Dipartimento di Scienze Statistiche Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 12: 6 marzo 2014

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1 Dpartmento d Scenze Statstche Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 12: 6 marzo 2014 professor Danele Rtell 1/19?

2 Eserczo vanno rmborsat n tre ann con rate mensl, 12 = 0, osto che le rate del prmo anno, R 1,..., R 12 sano d 83 e che le rate del secondo anno R 13,..., R 24 sano d 84, se anche le rate del terzo anno s suppongono costant R = R 25,..., R 36 s chede d determnare R. 2/19?

3 Eserczo vanno rmborsat n tre ann con rate mensl, 12 = 0, osto che le rate del prmo anno, R 1,..., R 12 sano d 83 e che le rate del secondo anno R 13,..., R 24 sano d 84, se anche le rate del terzo anno s suppongono costant R = R 25,..., R 36 s chede d determnare R. Metodo prospettvo, posto A = A = ( ) k ( ) k + R 36 ( ) k. (a) k=1 k=13 k=25 2/19?

4 osservato che: 12 k=1 36 k=25 ( ) k = a 12 12, 24 k=13 ( ) k = ( ) 24 a 12 12, ( ) k = ( ) 12 a 12 12, 3/19?

5 osservato che: 12 k=1 36 k=25 abbamo ( ) k = a 12 12, 24 k=13 ( ) k = ( ) 24 a 12 12, ( ) k = ( ) 12 a 12 12, A = 83 a ( ) 12 a R ( ) 24 a 12 12, 3/19?

6 osservato che: 12 k=1 36 k=25 abbamo ( ) k = a 12 12, 24 k=13 ( ) k = ( ) 24 a 12 12, ( ) k = ( ) 12 a 12 12, A = 83 a ( ) 12 a R ( ) 24 a 12 12, rsolvendo rspetto ad R, ottenamo: [ ] R = ( ) 24 A ( ) 12. a /19?

7 Essendo a = 11, , ( ) 12 = 0, , ( ) 24 = 1, , ottenamo la rata: R = 153, 34. 4/19?

8 Essendo a = 11, , ( ) 12 = 0, , ( ) 24 = 1, , ottenamo la rata: R = 153, 34. roblema: Calcolare gl nteress pagat nell ultmo anno 4/19?

9 Usufrutto, Nuda propretà e Valore d un prestto S chama nuda propretà al tasso x e alla valuta m {1, 2,..., n} l valore attuale delle quote captale c m+1, c m+2,..., c n non ancora scadute. assando a smbol: A (x) m n m := k=1 c m+k (1 + x) k (1) 5/19?

10 Usufrutto, Nuda propretà e Valore d un prestto S chama nuda propretà al tasso x e alla valuta m {1, 2,..., n} l valore attuale delle quote captale c m+1, c m+2,..., c n non ancora scadute. assando a smbol: A (x) m n m := k=1 c m+k (1 + x) k (1) L usufrutto al tasso x e alla valuta m {1, 2,..., n} è l valore attuale delle quote nteress non scadute a partre da m : U (x) m n m := k=1 h m+k (1 + x) k (2) 5/19?

11 Il valore al tasso x del prestto è la somma d usufrutto e nuda propretà: V (x) m : = A (x) m = = n m k=1 n m k=1 + U (x) m c m+k (1 + x) k + α k+m (1 + x) k n m k=1 h m+k (1 + x) k s tratta, dunque, del valore attuale delle rate non ancora scadute valutate al tasso x cò sta a sgnfcare che per x = s ha: V () m = δ m. (3) 6/19?

12 Formula d Makeham U (x) m = x ( ) δ m A (x) m 7/19?

13 Rmborso d un prestto con rate unform Nel rmborso del prestto con rate costant, la relazone fondamentale è rscrtta nell potes che la somma prestata A sa resttuta con rate costant d mporto α k = α a temp t 1 = 1,..., t n = n 8/19?

14 Rmborso d un prestto con rate unform Nel rmborso del prestto con rate costant, la relazone fondamentale è rscrtta nell potes che la somma prestata A sa resttuta con rate costant d mporto α k = α a temp t 1 = 1,..., t n = n Ragonando prospettvamente: n A = α k (1 + ) k = α k=1 n (1 + ) k = α a n k=1 8/19?

15 qund: α = A a n = A α n 9/19?

16 qund: con α = A = A α n a n α n = 1 (1 + ) n 9/19?

17 qund: α = con α n = A = A α n a n 1 (1 + ) n debto resduo prospettvo δ m = A α n a n m 9/19?

18 qund: α = con α n = A = A α n a n 1 (1 + ) n debto resduo prospettvo δ m = A α n a n m debto resduo retrospettvo δ m = A [ (1 + ) m ] α n s m 9/19?

19 Corollaro α n [ an m + s m ] = (1 + ) m 10/19?

20 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (4) c m+1 + h m+1 = c m + h m 11/19?

21 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (4) c m+1 + h m+1 = c m + h m da cu s trova c m+1 = (1 + ) c m, 11/19?

22 ε m = A δ m = A [ ] 1 α n a n m quota captale e quota nteress δ m = δ m 1 c m h m+1 = δ m (4) c m+1 + h m+1 = c m + h m da cu s trova c m+1 = (1 + ) c m, qund per ogn 1 k n s ha: c k = (1 + ) k 1 c 1 11/19?

23 formula per la generca quota captale: c k = A ( α n ) (1 + ) k 1 le quote captale sono n progressone geometrca 12/19?

24 formula per la generca quota captale: c k = A ( α n ) (1 + ) k 1 le quote captale sono n progressone geometrca formula per la quota nteress: h k = A [α n (1 + ) k 1 ( α n )] 12/19?

25 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A 13/19?

26 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A S ha A = n A ( α n ) (1 + ) k 1 k=1 13/19?

27 In ogn ammortamento, deve sussstere la condzone d chusura c c n = A S ha n A = A ( α n ) (1 + ) k 1 k=1 qund s deve verfcare l denttà n ( 1 = αn ) (1 + ) k 1 k=1 13/19?

28 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 14/19?

29 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 14/19?

30 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, /19?

31 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per /19?

32 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. 14/19?

33 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. α = , /19?

34 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. α = , = 2 309, /19?

35 Esempo Rmborsare n cnque ann, = 0, 05 α 5 0,05 = 0, dovendo moltplcare α 5 0,05 per occorre una quanttà opportuna d decmal per elmnare ncertezza nell arrotondamento al centesmo d euro. α = , = 2 309, = 2 309, 75 14/19?

36 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; 15/19?

37 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; 15/19?

38 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; 15/19?

39 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; c 4 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 4 1 = 2 095, 01; 15/19?

40 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; c 4 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 4 1 = 2 095, 01; c 5 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 5 1 = 2 199, /19?

41 quote captale c 1 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 1 1 = 1 809, 75; c 2 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 2 1 = 1 900, 24; c 3 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 3 1 = 1 995, 25; c 4 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 4 1 = 2 095, 01; c 5 = ( α 5 0,05 0, 05 ) (1 + 0, 05) 5 1 = 2 199, 76. È nteressante verfcare l fatto che sommando le quote captale non rtrovamo esattamente, la somma prestata: c 1 + c 2 + c 3 + c 4 + c 5 = , 01 a causa degl arrotondament 15/19?

42 ano d ammortamento m α c m h m δ m ε m , 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 99 0, , 00 16/19?

43 Se s vuole rmborsare lo stesso debto con dec rate semestral equvalent, occorre l tasso semestrale 2 : 17/19?

44 Se s vuole rmborsare lo stesso debto con dec rate semestral equvalent, occorre l tasso semestrale 2 : (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, /19?

45 Se s vuole rmborsare lo stesso debto con dec rate semestral equvalent, occorre l tasso semestrale 2 : (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, 05. L ammortamento è ndvduato da n = 10 e da 2 = 0, /19?

46 m α c m h m δ m ε m , 00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 28 80, , , , , 46 54, , , , , 30 27, 49 0, , 00 18/19?

47 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 19/19?

48 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 19/19?

49 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 19/19?

50 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. 19/19?

51 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. Ad esempo la rata mensle equvalente è: 19/19?

52 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. Ad esempo la rata mensle equvalente è: α 60 0, = 188, 20 19/19?

53 la rata semestrale è nferore alla metà della rata annua: 1 140, 79 2 = 2 281, 58 < 2 309, 75 Cò è conseguenza del fatto che la frequenza de pagament semestrale dmnusce pù rapdamente le quote captal e d conseguenza la quota pagata per nteress dvene mnore. Ad esempo la rata mensle equvalente è: α 60 0, = 188, 20 mentre: 188, = 2 258, 40 19/19?