(a 0, a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... (1, 3, 5, 7,...) Lezione del 26 settembre. 1. Successioni.

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1 Lezioe del 26 settembre. 1. Successioi. Defiizioe 1 Ua successioe di umeri reali e ua legge che associa a ogi umero aturale = 0, 1, 2,... u umero reale - i breve: e ua fuzioe N R; si scrive ella forma (a 0, a 1, a 2,..., a,...) o (a ) + =0, o ache (a ) ; per brevita, a volte si omettoo le paretesi. Talvolta ua successioe si preseta dado qualche termie e facedo ituire i segueti. Si e iteressati al comportameto dei termii a della successioe per valori di gradi ; duque a potrebbe seza dao essere defiita solo per maggiore-uguale ad u certo aturale. Ua successioe (a ) + =0 puo essere rappresetata co l isieme delle coppie ordiate (0, a 0 ), (1, a 1 ), (2, a 2 ),... pesate come puti del piao (il grafico della successioe), oppure puo essere rappresetata come il movimeto a scatti temporali discreti di u puto su ua retta. Alcui esempi: la successioe a, = 1, 2, 3,..., data da ( 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ), cioe a = ( 1), = 1, 2, 3,... ; viee da dire che a tede a 0 per che tede a +. la successioe b, = 0, 1, 2, 3,..., data da (1, 3, 5, 7,...) cioe b = 2 + 1, = 0, 1, 2,... ; viee da dire che b tede a + per che tede a +. la successioe c, = 0, 1, 2, 3,..., data da (1, 1, 1, 1, 1,...) cioe c = ( 1), = 0, 1, 2,... ; o viee da dire iete.

2 2. Limiti. Limite fiito. Defiizioe 2 Diciamo che ua successioe (a ) tede a u umero reale l per che tede a +, o che il il limite di a per che tede a + e uguale a l, e scriviamo a l per +, o lim + a = l se e solo se e soddisfatta la seguete codizioe: per ogi umero reale positivo ε esiste u idice (dipedete da ε) a partire dal quale tutti i termii della successioe abbiao distaza da l miore di ε; i simboli: ε > 0 N = N(ε) N : ( N a l < ε) La codizioe sopra scritta puo essere espressa equivaletemete come segue: per ogi umero reale positivo ε esiste u idice (dipedete da ε) a partire dal quale tutti i termii della successioe appartegao all itervallo ]l ε, l + ε[; i simboli: ε > 0 N = N(ε) N : ( N a ]l ε, l + ε[) Spesso per brevita si sottitede la locuzioe per che tede a + e si si scrive a l e lim a = l. 3. Esempi Di seguito, dato u umero reale r, idicheremo co r il massimo itero miore uguale ad r, e co r il miimo itero maggiore uguale ad r. Cosideriamo la successioe a, = 1, 2, 3,..., data da a = ( 1 + 1, cioe 2, 2 3, 3 ) 4,.... Ituitivamete si ha che a tede a 1 per che tede a +. Ci chiediamo se cio e vero ai sesi della defiizioe data. Cosideriamo iazitutto la disequazioe il termie mo della successioe ha distaza dal presuto limite miore di ε ell icogita, dove ε e u parametro reale positivo: < ε. Questa disequazioe ha per soluzioi gli N tali che > 1 ε, ε

3 o che e lo stesso tali che 1 ε. ε Si ha che per ogi ε > 0 esiste u idice a partire dal quale ogi termie della successioe dista dal presuto limite per meo di ε; ua scelta per questo idice e N(ε) = 1 ε ε. Duque abbiamo provato che per +. Osservazioe. Per ε = 0, 001 si ha N(ε) = 999, cio sigifica che tutti i termii della successioe a partire dal 999 mo distao da 1 per meo di 0, Cosideriamo la successioe a, = 0, 1, 2, 3,..., data da a = ( 1), cioe (1, 1, 1, 1,...). Ituitivamete si ha che a o tede ad alcu umero reale per che tede a + ; i particolare a o tede ad 1. Ci chiediamo se cio e vero ai sesi della defiizioe data, el seso della secoda formulazioe. Ci chiediampo cioe se e vera l affermazioe per ogi umero reale positivo ε esiste u idice a partire dal quale tutti i termii della successioe appartegao all itervallo ]1 ε, 1 + ε[ Osserviamo che per ε = 1 l affermazioe di sopra diviee esiste u idice a partire dal quale tutti i termii della successioe appartegao all itervallo ]0, 2[ Cio e falso (perche?). Duque cocludiamo che a o coverge a Limiti. Limite ifiito. Defiizioe 3 Diciamo che ua successioe (a ) tede a + per che tede a +, o che il il limite di a per che tede a + e uguale a +, e scriviamo a + per +, o lim + a = + se e solo se per ogi umero reale H esiste u idice (dipedete da H) a partire dal quale tutti i termii della successioe soo magqiori di H; i simboli: Aalogamete: H R N = N(H) N : ( N a > H)

4 Defiizioe 4 Diciamo che ua successioe (a ) tede a per che tede a +, o che il il limite di a per che tede a + e uguale a, e scriviamo a per +, o lim + a = se e solo se per ogi umero reale H esiste u idice (dipedete da H) a partire dal quale tutti i termii della successioe soo miori di H; i simboli: H R N = N(H) N : ( N a < H) 6. Cosideriamo la successioe a, = 0, 1, 2,..., data da a = 2 + 5, cioe (5, 3, 1,...). Ituitivamete si ha che a tede a per che tede a +. Verifichiamo questa affermazioe usado la defiizioe. Cosideriamo iazitutto la disequazioe < H ell icogita, dove H e u parametro reale. Questa disequazioe ha per soluzioi gli N tali che > 5 H, 2 o che e lo stesso tali che 5 H. 2 Si ha duque che per ogi H esiste u idice a partire dal quale ogi termie della successioe e miore di H; ua scelta per questo idice e N(ε) = 5 H 2. Abbiamo verificato che 7. Successioi limitate ( 2 + 5) per +. Diciamo che ua successioe (a ) e superiormete limitata se esiste u K R tale che a K, N; Aalogamete si defiiscoo le succesioi iferiormete limitate. Ua successioe si dice limitata se e superiormete e iferiormete limitata. Qualche esempio. La successioe a = /( + 1), = 0, 1, 2,..., e limitata. Ifattti 0 a < 1 per ogi N.

5 La successioe b = 2, = 0, 1, 2,..., e iferiormete limitata e superiormete illimitata. La successioe c = ( 1), = 0, 1, 2,..., e limitata. 8. Successioi elemetari Le successioi elemetari, cioe α, = 0, 1, 2,... (α R), b, = 0, 1, 2,... (b R), log b, = 1, 2,... (0 < b = 1), per + hao il seguete comportameto + α > 0 α 1 α = 0 0 α < 0 + b > 1 b 1 b = 1 0 b < 1 per b = 1, b o coverge ad alcu limite; e limitata; per b < 1, b o coverge ad alcu limite; e illimitata; { + b > 1 log b 0 < b < 1 Questi fatti si possoo ricooscere come plausibili, cosiderado il grafico delle corrispodeti fuzioi elemetari; quasi tutti si possoo ache dimostrare facilmete. Esercizio Si dimostri che le successioi poteza co espoete itero relativo si comportao el modo sopra descritto. Esercizio Si dimostri che le successioi espoeziali si comportao el modo sopra descritto. 9. Estremo superiore Ua variate della defiizioe di estremo superiore data i precedeza, equivalete a quella data i precedeza. Defiizioe 5 Sia X u isieme umerico totalmete ordiato (si pesi a N, Z, Q, R), Diciamo che u elemeto b X e l estremo superiore di u sottisieme A X o vuoto e scriviamo b = sup A se e solo se soddisfa le segueti codizioi b a per ogi a A per ogi α > 0, esiste qualche elemeto ā A tale che b α < ā. I modo aalogo si defiisce la ozioe di estremo iferiore.

6 La prima codizioe sigifica che b e u maggiorate di A; la secoda codizioe sigifica che o appea b viee strettamete dimiuito, perde la proprieta di essere u maggiorate di A. 10. Successioi cresceti Defiizioe 6 Diciamo che ua successioe (a ) e crescete se 1, 2 N, 1 < 2 a 1 a 2, equivaletemete, se N, a a +1 ; diciamo che (a ) e strettamete crescete se queste codizioi valgoo col sostituito dal <. Aalogamete si defiiscoo le successioi decresceti e strettamete decresceti. Qualche esempio. La successioe a = /( + 1), = 0, 1, 2,..., e strettamete crescete. Ifattti /( + 1) < ( + 1)/( + 2) ( + 2) < ( + 1) 2 0 < 1; cioe a < a +1 per ogi N. La successioe ( 1), = 0, 1, 2,..., o e crescete e o e decrescete. Teorema 1 Sia (a ) ua successioe reale crescete; se (a ) e limitata, allora ha limite, e lim + a = sup N a ; se (a ) e illimitata, allora lim + a = +. Vale u aalogo risultato per le successioi decresceti. Dimostrazioe Sia {a } ua successioe crescete e limitata. Sia l = sup N a ; chiaramete a l, per ogi N. Dato ε > 0, si ha che c e u N N tale che 1 ε < a N ; per l ipotesi (a ) crescete si ha a N a per ogi N; per la trasitivita della relazioe d ordie si ha l ε < a per ogi > N. Ifie si ha l ε < a l, > N. Il caso di ua successioe crescete illimitata e aalogo.