x + hy + z = 1. 1 [10 punti] Dimostrare che, per ogni numeri naturale n 0, si ha 2 n+2 2n

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1 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 7-8 Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova scritta di Matematica Discreta ( CFU) 7 Giugno 8 A [ punti] Dimostrare che, per ogni numeri naturale n, si ha n+ n + [ punti] Quanti sono i numeri naturali pari di 7 cifre abcdefg tali che a + b = 7, a 5 e b 4? Giustificare la risposta [ punti] Determinare le eventuali soluzioni dei seguenti sistemi di congruenze: x 5 mod a) x mod 5, b) 7x 5 mod 8 x mod 5 A [ punti] Risolvere, al variare del parametro reale h, il seguente sistema lineare: x + z = x + hy + z = x + y hz = h [ punti] Determinare gli eventuali valori del parametro reale h per i quali la matrice A = h h è invertibile Posto h =, determinare, se esiste, l inversa di A [ punti] Sia (Ω, P) uno spazio discreto di probabilità Di due eventi A e B è noto che P(A B) = a e che P(A B) = P(B A) = b > Calcolare P(A), P(B), P(A B)

2 [ punti] Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y B [ punti] Scrivere l equazione della retta r passante per A(, ) e B(, ) [5 punti] Scrivere le equazioni della simmetria assiale S r di asse r, giustificando il procedimento [ punti] Scrivere l equazione della retta p ortogonale a r e passante per C(, ) [ punti] Determinare la trasformata di p mediante S r [8 punti] Nello spazio si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y z Siano dati la retta r : x = y z =, il piano α : x z + = e il punto A(,, ) (a) [6 punti] Determinare la retta s passante per A, parallela ad α e ortogonale a r; (b) [6 punti] Determinare la distanza di A da r; (c) [6 punti] Determinare il simmetrico di A rispetto ad α; Sia dato l endomorfismo f : R R la cui matrice associata rispetto alla base canonica di R è h M( f ) = h +, h B dove h è un parametro reale (a) [ punti] Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso ker f e Im f e loro equazioni cartesiane (b) [8 punti] Determinare f (h, h + h, ) al variare di h (c) [ punti] Posto h =, stabilire, giustificando la risposta, se f è semplice In caso affermativo, scrivere una decomposizione spettrale D = P M( f ) P di M( f ) determinando le matrici D, P, P

3 7 Giugno 8 Traccia dello svolgimento Per ogni n N, sia A P(n) : n+ n + Base Banalmente, la disuguaglianza è verificata per n =, n =, n = Ipotesi Sia n N, n e valga P(n) Tesi Proviamo che P(n + ) è vera, cioè che Sfruttando l ipotesi induttiva, si ha: n+ (n + ) + n+ = n+ (n + ) Vediamo per quali valori di n, vale la disuguaglianza (n + ) (n + ) + in modo da poter continuare la minorazione di sopra Si ha: (n + ) (n + ) + n 4n n + 6 Quanto provato ci consente di concludere che n+ (n + ) +, cioè la tesi n Determiniamo innanzitutto quante sono le possibili scelte di a e b Tale problema equivale a determinare il numero di soluzioni intere del sistema a 5 b 4 Si vede subito che le coppie ordinate (a, b) verificanti tale sistema sono tre e si tratta delle coppie (, 4), (4, ), (5, ) Indipendentemente dal fatto che in questo caso sia stato semplice effettuare il calcolo per via diretta, applichiamo il Principio di inclusione ed esclusione Si considerino a tale scopo i seguenti sistemi: (I) a, (II) a 6, (III) a, (IV) a 6 b b b 5 b 5 che sono equivalenti ai seguenti: (I ) A + B = 5 A B, (II ) A + B = A B, (III ) A + B = A B Il numero di soluzioni di ciascuno di tali sistemi è, nell ordine:, (IV ) A + B = 4 A B (I) = C (r),5, (II) = C (r),, (III) = C (r),, (IV) = Quindi, per il Principio di inclusione ed esclusione, il numero di soluzioni del sistema assegnato è = (I) (II) = C (r), (III) = C (r), + (IV) = come intuito all inizio ( ) ( ) ( ) =, 5

4 Tornando al problema assegnato, dunque, le prime due cifre possono essere occupate in modi differenti La terza, la quarta, la quinta e la sesta, possono essere occupate ciascuna in tutti i modi possibili e quindi vi sono in totale 4 configurazioni di esse Infine, dovendo essere il numero pari, la settima cifra potrà essere occupata solo in 5 modi possibili In definitiva, i numeri richiesti sono in totale 4 5 Sistema a) Dalla prima equazione si ottiene x = + t, t Z Sostituendo nella seconda tale espressione di x, si ottiene 6 + 9t mod 5 da cui 4t mod 5, cioè t 4 mod 5, ovvero t = 4 + 5µ, µ Z Di conseguenza x = + (4 + 5µ) = 4 + 5µ Si conclude quindi che tutte e sole le soluzioni del sistema sono i numeri interi x tali che x 4 mod 5 Sistema b) Poiché (, 5) = 5 non divide, la seconda equazione è impossibile e dunque il sistema non ammette soluzioni A Il determinante della matrice dei coefficienti è h h Se h = e h =, il sistema è determinato (l unica soluzione può essere determinata avvalendosi, ad esempio, della regola di Cramer) Se h = o se h = il sistema è impossibile Essendo det A = h h, la matrice A è invertibile se e solo se h = e h = Posto h =, risulta: A = Si ha P(A B) P(A B) =, P(B A) = P(B) da cui, per l ipotesi P(A B) = P(B A), si deduce che cioè che da cui, tenendo conto che b >, Quindi da cui Infine, P(B A)P(A) = P(A B)P(B) bp(a) = bp(b), P(A) = P(B) P(A B), P(A) a = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) P(B A)P(A) = ( b)p(a) P(A) = P(B) = a b P(A B) = P(B A)P(A) = ab b

5 B L equazione della retta r è x+ cioè r : x + 4y 5 = Detto P(x, y) un generico punto del piano e denotato con P (x, y ) il suo corrispondente nella simmetria assiale S r, devono essere verificate le condizioni y y x x = 4 ( x + x ) ( y + y ), = 4 = y da cui, risolvendo rispetto a x e y, si trae x = 7 5 x 4 5 y y = 4 5 x 7 5 y La retta p ha coefficiente angolare 4 e ha equazione y = 4 (x ) cioè p : y = 4 x + Poiché p è ortogonale all asse di simmetria di S r, essa è globalmente unita e dunque la sua trasformata mediante S r è essa stessa (a) Il punto improprio di r è P = (,,, ) Il piano π passante per A e parallelo ad α ha equazione (x ) + (y ) + (z ) = quindi π : x z = Il piano π passante per A e ortogonale ad r ha equazione (x ) + (y ) + (z ) = quindi π : y + z = La retta cercata è l intersezione di π e π : x z = y + z = (b) Il piano π trovato nel punto precedente è ortogonale alla retta r e passa per A H = π r, si ha d(a, r) = AH Si vede subito che H(,, ) Quindi, d(a, r) = (c) La retta passante per A e ortogonale a α ha equazioni parametriche x = + t y =, t R z = t Dunque, se Un generico punto A appartenente alla suddetta retta ha coordinate A ( + t,, t) Imponiamo che il punto medio M del segmento AA appartenga ad α Si ha: ( t + M,, t ) Imponendo l appartenenza ad α, si ottiene la seguente equazione: che fornisce t + + t + =, t = Ne viene che il punto A, simmetrico di A rispetto a α, ha coordinate A (,, )

6 B (a) Si ha det M( f ) = 4(h + ) Se h =, f è un isomorfismo, quindi Im f = R e ker f = (,, )} Se h =, si ha dim Im f =, Im f = (,, ), (,, ) e l immagine di f ha equazione y = Infine, dim ker f =, ker f = (,, ) e il nucleo di f ha equazioni cartesiane x y = y z = (b) Occorre risolvere, al variare di h R, il sistema x + hy = h (h + )y = h + h hy + z = Se h =, tale sistema ammette una ed una sola soluzione e risulta ( )} f (h, h + h h(h ), ) =, h, h Se h =, il sistema in oggetto è indeterminato e risulta ( ) } z f (h, h + h, ) =, z, z, z R (c) Per h =, la matrice M( f ) è diagonale Con facili conti si trova che il polinomio caratteristico associato a f è: p(t) = det(m( f ) ti ) = ( t) ( t) Gli autovalori sono quindi t = (con molteplicità algebrica uguale a ) e t = L autospazio V associato a t = è individuato dall equazione y = quindi dim V = e V = (,, ), (,, ) Infine, l autospazio V associato a t = è individuato dalle equazioni x = z = quindi dim V = e V = (,, ) Alla luce di quanto trovato, si conclude che f è semplice per h = e quindi è possibile realizzare una decomposizione spettrale della matrice M( f ) Ne viene che, ad esempio (per esercizio, individuare un altra scelta di D e quindi di P), D =, P = ed evidentemente, essendo P = I, si ha P = P

7 Dipartimento di Matematica e Informatica Anno Accademico 7-8 Corso di Laurea in Informatica (L-) Prova scritta unica di Matematica Discreta ( CFU) 7 Giugno 8 [6 punti] Dimostrare che, per ogni numeri naturale n, si ha n+ n + [4 punti] Quanti sono i numeri naturali pari di 7 cifre abcdefg tali che a + b = 7, a 5 e b 4? Giustificare la risposta Nel piano si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y [ punto] Scrivere l equazione della retta r passante per A(, ) e B(, ) [ punti] Scrivere le equazioni della simmetria assiale S r di asse r, giustificando il procedimento [ punto] Scrivere l equazione della retta p ortogonale a r e passante per C(, ) [ punto] Determinare la trasformata di p mediante S r 4 Nello spazio si fissi un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O x y z Siano dati la retta r : x = y z =, il piano α : x z + = e il punto A(,, ) (a) [ punti] Determinare la retta s passante per A, parallela ad α e ortogonale a r; (b) [ punti] Determinare la distanza di A da r; (c) [ punti] Determinare il simmetrico di A rispetto ad α; 5 Sia dato l endomorfismo f : R R la cui matrice associata rispetto alla base canonica di R è h M( f ) = h +, h dove h è un parametro reale (a) [ punti] Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso ker f e Im f e loro equazioni cartesiane (b) [ punto] Determinare f (h, h + h, ) al variare di h (c) [ punti] Posto h =, stabilire, giustificando la risposta, se f è semplice In caso affermativo, scrivere una decomposizione spettrale D = P M( f ) P di M( f ) determinando le matrici D, P, P

8 7 Giugno 8 Traccia dello svolgimento Per la risoluzione, si faccia riferimento allo svolgimento degli esercizi assegnati nella prova completa di integrazione