Nel capitolo precedente abbiamo visto che sotto opportune condizioni su una funzione f : I! R si ha lo sviluppo di Taylor

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1 Capitolo 6 Serie numeriche Nel capitolo precedente abbiamo visto che sotto opportune condizioni su una funzione f : I! R si ha lo sviluppo di Taylor f(x) = nx k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ). k! È naturale domandarsi sotto quali condizioni la somma finita possa sostituirsi con una somma infinita, cioè mandare in un certo senso il grado del polinomio di Taylor all infinito. A nché la domanda sia ben posta, è necessario definire precisamente il concetto di somma infinita di numeri reali: di questo si occupa la teoria delle serie numeriche. 6. Carattere di serie numerica Data una successione (a n ) n2n di numeri reali, vogliamo dare un senso, se possibile, alla somma infinita che indicheremo con il simbolo a 0 + a + a 2 + a a n +... a n. Similmente, scriveremo P n=n a n per la somma infinita (da definirsi opportunamente) a N + a N+ + a N Diciamo S k = kx a n 57

2 6.. CARATTERE DI SERIE NUMERICA A.A la somma parziale k-esima o ridotta k-esima della serie. La successione (S k ) k2n è d e t t a successione delle ridotte della serie. Consideriamo k!+ kx a n = S k. k!+ Se i numeri S k convergono per k!ad un numero S 2 R, sarànaturaleconsiderares come il valore della somma infinita degli a n.poniamodunquelaseguentedefinizione. Definizione 6. (Serie convergenti, divergenti ed oscillanti). Siano (a n ) n2n successione in R e P a n la serie numerica associata. (a) Diremo che la serie è convergente e ammette per somma S 2 R se una In tal caso scriveremo P a n = S. S k = S. k! (b) Diremo che la serie diverge positivamente se S k =+, k! ed in tal caso scriveremo P a n =+. (c) Diremo che la serie diverge negativamente se S k =, k! ed in tal caso scriveremo P a n =. (d) Diremo che la serie oscilla o è oscillante se la successione (S k ) k2n non ammette ite per k!. Le definizioni precedenti si adattano subito al caso delle serie del tipo P n=n a n. 2. Diremo che due serie hanno lo stesso carattere se sono entrambe convergenti, o divergenti ooscillanti.valgonoleseguentiproprietà. Proposizione 6.2. Valgono i seguenti fatti. (a) Il carattere di una serie non si altera moltiplicando tutti i termini per un coe 2 R, 6= 0; nel caso in cui la serie non sia oscillante, si ha ciente ( a n )= a n. 58

3 A.A ALCUNI ESEMPI NOTEVOLI (b) Una serie P a n ha lo stesso carattere della serie P n=n a n per ogni N 2 N. Dunque il carattere di una serie non cambia se si omettono un numero finito di addendi. (c) Date due serie non oscillanti P a n e P b n, non divergenti in senso discorde, vale l uguaglianza (a n + b n )= a n + b n. 6.2 Alcuni esempi notevoli Vediamo due esempi notevoli di serie numeriche: la serie geometrica e quella telescopica.. Consideriamo q 2 R elaserie cioè la somma infinita q n +q + q 2 + q 3 + q Tale serie è detta la serie geometrica di ragione q. Sappiamocheseq 6= si ha S k = kx q n = qk+ q. Se invece q =,sihabanalmentes k = k +. Dunquesiha 8 >< se q < q S k = + se q k! se q apple. Abbiamo dunque il seguente risultato. Proposizione 6.3. La serie geometrica di ragione q 2 R è convergente se e solo se q < ed in tal caso ha per somma /( q). Se q la serie diverge positivamente, mentre se q apple la serie oscilla. 2. Consideriamo la serie cioè la serie n (n +) +... n= n(n +). 59

4 6.3. CRITERIO GENERALE DI CONVERGENZA A.A Notiamo che Dunque otteniamo S k = n(n +) = n kx n= n +. n(n +) = k +. Si ha allora k! S k =,cosìchelaserieèconvergenteedhapersomma. Laserie considerata è un caso particolare di serie telescopica. Essesonodeltipo (b n b n+ ). Calcolare la ridotta k-esima della serie è semplice essendo S k = kx (b n b n+ )=b 0 b + b b b k b k+ = b 0 b k+. Ricaviamo che S k converge se e solo se la successione (b n ) n2n converge a l esihapersomma (b n b n+ )=b 0 l. 6.3 Criterio generale di convergenza Data la serie P a n edetta(s k ) k2n la successione delle ridotte k-esime, poniamo per ogni n 2 N e p R n,p := S n+p S n = a n+ + a n a n+p.. Vale il seguente criterio generale di convergenza di una serie. Proposizione 6.4. Sia (a n ) n2n una successione di numeri reali, e sia P a n la serie associata. Allora la serie è convergente se e solo se per ogni ">0 esiste N 2 N tale che per ogni n N e p si ha R n,p <". Dimostrazione. La serie è convergente se e solo se la successione (S k ) k2n è c o n v e r g e n - te. In particolare dunque la convergenza della serie equivale al fatto che (S k ) k2n sia una successione di Cauchy. Dunque per ogni ">0deveesistereN tale che per ogni h, k N si ha S h S k <". 60

5 A.A SERIE A TERMINI NON NEGATIVI Il risultato segue scegliendo allora k = n N e h = n + p. 2. Vale il seguente risultato. Proposizione 6.5 (Condizione necessaria per la convergenza). Sia (a n ) n2n successione di numeri reali tale che P a n sia convergente. Allora Dimostrazione. Notiamo che Per ipotesi si ha da cui a n =0. n! a n = S n S n. S n = S n = S 2 R, n! n! a n = S S =0. n! una 3. Il fatto che a n sia infinitesima per n!è condizione necessaria ma non su ciente agarantirelaconvergenzadellaserieassociata.consideriamoadesempiolaserie n= che è detta la serie armonica. La serie non è convergente: infatti per ogni n 2 N e p si ha R n,p = n n + p > p n + p. Fissato n, ilsecondomembrotendeaperp! +: questosignificachelacondizionenecessaria e su ciente per la convergenza non è soddisfatta (è violata per esempio scegliendo " =/2). Possiamo dire non solo che la serie armonica non converge, ma a ermare che essa diverge positivamente. Infatti la successione delle ridotte è monotona crescente e dunque ammette ite: non potendo essere tale ite finito, si ha che vale necessariamente Serie a termini non negativi In questa sezione ci occupiamo delle serie a termini non negativi,cioèdelleserie n a n con a n 0perognin2N. 6

6 6.4. SERIE A TERMINI NON NEGATIVI A.A Per esse è possibile stabilire dei criteri per dedurre il loro carattere.. Vale il seguente risultato. Proposizione 6.6. Una serie a termini non negativi o è convergente o è divergente positivamente. Dimostrazione. La successione delle ridotte S k risulta monotona crescente: infatti per ogni k 2 N Xk+ kx S k+ = a n = a k+ + a n = a k+ + S k S k. Dunque (S k ) k2n risulta o convergente o divergente positivamente. 2. Il primo criterio di convergenza per serie a termini non negativi è quello del confronto. Proposizione 6.7 (Criterio del confronto). Siano P a n e P b n due serie a termini non negativi tali che per ogni n 2 N Allora In particolare: a n apple b n. a n apple b n. (a) se P b n è convergente, allora anche P a n è convergente; (b) se P a n diverge positivamente, allora anche P b n diverge positivamente. Dimostrazione. Siano (S k ) k2n e(sk 0 ) k2n la successione delle ridotte k-esime delle due serie. Si ha chiaramente 0 apple S k apple Sk 0 per ogni k 2 N. Inoltre sappiamo che le due successioni ammettono ite per k!echeperconfronto cioè la tesi è dimostrata. 0 apple k! S k apple k! S 0 k, Esempio 6.8. Consideriamo la serie P n=.poichésiha n2 n n2 n apple 2 n e la serie associata P n= è c o n v e r g e n t e ( s e r i e g e o m e t r i c a d i r a g i o n e /2), si ricava per 2 n confronto che anche la serie iniziale è convergente. 62

7 A.A SERIE A TERMINI NON NEGATIVI 3. Il seguente criterio è fondamentale nelle applicazioni. Proposizione 6.9 (Criterio del confronto asintotico). Siano P a n una serie a termini non negativi e P b n una serie a termini positivi. Se allora le due serie hanno lo stesso carattere. Dimostrazione. Sia a n 0 < < +, n! b n a n l = 2 ]0, +[. n! b n Considerando " = l,perladefinizionediitesihacheesisten 2 N tale che per ogni 2 n N l 2 l<a n <l+ b n 2 l da cui l 2 b n <a n < 3l 2 b n. Deduciamo allora che la serie è maggiorata dalla serie emaggioralaserie n=n n=n n=n a n 3l 2 b n l 2 b n. La tesi discende allora dal criterio del confronto. 4. Il criterio del confronto asintotico viene utilizzato nello studio delle serie modificando il termine generale a n in un termine equivalente b n la cui serie associata è più semplice da studiare. L equivalenza verrà indicata con la scrittura a n b n.spessoèutileilconfronto con la serie notevole (6.),, 2 R. n ln n n=2 Vedremo più avanti che essa converge se e solo se ( >eperogni =e > R

8 6.4. SERIE A TERMINI NON NEGATIVI A.A Consideriamo la serie n= e n sin. n Si tratta di una serie a termini positivi. Inoltre si ha e n sin n + n + 2n 2 Dunque la serie ha lo stesso carattere della serie n n 2. n= n 2 ed è pertanto convergente. 5. Passiamo ora al criterio del rapporto. Proposizione 6.0 (Criterio del rapporto). Sia P a n una serie a termini positivi. Allora valgono i seguenti fatti. (a) Se la serie è convergente. (b) Se la serie diverge positivamente. a n+ <, n! a n a n+ >, n! a n Dimostrazione. Supponiamo che a n+ <. n! a n Per la definizione di ite, esistono 0 <"<en 2 N tali che per ogni n N si ha a n+ a n < ". Si ottiene dunque per ogni n N a n+ < ( ")a n < ( ") 2 a n < < ( ") n+ N a N da cui a n apple ( ") n N a N. 64

9 A.A SERIE A TERMINI NON NEGATIVI Dunque la serie P n=n a n è m a g g i o r a t a d a l l a s e r i e a N ( ")n ( ") N n=n che risulta convergente essendo geometrica di ragione ( ") 2 ]0, [. Ricaviamo dunque che la serie P a n converge ed il punto (a) è dimostrato. Supponiamo che a n+ >. n! a n Per la definizione di ite, esistono ">0eN 2 N tali che per ogni n N si ha Si ottiene dunque per ogni n N a n+ a n > +". da cui a n+ > ( + ")a n > ( + ") 2 a n > > ( + ") n+ N a N a n ( + ") n N a N. Dunque la serie P n=n a n è m i n o r a t a d a l l a s e r i e a N ( + ")n ( + ") N n=n che risulta divergente positivamente essendo geometrica di ragione ( + ") >. Ricaviamo dunque che la serie P a n diverge positivamente ed il punto (b) è dimostrato. Esempio 6.. Consideriamo la serie Applicando il criterio del rapporto si ha n! (n +)! (n +) n+ n! n n n= n! n n. (n +)! n n = = n! n! (n +) n+ n! n n (n +) n = n! + n n = e. Dunque il ite del rapporto esiste e vale /e: essendo tale valore minore di, per il criterio del rapporto la serie è convergente. Notiamo come conseguenza della condizione necessaria di convergenza che n! n! n =0. n Tale risultato non è di semplice verifica diretta. 65

10 6.4. SERIE A TERMINI NON NEGATIVI A.A Osservazione 6.2. Notiamo che il criterio del rapporto applicato alle serie e n(n +) n n= produce come ite : nel primo caso la serie è convergente, mentre nel secondo diverge positivamente. Dunque concludiamo che se a n+ = n! a n nulla si può concludere sul carattere della serie. n= 6. Il criterio della radice n-esima è il seguente. Proposizione 6.3 (Criterio della radice n-esima). Sia P a n una serie a termini non negativi. Allora valgono i seguenti fatti. (a) Se (b) Se la serie è convergente. la serie diverge positivamente. Dimostrazione. Supponiamo che " n! n! n! Allora esistono ">0en 2 N tale che per n ecioè an <, an >, an >. N an > +" a n > ( + ") n. Dunque non può essere n! a n =0: diconseguenzasihachelaseriedivergepositivamente ed il punto (b) è dimostrato. Passiamo al punto (a). Se n! an < allora esistono 0 <"<en 2 N tali che per ogni n an < ". N si ha Dunque da a n < ( ") n si ricava che la serie P n=n a n è maggiorata dalla serie geometrica convergente P n=n ( ")n. Concludiamo dunque che la serie è convergente e la dimostrazione è conclusa. 66

11 A.A SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO Esempio 6.4. Consideriamo la serie Applicando il criterio della radice si ha per cui la serie risulta convergente. n! n x n n n, x 0. r x n n = x n n! n =0 Osservazione 6.5. Come nel caso del criterio del rapporto, si ha che se n! nulla si può concludere sul carattere della serie. an = 6.5 Serie a termini di segno alterno Le serie a termini di segno alterno sono quelle del tipo ( ) n a n con a n 0perognin2N. Per esse vale il seguente criterio di convergenza. Proposizione 6.6 (Criterio di Leibnitz). Sia P ( )n a n una serie a termini di segno alterno. Se la successione (a n ) n2n è decrescente ed infinitesima, allora la serie converge. Dimostrazione. Consideriamo la successione (S k ) k2n delle ridotte. S S 2 S 3 S 4 S 2 S 0 x Notiamo che S 0 S 2 S 4 S 2n... e S apple S 3 apple S 5 apple apples 2n+ apple... 67

12 6.6. CONVERGENZA ASSOLUTA A.A cioè le ridotte di indice pari formano una successione decrescente mentre quelle di indice dispari formano una successione crescente. Infatti, essendo la successione (a n ) n2n decrescente si ha S 2 = S 0 a + a 2 apple S 0 S 4 = S 2 a 3 + a 4 apple S 2. S 2n+2 = S 2n a 2n+ + a 2n+2 apple S 2n. Similmente si prova che le ridotte di indice dispari formano una successione crescente. Notiamo poi che S apple S 2n+ = S 2n a 2n+ apple S 0. Siano S e S 0 i iti delle due successioni di ridotte. Essendo a n infinitesima, grazie alla relazione precedente si ha S = S 0 e S apple S apple S 0, cioè la successione delle ridotte converge a S 2 R. Laserieèdunqueconvergenteelatesi è dimostrata. Esempio 6.7. Consideriamo la serie ( ) n n. n= Poiché la successione n n2n è d e c r e s c e n t e e d i n fi n i t e s i m a, l a s e r i e r i s u l t a c o n v e r g e n t e g r a z i e al criterio di Leibnitz. 6.6 Convergenza assoluta Stabiliamo ora un criterio di convergenza per serie i cui termini non siano sottoposti a restrizioni di segno. Poniamo la seguente definizione. Definizione 6.8. Diremo che una serie P a n converge assolutamente se converge la serie dei moduli dei suoi termini, cioè se a n < +.. Vale il seguente criterio. 68

13 A.A SERIE DI TAYLOR Proposizione 6.9. Una serie convergente assolutamente è convergente. Dimostrazione. Vediamo che il criterio generale di convergenza è soddisfatto. Poiché la serie dei moduli P a n è c o n v e r g e n t e, s i h a c h e p e r o g n i ">0esisteN 2 N tale che per ogni n N e p siha Notiamo che a n+ + a n a n+p <". R n,p = a n+ + a n a n+p apple a n+ + a n a n+p <" per cui la serie P a n soddisfa il criterio generale di convergenza. La tesi è dunque dimostrata. 2. Notiamo che una serie convergente non è necessariamente assolutamente convergente. Infatti la serie ( ) n n. n= risulta convergente per il criterio di Leibnitz, mentre la serie dei moduli risulta divergente essendo essa data dalla serie armonica. 6.7 Serie di Taylor Abbiamo sviluppato tutti gli strumenti che ci permettono di completare lo studio dell approssimazione di funzioni tramite polinomi a rontato in precedenza ed a cui abbiamo accennato all inizio di questo capitolo.. Una funzione f : I! R che ammette le derivate di ogni ordine su I intervallo può approssimarsi con polinomi di grado sempre più elevato: se x 0 2 I, sipuòscrivereperogni n 2 N (6.2) f(x) = dove nx k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + r n (x) k! r n (x) = f (n+) (x n+ ) (x x 0 ) n+ (n +)! essendo x n+ un conveniente punto intermedio tra x 0 e x. Ci domandiamo sotto quali ipotesi su f possa scriversi per ogni x 2 I f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k k! k=0 69

14 6.7. SERIE DI TAYLOR A.A cioè scrivere f(x) comesommadiunaserie. Sequestoèpossibile,diremochef è sviluppabile in serie di Taylor su I. Se x 0 = 0, si parla di sviluppabilità in serie di Mac-Laurin. 2. Grazie all uguaglianza (6.2) si ha che la sviluppabilità di f dipende dal comportamento del resto in forma di Lagrange dell approssimazione e precisamente dal fatto che esso sia infinitesimo: scrivendo infatti nx k=0 abbiamo che se per ogni x 2 I f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k = f(x) r n (x), k! r n(x) =0, n!+ allora la serie P f (k) (x 0 ) k=0 (x x k! 0 ) k è c o n v e r g e n t e c o n s o m m a f(x). Vale il seguente criterio di sviluppabilità in serie di Taylor. Proposizione 6.20 (Sviluppabilità in serie di Taylor). Siano I un intervallo, f : I! R una funzione derivabile infinite volte su I e x 0 2 I. Supponiamo che esistano C, M 0 tali che per ogni n 2 N 8x 2 I : f (n) (x) applecm n. Allora f è sviluppabile in serie di Taylor su I, cioè per ogni x 2 I possiamo scrivere f(x) = f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Dimostrazione. Èsu cientevederecheilrestoinformadilagrangeèinfinitesimo. Esso ammette la seguente stima per ogni x 2 I f (n+) (x n+ ) (n +)! (x x 0 ) n+ apple C(M x x 0 ) n+. (n +)! Il secondo membro tende a zero per n!:questodiscendedalfattochelaserie a n n!, a 0 è convergente. La dimostrazione è dunque conclusa. 3. Risultano sviluppabili in serie di Mac-Laurin su R ad esempio la funzione esponenziale e quelle circolari. Infatti si ha D n (e x )=e x 70

15 A.A SERIE DI TAYLOR per cui su ogni intervallo itato I contenente l origine si ha sup x2i D n (e x ) applec con C>0. Dunque possiamo scrivere per ogni x 2 I e x = Essendo I arbitrario, si ha che lo sviluppo precedente vale per ogni x 2 R. Similmente, tenendo conto che per ogni n 2 N sup x2r x n n!. D n (sin x) = e sup (D n cos x) = x2r si ha la validità degli sviluppi in serie di Mac-Laurin e per ogni x 2 R. sin x = cos x = ( ) n x 2n+ (2n +)! ( ) n x2n (2n)! Osservazione 6.2. Non tutte le funzioni infinitamente derivabili su un intervallo sono sviluppabili in serie di Taylor: esistono esempi di funzioni tali che la serie f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! non sia convergente su I ed anche esempi in cui essa è convergente su I ma con somma diversa da f(x). 7

16 6.7. SERIE DI TAYLOR A.A Esercizi. Mostrare che le conclusioni del criterio del rapporto valgono sotto le relazioni sup n! a n+ a n+ < e inf >. a n n! a n 2. Mostrare che le conclusioni del criterio della radice n-esima valgono sotto le relazioni sup n! an < e inf n! an >. 3. Trovare due serie P a n e P b n a termini non negativi che siano rispettivamente convergente e divergente e tali che p n bn =. n! an = n! 4. Dimostrare la seguente variante del criterio del confronto asintotico. (a) Se a n < +, n! b n allora se P b n converge anche P a n converge. (b) Se a n > 0, n! b n allora se P b n diverge positivamente anche P a n diverge positivamente. 5. Dimostrare il seguente criterio dovuto a Cauchy. Criterio di Condensazione di Cauchy. Sia a n positivo e decrescente. Posto b n =2 n a 2 n,si ha che le serie P a n e P b n ha lo stesso carattere. 6. Applicare il criterio di condensazione di Cauchy per dedurre il carattere della serie al variare di, 2 R. n=2 n ln n 7. Trovare una successione positiva ed infinitesima (a n ) n2n tale che P ( )n a n non converge. 8. Dimostrare la seguente relazione dovuta ad Abel. Dati a,...,a m,b,...,b m numeri reali (o complessi) e posto a 0 i = a i+ a i e B i = b + b b i si ha mx i= mx a i b i = a m B m i= a 0 ib i. 72

17 A.A SERIE DI TAYLOR 9. Dimostrare il seguente criterio di Abel-Dirichlet: siano (a n ) n2n e(b n ) n2n due successioni di numeri reali con (a n ) n2n decrescente ed infinitesima e (B n ) n2n itata (B i è la ridotta i-esima della serie P n b n). Allora la serie P n a nb n risulta convergente. 0. Verificare che il criterio di Leibnitz è un caso particolare del criterio di Abel-Dirichlet.. Sia (a n ) n2n decrescente ed infinitesima. Verificare che le serie X X a n sin(n#) e a n cos(n#) n sono convergenti per # 6= 2k con k 2 Z. (Suggerimento: per calcolare P n P k= sin(k#)) o n k= cos(k#)) per applicare il criterio di Abel-Dirichlet, calcolare P n k= eik# e dividere poi in parte reale e parte immaginaria.) 2. Dimostrare che la funzione f : R! R data da ( e x x>0 f(x) = 0 x apple 0 ammette le derivate di ogni ordine ma non è sviluppabile in serie di Mac Laurin in nessun intorno di x = 0. n 73

18 6.7. SERIE DI TAYLOR A.A