CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA b) Dal testo sappiamo già che si tratta di un isometria. Rappresentando i punti si vede che sia

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1 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Esercizio.. Dati i punti i O0, 0), A, ), B, ), determinare l isometria fx, y) = x, y ) tale che fo) = O, fa) = A, fb) = B nei seguenti casi. Stabilire in particolare se si tratta di una traslazione, rotazione, riflessione e glissoriflessione trovando gli eventuali punti fissi. ) ) ) a) O =,, A =,, B 7 =,. b) O =, 0), A + 4 ) =,, B = c) O = 0, 0), A = ) ), 9, B =,. ) ) d) O =, ), A =, 7, B =, , + ). a) Dal testo sappiamo già che si tratta di un isometria. Rappresentando i punti si vede che sia l angolo 0ÂB che l angolo 0 Â B sono antiorari, quindi si tratta di una trasformazione diretta: una rotazione o una traslazione. Dobbiamo cercare una trasformazione del tipo x = cx sy + a y = sx + cy + b Imponendo le sei condizioni fo) = O, fa) = A, fb) = B otteniamo il sistema = a = b = c s + a = s + c + b = c s + a 7 = s + c + b a = b = s = c = 4c 4 + c + = c s + 7 = s + c + a = b = s = 0 c = = 7 = 7 Notiamo che per risolvere il sistema abbiamo usato solamente le prime quattro equazioni, mentre abbiamo usato le ultime due per verificare la soluzione. Si tratta della trasformazione fx, y) = che è una traslazione e non ha punti fissi. direttamente impostando il sistema che non ha soluzione. fx, y) = x, y) x, y + ) La mancanza di punti fissi si può anche verificare x = x y = y + b) Dal testo sappiamo già che si tratta di un isometria. Rappresentando i punti si vede che sia l angolo 0ÂB che l angolo 0 Â B sono antiorari, quindi si tratta di una trasformazione diretta: una rotazione o una traslazione. Dobbiamo cercare una trasformazione del tipo x = cx sy + a y = sx + cy + b

2 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Imponendo le sei condizioni fo) = O, fa) = A, fb) = B otteniamo il sistema = a a = a = 0 = b b = 0 b = 0 = c s + a +4 = 4s + +8 s + s = = s + c + b c = s + +4 c = = c s + a + = s + c + b 4 6 = c s + + = s + c = + + = + Notiamo che per risolvere il sistema abbiamo usato solamente le prime quattro equazioni, mentre abbiamo usato le ultime due per verificare la soluzione. Si tratta della trasformazione fx, y) = x ) y +, x + y che è una rotazione. Possiamo quindi trovare il punto fisso centro di rotazione) impostando il sistema x = fx, y) = x, y) x y + x + y = y = x + y y = x = x y = ) Quindi il centro di rotazione è il punto fisso P,. c) Dal testo sappiamo già che si tratta di un isometria. Rappresentando i punti si vede che l angolo 0ÂB è antiorario mentre l angolo 0 Â B è orario, quindi si tratta di una trasformazione inversa: una riflessione o una glissoriflessione. Dobbiamo cercare una trasformazione del tipo x = cx + sy + a y = sx cy + b Notiamo che poiché O = O, il punto O è fisso, quindi si tratta di una riflessione in quanto le glissoriflessioni non hanno punti fissi. Imponendo le sei condizioni fo) = O, fa) = A, fb) = B otteniamo il sistema 0 = a a = 0 a = 0 0 = b b = 0 b = 0 9 = c + s + a = s c + b = c + s + a = s c + b c = 9 s = s 7 9s = c + s = s c c = s = 4 = = 8 + Notiamo che per risolvere il sistema abbiamo usato solamente le prime quattro equazioni, mentre abbiamo usato le ultime due per verificare la soluzione. Si tratta della trasformazione fx, y) = x + 4 y, 4 x + ) y che è una riflessione. Possiamo quindi trovare la retta di punti fissi asse di simmetria) impostando il sistema x = fx, y) = x, y) x + 4 y 8x 4y = 0 y = 4 x + y y = x 4x y = 0 Quindi tutti i punti della retta y = x sono punti fissi e y = x è l asse di simmetria. d) Dal testo sappiamo già che si tratta di un isometria. Rappresentando i punti si vede che l angolo 0ÂB è antiorario mentre l angolo 0 Â B è orario, quindi si tratta di una trasformazione inversa: una riflessione o una glissoriflessione. Si tratta quindi di cercare una trasformazione del tipo x = cx + sy + a y = sx cy + b

3 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Imponendo le sei condizioni fo) = O, fa) = A, fb) = B otteniamo il sistema = a = b = c + s + a 4 = s c + b = c + s + a 7 = s c + b a = b = c = s 4 = s 9 + 9s + = c + s 7 = s c + a = b = c = 4 s = = = Notiamo che per risolvere il sistema abbiamo usato solamente le prime quattro equazioni, mentre abbiamo usato le ultime due per verificare la soluzione. Si tratta della trasformazione fx, y) = 4 x + y, x 4 ) y + che è una glissoriflessione. Infatti impostando il sistema fx, y) = x, y) non otteniamo soluzioni. x = 4 x + y y = x 4 y + x = y 0 9y = 9y + Esercizio..). Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ R, calcolare A + B, B A, λa + µb, AB, BA, A : λ =, µ = 0 λ =, µ = Comiciamo dalla prima coppia di matrici: A λa + µ A + 0 [ 7 7 B 7 7 ] B 6 A 4 A = A 6 6 Analogamente per la seconda coppia di matrici: A + 4 B λa + µ A A B 4 0 A = A 0

4 4 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Esercizio..). Date le seguenti matrici: 0 A = 0 0 ; A = ; A 4 = 4 ; 4 4 A 4 = 0 ; A = ; A 6 = ; calcolare, quando possibile, i prodotti A i A j per i, j =,,, 4,, 6. Ricordiamo che una matrice è detta n m se ha n righe e m colonne. Inoltre è possibile moltiplicare due matrici A e B solamente se A è del tipo n m B è del tipo m k cioè se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B). Il risultato è una matrice C del tipo n k. Scriviamo solo i prodotti che è possibile effettuare: A A = A A = A 0 A 4 = A 0 A = A A = A A 6 = A 4 A = 40 8 A 4 A 6 = A A = 0 A A 4 = 4 0 A A = A 6 A = A A 4 = A 0 6 A = 4 Esercizio.4.). Date le matrici calcolare A B e AB T. [ ] [ ] A [ 6 9 ] [ 4 6 ] = [ 8 AB T = [ ] = Notiamo che la matrice [ ] è detta matrice scalare. Esercizio..6). Calcolare la potenza A della matrice 0 0 ]

5 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Si tratta di eseguire due prodotti: 4 6 A = A A = Esercizio.6.8). Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l inversa di A cioè determinare se esiste la matrice B tale che A B I). Consideriamo la matrice Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere. Sia quindi x y z w la generica matrice. Si ha A x y x + z y + w = z w x + z y + w Dalla condizione A I segue x + z = x = z x = z y + w = 0 y = w y = w x + z = 0 z) + z = 0 = 0 y + w = w) + w = 0 = La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione. Questo indica che la matrice A non ammette inversa. Consideriamo ora la matrice e sia x y z w la generica matrice. Si ha x y x z y w A = z w x + z y + w Dalla condizione A I segue x z = x = + z x = + z x = y w = 0 y = w y = w y = x + z = 0 + z) + z = 0 z = z = y + w = w + w = w = w = Di conseguenza deve essere E immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione B I, di conseguenza B è la matrice inversa di A cercata. Una tale matrice B inversa di A viene normalmente indicata con A.

6 6 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Esercizio.7.9). Date le matrici 0 0 calcolare AB, BA, BC e CB. 0 C = A BC = B C 0 9 Notiamo che AB BA, mentre BC = CB. Infatti il prodotto tra matrici non è in generale commutativo; nel secondo caso si presenta questa situazione particolare in quanto C = I. Esercizio.8.0). Si consideri il seguente insieme matrici triangolari superiori di M R)) } a b I = a, b, c R 0 c Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Siano a b 0 c x y 0 z due generici elementi di I. Dobbiamo verificare che A + B e AB sono ancora elementi di I: a b x y a + x b + y A + + = I 0 c 0 z 0 c + z ax ay + bz A I 0 cz Notiamo che l unica condizione per l appartenenza a I è che l elemento di posizione, si annulli. Esercizio.9.). Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che A 0. Possiamo prendere per esempio Infatti A e B sono non nulle e A Esercizio.0.). Sia e B una matrice tale che A BA. Si dimostri che dove λ, x R. λi x Sia b b b b

7 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 7 la generica matrice. Si ha b b A b + b = b + b 0 b b b b b b B b b = + b b b 0 b b + b Dalla condizione A BA segue b + b = b b + b = b + b b = b b = b + b Di conseguenza B deve essere del tipo t s = 0 t Abbiamo quindi ottenuto che dove λ, x R. b = 0 b = b 0 = 0 b = 0 t t λi + 0 s = t 0 x b = t b = s b = 0 b = t s Esercizio..). Date le matrici e C = 4 determinare la matrice B tale che A + C. E sufficiente osservare che se Quindi A + C A + A + A + C C A = Esercizio..8). Si risolva il sistema Ax = b dove x, x = 4 x b = s, t R Quindi Ax = b implica x + x = x + 4x = Ax = 4 [ x x ] x + x = x + 4x x = x 4 6x + 4x = x = 7 x = La matrice A è detta matrice dei coefficienti e la matrice b matrice o colonna dei termini noti del sistema x + x = x + 4x = Si dice anche più semplicemente che A e b oppure A b) sono le matrici associate al sistema. Notiamo che si può passare da A al sistema o viceversa semplicemente aggiungendo o togliendo le incognite.

8 8 FOGLIO DI ESERCIZI GEOMETRIA 008/09 Esercizio..0). Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi x a) 0 6, x = x b = x 4 4 x b) 0 6, x = x b = 4 0 x 4 c) 0, x = x x b = 4 0 x 0 a) Calcoliamo il prodotto x x + x + x Ax = 0 6 x = x + 6x x x Quindi la condizione Ax = b implica x + x + x = x + x + x = x + 6x = x = 6 x = 4 x = x = ) + = x = x = x = x = x = b) Scriviamo direttamente il sistema associato a A e b aggiungendo le incognite: 4x + x + x = x + 6x = 4 0 = 4 Notiamo subito che l ultima equazione è impossibile, quindi il sistema non ammette soluzione. c) Scriviamo direttamente il sistema associato a A e b aggiungendo le incognite: x + x + x = x + x = 4 0 = 0 Notiamo che il sistema ha tre incognite, ma solamente due equazioni significative). Abbiamo quindi una variabile libera. Partiamo dall ultima equazione significativa) aggiungendo un parametro. Poniamo per esempio x = t Potevamo equivalentemente porre x = t): x + x + x = x = t + 4) + t = t + 9 x = t + 4 x = t + 4 x = t x = t x = t + 9 x = t + 4 t R x = t Notiamo che in questo caso il sistema ammette infinite soluzione: ogni valore assegnato a t permette di trovare una delle infinite soluzioni.