN SISTEMA LINEARE IN FORMA MATRI- CIALE 2 3 SOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI
DettagliRegistro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.
Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 2
Geometria BAER I canale Foglio esercizi Esercizio. ( ) Data la matrice, determinare tutte le matrici X Mat( ) tali che AX = 0 e tutte le matrici Y Mat( ) tali che Y 0. ( ) ( ) ( ) x y x + z y + w Soluzione:
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
DettagliCORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA. Esercizio 1.1. Risolvere graficamente e algebricamente i seguenti sistemi di due equazioni in due incognite:
CORS D LAUREA N MATEMATCA E FSCA FOGLO D ESERCZ # 1 GEOMETRA 1 Esercizio 1.1. Risolvere graficamente e algebricamente i seguenti sistemi di due equazioni in due incognite: 2x + y = 4 x 2y = 6 x + 3y =
Dettagli4 Sistemi di equazioni.
4 Sistemi di equazioni. Risolvere un sistema significa erminare le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo compongono. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi di tali equazioni. 4. Sistemi
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari
MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2
DettagliESERCIZI PROPOSTI. det A = = per cui il sistema si può risolvere applicando le formule di Cramer, cioè: dove: = =
ESERCIZI PROPOSTI Risolvere i seguenti sistemi lineari )-0), utilizzando, dove possibile, sia il metodo di Cramer sia quello della matrice inversa, dopo aver analizzato gli esempi a)-d): 2x + + 4z 5 a)
DettagliIl determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora
Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari 1 Sistemi di equazioni lineari 1.1 Determinante di matrici quadrate Ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante della matrice
DettagliLa riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)
CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere
DettagliSistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi
Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione
DettagliCapitolo VI SISTEMI LINEARI
Capitolo VI SISTEMI LINEARI 1 Concetti fondamentali 11 Definizione Un equazione in n incognite x 1,, x n a coefficienti in R si dice lineare se è della forma: a 1 x 1 + + a n x n = b con a i R e b R Una
DettagliEsercitazione 6 - Soluzione
Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA 2008/09 Esercizio 4.1 (5.10). Dati i vettori di R 3 : v 1 (1, 1, 2), v 2 (2, 4, 6), v 3 ( 1, 2, 5), v 4 (1, 1, 10) determinare
DettagliIntroduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari
Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema
DettagliOperazioni tra matrici e n-uple
CAPITOLO Operazioni tra matrici e n-uple Esercizio.. Date le matrici 0 4 e dati λ = 5, µ =, si calcoli AB, BA, A+B, B A, λa+µb. Esercizio.. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ,
DettagliSi consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite
3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x
Dettagli1. Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1,... x n aventi tutte termine noto nullo A =...
Algebra/ Algebra Lineare, 230207 1 Un sistema di m equazioni lineari in n incognite x 1, x n aventi tutte termine noto nullo a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n = 0, i = 1,, m si dice omogeneo; ponendo x
DettagliSISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.
SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga
DettagliMatematica II,
Matematica II, 171110 1 processo di triangolarizzazione, esempio I Consideriamo il sistema lineare di tre equazioni nelle incognite x, y, z 2x + 3y + 4z = 8 4x + 9y + 16z = 14 8x + 27y + 64z = 14 Primo
DettagliEsercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1
Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = 1 0 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 1 = Il di partenza è quindi equivalente
DettagliCorso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice
Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine
DettagliSISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI
SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Date le rette di equazioni ax + by + c = 0 e a x + b y + c = 0 quanti punti hanno in comune? Per rispondere devo risolvere il sistema ax + by + c = 0 ቊ a x + b y + c = 0 e
DettagliVETTORI E MATRICI. Ing. Nicola Cappuccio 2014 U.F.5 ELEMENTI SCIENTIFICI ED ELETTRONICI APPLICATI AI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 I VETTRORI E MATRICI (RICHIAMI) Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato
DettagliMatrici triangolari [Abate, 3.2] Lezioni 05 e 06. Determinante di una matrice triangolare [Abate, es. 9.3] Matrici ridotte per righe.
Matrici triangolari [Abate, 32] Definizione Una matrice A = a ij ) R m,n si dice triangolare superiore se a ij = 0 per ogni i > j; triangolare inferiore se a ij = 0 per ogni i < j Lezioni 05 e 06 Una matrice
DettagliSistemi di equazioni lineari
Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione.
DettagliLe risposte vanno giustificate con chiarezza. 1) Nello spazio vettoriale V delle matrici 2 2 a coefficienti reali, considera le matrici A 1 = , A 4 =
Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Matematica Esame di Geometria 1 con Elementi di Storia Prof. F. Tovena 30 gennaio 2015 Le risposte vanno giustificate con chiarezza. 1 Nello
DettagliFondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale 2011-2012 Michel Lavrauw Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Università di Padova Lezione 19 Capitolo
DettagliCorso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof. Fabio Perroni. 3. Sistemi di equazioni lineari
Corso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof Fabio Perroni 3 Sistemi di equazioni lineari Siano m, n N \ {}, sia K un campo Definizione a) Un sistema
DettagliCorso di Analisi Numerica
con pivoting Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 6 - METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche con pivoting 1 Introduzione algebrica
DettagliCorso di Analisi Numerica
con pivoting Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 6 - METODI DIRETTI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche con pivoting 1 2 3 con pivoting
DettagliCORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA
CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA FOGLIO DI ESERCIZI # 6 GEOMETRIA 1 Esercizio 6.1 (Esercizio 5.1). Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Per esempio il vettore
DettagliSistemi lineari. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un sistema di m equazioni di primo grado nelle variabili x 1, x 2 x n.
I sistemi lineari Sistemi lineari Un sistema lineare di m equazioni in n incognite è un sistema di m equazioni di primo grado nelle variabili x 1, x 2 x n. a1,1 x1 a1,2 x2... a1, nxn b1 a2,1x1 a2,2x2...
DettagliAlgebra delle matrici
Algebra delle matrici Metodo di Gauss-Jordan per l inversione di una matrice. Nella lezione scorsa abbiamo visto che un modo per determinare l eventuale inversa di una matrice quadrata A consiste nel risolvere
Dettagli0.1 Complemento diretto
1 0.1 Complemento diretto Dato U V, un complemento diretto di U é un sottospazio W V tale che U W = {0} U + W = V cioé la somma di U con il suo complemento diretto é diretta, e dá tutto lo spazio vettoriale
DettagliChi non risolve esercizi non impara la matematica.
5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi
DettagliEsempio Date a = (1, 2, 3) e b = (4, 5, 6), calcolare. 2(a + b) 3(2a b).
Matematica II, 26.02.04 Passiamo ora a considerare l insieme R 3 = {(x, x 2, x 3 ); x, x 2, x 3 R}, costituito dalle terne ordinate di numeri reali. Ciascuna terna puo essere pensata come un unica entita,
DettagliEsercizi svolti sui sistemi lineari
Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1
DettagliEsercitazioni di Algebra e Geometria
Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 2011 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.30
DettagliApplicazioni eliminazione di Gauss
Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare
DettagliSviluppando ancora per colonna sulla prima colonna della prima matrice e sulla seconda della seconda matrice si ottiene:
M. CARAMIA, S. GIORDANI, F. GUERRIERO, R. MUSMANNO, D. PACCIARELLI RICERCA OPERATIVA Isedi Esercizi proposti nel Cap. 5 - Soluzioni Esercizio 5. - La norma Euclidea di è 9 6 5 - Il versore corrispondente
DettagliRisoluzione di sistemi lineari
Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini
Dettagli1. Sistemi di equazioni lineari. 1.1 Considerazioni preliminari
1. Sistemi di equazioni lineari 1.1 Considerazioni preliminari I sistemi lineari sono sistemi di equazioni di primo grado in più incognite. Molti problemi di matematica e fisica portano alla soluzione
DettagliCompito di MD 13 febbraio 2014
Compito di MD 13 febbraio 2014 IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si può scrivere con il lapis. Motivare
DettagliLezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli
Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
Dettagli