Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria A.A. 2011/12 Corso di Matematica I modulo Docente Parenti Laura

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1 1 Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria A.A. 2011/12 Corso di Matematica I modulo Docente Parenti Laura Questi appunti, uniti a quelli contenuti nel documento dal nome Commenti alle attività sulla misura e i numeri, sono un insieme di riflessioni che tengono conto anche delle discussioni in aula e costituiscono una traccia dei temi trattati nel corso, con particolare attenzione agli aspetti didattici associati. La stesura ha origine dal book di Monica Cheli, svolto nell A.A. 2004/05, integrata poi dal docente. In particolare gli inoltre e gli apprendimenti personali di Cheli costituiscono altre tracce di riflessione su quanto dibattuto nel corso. N.B. Gli aspetti tecnici per la preparazione e presentazione del book sono nel documento Presentazione del corso TEMA UNIFICANTE DEL MODULO: matematica, realtà e quale matematica a scuola? Come già anticipato nel documento Introduzione, il corso propone un analisi didattico/disciplinare di alcuni nodi concettuali associati alle conoscenze matematiche di base, al fine di recuperare significati corretti dei concetti indagati e proporre un insegnamento della matematica orientato all apprendimento consapevole. Uno dei principali obiettivi è mettere in relazione alcuni atteggiamenti negativi degli studenti nei confronti della matematica con stereotipi, modi di insegnamento, incontrati/comunicati nel corso degli anni e recuperare l importanza della matematica come strumento: per modellizzare la realtà/fenomeni reali (che consente letture storiche, anticipazioni, generalizzazioni, della realtà/fenomeno in esame) oltre che come teoria (nei suoi aspetti interni: linguaggio specifico, "regole", definizioni, assiomi, teoremi, ); che evidenzia la differenza tra il fare (muratore, sarto, cuoco, contabile ) conoscendo il come (si costruisce, si confeziona un abito, si prepara un pranzo, si esegue un calcolo ) e il saper fare conoscendo il perché si opera in quella maniera (perché la cattedrale resiste al tempo; - la taglia 46 si ricava dalla taglia 42; - l alimentazione è bilanciata; - la torta piccola ha lo stesso gusto della torta grande; - 2+3*5 = 17 e non 25, ). Ma anche perché devo fare prima il per del più, il diviso prima del meno ; il ruolo delle formule, delle frazioni, Un esempio significativo sono i pannelli della mostra I modi di costruire nel taccuino medievale di Villard d Honnecourt, il sapere empirico del passato visto attraverso la conoscenza scientifica svoltasi a Genova, Museo di Sant Agostino, ottobre 04-gennaio 2005, reperibile all indirizzo che evidenzia la differenza e il vantaggio tra una verifica (a posteriori) e un analisi a priori di un problema: vedi lettura Il metodo della triangolazione e il ruolo del modello. Vogliamo quindi DARE L IDEA DI quale didattica, quale matematica, quale didattica della matematica agevola un apprendimento consapevole? Se presentati e analizzati come intreccio con la realtà in cui viviamo anche i classici esercizi proposti quotidianamente a scuola possono assumere un valore culturale e formativo alto. A CHE COSA "SERVE" LA MATEMATICA? Alla domanda Perché insegnare/imparare matematica a scuola, le risposte più ricorrenti sono: perché aiuta a 1- ragionare (aspetto logico associato alla risoluzione di problemi, non solo strettamente matematici) 2- quantificare grandezze (aspetto associato al concetto di misura, cardinalità) 3- velocizzare i conti (aspetto associato alle abilità di calcolo) Quando poi si chiede di esemplificare situazioni in cui emerga l aspetto del ragionamento, difficilmente si hanno risposte pertinenti e difficilmente emerge il ruolo della matematica come un modello e, in particolare, come un modello della realtà. Quest ultimo è un aspetto importantissimo che aiuta a capire perché occorre quel tipo di calcolo, di procedura, di formula, di concetto,... per risolvere un particolare problema, quali agganci esso ha con la realtà che ci circonda,. MODALITA. Lo schema di analisi proposto è Realtà Modello Realtà dove intendiamo per: Realtà: un problema grezzo (non ancora formalizzato ), gestibile dall alunno (vicino alla sua esperienza e preferibilmente per lui interessante). Vedremo in seguito che il problema può essere sia concreto sia teorico (cioè interno alla matematica stessa) Modello: la matematica incorporata nel problema o la matematica che descrive il problema

2 Per quanto riguarda i processi logici e di apprendimento,vedremo che nello schema proposto R M R: A) la transizione Realtà Modello (operazione logica associata alla messa in formula del problema) stimola lo sviluppo di capacità di astrazione e di generalizzazione, formulazione di ipotesi, per la messa in formula del problema e per trovare un modello utile alla sua risoluzione. Tale attività può comportare una perdita di informazioni del problema iniziale, per esempio: nella misura, la scelta di strumenti più o meno sensibili può portare a risultati numericamente diversi; nella messa in formula occorre individuare le variabili significative e, se il problema è complesso, occorre fare delle semplificazioni con approssimazioni, scelta delle variabili più significative e dello strumento teorico più adatto. Diversamente il modello diventerebbe troppo complesso e occorrerebbero strumenti teorici non gestibili dai bambini. Occorre cioè saper selezionare le variabili più adatte a descrivere il problema e trascurarne altre (che danno comunque informazioni ma trascurabili per quel problema);. B) l attività interna a un Modello (utilizzo di: proprietà, operazioni, formule, regole,.) permette di trovare, o sapere perché non esiste, una soluzione teorica corretta del problema. Ragionare nel Modello (aritmetica, geometria euclidea piana, geometria dello spazio, ) comporta quindi la necessità di conoscerne linguaggio (alfabeto cioè i simboli, sintassi, semantica), definizioni, proprietà, regole, algoritmi,. Ricordiamo che sono gli sviluppi interni della matematica che danno i quadri di riferimento teorici (Modelli) che possono garantire l esistenza o meno di una soluzione teorica corretta del problema. Occorrerà poi decidere se tale soluzione è accettabile per il nostro particolare problema reale (vedi punto seguente). C) la transizione Modello Realtà stimola lo sviluppo di capacità di controllo del risultato ottenuto e di interpretazione in funzione della significatività di una risoluzione teorica rispetto alla realtà oggetto di studio. Occorre infatti saper decidere se il risultato ottenuto (vero dal punto di vista teorico) è accettabile per la risoluzione del quesito iniziale o deve essere adattato. Per esempio: nella misura di un oggetto la scelta di strumenti più o meno sensibili può portare a risultati numericamente diversi... allora qual è la misura vera dell oggetto? Quale risultato scelgo? Oppure pensiamo al problema della ricetta di cucina (v. pag.6): se la quantità di uova ottenuta dal modello della proporzione è 2,3 occorre decidere se utilizzare 2 oppure 3 uova... ma se anziché numero di uova si trattasse della quantità di un medicinale?... ; Possiamo riassumere quanto detto nello schema seguente: Astrazione Realtà Generaliz- Modello zione Realtà zazione Controllo Interpreta- Decisione 2 Spesso a scuola si opera solo nel Modello, con calcoli e formule fine a se stesse, mentre la matematica che fa ragionare sta nelle frecce. Vedremo che in classe si possono attivare questi processi se l insegnante predispone situazioni di apprendimento che facciano emergere il fatto che la matematica non è un mero esercizio intellettivo fine a se stesso, ma una disciplina che ci permette di risolvere problemi reali, spesso concreti. Da un punto di vista didattico, culturale e formativo, lo schema di analisi proposto Realtà Modello Realtà: permette ai bambini di: o prendere coscienza e partecipare in prima persona all attività propria di un matematico: modellizzazione, interpretazione,controllo, studio di nuovi modelli, o apprendere in modo motivato (perché finalizzati alla soluzione di un particolare problema significativo, quindi associati ad una situazione di riferimento significativa) concetti (ordinamento dei numeri, misura, conta, priorità delle operazioni, ), algoritmi (quelli delle quattro operazioni, ), proprietà ( perpendicolarità, parallelismo, ), formule, modelli (aritmetica, geometria euclidea,...), o evita ai bambini un apprendimento meccanico e stereotipato della matematica (vissuta solo come insieme di tecniche di calcolo di base, formule e regole, spesso, prive di giustificazione ed avulse dalla realtà). aiuta l insegnante a creare un ponte tra la scuola ed il mondo extra scolastico, contribuendo a perseguire gli obiettivi culturali e formativi propri della scuola dell obbligo.

3 QUALE DIDATTICA AGEVOLA QUESTI PROCESSI? Noi proponiamo una didattica della matematica in cui gli alunni, con la mediazione dell insegnante, possano esplorare situazioni problematiche reali, interessanti e stimolanti, al fine di scoprire la matematica che le descrive (o che tali situazioni "incorporano") e che è necessaria per risolverle. Dopo aver trovato e sistemato, con la guida dell insegnante, la matematica utile alla risoluzione del problema, si lavora nella teoria (per esempio si risolve un espressione, si fanno calcoli, si usano formule, ) e in ultimo si controllano i risultati e si interpretano per decidere se la soluzione è accettabile. Difficilmente tale metodologia costruisce l'immagine della matematica come insieme di formule e regole senza apparenti motivazioni e "utilità". Confrontiamo, estremizzando, due tipi di didattica: 1. Didattica centrata sulla lezione frontale e teorica: A. Modello estremizzato: si basa sulla spiegazione di procedimenti e formule (senza accennare al perché dei procedimenti stessi); seguono esercizi meccanici e ripetitivi di applicazione delle formule; nel caso un bambino non abbia capito o abbia difficoltà, questo tipo di didattica prevede di fargli fare più esercizi sempre dello stesso tipo: si tratta, quindi di addestramento, non di insegnamento. B. Modello meno estremizzato: si basa anch esso sulla spiegazione, ma quest ultima comprende anche il perché di procedimenti e formule; per il resto, è assimilabile al modello 1.A: addestramento tramite esercizi, ma con la richiesta, da parte dell insegnante, di giustificare i procedimenti ed il significato teorico associato (definizioni, linguaggio, formule, ).. In entrambi i casi, ci si muove sempre nell ambito del Modello (teoria matematica) senza agganci con la realtà. Conseguenza di questa tipologia di didattica è lo studio a memoria e l automatizzazione degli aspetti legati al calcolo. In questa situazione i bambini sono molto abili negli esercizi meccanici e ripetitivi, ma può succedere che si blocchino davanti ad un problema che, pur utilizzando concetti e schemi noti, è posto in una maniera un po differente dal solito. 2. Didattica centrata sulla lezione dialogata nell ambito Realtà Modello Realtà: L insegnante propone un problema reale, vicino al vissuto dei bambini e per loro interessante (quindi contestualizzato in una situazione di riferimento), la cui soluzione richieda la conoscenza del concetto matematico che si vuole indagare. Prima di ricercarne la soluzione indaga conoscenze e concezioni dei bambini sull argomento al fine di creare un punto di partenza comune; successivamente la classe, con la mediazione dell insegnante, arriverà a scoprire la matematica che la situazione incorpora o descrive. In questo modo i concetti matematici si costruiscono collegialmente e il ruolo dell insegnante è quello di mediatore (non di unico detentore della conoscenza). Egli, quindi, solo a posteriori compirà una sintesi, una puntualizzazione degli aspetti emersi. L attenzione è centrata sui processi di pensiero degli alunni e sul linguaggio, abilità trasversali importanti per la formazione dell alunno, oltre al calcolo. Per ottenere risultati occorre che l insegnante sappia: accettare inizialmente un linguaggio anche non molto appropriato e preciso, farlo evolvere lentamente introducendo termini specifici solo dopo che sia stato costruito il loro significato (evoluzione del linguaggio da comune a disciplinare con termini specifici). rendere cosciente il bambino della differenza tra il ruolo lettore (interpretare un testo prodotto da altri, quindi interpretare processi di pensiero altrui) e il ruolo produttore (produrre un testo per altri, quindi con la necessità di essere chiaro, non ambiguo, ). Questi aspetti possono essere sviluppati in classe con la verbalizzazione (orale e/o scritta) dei propri processi di pensiero e/o la comprensione dei processi di pensiero altrui, ad esempio, scambiando tra gli studenti compiti (eventualmente anonimi) in modo che ognuno si trovi a dover correggere (quindi interpretare) i testi di altri ed impari a scrivere in modo comprensibile ad altri stabilire un contratto didattico in cui l alunno si possa esprimere liberamente sempre senza il timore del giudizio. Abitui gli alunni a verbalizzare (orale e/o scritto) i processi che stanno dietro al ragionamento, a formulare ipotesi ed argomentarle/discuterle (riflessione sul proprio pensiero, immedesimarsi nel pensiero altrui) sempre senza il timore del giudizio. gestire un ruolo positivo dell errore come momento di confronto e chiarimento. L errore acquista così una valenza positiva e permette: al bambino di confrontarsi serenamente e di imparare a sostenere le proprie idee motivandole, all insegnante di capire più facilmente che cosa blocca l alunno ed intervenire adeguatamente preparare verifiche, in itinere e/o finali, tese ad evidenziare l impegno a comprendere il problema, la ricerca e la giustificazione della sua messa in formula prima e più di un risultato numerico corretto. 3

4 4 Riassumendo possiamo quindi distinguere: Didattica orientata all addestramento solo di tipo frontale La didattica che dà importanza SOLO al prodotto (risultato corretto) Nasce e rimane nel Modello e ricalca lo schema: * SPIEGO (regola, formula, algoritmo, ) * PROPONGO ESEMPI, con schema risolutivo * ASSEGNO ESERCIZI del tipo già visti e più esercizi assegno, più gli studenti diventano bravi" se uno studente sbaglia, gli assegno altri esercizi dello stesso tipo. Didattica orientata a comprensione/apprendimento/conoscenza e di tipo costruttivista La didattica che presta attenzione al prodotto (risultato corretto) ma dà più importanza ai processi di pensiero: quali ragionamenti ha messo in atto l alunno nella ricerca della soluzione, dove si è eventualmente arenato e perché. È in relazione con tutte le frecce e pone particolare attenzione allo sviluppo del pensiero attraverso (vedi progetto SeT e MIUR, "parole chiave"): * un contratto didattico appropriato * attenzione allo sviluppo del linguaggio * costruzione sociale del sapere * zona di prossimo sviluppo di Vigotsky: distanza tra quello che l'allievo sa fare e quello che potrebbe fare se convenientemente aiutato * ruolo positivo dell'errore * argomentazione * verbalizzazione * formulazione di ipotesi * discussione matematica A DISTANZA DI TEMPO è più frequente confusione tra formule, regole, algoritmi, capacità di ricostruire e utilizzare correttamente formule, regole, algoritmi, anche in contesti nuovi, in quanto sono stati interiorizzati come punti di ARRIVO nella costruzione partecipata del concetto (e della propria conoscenza) Concludendo, si può dire che a scuola sia quasi più importante imparare il significato dei procedimenti (cosa che spesso manca) piuttosto che il procedimento stesso. Ovviamente occorre conoscere i procedimenti che sono parte della conoscenza del Modello: per la divisione, per esempio, occorre sapere l algoritmo di calcolo ed il suo significato di sottrazione ripetuta, ma per l estrazione di radice è più rilevante conoscere il significato, in quanto per il calcolo si usa spesso la calcolatrice. Riassumendo, cercheremo di: Dare idea di matematica come strumento per modellizzare la realtà/fenomeni reali (che permette generalizzazioni, anticipazioni del fenomeno, una sua lettura storica, ) come teoria (con aspetti interni: linguaggio specifico, "regole", formule, ) Dare idea di realtà come situazione problematica "grezza" da osservare e modellizzare. Dare idea di come insegnare matematica partendo da un problema concreto e stimolante per gli alunni, risolverlo scoprendo la matematica che "incorpora" o che lo descrive, anziché dare l'immagine della matematica come insieme di formule e regole senza apparente motivazioni e "utilità". Schematizzando: COME? (in relazione all'argomento) indagine su rappresentazioni mentali, "concezioni", misconcetti, (pre)conoscenze intrecci con uso computer quanto formalizzare? discipline diverse differenze per livelli di scuola

5 Inoltre... La verbalizzazione dei ragionamenti e dei procedimenti da parte del bambino è un obiettivo trasversale dell insegnamento molto importante: aiuta ad esprimersi meglio e con più precisione, a comunicare meglio; è utile all insegnante per verificare se il bambino padroneggia il concetto, se lo sa utilizzare e, in caso di errore, può stabilire se esso è solo di calcolo oppure di ragionamento (e, in questo caso, in quale punto del ragionamento risiede). Un attività didattica basata sulla verbalizzazione implica un contratto didattico fondato anche sulla fiducia reciproca tra insegnante e alunni; l alunno non deve sentirsi sotto pressione, non deve avere timore del giudizio, ma deve poter percepire la libertà di esprimersi, di comunicare, di confrontarsi con l insegnante e i compagni in un clima di serena costruzione della conoscenza. Un contratto didattico di questo tipo, in cui ognuno si mette in gioco (compreso l insegnante) esponendo i propri punti di vista, le proprie conoscenze, i propri dubbi, è meno rassicurante per l insegnante, ma sicuramente più formativo e stimolante. Per una didattica costruttiva, inoltre, è necessario che tutti gli argomenti si colleghino, che il bambino capisca che nella conoscenza non ci sono compartimenti stagni, ma tutto si completa e si compenetra. Partendo da questi presupposti, occorre ancora raggiungere la costruzione dei concetti tramite la comprensione del a che cosa serve, quando si può usare,. Al fine di ottenere questi risultati, non si può seguire pedissequamente il libro di testo. Esso, inevitabilmente, è strutturato in capitoli: ciascuno introduce e tratta un argomento alla volta, in modo separato che così appare anche indipendente, diviso al suo interno tra teoria ed esercizi (i quali, per forza di cose, sono anch essi a capitoli ). È ovvio, quindi, che il libro di testo deve costituire solo un sussidio, non può essere l unica fonte e non può prendere il posto dell insegnante. È l insegnante che deve essere capace di sfruttare il libro per trarne spunti utili o riferimenti all interno di un discorso impostato in modo più generale. Apprendimenti personali Ho trovato molto importanti e interessanti le riflessioni circa l utilizzo del libro di testo. Credo sia fondamentale, come insegnanti, riuscire a staccare la didattica dall assoluta dipendenza dal libro di testo e credo che sia altrettanto importante riuscire ad evitare che il bambino acquisisca questa stessa dipendenza e si renda conto della molteplicità delle fonti a cui può attingere (prima fra tutte la realtà che lo circonda che, anche se non sembra, può offrire moltissimi spunti, per esempio, per cercare e risolvere problemi con l aiuto dell insegnante). Nelle discussioni in aula ho trovato conferma dell importanza del confronto, della discussione, della verbalizzazione, dell analizzare il perché di ragionamenti e di procedimenti diversi e i perché della loro validità o non correttezza. Credo che per i bambini impostare questo tipo di discorso sia molto importante in quanto spesso tendono a vedere come corretta solo la propria interpretazione delle cose (che magari è sì corretta, ma non è detto sia l unica possibile). Ho trovato utile il fatto di esercitarsi a entrare nei processi di pensiero di chi ha risposto alle domande della scheda; infatti, credo che per un insegnante sia fondamentale cercare di capire i procedimenti e i ragionamenti che hanno originato una risposta, al fine di individuare il punto in cui si crea quella rottura che da origine all errore. Una volta compreso il perché dell errore e i ragionamenti ad esso sottesi, l insegnante potrà agire con interventi mirati; al contrario, se si limita ad evidenziare la risposta sbagliata senza indagarne il perché, oltre a non poter agire adeguatamente, non permetterà neppure al bambino di capire dove e perché sbaglia. Ho riflettuto su come è importante utilizzare, da parte dell insegnante, un linguaggio chiaro per i bambini, ma allo stesso tempo corretto dal punto di vista della disciplina. In passato mi è capitato di pensare che per farsi capire dal bambino è bene usare un linguaggio semplice che permetta un apprendimento veloce. Invece, grazie al corso e all esperienza di tirocinio e di lavoro a scuola, mi sono accorta di come i bambini, anche piccoli, siano recettivi e pronti a imparare termini nuovi (magari un po difficili) e a comprenderne il significato. Di conseguenza, mi sono convinta dell importanza di utilizzare termini precisi e, soprattutto, corretti per evitare che in futuro, quando si affrontano temi più complessi, si potessero creare problemi di comprensione causati dall aver appreso un linguaggio impreciso, ambiguo (confondere, per esempio, un termine del linguaggio comune con quello matematico) o addirittura scorretto (come dire che prima dello 0 i numeri sono disposti in ordine decrescente o che numero grande meno numero piccolo non si può fare, ). Quali esercizi stimolano il ragionamento? Ad esempio, esercizi che propongono problemi e situazioni problematiche ricche, anche complesse ma interessanti e accessibili, quindi stimolanti: formulati in un opportuno contesto reale, significativo per l alunno e al cui interno si trovi il concetto matematico da indagare. In tal modo si crea una situazione di classe che motiva l apprendimento di nuovi strumenti matematici e che crea una storia di classe cui far riferimento in futuro per richiamare alla mente il concetto in oggetto. Per esempio: problemi di spesa, resto, chi pesa di più o di meno, chi arriva prima, chi è più alto sono utili per introdurre al significato delle 4 operazioni, del confronto di numeri, E bene anche il viceversa cioè che l insegnante dopo lo svolgimento di esercizi numerici proponga più testi di problemi che hanno quelle operazioni/espressioni per soluzione. In questo modo i numeri acquistano/conservano significato. In seguito si può chiedere anche ai bambini di formulare semplici testi di problemi le cui soluzioni contengano le operazioni svolte: in questo modo si potenzia costantemente il significato dei numeri utilizzati, delle 5

6 operazioni svolte e dei risultati ottenuti e diventa anche più semplice capire/abituarsi alla necessità del controllo del risultato. Con più soluzioni ottenute sia da procedimenti diversi sia da dati ricavati da misure (quindi con possibili arrotondamenti diversi), o, eventualmente, anche senza soluzioni. 6 In tal modo il bambino è stimolato a scoprire la matematica incorporata nel problema, cioè a cercare il modello matematico che descrive la situazione in esame. Dopo averlo trovato e sistemato con la guida dell insegnante, si lavora nel modello a livello teorico (per esempio si risolve un espressione, si fanno calcoli, si usano formule, ) e in ultimo si controllano i risultati e si interpretano nella realtà del problema in esame per decidere se la soluzione teorica trovata è accettabile oppure no. Per esempio, riferiamoci ad un problema semplice, ma in cui si può leggere molta matematica: devo preparare una torta per 7 persone, ma la ricetta è solo per 4. Come faccio? L insegnante può proporre l esempio per introdurre/rinforzare/verificare il concetto di riduzione all unità (quanta torta a persona?) o, in un contesto scolastico adeguato, il modello della proporzione oppure ancora per presentare una metodologia di lavoro. Il bambino potrà costruire il modello di riduzione all unità e calcolare le dosi dei vari ingredienti a persona (sempre nel modello), trovare una soluzione numerica, ma infine dovrà interpretare i risultati nella realtà ingredienti (occorre cioè associare ai risultati numerici la rispettiva unità di misura, ecc...). Troveranno sicuramente una soluzione per zucchero e farina (opero con numeri decimali) ma non è detto che si trovi una risposta per le uova (opero con numeri interi e 2,4 uova non ha senso). Allora come procedere? Devo trovare una nuova strategia adeguata alla situazione reale. Per gli ingredienti della torta potrei procedere anche per approssimazioni ( la preparo per 8 persone e ne avanza oppure non conservo la proporzione esatta per le uova ) ma se fossero le dosi di una medicina? Si può allora ragionare sempre con la riduzione all unità ma calcolare le dosi dei vari ingredienti a uovo invece che a persona. In questo modo avremo più prodotto finale ma le proporzioni tra ingredienti sono conservate. con troppi dati e/o dati mancanti e/o dati da ricavare (con misure, calcoli), per costruire l abitudine a ragionare anziché favorire l abitudine a scegliere nel testo parole chiave che orientino alla soluzione tecnica (per esempio: in tutto diventa sinonimo di somma tutti gli elementi, quanto rimane diventa sinonimo di sottrai ) ed evitare stereotipi del tipo per risolvere il problema occorre usare tutti i dati. Ragionando su questa tipologia di problemi: il bambino realizza un apprendimento significativo, utile e duraturo, che conduce alla comprensione del concetto; si impadronisce di strumenti (modelli) adeguati alla soluzione di problemi che valgono in contesti diversi che saprà più facilmente riconoscere ed applicare in situazioni nuove; evita uno sterile addestramento su formule, calcoli, procedure,... e la sgradevole sensazione di svolgere calcoli inutili fine a se stessi. In tal modo il bambino diventa protagonista della costruzione della propria conoscenza; l insegnante partecipa alla costruzione di un apprendimento significativo, evitando la frattura scuola vita e l addestramento mnemonico della classe. Apprendimenti personali Ho imparato, sperimentandolo sulla mia pelle, come sia molto più interessante, divertente e stimolante confrontarsi con esercizi del tipo trova l errore o trova le diverse soluzioni possibili piuttosto che con la solita risoluzione di espressioni. Inoltre, credo che per un bambino questi esercizi siano anche più formativi in quanto costringono a ragionare, ad ipotizzare, a percorrere processi di pensiero diversi dai propri. Infine, credo che la caccia all errore (per es. correggere un espressione errata, una formula male applicata, un ragionamento incompleto ) costituisca anche un modo per far sì che il bambino rifletta sugli errori possibili e le loro cause. In seguito potrà avvalersi di questa consapevolezza al fine di non cadere negli stessi errori nel momento in cui si troverà a risolvere problemi analoghi. RIFLESSIONI SUI PRINCIPALI TEMI AFFRONTATI NEL CORSO. LA MISURA E I NUMERI DECIMALI Misurare significa contare quante volte l unità di misura scelta è contenuta nella grandezza in esame. Il risultato è un numero puro, cioè senza dimensioni (m, cm...) e quindi nel Modello, che indica quanti multipli e/o sottomultipli dell unità di misura scelta sono contenuti nella grandezza da misurare. Il risultato teorico ottenuto si dovrà poi interpretare nel problema reale (passaggio dal modello alla realtà) ed assegnargli una unità di misura opportuna. Con i bambini è bene arrivare al concetto di misura attraverso attività di pre-misura. Per esempio: contare i passi da un muro all altro dell aula, contare quante matite è lungo il banco, poi quante gomme è lungo lo stesso banco, ecc... Tali esperienze portano a risultati diversi da bambino a bambino (i passi, le gomme e le matite hanno lunghezze diverse per

7 ogni bambino) e facilmente alla considerazione che, per ottenere misure non ambigue e comunicabili a distanza, occorre riferirsi ad un unità di misura convenzionale e condivisa, cioè uguale per tutti. Esistono misure dirette (le lunghezze lette sul righello, i pesi letti sulla bilancia a due piatti) e indirette (le lunghezze lette sul termometro o su un cilindro graduato); queste ultime vanno interpretare rispettivamente come temperature o capacità [a tale proposito si veda anche Commenti alle schede su numeri decimali e misura]. Un aspetto didattico importante associato al concetto di misura è la risoluzione di problemi. A scuola il concetto di misura è poco esplicitato perché quasi sempre si risolvono problemi con numeri belli (interi, divisibili facilmente,...); la formulazione del quesito è pensata per dare risultati altrettanto belli. L abitudine a confrontarsi con questo tipo di problemi induce lo stereotipo del pensare che un risultato brutto sia sbagliato, ma ciò implica almeno due conseguenze gravi: 1) il bambino si convince di aver commesso errori anche quando non li ha fatti; 2) la matematica sembrerà ai suoi occhi sempre più fine a se stessa, avulsa dalla realtà, in quanto nella vita reale è pressoché impossibile trovare risultati belli a problemi concreti. È vero che spesso si usano i numeri belli per facilitare i calcoli, ma questa scusa vale solo se non si ammette in classe l uso della calcolatrice. Essa è uno strumento che comunque i bambini utilizzano a casa e con cui vengono a contatto; di conseguenza è bene che imparino a scuola ad utilizzarlo in modo corretto (vedi dopo) e, come ogni strumento, quando serve. Per esempio, quando l obiettivo principale di un esercizio non è il calcolo (saper mettere in colonna, eseguire prodotti, ecc...) ma saper ricavare dati da una figura attraverso la misura o mettere in formula un problema, si può permettere l utilizzo della calcolatrice e insegnare anche a misurare e a sperimentare nella realtà i numeri decimali, le unità di misura, le equivalenze, gli errori, le approssimazioni, i multipli e sottomultipli tutte abilità e conoscenze che diversamente sono apprese solo in modo teorico e, quindi, con più difficoltà e meno consapevolezza. Tipologie di problemi affrontati nel corso sulla misura e i numeri decimali. Abbiamo visto che: - il posizionamento di valori numerici sulla retta dei numeri (dovendo assegnare un unità di misura opportuna); - la lettura/interpretazione degli indici numerici associati alle tacche per dedurre l unità di misura; - l utilizzo di un righello rotto e di contenitori cilindrici; - le frazioni, le altezze, le perpendicolari, le parallele, le aree sono tutti esempi nei quali si possono leggere la misura, i numeri decimali, i multipli, i sottomultipli, le equivalenze,. Si può dire che l obiettivo didattico complessivo è quello di costruire un concetto a partire da diverse situazioni di riferimento e differenti contesti. Questi problemi sono stati presentati: Come occasioni per introdurre/rinforzare/verificare: i concetti di: misura (diretta/indiretta, nel piano e nello spazio), unità di misura (lunghezza/area/capacità/temperatura), misura approssimata, misura arrotondata, multipli e sottomultipli, il concetto di numero (intero, decimale, notazione posizionale, ) e i suoi sensi/significati la capacità di: scelta/interpretazione di unità di misura, utilizzo di strumenti di misura, interpretazione dei risultati (ruolo delle misure approssimate, delle formule di area,.) Come occasioni per superare/evitare gli stereotipi associati all abitudine di presentare sempre e solo casi particolari: misurare iniziando dallo zero (che porta alla confusione tra contare e misurare, vedi righello rotto); triangoli con la base parallela alla riga del quadretto, che porta alla confusione tra verticale (termine che non esiste nel modello della geometria euclidea piana) e perpendicolare e all errore perpendicolare = dritto ; frazioni con denominatori pari e numeratori minori dei denominatori perché si adattano bene al modello della torta e portano alla classificazione tutta scolastica e non matematica di frazioni proprie, improprie, apparenti ; esercizi con soli multipli e sottomultipli di 10, che non aiutano la lettura di scale diverse; lo studio di tante formule di aree di poligoni regolari, che porta alla convinzione che per ogni figura occorra una formula e che senza formula non si possa calcolare un area, senza spiegare che tutte possono ricondursi all area di uno o più triangoli e che tale procedura vale anche se il poligono non è regolare, Come occasioni per proporre problemi di calcolo più significativi ed in modo più interessante. Per esempio: sommare e/o sottrarre e/o dividere e/o moltiplicare per: - posizionare un numero (espresso in forma decimale e/o frazionaria), - associare i valori alle tacche, - trovare la lunghezza della gomma con il righello rotto, - sommare aree di triangoli per il calcolo di aree di poligoni non regolari, affrontare la moltiplicazione come somma ripetuta: per esempio, se nell esercizio del posizionamento del? sulla linea dei numeri il? è posizionato sulla seconda tacca dopo 1.50, dovremmo prima individuare l unità di misura associata alle tacche e poi associare il valore corretto al? sommando a 1.50 due spazi di un certo valore (a seconda dell unità di misura). I ragionamenti possibili sono diversi: possiamo pensare 1,50 + (0,020 x 2) = 1,54 oppure 1,50 + 0,020 = 1,52 e poi 1,52 + 0,020 = 1,54 Entrambi i procedimenti sono validi. Il loro confronto in classe può essere utile per sviluppare il ragionamento e la riflessione sul fatto che ad uno stesso problema si possono associare procedimenti risolutivi differenti. 7

8 8 affrontare il problema di operazioni col prestito. Affinché tale regola acquisti significato può essere utile l utilizzo delle monete. Si tratta di un campo di esperienza vicino ai bambini, interessante e semplice, che permette di associare il modello della sottrazione alla realtà, consente un legame scuola-vita e permette di conquistare consapevolmente termini precisi (per esempio, in matematica si dice uno virgola otto e quando necessario si intende otto, ottanta, ottocento a seconda dei casi, con le monete si dice direttamente un euro e ottanta centesimi, abituando così alle unità di misura). Il modello delle monete è utile anche per far capire il significato di numero come valore, l ordinamento e quindi il confronto di numeri. Facilmente si spiega perché 1,8 è maggiore di 1,27. Il numero 1,27 è rappresentato da una moneta da 1, due da 1 decimo, sette da 1 cent; mentre 1,8 da una moneta da 1, otto da 1 decimo. Disponendole come segue 1 1 si capisce anche visivamente che 1,8 > 1,27 in quanto, in questo caso, a dimensioni maggiori delle monete corrispondono valori maggiori di denaro. Se si vuol sapere di quanto è maggiore 1,8 o quanto resta da 1,8-1,27, si possono aiutare con le monete i bambini in difficoltà di calcolo. Si riesce ad evidenziare anche la regola del prestito infatti è facile confrontare euro con euro e decimi con decimi, ma per confrontare i centesimi occorre prima trasformare un decimo di 1,8 in 10 cent e poi si può procedere con il confronto. 1 1 In ultimo si conta che restano 5 decimi e 3 centesimi ovvero 53 centesimi e quindi che 1,80-1,27 = 0,53 Operando nella realtà, il bambino può acquisire consapevolezza sul procedimento della sottrazione, sulla regola del prestito, sulla notazione posizionale delle cifre, sul significato del mettere in colonna i numeri e del pareggiare il numero di cifre. Lavorando inizialmente con le monete non è necessario che il primo termine dell operazione sia il numero maggiore: disegnare prima un termine piuttosto che l altro non è importante, perché il significato ci guida e il risultato che si ottiene è comunque esatto. In seguito, passando al modello e lavorando solo con i numeri, si affronterà in modo più consapevole il problema dell incolonnamento e dell ordinamento, supportato anche dal significato che non esistono monete negative. Il posizionamento di valori numerici positivi sulla retta dei numeri Nel modello dei numeri decimali Abbiamo visto che il valore 0,4U significa 0,1U + 0,1U +0,1U +0,1U ovvero a partire da zero raggiungiamo 0,4U con 4 passi lunghi 0,1U. Per spiegare quale relazione c è tra l unità U e il sottomultiplo 0,1U occorre eseguire la divisione 1U : 10 volte = 0,1U Cioè 0,1U è la decima parte dell unità di misura scelta. Questo modo di procedere è giustificato dal fatto che noi utilizziamo il Sistema Metrico Decimale. Nella Realtà, su una porzione di retta dei numeri Se abbiamo assegnata l unità di misura pari, per esempio, a 6 cm troviamo la posizione di 0,1U eseguendo l analoga divisione 6 cm: 10 volte = 0,6 cm Vuol dire che alla distanza di 0,6 cm dallo zero posiziono il valore 0,1U, ripeto 4 volte il procedimento e posiziono il valore 0,4U, ovvero a partire da zero raggiungiamo 0,4U con 4 passi lunghi 0,6 cm. Nel modello delle frazioni La definizione di frazione come operatore recita: in una frazione il denominatore indica in quante parti è divisa l unità di misura scelta, il numeratore indica quante di queste parti devo considerare (vedi oltre DEF.2). Essa evidenzia l aspetto di frazione come sottomultiplo dell unità di misura scelta

9 Ognuna delle parti in cui è divisa l unità di misura iniziale si chiama unità frazionaria ed è una nuova unità di misura, sottomultiplo dell unità di misura iniziale. Il numeratore indica quindi il numero di volte che devo considerare tale sottomultiplo. Per esempio nella scrittura 2/5U il denominatore 5 (denomina, dà il nome) indica che devo dividere in 5 parti uguali l unità di misura scelta U, mentre il numeratore 2" indica che devo considerare 2 di queste parti uguali (ciascuna detta unità frazionaria). Quindi il valore 2/5U significa 1/5U +1/5U ovvero a partire da zero raggiungiamo 2/5U con 2 passi lunghi 1/5U. Per spiegare quale relazione c è tra l unità U e il sottomultiplo unità frazionaria occorre, in questo esempio, eseguire la divisione 1U : 5 volte = 1/5U Nella Realtà, su una porzione di retta dei numeri Se abbiamo assegnata l unità di misura pari, per esempio, a 6 cm troviamo la posizione di 1/5U eseguendo l analoga divisione 6 cm: 5 volte = 1,2 cm Vuol dire che alla distanza di 1,2 cm dallo zero posiziono il valore 1/5U, ripeto 2 volte il procedimento e posiziono il valore 2/5U, ovvero a partire da zero raggiungiamo 2/5U con 2 passi lunghi 1,2 cm. 9 Relazione tra il modello dei numeri decimali e il modello delle frazioni Se posizioniamo sulla stessa porzione di retta i valori 0,4U e 2/5U ragionando separatamente nei due modelli precedenti, scopriamo che con DUE RAGIONAMENTI DIVERSI arriviamo allo stesso punto sulla retta. Sarà un caso o accade sempre? Accade sempre perché esiste un altra definizione di frazione (vedi oltre DEF.1) che mette in relazione il modello dei numeri decimali con il modello delle frazioni e recita: una frazione è una divisione indicata e non eseguita tra due numeri interi (numeratore e denominatore) cioè una scrittura convenzionale del numero decimale che si ottiene eseguendo la divisione assicura. Eseguendo quindi la divisione indicata si ottiene 2U : 5 volte = 0,4U. Il posizionamento di valori numerici negativi sulla retta dei numeri Per posizionare sulla retta dei numeri i valori negativi si può ribaltare rispetto allo zero la posizione del corrispondente valore positivo (si conserva la simmetria rispetto allo zero), ma per decidere quale valore è minore occorre ricordare che l orientamento della retta dei numeri è unico da sinistra verso destra. Può essere utile la seguente metafora: Ricorda: per decidere tra due o più valori (positivi e/o negativi) quale è il più piccolo posso immaginare un omino che si muove sulla retta dei numeri, parte dal valore più piccolo (meno infinito) e la percorre da sinistra a destra: è SEMPRE più piccolo il valore che incontra prima. Inoltre... Per ciò che riguarda la notazione posizionale, c è da criticare la scomposizione del numero in una tabella che riporta nelle sue colonne etichette del tipo u, da, h. Tale impostazione, che spesso si trova nei libri, porta a vedere il numero a fette separate e annulla lo sforzo dell insegnante di far apprendere il concetto di numero. Le etichette non hanno significato per i bambini e diventano uno stereotipo scollegato dal concetto. È più utile e corretto, dal punto di vista matematico evidenziare la notazione posizionale in questo modo: 234 u = 200 u + 30 u + 4 u in cui emerge l analogia tra la scrittura ed il suono con cui si legge il numero nonché il significato della base dieci. Si possono così comporre e scomporre numeri utilizzando somme e restando aderenti al modello matematico della notazione posizionale. Nel corso degli studi potranno trovare altre scritture che utilizzano anche prodotti (200 = 2x100) e che evidenziano meglio il ruolo della base 10: 234 u = 2x100 u + 3x10 u + 4x1 u oppure 234 u = 2x10 2 u + 3x10 1 u + 4 x10 0 u Valore posizionale delle cifre associato al concetto di unità di misura aiuta la costruzione corretta del concetto di numero sia modello (unità di misura generica u) sia nella realtà (unità di misura contestualizzata: kg, litri, grammi, ) Apprendimenti personali Non avevo mai riflettuto sul fatto che l azione del misurare, poiché si attua tramite l azione del contare, dà come risultato un numero puro, cioè senza dimensione (quindi nel Modello), mentre quando associamo al risultato l unità di misura opportuna stiamo ragionando nella Realtà. Non avevo mai riflettuto sulla differenza tra contare e misurare ed ho imparato che per i bambini è importante esercitarsi in quest ambito. Inoltre, ho trovato gli esercizi proposti molto interessanti e utili per la pratica scolastica: ho capito, infatti, come sia importante proporre quesiti sempre diversi nell impostazione, in modo che il bambino si abitui a considerare

10 i problemi sotto vari punti di vista; il problema del righello rotto, ad esempio, o quello del righello posizionato in modo inconsueto, mi sono sembrati molto interessanti e ho potuto notare come il cambiare impostazione ad un problema noto produca effetti positivi per ciò che concerne la stimolazione del ragionamento, l attivarsi per cercare soluzioni innovative, il cercare nuove strade. Le schede hanno costituito per me un importante esempio di come si possano porre problemi che prevedano il passaggio dalla realtà al modello e poi di nuovo alla realtà. Infine, per ciò che riguarda i numeri belli/brutti, mi sono resa conto che anche la mia esperienza scolastica è stata caratterizzata dallo stereotipo: risultato brutto = risultato errato. Ora mi rendo conto di quanto è stato influente in senso negativo: mi ricordo che a volte, ottenendo come risultato un numero brutto, ricontrollavo i calcoli (come se fosse per forza indice d errore), mentre l ottenere un numero bello era rassicurante (come fosse garanzia d esattezza). Possiamo anche classificare i principali obiettivi del gruppo di schede in: - obiettivi disciplinari, utili ad introdurre/rinforzare/verificare i concetti di: Numero: rappresentazioni simboliche convenzionali, valore posizionale delle cifre, ordinamento, classificazione (positivi, negativi, razionali, irrazionali, reali,...) Linea dei numeri e suo ordinamento Misura (diretta/indiretta) e unità di misura: interpretare gli indici numerici associati alle tacche delle scale graduate per dedurre l unità di misura, multipli/sottomultipli, equivalenza, anche negli strumenti di misurazione indiretta Differenze di sistemi di misura: decimale (squadra, righello) e sessagesimale (goniometro, orologio) Contare e misurare: analogie e differenze. Differenza tra contare (le tacche o gli indici numerici delle tacche) e misurare (lo spazio compreso tra le tacche); superamento dello stereotipo misurare = leggere l indice numerico del righello coincidente con il secondo estremo dell oggetto da misurare. Contare e calcolare: la moltiplicazione come somma ripetuta, fare somme e divisioni per associare i valori alle tacche - obiettivi didattici, utili a introdurre/rinforzare/verificare: La capacità o di lettura/interpretazione di una rappresentazione grafica: leggere una scala numerica ricavando l unità di misura da due riferimenti assegnati o di conoscere linguaggi diversi: passaggio dalla scrittura numerica a quella letterale o di autoverifica e autocorrezione Il superamento dello stereotipo che la linea dei numeri sia rappresentabile solo con multipli e sottomultipli di 10 Consapevolezza del processo di astrazione (lavoro nel modello), interpretazione dei dati ottenuti e verifica (lavoro nella realtà) Utilizzo di strumenti di misura Ruolo dello 0 nella misura (come comportarsi con punti di partenza diversi dall indice 0?) Se si analizza, invece, ogni scheda così come è stata svolta in prima battuta (con le risposte da correggere) si possono aggiungere i seguenti obiettivi didattici: Individuazione e correzione dell errore; ricerca della causa Seguire i processi di pensiero degli altri (ad esempio se ci sono più strategie possibili) - obiettivi trasversali, utili a introdurre/rinforzare/verificare la capacità di: Analizzare il proprio ragionamento e saperlo confrontare con quello degli altri: saper seguire un ragionamento altrui e saperlo interpretare, sapere sostenere il proprio punto di vista, Utilizzare un linguaggio sempre più ricco e preciso, al fine di essere compresi meglio e di acquisire consapevolezza delle differenze e delle ambiguità che possono nascere tra linguaggio comune e linguaggio disciplinare. Verbalizzare i propri ragionamenti sottesi all esecuzione del compito (ruolo produttore). Capacità in relazione alla ricchezza del linguaggio e alla consapevolezza del procedimento utilizzato. Lettura e comprensione di un testo altrui (ruolo lettore) che può contenere anche termini specifici della disciplina In realtà gli obiettivi precedenti non sono separati, ma intrecciati perché ogni attività ha aspetti disciplinari, didattici e trasversali, talvolta non distinguibili nettamente. La distinzione dipende più dall insegnante che, quando svolge un attività, privilegia uno degli aspetti. 10

11 L UGUALE In matematica che cosa significa uguale? Occorre fare attenzione al contesto e al modello di riferimento in cui opero. Ad esempio: * nel linguaggio comune diciamo questi due maglioni sono uguali e possiamo intendere di volta in volta: stesso modello ma taglia diversa, stessa lavorazione, stesso colore, ma anche due o più delle caratteristiche precedenti; * in matematica: - due numeri sono uguali se hanno lo stesso valore: individuato sulla linea dei numeri dallo stesso punto, eventualmente espresso con diverse rappresentazioni simboliche convenzionali (1,5 = 15/10 = 3/2); espresso con la stessa rappresentazione simbolica convenzionale (12,5 = 12.5); - due grandezze sono uguali se hanno la stessa misura; allora: due segmenti sono uguali se hanno la stessa lunghezza (quindi sono uguali i valori numerici che indicano la loro lunghezza (12,05 m = 1205 cm)) due poligoni sono uguali se hanno la stessa area (quindi se sono uguali i valori numerici che indicano la loro area) due contenitori sono uguali se contengono la stessa quantità di liquido (1,2 l = 12 dl = 120 cl) o se hanno lo stesso volume (quindi se sono uguali i valori numerici che indicano il loro volume). * per la calcolatrice il simbolo = significa esegui ; si chiama uguale procedurale ed ha un significato diverso dall uguale matematico (anche se si utilizza lo stesso segno). Ad esempio, se digito sulla calcolatrice 3+2 =, il simbolo = significa calcola il risultato delle operazioni impostate, esegui il calcolo impostato. In matematica se scrivo 3+2 = 5 indico che i due termini (quello a destra e quello a sinistra del segno) esprimono lo stesso valore e sono intercambiabili. * nei libri di testo scolastici l uguale spesso si usa con gli insiemi in frasi ambigue. Per esempio, si trova: raggruppa tutte le figure uguali : 11 un bambino può pensare di raggruppare tutte le stelle perché hanno la stessa forma, ma potrebbe anche raggruppare solo le due stelle della stessa dimensione, oppure la stella e il cerchio verdi perché uguali per colore oppure solo i cerchi perché uguali per forma e dimensione,. In tutti i casi, la risoluzione del problema è esatta, in quanto è la consegna ad essere ambigua. In matematica occorre specificare uguale rispetto a...forma, dimensione, colore,.... Però didatticamente l ambiguità può essere significativa se l insegnante discute le diverse soluzioni e sottolinea che esistono problemi con più soluzioni corrette e che la soluzione di un problema può variare, al variare della domanda posta. Un termine matematico, che a volte si usa confuso con uguale, è equivalente: - in geometria: indica due forme diverse, ma che hanno la stessa area o volume; - nell ambito delle frazioni: indica due frazioni che hanno scritture diverse, ma indicano lo stesso valore decimale (2/3 equivale a 4/6). Un altro termine matematico che si usa spesso confuso con uguale è congruente: - in geometria, due segmenti sono congruenti se sono sovrapponibili con una traslazione (movimento rigido), quindi se osservo che coincidono gli estremi, indipendentemente dalla misura (mentre dico uguali se considero la loro misura). Inoltre... Anche nel linguaggio comune si riscontrano ambiguità che possono interferire con il linguaggio matematico. Per esempio: se diciamo mille e tre e stiamo parlando della cilindrata di un auto, è ovvio che intendiamo 1300, ma il suono coincide con il numero Quindi, mentre nel quotidiano riusciamo comunque a capire grazie al contesto, in matematica soprattutto con i bambini, è bene fare molta attenzione. Apprendimenti personali Non avevo mai riflettuto sui differenti significati del simbolo = ; in particolare ho trovato interessante la distinzione tra uguale procedurale e uguale matematico. Dal punto di vista didattico, ho capito come sia importante affrontare il discorso delle differenze o ambiguità che sussistono tra il linguaggio comune (a cui i bambini sono abituati) e quello matematico. Se si evidenziano questi aspetti sarà più facile per il bambino capire perché occorre imparare un termine specifico (arricchendo in modo consapevole il linguaggio disciplinare, quindi dopo la costruzione del significato di un termine) ed evitare di memorizzare etichette poco significative e facilmente rimovibili.

12 Ho trovato utile anche la discussione su ciò che si può trovare nei libri di testo della scuola primaria. Già sapevo che alcuni libri hanno imprecisioni o ambiguità, ma pensavo che, una volta individuate, fosse meglio evitare di proporre quegli esercizi o quei testi che le contengono. Ho capito che è ancora più produttivo presentare criticamente tali parti ai bambini e fare in modo che siano loro, tramite la discussione, il ragionamento, il confronto e la guida dell insegnante, a criticare l impostazione del problema (se hanno le basi e le conoscenze adeguate per farlo, ovviamente). Nel problema riguardante gli insiemi, per esempio, i bambini potrebbero trovare le possibili soluzioni coerenti con la domanda (ambigua), discuterle confrontandosi e poi tentare di riformulare una consegna che sia maggiormente precisa. Credo che attività di questo genere favoriscano la costruzione del sapere, ben più formativa di un sapere calato dall alto da parte di insegnanti o libri di testo (ricoperti da un aurea di verità e autorità indiscutibili). 12 IL RUOLO DELLO ZERO In matematica lo zero, oltre a cifra e numero, può essere visto come: punto di partenza per la misura; il numero che separa i numeri negativi dai positivi; nella divisione, il numero che fa perdere significato all operazione stessa se posto al divisore (nelle frazioni al denominatore); 0 : 3 = 0 ha significato perché possiamo trovare il numero che moltiplicato per 3 dia 0 ed è lo 0 stesso (cioè da 0 : 3 = Q ; mi domando quale numero Q moltiplicato per 3 dà 0? Cioè 3 x Q= 0 solo se Q è 0), invece 3 : 0 non è definita. Se mi domandassi esiste un numero che moltiplicato per 0 dia 3 (cioè 3 : 0 = Q ; mi domando quale numero Q moltiplicato per 0 dà 3? ) non troverei risposta, infatti l operazione non è definita; nella sottrazione, se lo zero è posto al primo termine il risultato è negativo (0 5 = -5). Spesso a scuola si sbaglia e si dice, per esempio, che numero piccolo meno numero grande non si può fare e quindi 0-5 non si può fare!! Questa è una frase falsa in matematica che deve essere evitata (dovremmo dire non si può fare se vogliamo che il risultato sia ancora un numero intero positivo ). Inoltre, è una frase pericolosa : perché i bambini sanno che nella realtà esistono i numeri negativi e che si usano per indicare temperature (neve, frigorifero, surgelati,...) o profondità di immersioni,.. e si crea una delle tante fratture scuola vita. Situazioni del tipo 0 5 invece possono essere l occasione per saldare aspetti scuola-vita e per introdurre in modo motivato (o semplicemente indicare che esistono) i numeri negativi. Per esempio proponendo esercizi con un termometro sulle temperature (ieri il termometro segnava 4 oggi è sceso di 5 gradi, quanto segna?) o con il livello del mare (sopra o sott acqua... ) o con i passi rappresentati sulla retta dei numeri (parto da zero, faccio 3 passi avanti e 5 indietro. Dove sono? Come indico questo nuovo punto?). In questo modo si vede che l operazione si può fare e che il risultato è un nuovo tipo di numero, detto numero negativo che si studierà più avanti. perché in seguito genera errori del tipo 2,1 2, 28 che viene trasformato erroneamente in 2,28 2,1. Questi bimbi pensano numero piccolo meno numero grande non si può fare, quindi devo invertire i due numeri per avere numero grande meno numero piccolo. Oppure in quei bambini che non hanno chiara la struttura del numero e separano parte intera da parte decimale ad errori del tipo 1 minore di 28 e numero piccolo meno numero grande non si può fare, allora faccio 28 1 nel linguaggio comune zero è spesso sinonimo di niente: vale uno zero. Questa differenza di significato va fatta emergere e discussa con i bambini perché in matematica lo 0 è un numero come gli altri; negli insiemi a volte si crea confusione. A scuola si chiede, ad esempio: quanti elementi ha l insieme degli elefanti verdi? Si dovrebbe dire ha zero elementi (zero come l assenza di elementi con la caratteristica essere elefante verde ) quindi l insieme è vuoto (indicando l insieme vuoto con il simbolo ). Invece speso si confonde lo zero = con lo zero = numero (per esempio, qual è il più piccolo elemento dell insieme {3, 7, 0, 2}? Apprendimenti personali Ho trovato utile, sia dal punto di vista tecnico che didattico, la discussione riguardo allo zero. Tra l altro, successivamente, durante una supplenza in una classe prima, è uscito proprio quest argomento: cosa c è prima dello 0? Alcuni bambini sostenevano che c è 1, altri dicevano che non c è nulla e altri ancora che c è 0. Io ho detto loro che la risposta corretta è 1, ma che comunque lo studieranno più avanti. Se si ha libertà di svolgere il programma, per esempio in una classe propria, questa è l occasione per fare esempi ed introdurre i numeri negativi.

13 13 SCRITTURA DEI NUMERI, CALCOLO E CALCOLATRICI In matematica l aspetto sintattico riguarda l utilizzo corretto dei simboli (per noi: =, (, ), +, ) e l utilizzo corretto della loro successione (in base alle regole sintattiche matematiche); l aspetto semantico è quello associato al significato dei simboli, dei procedimenti, (si fa così perché...). Un esercizio del tipo: = = 7 contiene un errore semantico perché si confonde l uguale procedurale della calcolatrice (= che significa esegui il calcolo impostato prima del segno ) con l uguale matematico (= che significa il valore a sinistra del segno è lo stesso del valore a destra del segno"). Se eseguo con carta e penna il conto x 5 è il significato del prodotto come somma ripetuta (aspetto semantico) che mi deve guidare a svolgere prima il prodotto e poi la somma. Se utilizzassi solo lo stereotipo si fa prima il per e poi il più potrei facilmente sbagliare il conto confondendo i termini della filastrocca o dimenticandola. Un modo corretto per costruire il significato è proporre esercizi del tipo: Sono andato al mercato e ho comprato una penna da 2 e tre confezioni di quaderni da 5 l una. Quanto ho speso? uniti alla spiegazione del tipo: 2 e tre confezioni di quaderni da 5 l una significa spendere 1 volta 2 e 3 volte 5 cioè Avendo ora solo somme di posso rispondere che ho speso 17. Se poi eseguissi il calcolo con diverse calcolatrici, troverei come risultato talvolta 25 talvolta 17: quale risultato è corretto? Per rispondere devo conoscere la matematica!! Questo è un esempio significativo per portare in classe la calcolatrice e fare matematica. E probabile che i bambini rimangano stupiti dal fatto che calcolatrici diverse possano dare differenti risultati e si chiederanno: ma la calcolatrice sbaglia?. È importante far loro capire che ogni strumento è impostato in un certo modo: ha una sua logica interna vincolata e segue una sua sintassi; è l utente che deve conoscere la matematica che vuole utilizzare, le caratteristiche della propria calcolatrice (semantica della programmazione interna), adeguarsi alla logica interna per utilizzarla correttamente e saper controllare i risultati. Nel caso x 5, per le calcolatrici che non hanno incorporato la priorità delle operazioni e danno come risultato 25, è l utente che, conoscendo il funzionamento dello strumento e la priorità delle operazioni, deve impostare il calcolo nel modo seguente: 3 x Esempi di questo tipo contribuiscono anche a demolire lo stereotipo della fiducia incondizionata nello strumento di calcolo e nel calcolatore e abituano al controllo del risultato. Se calcolo 1 : 3 con carta e penna, cioè nel modello, ottengo il numero periodico 0,333 Posso dire che è periodico perché capisco (semantica) che il calcolo si ripeterà uguale all infinito. Se utilizzo una calcolatrice (strumento della realtà) ho come risultato il numero 0,333 con un numero finito di 3 dopo la virgola che dipende da quanti spazi ci sono sul display, quindi non posso sapere quale cifra c è oltre l ultima cifra visualizzata sul display né posso concludere che il numero è periodico!! Uno strumento finito non può dare informazioni su tutte le infinite cifre decimali. Se calcolo 7 : 9 con le calcolatrici, posso ottenere 0,777 7 oppure 0, In quest ultimo caso nella realtà-calcolatrice vedo un numero non periodico, ma devo interpretarlo periodico perché nel modello trovo, con il calcolo a mano, che è periodico. Dal confronto/discussione dei diversi risultati si può introdurre/discutere il problema dell approssimazione/arrotondamento dei numeri sia per ciò che riguarda il numero di cifre sul display sia per ciò che riguarda l approssimazione dell ultima cifra (sintassi/semantica). Se eseguo : 3 con carta e penna, mi accorgo che il risultato è il numero decimale finito , mentre se eseguo il calcolo con una calcolatrice che lavora con 7 cifre decimali non posso distinguere il risultato precedente dal calcolo, per esempio, 2:3 che ha come risultato il numero periodico 0, Se eseguo 1 : 3 x 3 con carta e penna il risultato è 1, mentre con le calcolatrici posso trovare 1 oppure 0,999 Ci si può chiedere il perché di tali differenze e analizzarle: nel modello matematico il risultato corretto è 1, ma dal punto di vista della logica della calcolatrice (che lavora con un numero finito di cifre) è più corretto il risultato 0,999. Le calcolatrici che indicano 1, in realtà sono meno precise di quelle che indicano 0,999 Se seguo 1 : 3 x 3 1 con carta e penna il risultato è zero mentre con le calcolatrici posso trovare risultati molto diversi (0; che significa 1x10-11 ; -9, E-9; -0, ; ). Il risultato corretto nel modello matematico è 0 ma, dal punto di vista della logica della calcolatrice sono più coerenti gli altri (per gli stessi mortivi del caso precedente). Utilizzo delle parentesi. Le parentesi si utilizzano solo se in un espressione occorre modificare la priorità delle operazioni (semantica). Il loro significato come separatore così come la loro semantica nel calcolo di espressioni (si svolgono i calcoli a partire dalla coppia di parentesi più interna) sono indipendenti dalla forma della parentesi. È importante che i bambini prendano coscienza del fatto che le parentesi tonde, quadre e graffe sono una convenzione per rendere graficamente più chiara l espressione, ma in matematica possono essere usate tutte tonde (vedi calcolatori, calcoli con molti livelli di parentesi) o quadre o graffe o miste in qualunque sequenza e che il fatto che le tonde debbano essere all interno delle quadre, ecc... è uno stereotipo che deriva da un abitudine e non riflette né sintassi né semantica matematica. Didatticamente è importante presentare esempi con le parentesi graffe al posto delle tonde, per esempio, perché i bambini imparino a distinguere le regole che sono convenzioni e che si possono ignorare, dalle regole che hanno un fondamento semantico e che quindi vanno sempre rispettate. Per ottenere ciò, come già detto, è però importante spiegare sempre la motivazione matematica delle regole semantiche, in modo che si sappia il

14 perché non siano convenzioni (per esempio moltiplicazioni e divisioni hanno il significato di somme e sottrazioni ripetute, quindi vanno eseguite prima per ridurre tutta l espressione ad addizioni e sottrazioni). L uso della calcolatrice potenzia il diverso significato del segno - utilizzato in matematica con due significati diversi: come segno di operatore nella sottrazione (5-3) o di opposto (3 e - 3). La calcolatrice utilizza due tasti diversi (il tasto - per le operazioni e il tasto cambia segno per l opposto). Principali obiettivi disciplinari del gruppo di schede: Calcoli e loro scrittura corretta Risoluzione di espressioni Priorità delle operazioni Utilizzo corretto di parentesi e del simbolo = Potenziamento calcolo a mente, uso delle tabelline (con o senza calcolatrice in classe) Concetto di approssimazione Concetto di ordine di grandezza Conoscenza e uso corretto dello strumento di calcolo calcolatrice. Principali obiettivi didattici del gruppo di schede: Problemi sintattici e semantici in matematica: convenzioni e stereotipi delle parentesi (segni, utilizzo corretto per risalire da un risultato all espressione iniziale; per riconoscere/correggere un errore,per modificare il risultato di un espressione ); il segno = e i diversi significati; il segno - e i diversi significati. Analogie/differenze di calcolo e di risultati nel modello e nella realtà calcolatrice Verifica di contenuti attraverso la caccia all errore Evidenziare che, contrariamente a quanto molti pensano, un utilizzo corretto della calcolatrice in classe può: o potenziare il calcolo a mente: stima del risultato atteso e del suo ordine di grandezza o potenziare il calcolo con carta e penna: priorità operazioni, frazioni e numeri periodici o abituare al controllo: verifica a mente dei calcoli eseguiti dalla calcolatrice e caccia all errore o superare lo stereotipo della fiducia incondizionata nello strumento e costruire la consapevolezza che la calcolatrice sbaglia se non la conosciamo (dipende dalle sue caratteristiche) o se digitiamo male un conto. o stimolare al ragionamento e alla formulazione di ipotesi (giocare con la calcolatrice, con la guida dell insegnante, risveglia l attenzione e favorisce l apprendimento grazie anche all impostazione insolita delle attività svolte) o evidenziare le differenze tra linguaggio matematico e linguaggio della calcolatrice (differente significato del simbolo = e - ) e le differenze di calcolo nel modello o con uno strumento o demolire lo stereotipo il risultato corretto deve essere un numero bello ed affrontare/risolvere problemi con numeri brutti (cioè con dati reali) o affrontare il problema dell arrotondamento e/o del troncamento dei numeri o concentrare l attenzione sui procedimenti dei problemi piuttosto che sul calcolo. o imparare ad utilizzare correttamente e consapevolmente lo strumento, che comunque i ragazzi usano a casa. Principali obiettivi trasversali del gruppo di schede: Percorrere i processi di pensiero altrui per individuare un errore, per correggerlo, Verbalizzazione (ruolo produttore) e interpretazione di testi (ruolo lettore) In realtà gli obiettivi precedenti non sono separati, ma intrecciati perché ogni attività ha aspetti disciplinari e didattici talvolta non distinguibili nettamente. La distinzione dipende più dall insegnante che, quando svolge un attività, privilegia uno dei due aspetti. Inoltre... Sul ruolo delle parentesi nelle espressioni. E bene che l insegnante, quando spiega il significato delle parentesi, proponga: 1) esercizi del tipo calcola l espressione seguente e poi modificala con opportune parentesi affinché il risultato diventi 40: 4 *3+ 2*3 2) testi di problemi che richiedono come messa in formula l espressione assegnata. Nell esempio precedente, potrebbe essere: al mercato compro 4 confezioni con 3 matite ciascuna e 2 confezioni con 3 quaderni ciascuna. Quanti oggetti ho comprato? In questi modi i numeri e le operazioni acquistano/conservano significato. In seguito, per potenziare costantemente il significato delle operazioni svolte, si può chiedere anche ai bambini di formulare semplici testi di problemi le cui soluzioni contengano operazioni assegnate. Apprendimenti personali Ho trovato utili queste attività, in quanto si tratta di un argomento che può creare problematiche nella pratica didattica. Prima non avevo le idee molto chiare circa il problema dell uso della calcolatrice in classe: pensavo che comunque andasse permesso perché è inutile negare l uso di uno strumento che poi nell extrascolastico tutti usano; pensavo che un insegnante dovesse introdurre i ragazzi all uso corretto della calcolatrice (piuttosto che usarla di nascosto e male, meglio che la usino consapevolmente!). Tuttavia, non sapevo in quali termini si potesse proporre ai 14

15 bambini (forse anche perché non ho mai avuto l esigenza didattica di rifletterci) e non avevo mai riflettuto sulle possibilità di utilizzare la calcolatrice per introdurre problemi quali l approssimazione o i numeri periodici e per potenziare la priorità delle operazioni o il calcolo a mente e con carta e penna. Quest ultima scoperta è stata per me molto arricchente in quanto mi ha fornito una risposta al problema riguardante il come insegnare ad acquisire consapevolezza nell uso della calcolatrice e mi ha permesso di sfatare quel luogo comune (poco convincente) secondo cui eseguire i calcoli con la calcolatrice inibisce le capacità matematiche. Ho trovato queste schede davvero interessanti: esse ribaltano la consueta impostazione degli esercizi e forniscono spunti di ragionamento e riflessione importanti posti in chiave quasi giocosa. Non avrei mai pensato di poter realizzare le attività sull uso della calcolatrice in questo modo e, invece, mi sono accorta di quanto possa essere costruttiva questa impostazione. Dal punto di vista tecnico, invece, non avevo mai riflettuto sul fatto che la calcolatrice non può far capire se un numero è decimale finito o periodico e, secondo la propria logica, a calcoli del tipo 1 : 3 x 3 sarebbe più corretto se rispondesse 0, (forse non mi è mai capitato di rifletterci perché in calcoli del genere sono abituata a semplificare prima sulla carta per poi battere sulla calcolatrice ciò che sarebbe complicato risolvere a mente; per questo motivo, e anche perché la mia calcolatrice dà come risultato 1, non mi ero mai posta tale problema). FRAZIONI, NUMERI DECIMALI, NUMERI RAZIONALI Riprendiamo il concetto di frazione. COME INSEGNANTI, occorre conoscere le seguenti due formulazioni: La frazione come rapporto, DEF. 1: una frazione è una divisione indicata e non eseguita tra due numeri interi (numeratore e denominatore) cioè una scrittura convenzionale del numero decimale che si ottiene eseguendo la divisione (per es.: 7/5 U significa 7U : 5 volte = 1.4 U ; 4/5U = 4U : 5 volte = 0.8 U ; 2/3U = 2U : 3 volte = 0.(6) U). La frazione come operatore, DEF. 2: in una frazione il denominatore indica in quante parti è divisa l unità di misura scelta, il numeratore indica quante di queste parti devo considerare. Con la DEF. 2 si evidenzia l aspetto di frazione come sottomultiplo dell unità di misura. Per esempio: nella scrittura 7/5U significa 7 volte 1/5U quindi il denominatore 5 (denomina, dà il nome) indica il numero di parti uguali in cui devo dividere l unità di misura scelta U (1 U : 5 v = 1/5 U ), ciascuna parte è detta unità frazionaria, mentre il numeratore 7" indica il numero di volte che devo considerare l unità frazionaria. Pertanto l unità frazionaria è una nuova unità di misura, sottomultiplo dell unità di misura iniziale e il numeratore indica il numero volte che devo considerare tale sottomultiplo. Con la DEF. 1 si evidenzia la relazione tra il modello delle frazioni e il modello dei numeri decimali. 15 Spesso a scuola si dice che il denominatore indica il numero di parti uguali in cui devo dividere l intero (invece di dire l unità di misura) e si associa tale definizione al modello della torta, confondendo il significato di intero del linguaggio comune (la torta che finisce) con il concetto di unità di misura della definizione (che come tale va interpretata sulla retta dei numeri, infinita). CON I BAMBINI La definizione di frazione corretta deve: - attraverso la DEF. 2 costruire il significato di frazione come sottomultiplo dell unità di misura ( parti uguali dell unità ). Occorre sottolineare che 5/4 (meglio 5/4 U) significa 5 volte 1/4 U, significa cioè dividere l unità scelta in 4 parti uguali, trovare così 1/4 U che è una nuova unità di misura (l unità frazionaria) e considerarla 5 volte. Analogamente per 3/4 U, 4/2 U o qualunque altra frazione. - attraverso la DEF. 1 costruire il significato di frazione come una scrittura convenzionale del numero decimale che si ottiene eseguendo la divisione tra i due numeri interi (che si chiamano numeratore e denominatore), quindi è una divisione indicata e non eseguita. COME? Pertanto 7/2, 6/2 e 3/5 sono frazioni (senza etichette aggiunte!!!). Per costruire e tenere sotto controllo questi significati è utile far posizionare sulla retta dei numeri sia l unità frazionaria (utilizzando la DEF. 2) e spostarci dallo zero del numero di unità frazionarie indicate dal numeratore sia il numero decimale ottenuto utilizzando la DEF.1. Troveranno operativamente che il risultato è un valore numerico talvolta minore di uno talvolta maggiore di uno, talvolta intero; successivamente l insegnante potrà far scoprire ai bambini che ciò accade rispettivamente se il numeratore è minore, maggiore o uguale o multiplo del denominatore.

16 Questo modo di procedere è matematicamente corretto ed evita la classificazione ERRATA delle frazioni in frazione propria (m/n < 1), impropria (m/n > 1 o apparente (m/n = numero intero, cioè numeratore multiplo del denominatore). Seguendo questa classificazione si costruisce l idea errata che ci sono: le frazioni vere, in quanto minori di uno e quindi frazioni o parti più piccole dell unità frazioni apparenti in quanto sembrano frazioni, ma non lo sono perché la divisione tra numeratore e denominatore dà un numero intero (affermazione matematicamente errata perché, al contrario, qualunque numero intero può essere scritto sotto forma di frazione con denominatore 1 e non è un errore!) frazioni improprie perché non sono proprio frazioni in quanto maggiori dell unità (per giustificare un interpretazione errata della definizione di frazione come parte più piccola dell unità). Tale classificazione, non esiste in matematica, è solo interna alla scuola e probabilmente nasce dal bisticcio con: il significato di frazione nel linguaggio comune. Noi frazioniamo un terreno, un eredità, esiste la frazione di un Comune e si intende sempre una parte di qualcosa, intesa come più piccola del qualcosa l utilizzo della frazione come operatore in statistica, nei diagrammi a torta. Se uso la frazione come operatore intendo operare su una parte di una grandezza assegnata e il risultato è un numero decimale con dimensione. Per esempio: i 3/4 di 600 anni, 1/5 della popolazione italiana, Gli uomini sono circa 1/2 della popolazione, le terre emerse sono circa 1/3 della superficie terrestre, ho ereditato 1/3 della proprietà mi riferisco a situazioni in cui l unità di misura è 600 anni, , la popolazione, superficie terrestre,. mentre il risultato è di volta in volta anni, italiani, uomini, m 2, ) forzatamente minore dell unità (e in accordo con il linguaggio comune). 16 Il modello della torta, i misconcetti e le interpretazioni errate! Il modello della torta non si applica, ad esempio, a frazioni come 5/4; 8/5... Per la frazione 5/4, per esempio, molti bambini (ma anche adulti) pensano di dividere la torta in 4 parti uguali (quante ne indica il denominatore) e si arenano quando devono prendere 5 parti (tante quante ne indica il numeratore) perché ne hanno solo 4 (alcuni allora, anche studenti di SFP (!) invertono i termini e calcolano 4:5, per avere un numero di parti opportuno e dimostrando di non aver capito il concetto di frazione ). A scuola, per salvare il modello della torta (interpretato in modo errato!) è introdotto il nome di frazione impropria e si dice che occorrono due torte (ma uguali di forma, peso, ingredienti, divise in 4 parti uguali, per ottenere fette uguali alle precedenti, ma allora l unità è divisa in 4 oppure 8 parti, se ho 8 fette a disposizione?). E se la frazione fosse 456/6? In realtà il problema non è quante torte servono ma eventualmente quante fette di torta (unità frazionaria) uguali a quelle ottenute dalla prima e unica torta che considero (unità di misura), mi servono. Il modello della striscia di carta ottenuta da un foglio a quadretti Sostitutivo del modello della torta e corretto è il modello della striscia di carta. Se devo posizionare il valore della frazione 4/3U devo: - capire che significa 4 volte 1/3 U; - decidere che 3 (oppure 6 oppure 9,... ) quadretti corrispondono all unità; - dividere l unità in 3 parti uguali per individuare a quanti quadretti corrisponde l unità frazionaria 1/3 (1, 2, 3,... quadretti); - riportarla 4 volte, il punto a cui arrivo corrisponde al valore 4/3 U. Questo modello è utile perché è facile da costruire e da gestire in classe. I bambini possono realizzarlo, utilizzarlo concretamente (Realtà) ed imparare operativamente che, per agevolare la ricerca dell unità frazionaria, conviene assegnare all unità un numero di quadretti multiplo del denominatore della frazione da rappresentare; che l unità è una parte della striscia per cui si possono aggiungere unità frazionarie oltre l uno e quindi non avere il problema di una torta che finisce. Dal punto di vista matematico, poi, il modello della striscia: - si avvicina bene al modello teorico della retta dei numeri, quindi agevola la transizione Realtà Modello; - permette di rappresentare indifferentemente frazioni con denominatori pari o dispari, con numeratore minore o maggiore del denominatore, quindi evita la rappresentazione di soli casi particolari (come è facile fare con la torta); - facilita il confronto tra frazioni, la somma,

17 17 Un modello geometrico: il teorema del falegname Abbiamo detto che per rappresentare una frazione in funzione dei suoi termini (numeratore e denominatore) occorre innanzi tutto saper dividere l unità di misura assegnata nel numero di parti uguali indicato dal denominatore. Si può utilizzare, oltre al righello, un metodo geometrico semplice che prescinde da aspetti di misura e da operazioni ed è giustificato teoricamente dal Teorema di Talete. Vediamo un esempio. Problema: hai assegnata la (semi)retta dei numeri e l unità di misura (nel Modello 1 u) pari a 3 cm nella Realtà., devi posizionare 3/5 u. Risoluzione geometrica: disegno la (semi)retta dei numeri (chiamata a) e l unità di misura assegnata (1u), disegno un altra semiretta (chiamata b) con origine in 0 che formi un angolo a piacere con la (semi)retta a dei numeri. Per dividere in 5 parti uguali l unità di misura scelta su a, mi appoggio ad una suddivisione comoda costruita su b. Vediamo come: per es. punto il compasso nell origine 0 e con apertura a piacere individuo su b un punto V a cui assegno il valore 1/5 u. Con la stessa apertura, punto il compasso in V ed individuo il segmento VW adiacente al primo di lunghezza 1/5 u, quindi il punto W corrisponderà al valore 2/5 e così via 5 volte. Trovo i punti V, W, T, R, Z che individuano rispettivamente i valori 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5 sulla retta b. Unisco ora Z con il punto 1 della retta a e traccio i segmenti paralleli a questo che hanno un estremo rispettivamente in R, T, W, V. Troverò che anche il segmento di lunghezza assegnata 1 della retta a dei numeri è diviso in 5 parti uguali. Analogamente, al posto del compasso si può utilizzare il righello e scegliere ad esempio 1 cm o 2 cm come lunghezza comoda del segmento OV. La giustificazione teorica di questa costruzione è il Teorema di Talete. Per rappresentare la frazione 3/5 occorrono 3 di queste parti (unità frazionarie), per la frazione 7/5 ne occorrono 7 Inoltre... Abbiamo detto che ad ogni frazione è associato un numero decimale, basta eseguire la divisione tra numeratore e denominatore (per esempio: 6/2 = 3 = 3, ). Ma è vero anche il viceversa? Cioè un qualunque numero decimale è esprimibile come frazione? In questo caso, la risposta è NO. Alcuni numeri decimali si possono esprimere in frazione, cioè nella forma m/n come rapporto di due numeri interi: sono i numeri interi, i decimali finiti e i decimali periodici. Tutti questi numeri si dicono numeri razionali ed esistono le formule di trasformazione da decimale a frazione. Per esempio: 2,5 = 25/10 oppure 3 = 3/1 oppure 2.(3) = (23-2)/9, Altri non si possono scrivere nella forma m/n, non hanno cioè una frazione generatrice. Sono ad esempio le radici quadrate dei numeri primi e π, cioè numeri decimali illimitati e non periodici che si dicono numeri irrazionali. Quindi: n. razionali n. decimali mentre n. razionali n. decimali Riassumendo le varie classificazioni dei numeri: numeri naturali N: interi e positivi numeri relativi Z:interi positivi e negativi

18 18 numeri razionali Q: esprimono una ratio, un quoziente tra due interi (quindi sono razionali anche i numeri interi: 3=6/2; e anche i numeri con la virgola che abbiano una frazione generatrice: 0,8=4/5; infine anche i numeri periodici: 0,(6) =2/3) numeri irrazionali: non hanno una frazione generatrice (per esempio, radice quadrata di numeri primi, π, ) I numeri reali R sono quindi {numeri razionali} { numeri irrazionali}; quindi l insieme dei numeri reali comprende tutti i numeri. Apprendimenti personali Non avevo mai affrontato a scuola il problema di considerare la frazione come numero oppure come rapporto di grandezze che generano una nuova grandezza. Per introdurre il concetto di percentuale, a scuola, è importante sottolinearne l utilità e i contesti d uso. Ad esempio, si può proporre ai bambini problemi del tipo: In una classe di 25 bambini 6 bambini hanno gli occhi azzurri, nell altra di 12 bambini 3 hanno gli occhi azzurri. Quale classe ha più bambini con gli occhi azzurri? Quale classe ha più bambini con gli occhi azzurri rispetto al totale della classe (cioè in percentuale)?. Sappiamo che 6 è maggiore di 3, ma per confrontare rispetto al totale della classe occorre confrontare il numero di bambini con gli occhi azzurri in rapporto al totale e cioè 6 su 25, e 3 su 12. Calcolando 6/25 = 0,24 e 3/12 = 0,25 ci accorgiamo che la seconda classe ha in percentuale più bambini con gli occhi azzurri. Un altro modo per scrivere il risultato è: 0,24 = 24/100 = 24 % e 0,25 = 25/100 = 25 % Abbiamo trasformato ogni frazione in una equivalente con denominatore 100 e l abbiamo riscritta in un nuovo modo convenzionale che utilizza il simbolo % al posto del denominatore. Se avessimo lasciato i termini in frazioni, avremmo dovuto ridurre le frazioni allo stesso denominatore (cercando il minimo comune multiplo dei denominatori) e confrontare i nuovi numeratori: 6/25 e 3/12 diventano 72/300 e 75/300 concludo che 72 < 75 e ci accorgiamo che la seconda classe ha in percentuale più bambini con gli occhi azzurri. Se, successivamente, volessimo confrontare i dati con quello di una nuova classe, nell ultimo modo occorrerebbe trovare un altro minimo comune multiplo per tutte e tre le frazioni e rifare tutto il procedimento. Invece confrontando i numeri decimali associati alla frazione o portando solo il nuovo denominatore a 100 sarà molto più semplice operare confronti.

19 Per un approfondimento le percentuali E bene sapere che il rapporto è un concetto impiegato per esprimere la relazione che intercorre tra le misure di due grandezze. Nel caso di grandezze dello stesso tipo (omogenee) esso è il risultato della divisione tra il numero che esprime la prima misura e il numero che esprime la seconda (a patto che esse siano espresse nella stessa unità di misura). È una generalizzazione del concetto di divisione per "contenenza". Per esprimere il concetto di rapporto si ricorre al simbolo di divisione, sia nella forma " : " che nelle forme "/" e " a varie descrizioni verbali. Ad esempio il rapporto tra 2 cm e 5 cm può essere scritto: 2cm : 5cm oppure 2cm/5cm oppure 2cm - 5cm e può essere letto, oltre che come «2 diviso 5», come frazione: «2 quinti» (2 cm sono 2 volte la quinta parte di 5 cm); la lettura sotto forma di frazione si usa solo se i due numeri sono interi. Per facilitare i confronti tra grandezze spesso si usa rappresentare i rapporti in forma percentuale. Nel caso del rapporto tra 2 cm e 5 cm oppure i 100 Euro del prezzo in saldo di un prodotto e il prezzo originale di 250 Euro oppure nel caso dei 20 milioni di abitanti della regione A in confronto con i 50 milioni della regione B, possiamo dire che il rapporto è 2/5 = 100/250 = / = 0.4 oppure che il rapporto è 40 centesimi o, più in breve, 40 per cento (in simboli: 40%). Ma anche che 2 cm sono il 40% di 5 cm, 100 Euro sono il 40% di 250 Euro (oppure sono 250 Euro scontati del 60% cioè da 100 centesimi sono passato a 40 centesimi, quindi 60 centesimi in meno), la popolazione di A è pari al 40% della popolazione di B, Questa rappresentazione è particolarmente efficace in quanto è facile immaginare una striscia lunga 100 mm e confrontarla visivamente con una sua parte lunga 40 mm, e sappiamo, per esperienza, associare i rapporti del tipo "1 a " di uso più comune alle loro rappresentazioni percentuali: 19 " e Nell'esempio il numero 40, che esprime il rapporto come quantità di centesimi, è il rapporto moltiplicato per 100 ed è chiamato parte percentuale o percentuale. Più in generale dati due valori A e B, la percentuale che esprime il rapporto tra A e B è calcolabile così: A percentuale = 100 B Le percentuali facilitano il confronto tra le parti che compongono un totale, tra una parte e il totale,, ma in cambio, perdono altre informazioni. Ad esempio l'incidenza della carne bovina sul totale della carne consumata pro-capite dal 1926 al 1985 passa dal 47% al 32%, ma ciò non significa che diminuisce il consumo di carne bovina: se si analizzano i dati assoluti (cioè non rapportati al totale del consumo di carne) si osserva che si passa dal consumo pro-capite di 10.1 kg all'anno a quello di 25.1 kg all'anno: se un certo dato aumenta ma, nel frattempo, aumenta anche il totale, la percentuale che lo rappresenta può diminuire. Nel caso di grandezze di tipo diverso (per esempio metri e tempo, prezzo e chilo), indicando il rapporto tra le loro misure occorre anche specificare le unità di misura impiegate. Ad esempio il rapporto tra la popolazione di una regione e l'estensione della stessa può essere espresso in abitanti/km 2 o in abitanti/m 2 ("abitanti per km 2 ", "abitanti per m 2 "), quello tra strada percorsa e tempo impiegato può essere espresso in km/h o m/s o ("chilometri all'ora", "metri al secondo", ).

20 20 Spesso le percentuali sono rappresentate con diagrammi e i diagrammi a torta Supponiamo di voler rappresentare i dati riportati della tabella a fianco. In alternativa alla rappresentazione percentuale ci sono almeno sei diversi diagrammi che rappresentano la ripartizione di un certo totale nelle sue parti A, B e C 1) diagramma a striscia 2) istogramma A B C totale % ) istogramma 4) istogramma 5) diagramma a settori circolari 6) diagramma a settori circolari In ogni caso viene rappresentato un insieme di valori numerici mediante una grandezza geometrica: lunghezza (di un segmento, un rettangolo o un parallelepipedo) o ampiezza angolare (di un settore di cerchio o di cilindro). (1), (2) e (5) vengono chiamati anche areogrammi in quanto i valori numerici rappresentati sono proporzionali non solo alle lunghezze dei rettangoli o alle ampiezze dei settori circolari, ma anche alle loro aree. Analogamente (4) e (6) vengono chiamati anche stereogrammi (dal greco stereós, che significa solido) in quanto i valori numerici sono proporzionali anche ai volumi dei parallelepipedi o delle fette di cilindro raffigurate. Gli istogrammi facilitano il confronto tra i vari dati, i diagrammi a striscia facilitano il confronto tra i singoli dati e il loro totale, gli areogrammi combinano i vantaggi dei due precedenti tipi di diagrammi, ma con essi è più difficile risalire ai valori numerici (gli istogrammi in genere sono dotati di un segmento graduato che permette di associare lunghezze e valori numerici). La rappresentazione (6) forse è la più "carina", ma è anche la peggiore: nella inclinazione della torta gli angoli vengono deformati (gli angoli che in un diagramma sono vicini al diametro orizzontale/verticale in un diagramma appaiono ingranditi/rimpiccioliti e ciò rende più difficile il confronto quantitativo). Per rappresentare insiemi di valori numerici si usano anche gli ideogrammi, che impiegano figure simboliche (idee) in quantità (ideogramma a sinistra) o in estensione (ideogramma a destra) proporzionale ai dati Nel secondo caso è frequente trovare rappresentazioni scorrette: ad es. per il confronto del consumo di vino per abitante di 90 litri con quello di 60 litri si può trovare il disegno di una bottiglia alta 1.5 volte la bottiglia che rappresenta i 60 litri (90/60 = 1.5) invece del disegno di una bottiglia che abbia volume pari a 1.5 volte quello dell'altra bottiglia